Signale und Systeme - Zustandsraumdarstellung

1. Systembeschreibung im Zustandsraum

Aufgabenstellung

Gegeben ist ein System, beschrieben durch folgende Zustandsgleichungen:

\( \mathbf{x}(n+1) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \mathbf{x}(n) + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} v(n)\) 

\( y(n)   = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \mathbf{x}(n) + v(n)\)

  1. Berechnen Sie \(y(n)\) für \(n\in\{0,\ 1\}\) bei einer Anregung \(v(n)=\gamma_0(n)\) und einem Anfangszustand \(\mathbf{x}(0)=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}. \)
  2. Welchen Wert nimmt \(\mathbf{x}(n)\) im eingeschwungenen Zustand ein?
  3. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des Systems.
  4. Berechnen Sie die Impuslantwort \(h_0(n)\).

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 30 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

  1. Ein zeitdiskretes, lineares System kann im Zustandsraum durch die Zustandsgleichung
                    \[
                        \mathbf{x}(n+1) = \mathbf{Ax}(n) + \mathbf{Bv}(n)
                    \]
    zusammen mit der Ausgangsgleichung
                    \[
                        \mathbf{y}(n) = \mathbf{Cx}(n) + \mathbf{Dv}(n)
                    \]
                    
    beschrieben werden. Dabei sei \(\mathbf{v}(n)\) der Eingangssignalvektor, \(\mathbf{y}(n)\) der
    Ausgangssignalvektor und \(\mathbf{x}(n)\) der Zustandsvektor. Die vier Matritzen können aus
    den gegebenen Gleichungen abgelesen werden:
                    
    Systemmatrix    \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \frac 12 & 0 \\ 1 & \frac 12 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{N\times N}\)
    Eingangsmatrix   \( \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{N\times L}\)
    Ausgangsmatrix  \( \mathbf{C} = \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{R\times N} \)
    Durchgangsmatrix \(\mathbf{D} = \mathbf{d} = d =1 \in \mathbb{R}^{R\times L}\)  
                    
    Einige der Matrizen sind also Vektoren oder Skalare. Ebenso kann an den Dimensionen abgelesen werden:

    Anzahl der Eingänge \(L=1\)
    Anzahl der Ausgänge \(R=1\)
    Anzahl der Zustände\(N=2\)
            
    Zur Lösung der Aufgabe für \(n=0\) und \(n=1\) jeweils zuerst die Zustands- und dann die Ausgangsgleichung lösen.
    \(y(0)=2, \; y(1)=\frac{3}{2}\)
  2. Eingeschwungener Zustand herrscht auf jeden Fall für \(n\rightarrow\infty\). Für das Eingangssignal gilt dann
                    \[
                        \lim_{n\rightarrow\infty} v(n) = \lim_{n\rightarrow\infty} \gamma_0(n) = 0
                    \]
    Damit kann die Zustandsgleichung für \(n\rightarrow\infty\) aufgestellt und das entstehende lineare Gleichungssystem nach \(\lim_{n\rightarrow\infty} \mathbf{x}(n) = \mathbf{x}(\infty ) = \mathbf{x}_\infty\) aufgelöst werden.
    \(\lim_{z\rightarrow\infty} \mathbf{x}(n) = \mathbf{x}(\infty )= \mathbf{x}_\infty = [0\;0]^T\)
  3. Wendet man die z-Transformation auf die Zustandsgleichung an, so erhält man
              \begin{align*}
                  \mathbf{x}(n+1)        &= \mathbf{Ax}(n) + \mathbf{Bv}(n) \\
                                         &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \\
                  \mathbf{x}(z)\cdot z   &= \mathbf{Ax}(z) + \mathbf{Bv}(z).
              \end{align*}
    Löst man dies nach \(\mathbf{x}(z)\) auf, so erhält man mit der Einheitsmatrix \(\mathbf{I}\)
              \[
                  \mathbf{x}(z) = (z\mathbf{I-A})^{-1} \mathbf{Bv}(z).
              \]
              Ebenso gilt für die z-Transformierte der Ausgangsgleichung
              \begin{align*}
                  \mathbf{y}(n)  &= \mathbf{Cx}(n) + \mathbf{Dv}(n) \\
                                 &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \\
                  \mathbf{y}(z)  &= \mathbf{Cx}(z) + \mathbf{Dv}(z) \\
                                 &= \underbrace{\left[\mathbf{C}(z\mathbf{I-A})^{-1} \mathbf{B+D} \right]}_{\mathbf{H}(z)}\mathbf{v}(z).
              \end{align*}
              
    Die Übertragungsnmatrix \(\mathbf{H}(z)\) kann also durch Einsetzen der bekannten Matritzen bestimmt werden. Da das vorgegebene System nur einen Eingang (\(L=1\)) und einen Ausgang (\(R=1\)) hat, ist die Übertragungsmatrix hier eine Übertragungsfunktion\ (\mathbf{H}(z) = H(z)\).
    \(\mathbf{H}(z) = H(z) = \frac{z+\frac{1}{2}}{z-\frac{1}{2}}\)
  4. Die Impulsantwort \(h_0(n) = \mathcal{Z}^{-1}\left\{H(z)\right\}\) kann durch Transformation mittels aus Tabellen bekannter Korrespondenzen bestimmt werden.
    \(h_0(n) = \left( \frac{1}{2}\right)^n \big[ \gamma_{-1}(n) + \gamma_{-1}(n-1) \big]= \gamma_0(n) + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\gamma_{-1}(n-1)\)

2. Systembeschreibung im Zustandsraum

Aufgabenstellung

Ein System sei durch die folgenden Zustandsgleichungen beschrieben: \[\begin{align*} \mathbf{x}(n+1) & = \mathbf{A} \cdot \mathbf{x}(n) + \mathbf{B} \cdot \mathbf{v}(n)\\ \mathbf{y}(n) & = \mathbf{C} \cdot \mathbf{x}(n) + \mathbf{D} \cdot \mathbf{v}(n) \end{align*}\]

mit

\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -4 & -6 \\ 3 & 5 \end{bmatrix},\] \[\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -2 \end{bmatrix},\] \[\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix},\] und \(\mathbf{D} = \mathbf{0}\) .

  1. Zeichnen Sie den Signalflussgraphen des Systems.
  2. Bestimmen Sie die Übertragungsmatrix \(\mathbf{H}(z)\).
  3. Wie lautet die Impulsantwortmatrix \(\mathbf{h}_0(n)\) ?

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 30 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

  1. Der Signalflussgraph veranschaulicht die beiden Zustandsgleichungen. Ein strukturiertes Vorgehen um ihn zu zeichnen ist es, zuerst die \(L\) Eingangsknoten, die \(N\) Knoten für die inneren Zustände jeweils zu den Zeitpunkten \(n+1\) und \(n\) sowie die \(R\) Ausgangsknoten in dieser Reihenfolge von links nach rechts aufzuzeichnen. Anschließen müssen diese nur noch entsprechend der Zustandsgleichung und der Ausgangsgleichung verbunden und beschriftet werden.Der Signalflssgraph ist in der folgenden Abbildung  dargestellt.
  2. Die Übertragungsmatrix wird durch Vereinfachen der Gleichung
                    \[
                        \mathbf{H}(z) = \mathbf{C}\left(z\mathbf{I}-\mathbf{A}\right)^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D}
                    \]
    berechnet. Dabei bezeichnet \(\mathbf{I}\) die Einheitsmatrix der selben Dimension wie \(\mathbf{A}\). Das Ergebnis sollte in Form einer \(R\times L\) Matrix vorliegen. Die Übertragungsmatrix besteht aus den Teilübertragungsfunktionen \(H_{rl}(z)\) von jedem Systemeingang \(l\) zu jedem Systemausgang \(r\):
    \[ \mathbf{H}(z) = \begin{bmatrix}
                                                             H_{11}(z) & H_{12}(z) \\
                                                             H_{21}(z) & H_{22}(z)
                                                        \end{bmatrix}
                                                    = \begin{bmatrix}
                                                            \frac{Y_1(z)}{V_1(z)} & \frac{Y_1(z)}{V_2(z)} \\
                                                            \frac{Y_2(z)}{V_1(z)} & \frac{Y_2(z)}{V_2(z)}.
                                                        \end{bmatrix}
    \]
    \(\mathbf{H}(z) = \begin{bmatrix} 0 & \frac{6}{z+1} \\ 0 & \frac{4}{z+1} \end{bmatrix} \)
  3. Die Impulsantwortmatrix wird als inverse z-Transformation der Übertragungsmatrix bestimmt
     \[  \mathbf{h}_0(n) = \mathcal{Z}^{-1} \left\{\mathbf{H}(z)\right\}
                                        = \begin{bmatrix}
                                                                        \mathcal{Z}^{-1}\left\{H_{11}(z)\right\} & \mathcal{Z}^{-1}\left\{H_{12}(z)\right\} \\
                                                                        \mathcal{Z}^{-1}\left\{H_{21}(z)\right\} & \mathcal{Z}^{-1}\left\{H_{22}(z)\right\}
                                                            \end{bmatrix}
                                                    = \begin{bmatrix}
                                                            h_{0,11}(n) & h_{0,12}(n) \\
                                                            h_{0,21}(n) & h_{0,22}(n)
                                                        \end{bmatrix}.
    \]
    \(\mathbf{h}_0(n) = \begin{bmatrix} 0 & 6 (-1)^{n-1} \gamma_{-1}(n-1) \\ 0 & 4 (-1)^{n-1} \gamma_{-1}(n-1)\end{bmatrix} \quad , \; \forall |z|>1 \)

 

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01.10.2017: Started with a Tips and Tricks section for KiRAT.

01.10.2017: Talks from Jonas Sauter (Nuance) and Vasudev Kandade Rajan (Harman/Samsung) added.

13.08.2017: New Gas e.V. sections (e.g. pictures or prices) added.

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S. Graf, T. Herbig, M. Buck, G. Schmidt: Low-Complexity Pitch Estimation Based on Phase Differences Between Low-Resolution Spectra, Proc. Interspeech, pp. 2316 -2320, 2017

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