Signale und Systeme - Signale - Teil 1

 

Voriger Teil: Einleitung- Teil 3

Elementarsignale

Das Ziel der Einführung von sogenannten Elementarsignalen ist die Darstellung bzw. Zerlegung allgemeiner Signale mit Hilfe von Teilsignalen bestimmter (sinnvoller) Grundformen, die für eine möglichst große Signalklasse passen.

Der Begriff "Elementarsignal" soll hier (zunächst) für vereinfachende Repräsentationen realer Signalereignisse stehen.

Beispiele:
Verhalten im Dauerbetrieb: Konstante (bzw. als Verallgemeinerung: Schwingungen)
Verhalten bei plötzlichen Änderungen: Kurzer Stoß, plötzlicher Sprung oder Anstieg.

 

Sprung

Der Sprung wird im Kontinuierlichen als Sprungfunktion \(\delta_{-1}(t) \) bezeichnet.

Definition der Sprungfunktion:
\begin{equation} \delta_{-1}(t) \,\,=\,\, \begin{cases} 1, & \text{für}\,\, t > 0, \\[1mm] \frac{1}{2}, & \text{für}\,\, t \,\,=\,\, 0, \\[1mm] 0, & \text{für}\,\, t < 0. \end{cases} \end{equation}

Die Sprungfunktion hat folgenden Verlauf:

 
 
\( \delta_{-1}(t) \)
\( 1 \)
\( \frac{1}{2} \)
\( 0 \)
\( t \)
Abb. 1: Verlauf der Sprungfunktion.
 

Im Diskreten wird der Sprung als Sprungfolge \(\gamma_{-1}(n)\) bezeichnet.

Definition der Sprungfolge:
\begin{equation} \gamma_{-1}(n) \,\,=\,\, \begin{cases} 1, & \text{für}\,\, n \geq 0, \\[2mm] 0, & \text{für}\,\, n < 0. \end{cases} \end{equation}

Die Sprungfolge hat folgenden Verlauf:

 
 
\( \gamma_ {-1}(n) \)
\( 1 \)
\( \frac{1}{2} \)
\( 0 \)
\( n \)
Abb. 2: Verflauf der Sprungfolge.
 

 

Anmerkungen

"Physikalische", reale Größen springen nicht, während Zahlenfolgen sehr wohl von Wert zu Wert Änderungen aufweisen. Man kann daher \( \delta_{-1}(t) \) auch als Idealisierung eines realistischen, schnellen Übergangs verstehen.

 
 
\( R_ {\epsilon}(t) \)
\( 1 \)
\( \frac{1}{2} \)
\( 0 \)
\( -\frac{\epsilon}{2} \)
\( \frac{\epsilon}{2} \)
\( t \)
\( \lim\limits_{\epsilon \to 0}R_{\epsilon}(t) \,\,=\,\, \delta_{-1}(t) \)
Abb. 3: Grenzübergang zur Sprungfunktion.
 

Auch andere "realistischere" Übergänge sind hier denkbar. Die Definition von oben besitzt Punktsymmetrie bezüglich \( (0,\frac{1}{2}) \). Dies kann in manchen Fällen hilfreich sein.

Alternativ kann folgende Definition verwendet werden:

Alternative Definition der Sprungfunktion:
\begin{equation} \delta_{-1} \,\,=\,\, \begin{cases} 1, & \text{für } t \,\geq\, 0, \\[2mm] 0, & \text{für } t \,<\, 0. \end{cases} \end{equation}

Diese besagt, dass der Übergang nur in \( t < 0 \) stattfindet. Praktisch spielen die Unterschiede in den Definitionen jedoch keine Rolle. Für die Nachbildung von realen Signalen sind beide Definitionen gleichwertig

 

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S. Graf, T. Herbig, M. Buck, G. Schmidt: Low-Complexity Pitch Estimation Based on Phase Differences Between Low-Resolution Spectra, Proc. Interspeech, pp. 2316 -2320, 2017

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