Signale und Systeme - Einleitung - Teil 3

 

Voriger Teil: Einleitung- Teil 2

Systeme

Wie auch im Abschnitt über Signale starten wir zunächst mit einer Definition des Begriffs "System".

Definition eines Systems:
Systeme werden durch Eingangs- bzw. Anregungssignale \( \boldsymbol{v}(...) \) "angeregt" und reagieren mit internen Signalen \(\boldsymbol{x}(...)\), sowie mit Ausgangssignalen \(\boldsymbol{y}(...)\).

Sie können mit unterschiedlichen Darstellungsformen beschrieben werden. Darauf wird in diesem Kapitel näher eingegangen.

 

Beschreibung durch den Systemoperator

Eine erste (etwas abstrakte) Möglichkeit besteht darin einen allgemeinen Operator einzuführen und diesen dann recht allgemein zu verwenden.

Definition des Systemoperators:
Allgemein lässt sich ein System durch den Systemoperator \(S\{...\}\) beschreiben. Es folgt die Eingangs-Ausgangs-Beschreibung des Systems \begin{equation} \boldsymbol{y}(...) \,\,=\,\,S\big\{ \boldsymbol{v}(...) \big\} .\label{eq_5} \end{equation}

Beispiele mit skalaren bzw. vektoriellen Ein- bzw. Ausgängen:

 
 
\( S_0\{...\} \)
\( S_1\{...\} \)
\( \boldsymbol{S}_2\{...\} \)
\( \boldsymbol{S}_3\{...\} \)
\( v(...) \)
\( v(...) \)
\( \boldsymbol{v}(...) \)
\( \boldsymbol{v}(...) \)
\( y(...) \)
\( y(...) \)
\( \boldsymbol{y}(...) \)
\( \boldsymbol{y}(...) \)
Fig. 3: Beispiele für Systemoperatoren. 
 

 

Beschreibung mit Zuständen

Bei dieser Systembeschreibung wird ein System mit den „wesentlichen“ erfassten, inneren Signalen (zumeist Signale, die den Inhalt der Speicher im System kennzeichnen) dargestellt. Diese Signale werden

\begin{equation} \textbf{Zustandsvariablen}\,\,\, x_i(...),\,i \in \{0,\,1,\,...,\,N-1\} \end{equation}

genannt und sind üblicherweise im

\begin{equation} \textbf{Zustandsvektor}\,\,\, \boldsymbol{x}(...) \,\,=\,\, \Big[x_0(...),\,x_1(...),\,...,\,x_{N-1}(...)\Big]^T\end{equation}

zusammengefasst.

 

Allgemeine Zustandsbeschreibung

Bei der allgemeinen Zustandsbeschreibung sind die Zustandsgleichungen und Ausgangssignale wichtig. Sie sind jeweils Funktionen des "Ist"-Zustands und der Anregungssignale.

Definition der allgemeinen Zustandsbeschreibung:

Im Kontinuierlichen werden Zustandsgleichungen mit \begin{equation}\boldsymbol{\dot x}(t) \,\,=\,\, f\big( \boldsymbol{x}(t), \, \boldsymbol{v}(t) \big)\end{equation} und Ausgangsgleichnungen mit \begin{equation}\boldsymbol{y}(t) \,\,=\,\, g \big( \boldsymbol{x}(t),\,\boldsymbol{v}(t) \big)\end{equation} beschrieben. Es handelt sich hierbei um ein Differentialgleichungssystem.

Im Diskreten ist im Vergleich zum Kontinuierlichen von einem Differenzengleichungssystem die Rede. Dabei werden die Zustandsgleichungen mit \begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{x}(n+1)- \boldsymbol{x}(n) \,\, &= \,\, \tilde f\big( \boldsymbol{x}(n),\,\boldsymbol{v}(n) \big)\\ \boldsymbol{x}(n+1) \,\, &= \,\, f\big( \boldsymbol{x}(n),\, \boldsymbol{v}(n) \big) \end{aligned} \end{equation} und Ausgangsgleichnungen mit \begin{equation}\boldsymbol{y}(n) \,\,=\,\, g \big( \boldsymbol{x}(n), \, \boldsymbol{v}(n) \big) \end{equation} dargestellt.

Beispiele für Zustandsvariablen:
In elektrischen Schaltungen stehen Kapazitäten C (elektrische Felder) und Induktivitäten L (magnetische Felder) im direkten Zusammenhang mit den Systemzuständen. \begin{equation*} w_{\tiny C}(t)\,\,\sim\,\,C\,u_{\tiny C}^2(t) \end{equation*} \begin{equation*} w_{\tiny L}(t)\,\,\sim\,\,L\,i_{\tiny L}^2(t) \end{equation*} Die Zustandsvariablen sind hier die Spannung an der Kapazität und der Strom in der Induktivität.

Bei mechanischen Systemen sind Federspannung, Fallhöhe und Bewegungsgeschwindigkeit einer Masse Beispiele für Zustandsvariablen.

Die Inhalte der Datenspeicher sind Zufallsvariablen bei diskreten Sytsemen.

In dieser Vorlesung werden wir uns zunächst auf Eingangs-Ausgangs- Beschreibungen beschränken. Zustandsdarstellungen werden (z.B.) in der Vorlesung „Signale und Systeme – Teil 2“ behandelt.

 

Klassifikation von Systemen

Anmerkung:
Zu dieser Thematik sind folgende Übungsaufgaben geeignet:

Wie auch bei den Signalen werden wir im Folgenden einige Eigenschaften von Systemen vorstellen.

 

  • Kontinuierliche und diskrete Systeme

    Zur Klassifizierung von Systemen in rein kontinuierliche bzw. rein diskrete kann folgende Definition nutzen.

    Klassifizierung kontinuierlicher und diskreter Systembeschreibungen:

    Man verwendet kontinuierliche Systembeschreibungen, wenn alle Eingangssignale, alle internen Signale und alle Ausgangssignale kontinuierlich sind.

    Analog dazu gilt, dass diskrete Systembeschreibungen verwendet werden, wenn alle Eingangssignale, alle internen Signale und alle Ausgangssignale diskret sind.

    Diskrete Systeme bzw. Operatoren berechnen Zahlenfolgen aus Zahlenfolgen, sind also als „Rechner“ zu sehen. „Digital“-Rechner sind zusätzlich durch realisierbare Zahlendarstellungen mit endlich vielen Stufen (Bits) gekennzeichnet. Auf diese (Zeit- und) Wertdiskretisierung wird in der Vorlesung „Signale und Systeme - Teil 2“ eingegangen.

     

  • Ein- und mehrdimensionale Systeme

    Definition von ein- und mehrdimensionalen Systemen:
    Eindimensionale Systeme verarbeiten nur eindimensionale Signale. Sobald mehrdimensionaleSignale involviert sind, nennt man auch die zugehörigen Systeme mehrdimensional.

    Im Rahmen der Vorlesung "Signale und Systeme – Teil 1" beschränken wir uns auf eindimensionale Systeme.

     

  • Deterministische und stochastische Systeme

    Definition deterministischer und stochastischer Systeme:

    Wenn der Systemoperator \( S \{...\} \), d.h. die Struktur des Systems, und alle Systemparameter "festgelegt" sind, wird das System als deterministisch bezeichnet. Es reagiert auf determinierte Anregungen mit determinierten Ausgängen. Unter dem Begriff "festgelegt" ist hier nicht konstant zu verstehen – es muss lediglich der zeitliche Verlauf der Parameter bzw. der Systemstruktur bekannt sein.

    Wenn in \( S \{...\} \) auch nur ein Detail stochastisch ist, dann wird das System als stochastisch bezeichnet.

    Einige Beispiele sollen diesen Zusammenhang verdeutlichen.

    Beispiele:
    Wackelkontakt,
    akustische Übertragungen (Kanäe),
    Mobilfunkkanäle (und sogar deren Modelle).

    In dieser Vorlesung (auch im Teil 2) werden wir uns auf deterministische Systeme beschränken

     

  • Passivität

    Definition des Begriffs "Passivität":
    Ein System wird dann als passiv bezeichnet, wenn es keine „inneren Quellen“ und keine Verstärkungsfunktionen besitzt. Es kann daher nie, d.h. zu keinem Zeitpunkt \(t\) bzw. \(n\), mehr Energie abgeben als bisher aufgenommen wurde.

    Für ein System mit einem Eingang \(v(...)\) und einem Ausgang \(y(...)\) gilt im Kontinuierlichen

    \begin{equation}w_y(t) \leq w_v(t), \,\, \forall\, t\end{equation}

    und im Diskreten

    \begin{equation}w_y(n) \leq w_v(n), \,\, \forall\, n.\end{equation}

    Analog dazu gilt für Systeme mit \(L\) Eingängen

    \begin{equation*} \boldsymbol{v}(...) \,\,=\,\, [v_0(...),\,v_1(...),\, ...,\,v_L(...)]^T \end{equation*}

    und \(R\) Ausgängen

    \begin{equation*} \boldsymbol{y}(...) \,\,=\,\, [y_0(...),\,y_1(...),\, ...,\,y_R(...)]^T \end{equation*}

    folgender Zusammenhang:

    \begin{equation} \sum \limits_{r=0}^{R-1} w_{y_r}(...) \leq \sum \limits_{l\,\,=\,\,0}^{L-1} w_{v_l}(...), \,\, \forall\, t,\, n . \end{equation}

    Die Folge der Passivität ist, dass ein passives System im "Ruhezustand" verharrt.

     

    Anmerkung:
    • Wenn im Kontinuierlichen

      \begin{equation*} v(t) \,\,=\,\, 0, \,\, \forall\, t \leq t_0 \end{equation*}

      gilt, dann folgt daraus auch

      \begin{equation*} y(t) \,\,=\,\, 0, \,\, \forall\, t \leq t_0. \end{equation*}

    • Äquivalent dazu folgt, dass wenn im Diskreten

      \begin{equation*} v(n) \,\,=\,\, 0, \,\, \forall\, n \leq n_0 \end{equation*}

      gilt, dann muss auch

      \begin{equation*} y(n) \,\,=\,\, 0, \,\, \forall\, n \leq n_0 \end{equation*}

      erfüllt sein.

     

  • Verlustlosigkeit

    Definition des Begriffs "Verlustlosigkeit":
    Ein System wird als verlustlos bezeichnet, wenn alle aufgenommene Energie auch wieder (an den Systemausgängen) abgegeben wird: \begin{equation}\sum\limits_{r\,\,=\,\,0}^{R-1} w_{y_r}(\infty)\,\,= \,\,\sum\limits_{l\,\,=\,\,0}^{L-1} w_{v_l}(\infty).\end{equation}

    Oftmals wird Verlustlosigkeit in Kombination mit Passivität betrachtet bzw. verwendet ("passive und verlustlose Systeme"). Gemeint ist dabei aber nicht ein System, in dem "verloren gegangene" Energie wieder durch innere Quellen (evtl. in anderer Form) ersetzt wird!

     

    Anmerkung

    Die Bedingungen \(w_y(t)\,\,\le\,\,w_v(t)\,\, \forall \, t, \) bzw. \( w_y(n)\,\,\le\,\,w_v(n)\,\, \forall \, n, \) gelten nicht erst für \( t\,\rightarrow\,\infty \) bzw. \( n\,\rightarrow\,\infty \), sonst wäre kurzzeitig ein Energiegewinn erzielbar. Die Verlustlosigkeitsbedingung verwendet dagegen bewusst \( t\,\rightarrow\,\infty \) bzw. \( n\,\rightarrow\,\infty \), da hier nur gefordert wird, dass am Ende alle Energie wieder abgegeben wird.

     

  • Dynamische und gedächtnislose Systeme

     

    Dynamische Systeme
    Definition von dynamischen Systemen:
    Ein System wird als dynamisch bezeichnet, wenn die Ausgangssignale \(y_r(t_0)\) nicht nur von den Eingängen \(v_l(t_0)\) zu den Zeitpunkten \(t=t_0\), sondern auch von \(t\neq t_0\) abhängen. Analog dazu gilt für diskrete Systeme, wenn \(y_r(n_0)\) nicht nur von \(v_l(n=n_0)\), sondern auch von \(v_l(n\neq n_0)\) abhängt.

    Daraus folgt, dass das System außer den "aktuellen" Eingangssignalen auch Signalwerte zu anderen Zeiten \(t\) bzw. \(n\) kennt. Das bedeutet, dass ein dynamisches System Speicher enthält, welche für \(t \leq t_0 \) bzw. \(n \leq n_0 \) Werte „links“ von \( t_0 \) bzw. \( n_0 \) aufnehmen (Zeitdeutung: Vergangenheit) und bzw. oder für \( t>t_0 \) bzw. \( n > n_0 \) Werte "rechts" von \( t_0 \) bzw. \( n_0 \) aufnehmen (Zeitdeutung: Zukunft).

     

    Gedätnislose Systeme

    Unabhängig vom Zeitbezug \( t \) bzw. \( n \) spricht man auch vom Gedächtnis des Systems. Nicht-dynamische Systeme heißen daher gedächtnislose Systeme.

     

  • Kausale und nichtkausale Systeme

    Definition von kausalen Systemen:
    Ein System wird als kausal bezeichnet, wenn im Kontinuierlichen \(\boldsymbol{b}(t_0)\) nur von \(v(t \leq t_0)\) oder im Diskreten \(\boldsymbol{b}(n_0)\) nur von \(v(n \leq n_0)\) abhängt. Das System ist also nur von Werten "links" von \(t_0\) bzw. \(n_0\), d.h. von der Vergangenheit abhängig.

    Ein System wird als nicht-kausal bezeichnet, wenn die eben genannte Definition nicht gilt.

    Hängt ein System nur von den Werten "rechts" von \(t_0\) bzw. \(n_0\) ab, d.h. nur von der Zukunft, so wird es als anti-kausal bezeichnet.

     

    Anmerkungen:
    • Dynamische, kausale Systeme haben ein Gedächtnis im "üblichen" Sinn, d.h. sie greifen nur auf Informationen bzw. Signalabschnitte aus der Gegenwart und Vergangenheit zurück (nicht auf zukünftige Signale).
    • Passive Systeme sind aufgrund der Definition und der Folgebedingung auch kausal. Aber nicht jedes kausale System ist auch passiv!
    • Häufig findet man die Vorstellung, dass reale Systeme auch kausal sein müssen (erst die Anregung bzw. Ursache, dann die Reaktion bzw. Wirkung). Das stimmt im Generellen nur bedingt, d.h. bei einem sog. Echtzeitbezug. Wird dieser nicht mehr gefordert (z.B. rückwärts laufendes Tonband oder Bildfilterungen in positiver und negativer x- bzw. y-Richtung), so kommt Nichtkausalität auch in realen, technischen Systemen vor.
    • Gelegentlich werden auch Signale (nicht Systeme) als kausal bzw. nicht- oder anti-kausal bezeichnet. Eine bessere Bezeichnung hierfür, die wir auch in dieser und im Teil 2 dieser Vorlesung verwenden werden, sind rechtsseitige, linksseitige, bzw. zweiseitige Signale.

     

  • Lineare und nichtlineare Systeme

    Sollten Systeme die Eigenschaft "linear" (und oftmals auch gleichzeitig "zeit- bzw. verschiebungsinvariant" - dies behandeln wir im nächsten Abschnitt) sein, so können diese mit einer Vielzahl von Werkzeugen analysiert werden. Daher ist diese Eigenschaft von besonderem Interesse. Wir starten zunächst wieder mit der Definition der Eigenschaft.

    Definition von linearen Systemen:
    Lineare Systeme sind definiert durch die Gültigkeit des Überlagerungssatzes: \begin{equation}S\left\{ \sum\limits_{l\,\,=\,\,-\infty}^{\infty} \alpha_l\,v_l(...)\right\} \,\,=\,\, \sum\limits_{l\,\,=\,\,-\infty}^{\infty} \alpha_l\,S\Big\{ v_l(...) \Big\}.\end{equation}

    Folgende Graphik stellt eine Veranschaulichung für diskrete Systeme dar.

     
     
    \( S\{...\} \)
    \( S\{...\} \)
    \( S\{...\} \)
    \( v_0(n) \)
    \( v_1(n) \)
    \( a_0 \)
    \( a_1 \)
    \( a_0 \)
    \( a_1 \)
    \( y_0(n) \,=\, S \big\{ v_0(n) \big\} \)
    \( y_3(n) \,=\, \alpha_0 \, y_0(n) + \alpha_1 \, y_1(n) \)
    \( \begin{aligned} y_4(n) &= S \big\{ \alpha_0\,v_0(n) + \alpha_1\,v_1(n) \big\} \\ &= y_3(n) \end{aligned} \)
    ...nur bei
    Linearität
    \( y_1(n) \,=\, S \big\{ v_1(n) \big\} \)
    Fig. 3: Graphische Veranschaulichung eines Linearitätstests. 
     

     

    Anmerkungen:
    • Für nichtlineare Systeme gilt der Überlagerungssatz nicht!
    • Nichtlinearität kann durchaus erwünscht sein (z.B. Gitarrenverstärker, Audioeffekte, usw.).
    • Lineare Systeme sind sehr wichtig, obwohl viele reale Systeme nichtlinear sind, weil es hierfür eine weitreichende allgemeine Theorie gibt und weil sich nichtlineare Systeme oft approximativ (Modellierung) linearisieren lassen (z.B. Transistor im „Arbeitspunkt“). Nichtlinearität führt unter Umständen zu gewissen Effekten. Dies sind aber Symptome der fehlenden Linearität – Ursache ist die Ungültigkeit des Überlagerungssatzes.

     

  • Verschiebungsinvariante und verschiebungsvariante Systeme

    Wieder starten wir zunächst mit einer Definition der Systemeigenschaft.

    Definition des Begriffs "Verschiebungsinvarianz":

    Ein System wird dann als verschiebungsinvariant bezeichnet, wenn es in der Reihenfolge der Anordnung mit einer Signalverschiebung vertauscht werden darf. Dies bedeutet im Kontinuierlichen:

    \begin{equation} S \big\{ \boldsymbol{v}(t-\tau) \big\} \,\,=\,\, \boldsymbol{y}(t-\tau),\end{equation}

    Im Diskreten gilt dann entsprechend:

    \begin{equation} S \big\{ \boldsymbol{v}(n-\kappa) \big\} \,\,=\,\, \boldsymbol{y}(n-\kappa).\end{equation}

    Verschiebungsvariante Systeme erfüllen die o.g. Bedingungen nicht! Folgende Graphik stellt eine Veranschaulichung für diskrete Systeme dar:

     
     
    \( S\{...\} \)
    \( S\{...\} \)
    \( v(n) \)
    \(z^{- \kappa} \)
    Verschiebung
    \( z^{-\kappa} \)
    Verschiebung
    \( y(n-\kappa) \)
    \( S \big\{ v(n-\kappa) \big\} \)
    \( =\,\, y(n-\kappa)\)
    ... nur bei Verschiebungs-
    invarianz!
    Fig. 4: Graphische Veranschaulichung der Eigenschaft "verschiebungsinvariant." 
     
    Anmerkungen:
    • Bei Zeitbezug im Argument der Signale spricht man auch von Zeitvarianz bzw. Zeitinvarianz.
    • Reale Systeme sind häufig nicht (streng) verschiebungsinvariant / zeitinvariant (z.B. aufgrund von Alterung). Solche Systeme können aber näherungsweise als verschiebungsinvariant angesehen werden.
    • Für verschiebungsinvariante Systeme reicht die „allgemeine“ Systemtheorie weiter, insbesondere für lineare, verschiebungsinvariante Systeme. Diese werden im Englische linear time-invariant systems (LTI-Systeme) genannt.
    • Verschiebungsinvarianz ist unabhängig von Linearität. Daher wurden in der Beispielanordnung auf den Linearitätsfolien drei parallele Systeme gleichzeitig angeordnet.
    • Verschiebungsvarianz erzeugt u.U. ähnliche Effekte/Symptome wie Nichtlinearität. Sie kann sehr wohl auch erwünscht sein.

     

  • Stabilität

    Definition des Begriffs "Stabilität":
    Ein System, das auf beschränkte Eingangssignale mit beschränkten Ausgangssignalen reagiert, wird als stabil bezeichnet. Im Englischen wird dies als "bounded input / bounded output" bezeichnet. Hieraus resultiert der Begriff der BIBO-Stabilität.

    Für Systeme mit einem Eingang und einem Ausgang bedeutet das, dass im Kontinuierlichen für

    \begin{equation*}\big| v(t) \big| \le M_1 < \infty,\,\,\forall\,t \end{equation*}

    Folgendes gelten muss:

    \begin{equation*} \big| y(t) \big| \le M_2 < \infty,\,\,\forall\,t.\end{equation*}

    Für

    \begin{equation*}\big| v(n) \big| \le M_1 <\infty,\,\,\forall\,n\end{equation*}

    muss analog dazu im Diskreten

    \begin{equation*}\big| y(n) \big| \le M_2 < \infty,\,\,\forall\,n\end{equation*}

    gelten. Das Ganze lässt sich auch auf Systeme mit \(L \) Eingängen und \(R\) Ausgängen übertragen. Für

    \begin{equation*}\big| v_l(t) \big| \le M_1 <\infty,\,\,\forall\,t,l\end{equation*}

    muss im Kontinuierlichen das Kriterium

    \begin{equation*}\big| y_r(t) \big| \le M_2 < \infty,\,\,\forall\,t,r\end{equation*}

    erfüllt sein. Im Diskreten folgt daraus, dass für

    \begin{equation*}\big| v_l(n) \big| \le M_1 <\infty,\,\,\forall\,n,l\end{equation*}

    die Bedingung

    \begin{equation*}\big| y_r(n) \big| \le M_2 < \infty,\,\,\forall\,n,r\end{equation*}

    gelten muss.

 

Verständnisfragen

 

Wie prüfen Sie, ob ein System linear ist? Was können Sie über die Linearität folgender Systeme aussagen: \(y(t) = a\,v(t)+b\,v(t-t_0)\) bzw. \(y(n) = a\,v(n-n_0)+b\)?

Lineare Systeme sind durch die Gültigkeit des Überlagerungssatzes definiert. Demnach ist das erstes Systsem linear, das zweite aufgrund des vorhandenen Offsets \(b\) nicht.

Was können Sie über die Verschiebungsinvaranz der Systeme y(t) = a v(t-t0) bzw. y(n) = a v²(n) aussagen?

Beide Systeme sind verschiebungsinvariant, da es hier egal ist, ob zuerst eine zeitliche verschiebung des Einganssignals stattfindet und dann das System angewendet wird oder umgekehrt.

Welche (verschiedenen) Bedeutungen ordnen Sie dem Begriff Dynamik bzw. Systemdynamik zu? Welche wollen wir hier in der Vorlesung verwenden?

Ein dynamisches System, ist ein System, dessen Ausgangssignale zum aktuellen Zeitpunkt nicht nur von den aktuellen Eingangssignalen abhängen. Die Ausgangssignale dynamischer Systeme können von Eingangssignalen aus der Vergangenheit (gedätnisbehaftetes System) oder von Eingangssignalen aus der Zukunft abhängen. In der Vorlesung wollen wir gedätnisbehaftete Systeme verwenden.

 

Nächster Teil: Signale - Teil 1

Übersicht zur Einleitung

 

Weitere Kapitel

  • Signale
  • Fourier-Reihe und DFT
  • Fourier-Tranformation
  • Laplace und z-Tranformation
  • Lineare Systeme
  • Modulation
  • Zufallsprozesse und zugehörige Spektren
  • Zufallsprozesse und Systeme
  • Idealisierte Systeme
  • Zustandsraum
  • Ergänzungen

 

Folien zur Einleitung

Pdf-Datei

 

Übungen zur Einleitung

Hier finden Sie einige Übungsaufgaben.

Contact

Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt

E-Mail: gus@tf.uni-kiel.de

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Faculty of Engineering
Institute for Electrical Engineering and Information Engineering
Digital Signal Processing and System Theory

Kaiserstr. 2
24143 Kiel, Germany

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