Signale und Systeme - Lineare Systeme

1. Systemantworten

Aufgabenstellung

Gegeben ist das folgende System, beschrieben durch die Systemantwort \(y(t)\) auf die Systemanregung \(v(t)\):
\(
    y(t) = S\{v(t)\} = \int_{-\infty}^t v(\tau) \, e^{-\alpha(t-\tau)}d\tau,
\)

  1. Bestimmen Sie die Impulsantwort \(h_0(t)=S\{\delta_0(t)\}\) des Systems und skizzieren Sie diese.
  2. Bestimmen Sie die Sprungantwort \(h_{-1}(t)=S\{\delta_{-1}(t)\}\) des Systems und skizzieren Sie diese.
  3. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Laplace-Transformierten \(H_0(s)\) und \(H_{-1}(s)\) von Impuls- und Sprungantwort?

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

  1. \[ \displaystyle h_0(t) = e^{-\alpha t}\cdot \delta_{-1}(t)\]
  2. \[\displaystyle h_{-1}(t) = \frac{1-e^{-\alpha t}}{\alpha} \, \delta_{-1}(t)\]
  3. \[\displaystyle H_{-1}(s) = \frac{1}{s} \, H_0(s)\]

1. Laplace-Transformation, Pol- und Nullstellen

Aufgabenstellung

Bekannt seien die Pol- und Nullstellen des Systems mit der Übertragungsfunktion \(H_1(s)\) wie in der Abbildung dargestellt.

  1. Ergänzen Sie (eine minimale Anzahl) Polstellen (\(\times\)) und Nullstellen (\(\circ\)), so dass \(H_1(s)\) reellwertig ist und zeichnen Sie das resultierende Pol-/Nullstellendiagramm.
  2. Wie lautet die Übertragungsfunktion \(H_1(s)\) des reellwertigen Systems? \\ Es gelte: \(H_1(s=1)=1\).
  3. Ist das so bestimmte System stabil (Begründung)?

Das System werde nun in Reihe geschaltet mit einem zweiten System mit der Über"-tragungs"-funktion \(H_2(s)\), dessen Sprungantwort
\[
     h_{-1,2}(t)=t\cdot\delta_{-1}(t)
\]
bekannt sei. Das Blockdiagramm des auf diese Weise erzeugten Systems ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

  1.      Wie lautet die Übertragungsfunktion \(H(s)\) des Gesamtsystems?
  2.     Was für ein System stellt \(H(s)\) dar? Geben Sie seinen Betragsfrequenzgang \(|H(j\omega)|\) ohne zu rechnen an.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

  1. Nullstellen: \(s_{01}^\ast = 1-j\) und \(s_{02}^\ast = -2+2j\)
    Polstellen: \(s_{\infty 1}^\ast = -1-j\) und

    \(s_{\infty 2}^\ast = -2-2j\)

  2. \(\displaystyle H_1(s) = 5\cdot \frac{s \big( s-(1+j) \big) \big( s-(1-j) \big)}{\big( s-(-1+j) \big)\big( s-(-1-j) \big)}\)
  3. Das System ist nicht stabil.
  4. \(\displaystyle H(s) = 5\cdot \frac{ \big( s-(1+j) \big) \big( s-(1-j) \big)}{\big( s-(-1+j) \big)\big( s-(-1-j) \big)} \)
  5.  Das System \(H(s)\) stellt ein Allpassfilter dar. Es gilt \(|H(s)| = 5\).