Signale und Systeme - Laplace- und z-Tranformation

1. Laplace-Transformation

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte \(V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\}\) der folgenden Signale und geben Sie jeweils das Konvergenzgebiet an:

  1. \[ v(t) = \left\{\begin{array}{r@{\qquad ,\quad}l} 1 & ,|t| < T\\ 0 & ,\mbox{sonst}\\ \end{array} \right.\]
  2. \[v(t) = \left\{\begin{array}{r@{\qquad ,\quad}l} e^{at} & ,t \geq 0\\ 0 & ,\mbox{sonst}\\ \end{array} \right. \hspace{1cm}(a \in \mathbb{R})\]
  3. \[v(t) = \left\{\begin{array}{r@{\qquad ,\quad}l} t\;e^{at} & ,t \geq 0\\ 0 & ,\mbox{sonst}\\ \end{array} \right. \hspace{1cm}(a \in \mathbb{R})\]

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  1. \[ \frac{e^{sT} - e^{-sT}}{s} \quad \forall \; s\in\mathbb{C} \]
  2. \[ \frac{1}{s-a} \quad \forall \; \textrm{Re}\left\{s\right\} = \sigma > a\]
  3. \[\frac{1}{(a-s)^2} \quad \forall \; \textrm{Re}\left\{s\right\} = \sigma > a\]

2. z-Transformation

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die z-Transformierten der Folgen:

  1. \[\displaystyle v(n)=\begin{cases} 1 &, \; |n|\leq N\\ 0 &, \; \text{sonst} \end{cases} \]

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  1. \[ V(z) = \frac{z^{N+1}-z^{-N}}{z-1} \quad \forall z\neq1 \]
  2. \[ V(z) = z^2 + 2z + 3 + 2z^{-1} + z^{-2} \quad \forall z \]

3. z-Transformation

Aufgabenstellung

Gegeben sei die Folge \(v(n)\) mit ihrer z-Transformierten \(V(z)\). Berechnen Sie die z-Transformierte der folgenden Folgen in Abhängigkeit von \(V(z)\):

    \(\displaystyle v_1(n) = v(-n)\)
    \(\displaystyle v_2(n) = v^*(n)\)
    \(\displaystyle v_3(n) = \frac{1}{2}[v(n)+v(-n)]\)

Setzen Sie die Ergebnisse in Zusammenhang mit den bekannten Symmetriebeziehungen der Laplacetransformation.

 

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

 

4. Inverse z-Transformation (Teil 1)

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die Rücktransformierten \[v_{\kappa}(n)\] der z-Transformierten

\[ V_{\kappa}(z) = \frac{z^{\lambda}}{(z-z_\infty)^{\kappa+1}} \]

explizit für \(\lambda=1\) und \(\kappa\in\{0,\,1,\,2\}\). Verwenden Sie dazu die aus der Vorlesung bekannte Korrespondenz

\[ \mathcal{Z} \Bigg\{ \binom{n+\lambda-1 }{\kappa} z_\infty^{n+\lambda-\kappa-1} \cdot \gamma_{-1}(n+\lambda-\kappa-1) \Bigg\} = \frac{z^\lambda}{(z-z_\infty)^{\kappa+1}} \qquad, \; |z|>|z_\infty|. \]

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  1. Fall 1 (\(\kappa=0\)): \[ v_0(n) = z_\infty^{n} \; \gamma_{-1}(n) \]
  2. Fall 2 (\(\kappa=1\)): \[ v_1(n) = n \, z_\infty^{n-1} \; \gamma_{-1}(n-1) = n \, z_\infty^{n-1} \; \gamma_{-1}(n) \]
  3. Fall 3 (\(\kappa=2\)): \[v_2(n) = \frac{(n-1)n}{2} \; z_\infty^{n-2} \; \gamma_{-1}(n-2) = \frac{(n-1)n}{2} \; z_\infty^{n-2} \; \gamma_{-1}(n) \]

5. Inverse z-Transformation (Teil 2)

Aufgabenstellung

Gegeben sei die Übertragungsfunktion

\[ H(z) = \frac{Y(z)}{V(z)} = \frac{23\,z^3\; -\; 34\,z^2\; -\; 28\,z\; +\; 56}{z^5\;-\;5\,z^4\;+\;6\,z^3\;+\;4\,z^2\;-\;8\,z}. \]

eines zeitdiskreten LTI-Systems. Hierbei sind \(V(z)\) und \(Y(z)\) die z-Transformierten der Eingangs- bzw. Ausgangsfolgen des Systems.

  1. Welche Beziehung besteht zwischen den beiden Folgen \(y(n)\) und \(v(n)\) im Zeitbereich?
  2. Bestimmen Sie die Impulsantwort \(h_0(n)=\mathcal{Z}^{-1}\{H(z)\}\) mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 45 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  1. \[y(n+5) = 23\,v(n+3) - 34\,v(n+2) - 28\,v(n+1) + 56\,v(n)+ 5\,y(n+4) - 6\,y(n+3) - 4\,y(n+2) + 8\,y(n+1) \]

    Für gewöhnlich wird der aktuellste Ausgangswert ohne Verschiebung dargestellt, was durch die Substitution \(m=n+5\) erreicht werden kann:

    \[y(m) = 23\,v(m-2) - 34\,v(m-3) - 28\,v(m-4) + 56\,v(m-5) + 5\,y(m-1) - 6\,y(m-2) - 4\,y(m-3) + 8\,y(m-4). \]
  2. \[ h_0(n) = -7\gamma_0(n-1) + \left[ (-1)^{n+1} + 2^n + 4n\cdot2^{n-1} + 2n(n-1)\cdot2^{n-2}\right] \gamma_{-1}(n)\]