1. Fouriertransformation
Aufgabenstellung
Bestimmen Sie die Fourier-Transformierten der folgenden kontinuierlichen Signale.
- \(\displaystyle v(t)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 , & |t| \leq T \\ 0, & \mbox{sonst} \end{array}\right.\)
- \(\displaystyle v(t)=\frac{\sin(\omega_0 t)}{\omega_0 t}\)
- \(\displaystyle v(t)=e^{-\alpha t} \cdot \delta_{-1}(t)\)
- \(\displaystyle v(t)=\cos(\omega_0 t)\)
- s. Abbildung
Umfang und Schwierigkeitsgrad
- Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
- Schwierigkeitsgrad: mittel
Lösung
2. Fouriertransformation für diskrete Signal
Aufgabenstellung
Bestimmen Sie die Fourier-Transformierten der folgenden zeitdiskreten Signale.
- \(\displaystyle v(n)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 , & |n| \leq N \\ 0, & \mbox{sonst} \end{array}\right.\)
- \(\displaystyle v(n)=e^{-\alpha n} \cdot \gamma_{-1}(n)\)
- \(\displaystyle v(n)=\left\{ \begin{array}{ccc} 1-\frac{|n|}{N} &,& |n| \leq N \\ 0 &,& \mbox{sonst} \end{array}\right.\)
Umfang und Schwierigkeitsgrad
- Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
- Schwierigkeitsgrad: mittel
Lösung
- \( V(e^{j\Omega}) = \begin{cases} \frac{\sin\big( \Omega(N+\frac12) \big)}{\sin\left( \frac{\Omega}{2} \right)} &, \textrm{für } \Omega\neq2\pi\lambda \\ 2N + 1 &, \textrm{sonst} \end{cases} \)
- \(V(e^{j\Omega}) = \frac{e^{j\Omega}}{e^{j\Omega}-e^{-\alpha}}\) für \(\alpha>0\). Für \(\alpha\leq0\) konvergiert die Summe nicht, d.h., die Fourier-Transformierte existiert nicht.
- \(V(e^{j\Omega}) = \begin{cases} \frac{1}{N} \frac{1}{1-e^{-j\Omega}}\left[ \frac{1-e^{j\Omega N}}{1-e^{j\Omega}} - \frac{1-e^{-j\Omega (N+1)}}{1-e^{-j\Omega}} +1\right] &, \textrm{für } \Omega\neq2\pi\lambda \\ N &, \textrm{sonst} \end{cases}\)
3. Faltung kontinuierlicher Signale
Aufgabenstellung
Berechnen Sie die Faltungsintegrale \(v(t) = v_1(t) * v_2(t)\) der folgenden Funktionen:
-
\(v_1(t) = \left\{\begin{array}{r@{\qquad ,\quad}l} 1 & -T_1 \leq t \leq T_1\\ 0 & \mbox{sonst}\\ \end{array} \right.\)
\(v_2(t) = \left\{\begin{array}{r@{\qquad ,\quad}l} 1 & -T_2 \leq t \leq T_2\\ 0 & \mbox{sonst}\\ \end{array} \right. \qquad (T_1 \geq T_2)\)
-
\(v_1(t) = e^{-at}\cdot \delta_{-1}(t)\qquad \textrm{, mit } a>0 \)
\( v_2(t) = e^{-bt}\cdot \delta_{-1}(t)\qquad \textrm{, mit } b>0\)
-
\(v_1(t) = \delta_0(t-t_0)\)
\(v_2(t) = x(t)\) (eine beliebige Funktion)
Umfang und Schwierigkeitsgrad
- Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
- Schwierigkeitsgrad: mittel
Lösung
- \(v(t) = \begin{cases} T_1 + T_2 + t &, -(T_1+T_2) \leq t < T_2-T_1 \\ 2T_2 &, T_2-T_1 \leq t < T_1-T_2 \\ T_1 + T_2 - t &, T_1-T_2 \leq t < T_1+T_2 \\ 0 &, \textrm{sonst} \end{cases}\)
- \(v(t) = \begin{cases} \frac{1}{a-b}\left(e^{-bt} - e^{-at}\right) &, t \geq 0 \\ 0 &, \textrm{sonst} \end{cases}\)
- \(v(t) = x(t-t_0)\)
4. Faltung diskreter Signale
Aufgabenstellung
Berechnen Sie das Faltungsprodukt \(v(n)=v_1(n) * v_2(n)\) der beiden Folgen \(v_1(n)\) und \(v_2(n)\):
\(v_1(n) = \rho_1^n \cdot \gamma_{-1}(n)\qquad \textrm{, mit } 0 < \rho_1 < 1\)
\(v_2(n) = \rho_2^n \cdot \gamma_{-1}(n)\qquad \textrm{, mit } 0 < \rho_2 < 1\)
Umfang und Schwierigkeitsgrad
- Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
- Schwierigkeitsgrad: mittel
Lösung
\(v(n) = \begin{cases}\frac{\rho_2^{n+1} - \rho_1^{n+1}}{ \rho_2 - \rho_1} \, \gamma_{-1}(n) &, \rho_1 \neq \rho_2 \\(n+1) \, \rho^n \, \gamma_{-1}(n) &, \rho_1 = \rho_2 = \rho \end{cases}\)
5. Lineare und zyklische Faltung
Aufgabenstellung
Gegeben sind die zwei auf \(M=5\) Werte beschränkten Folgen \(v_1(n)\) und
\(v_2(n)\) mit
\(
v_1(n) = \{ 5,4,3,2,1 \}\)
\(
v_2(n) = \{ 1,2,3,4,5 \}
\)
- Berechnen Sie die lineare Faltung \(v_\textrm{l}(n)\) der beiden Folgen \(v_1(n)\) und \(v_2(n)\).
- Berechnen Sie die zyklische Faltung \(v_\textrm{z}(n)\) der Länge 5 der beiden Folgen \(v_1(n)\) und \(v_2(n)\).
- Wie kann die zyklische Faltung mit Hilfe der linearen Faltung berechnet werden?
- Wie kann die zyklische Faltung effizient berechnet werden?