Signale und Systeme - Fouriertransformationen

1. Fouriertransformation

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die Fourier-Transformierten der folgenden kontinuierlichen Signale.

  1. \(\displaystyle v(t)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 , & |t| \leq T \\ 0, & \mbox{sonst}  \end{array}\right.\)
  2. \(\displaystyle v(t)=\frac{\sin(\omega_0 t)}{\omega_0 t}\)
  3. \(\displaystyle v(t)=e^{-\alpha t} \cdot \delta_{-1}(t)\)
  4. \(\displaystyle v(t)=\cos(\omega_0 t)\)
  5. s. Abbildung

 

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

2. Fouriertransformation für diskrete Signal

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die Fourier-Transformierten der folgenden zeitdiskreten Signale.

  1. \(\displaystyle v(n)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 , & |n| \leq N \\ 0, & \mbox{sonst}  \end{array}\right.\)
  2. \(\displaystyle v(n)=e^{-\alpha n} \cdot \gamma_{-1}(n)\)
  3. \(\displaystyle v(n)=\left\{ \begin{array}{ccc} 1-\frac{|n|}{N}  &,& |n| \leq N  \\ 0 &,& \mbox{sonst}  \end{array}\right.\)

 

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  • \( V(e^{j\Omega}) = \begin{cases} \frac{\sin\big( \Omega(N+\frac12) \big)}{\sin\left( \frac{\Omega}{2} \right)} &, \textrm{für } \Omega\neq2\pi\lambda \\ 2N + 1 &, \textrm{sonst} \end{cases} \)
  • \(V(e^{j\Omega}) = \frac{e^{j\Omega}}{e^{j\Omega}-e^{-\alpha}}\) für \(\alpha>0\). Für \(\alpha\leq0\) konvergiert die Summe nicht, d.h., die Fourier-Transformierte existiert nicht.
  • \(V(e^{j\Omega}) = \begin{cases} \frac{1}{N} \frac{1}{1-e^{-j\Omega}}\left[ \frac{1-e^{j\Omega N}}{1-e^{j\Omega}} - \frac{1-e^{-j\Omega (N+1)}}{1-e^{-j\Omega}} +1\right] &, \textrm{für } \Omega\neq2\pi\lambda \\ N &, \textrm{sonst} \end{cases}\)

3. Faltung kontinuierlicher Signale

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die Faltungsintegrale \(v(t) = v_1(t) * v_2(t)\) der folgenden Funktionen:

  • \(v_1(t) = \left\{\begin{array}{r@{\qquad  ,\quad}l} 1 & -T_1 \leq t \leq T_1\\     0 & \mbox{sonst}\\     \end{array}     \right.\)  

      \(v_2(t) = \left\{\begin{array}{r@{\qquad  ,\quad}l}   1 & -T_2 \leq t \leq T_2\\       0 & \mbox{sonst}\\     \end{array}       \right. \qquad   (T_1 \geq T_2)\)

  • \(v_1(t) = e^{-at}\cdot \delta_{-1}(t)\qquad \textrm{, mit } a>0 \)

    \( v_2(t) = e^{-bt}\cdot \delta_{-1}(t)\qquad \textrm{, mit } b>0\)

  • \(v_1(t) = \delta_0(t-t_0)\)

    \(v_2(t) = x(t)\) (eine beliebige Funktion)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  • \(v(t) = \begin{cases} T_1 + T_2 + t &, -(T_1+T_2) \leq t < T_2-T_1 \\ 2T_2 &, T_2-T_1 \leq t < T_1-T_2 \\ T_1 + T_2 - t &, T_1-T_2 \leq t < T_1+T_2 \\ 0 &, \textrm{sonst} \end{cases}\)
  • \(v(t) = \begin{cases} \frac{1}{a-b}\left(e^{-bt} - e^{-at}\right) &, t \geq 0 \\ 0 &, \textrm{sonst} \end{cases}\)
  • \(v(t) = x(t-t_0)\)

4. Faltung diskreter Signale

Aufgabenstellung

Berechnen Sie das  Faltungsprodukt \(v(n)=v_1(n) * v_2(n)\) der  beiden Folgen \(v_1(n)\) und \(v_2(n)\):

\(v_1(n) = \rho_1^n \cdot \gamma_{-1}(n)\qquad \textrm{, mit } 0 < \rho_1 < 1\)

\(v_2(n) = \rho_2^n \cdot \gamma_{-1}(n)\qquad \textrm{, mit } 0 < \rho_2 < 1\)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

\(v(n) = \begin{cases}\frac{\rho_2^{n+1} - \rho_1^{n+1}}{ \rho_2 - \rho_1} \, \gamma_{-1}(n) &, \rho_1 \neq \rho_2 \\(n+1) \, \rho^n \, \gamma_{-1}(n) &, \rho_1 = \rho_2 = \rho \end{cases}\)

 

5. Lineare und zyklische Faltung

Aufgabenstellung

Gegeben sind die zwei auf \(M=5\) Werte beschränkten Folgen \(v_1(n)\) und
\(v_2(n)\) mit
\(
  v_1(n) = \{ 5,4,3,2,1 \}\)

\(
  v_2(n) = \{ 1,2,3,4,5 \}
\)

  1. Berechnen Sie die lineare Faltung \(v_\textrm{l}(n)\) der beiden Folgen \(v_1(n)\) und \(v_2(n)\).
  2. Berechnen Sie die zyklische Faltung \(v_\textrm{z}(n)\) der Länge 5 der beiden Folgen \(v_1(n)\) und \(v_2(n)\).
  3. Wie kann die zyklische Faltung mit Hilfe der linearen Faltung berechnet werden?   
  4. Wie kann die zyklische Faltung effizient berechnet werden?

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

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