Signale und Systeme - Fouriertransformationen

1. Fouriertransformation

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die Fourier-Transformierten der folgenden kontinuierlichen Signale.

  1. \(\displaystyle v(t)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 , & |t| \leq T \\ 0, & \mbox{sonst}  \end{array}\right.\)
  2. \(\displaystyle v(t)=\frac{\sin(\omega_0 t)}{\omega_0 t}\)
  3. \(\displaystyle v(t)=e^{-\alpha t} \cdot \delta_{-1}(t)\)
  4. \(\displaystyle v(t)=\cos(\omega_0 t)\)
  5. s. Abbildung

 

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

2. Fouriertransformation für diskrete Signal

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die Fourier-Transformierten der folgenden zeitdiskreten Signale.

  1. \(\displaystyle v(n)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 , & |n| \leq N \\ 0, & \mbox{sonst}  \end{array}\right.\)
  2. \(\displaystyle v(n)=e^{-\alpha n} \cdot \gamma_{-1}(n)\)
  3. \(\displaystyle v(n)=\left\{ \begin{array}{ccc} 1-\frac{|n|}{N}  &,& |n| \leq N  \\ 0 &,& \mbox{sonst}  \end{array}\right.\)

 

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  • \( V(e^{j\Omega}) = \begin{cases} \frac{\sin\big( \Omega(N+\frac12) \big)}{\sin\left( \frac{\Omega}{2} \right)} &, \textrm{für } \Omega\neq2\pi\lambda \\ 2N + 1 &, \textrm{sonst} \end{cases} \)
  • \(V(e^{j\Omega}) = \frac{e^{j\Omega}}{e^{j\Omega}-e^{-\alpha}}\) für \(\alpha>0\). Für \(\alpha\leq0\) konvergiert die Summe nicht, d.h., die Fourier-Transformierte existiert nicht.
  • \(V(e^{j\Omega}) = \begin{cases} \frac{1}{N} \frac{1}{1-e^{-j\Omega}}\left[ \frac{1-e^{j\Omega N}}{1-e^{j\Omega}} - \frac{1-e^{-j\Omega (N+1)}}{1-e^{-j\Omega}} +1\right] &, \textrm{für } \Omega\neq2\pi\lambda \\ N &, \textrm{sonst} \end{cases}\)

3. Faltung kontinuierlicher Signale

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die Faltungsintegrale \(v(t) = v_1(t) * v_2(t)\) der folgenden Funktionen:

  • \(v_1(t) = \left\{\begin{array}{r@{\qquad  ,\quad}l} 1 & -T_1 \leq t \leq T_1\\     0 & \mbox{sonst}\\     \end{array}     \right.\)  

      \(v_2(t) = \left\{\begin{array}{r@{\qquad  ,\quad}l}   1 & -T_2 \leq t \leq T_2\\       0 & \mbox{sonst}\\     \end{array}       \right. \qquad   (T_1 \geq T_2)\)

  • \(v_1(t) = e^{-at}\cdot \delta_{-1}(t)\qquad \textrm{, mit } a>0 \)

    \( v_2(t) = e^{-bt}\cdot \delta_{-1}(t)\qquad \textrm{, mit } b>0\)

  • \(v_1(t) = \delta_0(t-t_0)\)

    \(v_2(t) = x(t)\) (eine beliebige Funktion)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  • \(v(t) = \begin{cases} T_1 + T_2 + t &, -(T_1+T_2) \leq t < T_2-T_1 \\ 2T_2 &, T_2-T_1 \leq t < T_1-T_2 \\ T_1 + T_2 - t &, T_1-T_2 \leq t < T_1+T_2 \\ 0 &, \textrm{sonst} \end{cases}\)
  • \(v(t) = \begin{cases} \frac{1}{a-b}\left(e^{-bt} - e^{-at}\right) &, t \geq 0 \\ 0 &, \textrm{sonst} \end{cases}\)
  • \(v(t) = x(t-t_0)\)

4. Faltung diskreter Signale

Aufgabenstellung

Berechnen Sie das  Faltungsprodukt \(v(n)=v_1(n) * v_2(n)\) der  beiden Folgen \(v_1(n)\) und \(v_2(n)\):

\(v_1(n) = \rho_1^n \cdot \gamma_{-1}(n)\qquad \textrm{, mit } 0 < \rho_1 < 1\)

\(v_2(n) = \rho_2^n \cdot \gamma_{-1}(n)\qquad \textrm{, mit } 0 < \rho_2 < 1\)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

\(v(n) = \begin{cases}\frac{\rho_2^{n+1} - \rho_1^{n+1}}{ \rho_2 - \rho_1} \, \gamma_{-1}(n) &, \rho_1 \neq \rho_2 \\(n+1) \, \rho^n \, \gamma_{-1}(n) &, \rho_1 = \rho_2 = \rho \end{cases}\)

 

4. Lineare und zyklische Faltung

Aufgabenstellung

Gegeben sind die zwei auf \(M=5\) Werte beschränkten Folgen \(v_1(n)\) und
\(v_2(n)\) mit
\(
  v_1(n) = \{ 5,4,3,2,1 \}\)

\(
  v_2(n) = \{ 1,2,3,4,5 \}
\)

  1. Berechnen Sie die lineare Faltung \(v_\textrm{l}(n)\) der beiden Folgen \(v_1(n)\) und \(v_2(n)\).
  2. Berechnen Sie die zyklische Faltung \(v_\textrm{z}(n)\) der Länge 5 der beiden Folgen \(v_1(n)\) und \(v_2(n)\).
  3. Wie kann die lineare Faltung mit Hilfe der zyklischen Faltung berechnet werden?   
  4. Wie kann die zyklische Faltung effizient berechnet werden?

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

xxx

 

Website News

20.01.2017: Talk from Dr. Sander-Thömmes added.

12.01.2018: New RED section on Trend Removal added.

29.12.2017: Section Years in Review added.

28.12.2017: Update of our SONAR section.

03.12.2017: Added pictures from our Sylt meeting.

Recent Publications

T. O. Wisch, T. Kaak, A. Namenas, G. Schmidt: Spracherkennung in stark gestörten Unterwasserumgebungen, Proc. DAGA 2018

S. Graf, T. Herbig, M. Buck, G. Schmidt: Low-Complexity Pitch Estimation Based on Phase Differences Between Low-Resolution Spectra, Proc. Interspeech, pp. 2316 -2320, 2017

Contact

Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt

E-Mail: gus@tf.uni-kiel.de

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
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Digital Signal Processing and System Theory

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New PhDs in the DSS Team

Since January this year we have two new PhD students in the team: Elke Warmerdam and Finn Spitz.

Elke is from Amsterdam and she works in the neurology department in the university hospital in the group of Prof. Maetzler. Her research topic is movement analysis of patients with neurologic disorders. Elke cooperates with us in signal processing related aspects of her research. Elke plays ...


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