Signale und Systeme - Fourierreihen und DFT

1. Fourierkoeffizienten

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten \(c_\mu\) der folgenden Signale:

  1. \(\displaystyle v_{\text{D}}(t) = \begin{cases}          
                                - \frac{2}{T}\ t,  &  -\frac{T}{2} \leq t < 0\\
                                \frac{2}{T}\ t, &   0 \leq t < \frac{T}{2}
                                \end{cases}
                                \quad \textrm{mit } v_{\text{D}}(t) = v_{\text{D}}(t+\lambda T),\; \lambda \in \mathbb{Z}  \)
  2. \(\displaystyle  v_{\text{R}}(t) = \begin{cases}
                                k, & 0 < t \leq \frac{T}{2}\\
                                -k, & \frac{T}{2} < t \leq T\\
                                \end{cases}
                                \quad \textrm{mit }v_{\text{R}}(t) = v_{\text{R}}(t+\lambda T),\; k \in \mathbb{R},\; \lambda \in \mathbb{Z}\)
  3. s. Abbildung

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  1. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                 c_\mu = - \frac{1}{\left(\mu \pi\right)^2} \big[1-\cos(\mu\pi)\big]
                                    = \begin{cases}
                                    - \frac{2}{\left(\mu \pi\right)^2}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    \frac{1}{2},                        & \mu = 0 \\
                                    0,                                  & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)
    Der obere Fall gilt also für alle ungeraden \(\mu\), der untere für alle geraden \(\mu\).
  2. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                c_\mu = \begin{cases}
                                    - j\frac{2k}{\mu \pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    0,                     & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)
    Für die äquivalente Darstellung als trigonometrische Fourier-Reihe gilt
                                  
                                    \(
                                    a_\mu = 0, \; \forall \mu \)<br>
                                    \(
                                    c_0   = \frac{a_0}{2} = 0 \)<br>
                                    \(
                                    b_\mu = \begin{cases}
                                    \frac{4k}{\mu \pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    0,                     & \textrm{sonst}
                                    \end{cases} \)
  3. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                c_\mu = \begin{cases}
                                    - \frac{2}{\left(\mu \pi\right)^2} + j \frac{4}{\mu\pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    \frac{1}{2},                                             & \mu = 0 \\
                                    0,                                                       & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)

2. DFT

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die DFT (Diskrete Fopurier-Transformation der unten angegebenen Folgen \(v(n)\) der Länge \(M\):

  1.  \(v(n) = \gamma_0(n-k)\)      \(k \in \{0,1,...,M-1\}\)
  2.  \(v(n) = \cos(\Omega_0 n)\)    \(\Omega_0 \in \{1,2,....M-1\}\)
  3.   \(v(n) = \begin{cases} 1&\text{,}0\leq n \leq e-1\\0& \text{,}e \leq n \leq M-1 \end{cases}\)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

 

3. Fourierkoeffizienten

Aufgabenstellung

Gegeben ist das periodische Signal \(v(t)\) wie in der Abbildung skizziert.

Bestimmen Sie die Fourier-Reihenkoeffizienten \(c_\mu\) des Signals \(v(t)\) einschließlich des Gleichanteils \(c_0\).

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

Das Signal \(v(t)\) formelmäßig ausdrücken:
\[
v(t)=t+1 \quad \textrm{für } -1 \leq t < 1 \quad\textrm{ und } v(t)=v(t+\lambda T), \textrm{ mit Periode } T \textrm{ und } \lambda\in\mathbb{Z}
\]

Einsetzen in die Definitionsgleichung:
\[
c_\mu = \frac{1}{T} \int_0^T v(t) \cdot e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\ dt
= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} (t+1) \cdot e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\ dt \\
= \frac{1}{T} \left[ \underbrace{\int_{-T/2}^{T/2} t \cdot e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\ dt}_{A} + \underbrace{\int_{-T/2}^{T/2} e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\ dt }_{B}\right]
\]

Bestimmung des Ausdrucks A mit partieller Integration: \(\int u' v = u\, v - \int u\, v'\) (hier also \(u'= e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\) und \(v=t\))


\[
\int_{-T/2}^{T/2} t \cdot e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\ dt
= \left. -\frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}}\cdot e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t} \cdot t \right|_{-T/2}^{T/2}-\int_{-T/2}^{T/2} \left( -\frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}}\right)\cdot e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\ dt \\
= -\frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}}\cdot \frac{T}{2} \left[ e^{-j\mu\pi} +e^{j\mu\pi} \right] - \left.\left( \frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}}\right)^2 \cdot e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t} \right|_{-T/2}^{T/2}\\
= \bigg\{ \textrm{mit \(T=2\) (kann aus der Skizze für \(v(t)\) abgelesen werden)}\bigg\} \\
= - \frac{2}{j\mu\pi} \cdot \cos(\mu\pi) - \left( \frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{2}}\right)^2 \cdot \underbrace{\left[e^{-j\mu\pi} - e^{j\mu\pi} \right]}_{=0}\\
= - \frac{2}{j\mu\pi} \cdot \cos(\mu\pi) = \frac{j2}{\mu\pi} \cdot \cos(\mu\pi)
\]

Bestimmung des Ausdrucks B:
\[
\int_{-T/2}^{T/2} e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\ dt =\left. - \frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}}\cdot e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t} \right|_{-T/2}^{T/2} = - \frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}} \left[ e^{-j\mu\pi} - e^{j\mu\pi}\right] =0
\]

Oben eingesetzt mit \(T=2\):
\[
c_\mu =\frac{1}{T}\cdot \frac{j}{\mu\pi} \cdot \cos(\mu\pi)
=\frac{j}{\mu\pi} \cdot \cos(\mu\pi) = \frac{j}{\mu\pi} \cdot (-1)^\mu
\]
Gleichanteil/Mittelwert:
\[
c_0 = \frac{1}{T} \int_0^T v(t) \ dt = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} (t+1) \ dt = \frac{1}{T} \left[ \frac{1}{2}t^2 +t \right]_{-T/2}^{T/2}\\
= \frac{1}{T} \cdot \left[ \frac{T^2}{8} + \frac{T}{2} - \frac{T^2}{8} + \frac{T}{2} \right] = 1
\]

4. Fourier-Reihe, Abtastung, diskrete Fourier-Transformation

Aufgabenstellung

Gegeben ist das kontinuierliche Signal \(v_0(t)=\cos^2\left(\frac{2\pi}{T}  t\right)\). 

  • Geben Sie die Fourierreihen-Koeffizienten von \(v_0(t)\) an. 

Die Folge \(v(n)\) entsteht nun durch Abtastung des Signals \(v_0(t)\). Die Abtastperiode ist dabei \(T_A=T/4\).

  • Ist das Abtasttheorem erfüllt? 
  • Geben Sie die DFT \(V_M(\mu)\) der Folge \(v(n)\) an. Benutzen Sie dabei die Definitionsgleichung der DFT mit der Größe \(M=4\).
  • Bestimmen Sie jetzt die DFT anhand des Überlagerungssatzes der DFT.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 45 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  • Es gilt:\[c_0 = \frac12,\, c_2 = \frac14 ,\, c_{-2} = \frac14 ,\, c_\mu = 0 \;\forall \mu\in\mathbb{Z}\backslash\{-2,\,0,\,2\} \] bzw.
  • \[c_0 = \frac12,\, a_2 = \frac12 ,\, a_\mu = 0 \;\forall \mu\in\mathbb{Z}\backslash\{0,\,2\},\, b_\mu = 0 \;\forall \mu \] für die trigonometrische Fourier-Reihe.
  • Das Abtasttheorem ist erfüllt. Für das abgetastete Signal gilt 
  • \[ v(n) = \begin{cases} 1 &, \textrm{ falls \(n\) gerade} \\    0 &, \textrm{ falls \(n\) ungerade.} \end{cases} \] 
  • \[V_4(\mu) = \begin{cases} 2 &, \textrm{ für } \mu=0 \\   0 &, \textrm{ für } \mu=1 \\             2 &, \textrm{ für } \mu=2 \\       0 &, \textrm{ für } \mu=3.  \end{cases}\]

 

  • Siehe vorherige Aufgabe.