1. Fourierkoeffizienten
Aufgabenstellung
Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten \(c_\mu\) der folgenden Signale:
- \(\displaystyle v_{\text{D}}(t) = \begin{cases}
- \frac{2}{T}\ t, & -\frac{T}{2} \leq t < 0\\
\frac{2}{T}\ t, & 0 \leq t < \frac{T}{2}
\end{cases}
\quad \textrm{mit } v_{\text{D}}(t) = v_{\text{D}}(t+\lambda T),\; \lambda \in \mathbb{Z} \) - \(\displaystyle v_{\text{R}}(t) = \begin{cases}
k, & 0 < t \leq \frac{T}{2}\\
-k, & \frac{T}{2} < t \leq T\\
\end{cases}
\quad \textrm{mit }v_{\text{R}}(t) = v_{\text{R}}(t+\lambda T),\; k \in \mathbb{R},\; \lambda \in \mathbb{Z}\) - s. Abbildung
Lösung
- Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
\( c_\mu = - \frac{1}{\left(\mu \pi\right)^2} \big[1-\cos(\mu\pi)\big]
= \begin{cases}
- \frac{2}{\left(\mu \pi\right)^2}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
\frac{1}{2}, & \mu = 0 \\
0, & \textrm{sonst}
\end{cases}
\)
Der obere Fall gilt also für alle ungeraden \(\mu\), der untere für alle geraden \(\mu\).
- Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
\( c_\mu = \begin{cases}
- j\frac{2k}{\mu \pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
0, & \textrm{sonst}
\end{cases}
\)
Für die äquivalente Darstellung als trigonometrische Fourier-Reihe gilt
\(
a_\mu = 0, \; \forall \mu \)<br>
\(
c_0 = \frac{a_0}{2} = 0 \)<br>
\(
b_\mu = \begin{cases}
\frac{4k}{\mu \pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
0, & \textrm{sonst}
\end{cases} \)
- Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
\( c_\mu = \begin{cases}
- \frac{2}{\left(\mu \pi\right)^2} + j \frac{4}{\mu\pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
\frac{1}{2}, & \mu = 0 \\
0, & \textrm{sonst}
\end{cases}
\)
