Signale und Systeme - Fourierreihen und DFT

1. Fourierkoeffizienten

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten \(c_\mu\) der folgenden Signale:

  1. \(\displaystyle v_{\text{D}}(t) = \begin{cases}          
                                - \frac{2}{T}\ t,  &  -\frac{T}{2} \leq t < 0\\
                                \frac{2}{T}\ t, &   0 \leq t < \frac{T}{2}
                                \end{cases}
                                \quad \textrm{mit } v_{\text{D}}(t) = v_{\text{D}}(t+\lambda T),\; \lambda \in \mathbb{Z}  \)
  2. \(\displaystyle  v_{\text{R}}(t) = \begin{cases}
                                k, & 0 < t \leq \frac{T}{2}\\
                                -k, & \frac{T}{2} < t \leq T\\
                                \end{cases}
                                \quad \textrm{mit }v_{\text{R}}(t) = v_{\text{R}}(t+\lambda T),\; k \in \mathbb{R},\; \lambda \in \mathbb{Z}\)
  3. s. Abbildung

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  1. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                 c_\mu = - \frac{1}{\left(\mu \pi\right)^2} \big[1-\cos(\mu\pi)\big]
                                    = \begin{cases}
                                    - \frac{2}{\left(\mu \pi\right)^2}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    \frac{1}{2},                        & \mu = 0 \\
                                    0,                                  & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)
    Der obere Fall gilt also für alle ungeraden \(\mu\), der untere für alle geraden \(\mu\).
  2. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                c_\mu = \begin{cases}
                                    - j\frac{2k}{\mu \pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    0,                     & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)
    Für die äquivalente Darstellung als trigonometrische Fourier-Reihe gilt
                                  
                                    \(
                                    a_\mu = 0, \; \forall \mu \)<br>
                                    \(
                                    c_0   = \frac{a_0}{2} = 0 \)<br>
                                    \(
                                    b_\mu = \begin{cases}
                                    \frac{4k}{\mu \pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    0,                     & \textrm{sonst}
                                    \end{cases} \)
  3. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                c_\mu = \begin{cases}
                                    - \frac{2}{\left(\mu \pi\right)^2} + j \frac{4}{\mu\pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    \frac{1}{2},                                             & \mu = 0 \\
                                    0,                                                       & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)

2. DFT

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die DFT (Diskrete Fopurier-Transformation der unten angegebenen Folgen \(v(n)\) der Länge \(M\):

  1.  \(v(n) = \gamma_0(n-k)\)      \(k \in \{0,1,...,M-1\}\)
  2.  \(v(n) = \cos(\Omega_0 n)\)    \(\Omega_0 \in \{1,2,....M-1\}\)
  3.   \(v(n) = \begin{cases} 1&\text{,}0\leq n \leq e-1\\0& \text{,}e \leq n \leq M-1 \end{cases}\)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

 

3. Fourierkoeffizienten

Aufgabenstellung

Gegeben ist das periodische Signal \(v(t)\) wie in der Abbildung skizziert.

Bestimmen Sie die Fourier-Reihenkoeffizienten \(c_\mu\) des Signals \(v(t)\) einschließlich des Gleichanteils \(c_0\).

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

Das Signal \(v(t)\) formelmäßig ausdrücken:

\( v(t)=t+1 \quad \textrm{für } -1 \leq t < 1 \quad\textrm{ und } v(t)=v(t+\lambda T), \textrm{ mit Periode } T \textrm{ und } \lambda\in\mathbb{Z} \)

Mithilfe der Definitionsgleichung, der partieller Integration und \(T=2\) folgt: 

\(  c_\mu =\frac{1}{T}\cdot \frac{j}{\mu\pi} \cdot \cos(\mu\pi)  =\frac{j}{\mu\pi} \cdot \cos(\mu\pi) = \frac{j}{\mu\pi} \cdot (-1)^\mu \)

Für den Gleichanteil/Mittelwert gilt:

\( c_0 = \frac{1}{T}  \int_0^T v(t) \ dt = \frac{1}{T}  \int_{-T/2}^{T/2} (t+1) \ dt =  \frac{1}{T}  \left[ \frac{1}{2}t^2 +t \right]_{-T/2}^{T/2}     = \frac{1}{T} \cdot \left[ \frac{T^2}{8} + \frac{T}{2} - \frac{T^2}{8} + \frac{T}{2} \right] = 1\)

4. Fourier-Reihe, Abtastung, diskrete Fourier-Transformation

Aufgabenstellung

Gegeben ist das kontinuierliche Signal \(v_0(t)=\cos^2\left(\frac{2\pi}{T}  t\right)\). 

  • Geben Sie die Fourierreihen-Koeffizienten von \(v_0(t)\) an. 

Die Folge \(v(n)\) entsteht nun durch Abtastung des Signals \(v_0(t)\). Die Abtastperiode ist dabei \(T_A=T/4\).

  • Ist das Abtasttheorem erfüllt? 
  • Geben Sie die DFT \(V_M(\mu)\) der Folge \(v(n)\) an. Benutzen Sie dabei die Definitionsgleichung der DFT mit der Größe \(M=4\).
  • Bestimmen Sie jetzt die DFT anhand des Überlagerungssatzes der DFT.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 45 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  • Es gilt:\[c_0 = \frac12,\, c_2 = \frac14 ,\, c_{-2} = \frac14 ,\, c_\mu = 0 \;\forall \mu\in\mathbb{Z}\backslash\{-2,\,0,\,2\} \] bzw.
  • \[c_0 = \frac12,\, a_2 = \frac12 ,\, a_\mu = 0 \;\forall \mu\in\mathbb{Z}\backslash\{0,\,2\},\, b_\mu = 0 \;\forall \mu \] für die trigonometrische Fourier-Reihe.
  • Das Abtasttheorem ist erfüllt. Für das abgetastete Signal gilt 
  • \[ v(n) = \begin{cases} 1 &, \textrm{ falls \(n\) gerade} \\    0 &, \textrm{ falls \(n\) ungerade.} \end{cases} \] 
  • \[V_4(\mu) = \begin{cases} 2 &, \textrm{ für } \mu=0 \\   0 &, \textrm{ für } \mu=1 \\             2 &, \textrm{ für } \mu=2 \\       0 &, \textrm{ für } \mu=3.  \end{cases}\]

 

  • Siehe vorherige Aufgabe.

Website News

03.03.2018: Team wall added.

28.02.2018: News wall added.

20.01.2017: Talk from Dr. Sander-Thömmes added.

12.01.2018: New RED section on Trend Removal added.

29.12.2017: Section Years in Review added.

Recent Publications

T. O. Wisch, T. Kaak, A. Namenas, G. Schmidt: Spracherkennung in stark gestörten Unterwasserumgebungen, Proc. DAGA 2018

S. Graf, T. Herbig, M. Buck, G. Schmidt: Low-Complexity Pitch Estimation Based on Phase Differences Between Low-Resolution Spectra, Proc. Interspeech, pp. 2316 -2320, 2017

Contact

Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt

E-Mail: gus@tf.uni-kiel.de

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Faculty of Engineering
Institute for Electrical Engineering and Information Engineering
Digital Signal Processing and System Theory

Kaiserstr. 2
24143 Kiel, Germany

Recent News

Biosignals Workshop in Erfurt

Also in the week of DAGA but between the 21st to the 23rd March the Biosignals Workshop took place in the protestant monastery of St. Augustine in Erfurt. The topic was innovative processing of bioelectric and biomagnetic signals and was organized by the technical VDE committees „Biosignals“ and „Magnetic Methods in Medicine“. The DSS group (Christin and Eric) participated with two ...


Read more ...