Signale und Systeme - Fourierreihen und DFT

1. Fourierkoeffizienten

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten \(c_\mu\) der folgenden Signale:

  1. \(\displaystyle v_{\text{D}}(t) = \begin{cases}          
                                - \frac{2}{T}\ t,  &  -\frac{T}{2} \leq t < 0\\
                                \frac{2}{T}\ t, &   0 \leq t < \frac{T}{2}
                                \end{cases}
                                \quad \textrm{mit } v_{\text{D}}(t) = v_{\text{D}}(t+\lambda T),\; \lambda \in \mathbb{Z}  \)
  2. \(\displaystyle  v_{\text{R}}(t) = \begin{cases}
                                k, & 0 < t \leq \frac{T}{2}\\
                                -k, & \frac{T}{2} < t \leq T\\
                                \end{cases}
                                \quad \textrm{mit }v_{\text{R}}(t) = v_{\text{R}}(t+\lambda T),\; k \in \mathbb{R},\; \lambda \in \mathbb{Z}\)
  3. s. Abbildung

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  1. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                 c_\mu = - \frac{1}{\left(\mu \pi\right)^2} \big[1-\cos(\mu\pi)\big]
                                    = \begin{cases}
                                    - \frac{2}{\left(\mu \pi\right)^2}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    \frac{1}{2},                        & \mu = 0 \\
                                    0,                                  & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)
    Der obere Fall gilt also für alle ungeraden \(\mu\), der untere für alle geraden \(\mu\).
  2. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                c_\mu = \begin{cases}
                                    - j\frac{2k}{\mu \pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    0,                     & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)
    Für die äquivalente Darstellung als trigonometrische Fourier-Reihe gilt
                                  
                                    \(
                                    a_\mu = 0, \; \forall \mu \)<br>
                                    \(
                                    c_0   = \frac{a_0}{2} = 0 \)<br>
                                    \(
                                    b_\mu = \begin{cases}
                                    \frac{4k}{\mu \pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    0,                     & \textrm{sonst}
                                    \end{cases} \)
  3. Es gilt für die komplexen Koeffizienten der Fourier-Reihe:
    \(                                c_\mu = \begin{cases}
                                    - \frac{2}{\left(\mu \pi\right)^2} + j \frac{4}{\mu\pi}, & \mu = 2k+1,\, k\in \mathbb{Z}\\
                                    \frac{1}{2},                                             & \mu = 0 \\
                                    0,                                                       & \textrm{sonst}
                                    \end{cases}
                                    \)

2. DFT

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die DFT (Diskrete Fopurier-Transformation der unten angegebenen Folgen \(v(n)\) der Länge \(M\):

  1.  \(v(n) = \gamma_0(n-k)\)      \(k \in \{0,1,...,M-1\}\)
  2.  \(v(n) = \cos(\Omega_0 n)\)    \(\Omega_0 \in \{1,2,....M-1\}\)
  3.   \(v(n) = \begin{cases} 1&\text{,}0\leq n \leq e-1\\0& \text{,}e \leq n \leq M-1 \end{cases}\)

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

 

3. Fourierkoeffizienten

Aufgabenstellung

Gegeben ist das periodische Signal \(v(t)\) wie in der Abbildung skizziert.

Bestimmen Sie die Fourier-Reihenkoeffizienten \(c_\mu\) des Signals \(v(t)\) einschließlich des Gleichanteils \(c_0\).

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 25 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

Das Signal \(v(t)\) formelmäßig ausdrücken:

\( v(t)=t+1 \quad \textrm{für } -1 \leq t < 1 \quad\textrm{ und } v(t)=v(t+\lambda T), \textrm{ mit Periode } T \textrm{ und } \lambda\in\mathbb{Z} \)

Mithilfe der Definitionsgleichung, der partieller Integration und \(T=2\) folgt: 

\(  c_\mu =\frac{1}{T}\cdot \frac{j}{\mu\pi} \cdot \cos(\mu\pi)  =\frac{j}{\mu\pi} \cdot \cos(\mu\pi) = \frac{j}{\mu\pi} \cdot (-1)^\mu \)

Für den Gleichanteil/Mittelwert gilt:

\( c_0 = \frac{1}{T}  \int_0^T v(t) \ dt = \frac{1}{T}  \int_{-T/2}^{T/2} (t+1) \ dt =  \frac{1}{T}  \left[ \frac{1}{2}t^2 +t \right]_{-T/2}^{T/2}     = \frac{1}{T} \cdot \left[ \frac{T^2}{8} + \frac{T}{2} - \frac{T^2}{8} + \frac{T}{2} \right] = 1\)

4. Fourier-Reihe, Abtastung, diskrete Fourier-Transformation

Aufgabenstellung

Gegeben ist das kontinuierliche Signal \(v_0(t)=\cos^2\left(\frac{2\pi}{T}  t\right)\). 

  • Geben Sie die Fourierreihen-Koeffizienten von \(v_0(t)\) an. 

Die Folge \(v(n)\) entsteht nun durch Abtastung des Signals \(v_0(t)\). Die Abtastperiode ist dabei \(T_A=T/4\).

  • Ist das Abtasttheorem erfüllt? 
  • Geben Sie die DFT \(V_M(\mu)\) der Folge \(v(n)\) an. Benutzen Sie dabei die Definitionsgleichung der DFT mit der Größe \(M=4\).
  • Bestimmen Sie jetzt die DFT anhand des Überlagerungssatzes der DFT.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 45 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

  • Es gilt:\[c_0 = \frac12,\, c_2 = \frac14 ,\, c_{-2} = \frac14 ,\, c_\mu = 0 \;\forall \mu\in\mathbb{Z}\backslash\{-2,\,0,\,2\} \] bzw.
  • \[c_0 = \frac12,\, a_2 = \frac12 ,\, a_\mu = 0 \;\forall \mu\in\mathbb{Z}\backslash\{0,\,2\},\, b_\mu = 0 \;\forall \mu \] für die trigonometrische Fourier-Reihe.
  • Das Abtasttheorem ist erfüllt. Für das abgetastete Signal gilt 
  • \[ v(n) = \begin{cases} 1 &, \textrm{ falls \(n\) gerade} \\    0 &, \textrm{ falls \(n\) ungerade.} \end{cases} \] 
  • \[V_4(\mu) = \begin{cases} 2 &, \textrm{ für } \mu=0 \\   0 &, \textrm{ für } \mu=1 \\             2 &, \textrm{ für } \mu=2 \\       0 &, \textrm{ für } \mu=3.  \end{cases}\]

 

  • Siehe vorherige Aufgabe.

Website News

20.01.2017: Talk from Dr. Sander-Thömmes added.

12.01.2018: New RED section on Trend Removal added.

29.12.2017: Section Years in Review added.

28.12.2017: Update of our SONAR section.

03.12.2017: Added pictures from our Sylt meeting.

Recent Publications

T. O. Wisch, T. Kaak, A. Namenas, G. Schmidt: Spracherkennung in stark gestörten Unterwasserumgebungen, Proc. DAGA 2018

S. Graf, T. Herbig, M. Buck, G. Schmidt: Low-Complexity Pitch Estimation Based on Phase Differences Between Low-Resolution Spectra, Proc. Interspeech, pp. 2316 -2320, 2017

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Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt

E-Mail: gus@tf.uni-kiel.de

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Faculty of Engineering
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Digital Signal Processing and System Theory

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24143 Kiel, Germany

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Since January this year we have two new PhD students in the team: Elke Warmerdam and Finn Spitz.

Elke is from Amsterdam and she works in the neurology department in the university hospital in the group of Prof. Maetzler. Her research topic is movement analysis of patients with neurologic disorders. Elke cooperates with us in signal processing related aspects of her research. Elke plays ...


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