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Signale and Systeme – Systembeschreibung im Zustandsraum

Inhalt

Systembeschreibung im Zustandsraum
Grundlagen
Speicherelemente
"Anwendungen" für die Zustandsraumdarstellung
Von der Differenzengleichung zur Zustandsraumbeschreibung
Signalflussgraphen
Übertragungs-, Impulsantwort- und Übertragungsmatrizen
Zusammenhang mit der Zustandsdarstellung
Form der Matrizen

Systembeschreibung im Zustandsraum

Grundlagen

Einschränkungen

Die in diesem Kapitel angestellten Überlegungen beschränken sich auf lineare, verschiebungsinvariante, dynamische, kausale Systeme.

Bisheriges Vorgehen:

Es wurde eine Eingangs-Ausgangs-Beschreibung

SystemKont
\(h_0(t)\)
\(h_0(n)\)
\(H(j\omega)\)
\(H(e^{j\Omega})\)
\(v(t)\)
\(v(n)\)
\(y(t)\)
\(y(n)\)
\(\,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\,\)
\(\,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\,\)
... oben: kontinuierlich
... unten: diskret

als bekannt angenommen. Das "Innenleben" des Systems wurde z.B. durch seine Impulsantwort oder durch seinen Frequenzgang beschrieben.

Netzwerkanalyse und -synthese:

Ist ein (z.B. elektronisches) System gegeben (z.B. eine Schaltung mit R-,L-,C- Elementen), so ermittelt man dabei oftmals "innere" Größen (z.B. Ströme und Spannungen) und bestimmt daraus dann die Übertragungsfunktion oder die Impulsantwort.

⇒ Dies wird verallgemeinert als "Netzwerkanalyse" bezeichnet.

Ist umgekehrt die Systembeschreibung in Form einer Eingangs-Ausgangs-Beziehung, z.B. mittels des Frequenzgangs, gegeben, so kann daraus auf den Aufbau im "Inneren" geschlossen werden und z.B. für elektronische Systeme eine Schaltungsrealisierung vorgeschlagen werden.

⇒ Dies wird verallgemeinert als "Netzwerksynthese" bezeichnet.

Im Folgenden geschieht eine abstrakte Beschreibung des "Innenlebens" mit einer allgemeingültigen Beschreibungsform und einer unmittelbaren Realisierungsmöglichkeit mit Hilfe bestimmter (auch elektronisch aufgebauter) Grundbausteine.

Beschreibung eines Systems im Zustandsraum:

Allgemeine Annahme:

Der "Zustand eines Systems" ändert sich in Abhängigkeit vom "Ist-Zustand" des Systems \(x(t)\) bzw. \(x(n)\) und von der äßeren Einwirkung der Eingangssignale: \begin{equation*}\begin{aligned} v_l(t)\,\, \text{bzw.}\,\, v_l(n) \,\,\text{mit} \,\,l ∈ \{0,1,...,L-1\}. \end{aligned}\end{equation*}

Die Eingangssignale werden im Eingangsvektor

Definition Eingangsvektor:
\begin{equation*}\begin{aligned} \textbf{v}(t) &= [v_0(t),v_1(t),...,v_{L-1}(t)]^T\,\,\\ \textbf{v}(n) &= [v_0(n),v_1(n),...,v_{L-1}(n)]^T \end{aligned}\end{equation*}

zusammengefasst.

Die interessierenden Signale \(y_r(t)\) bzw. \(y_r(n)\) mit \(r ∈ \{0,1,...,R-1\}\) werden zum Ausgangsvektor

Definition Ausgangsvektor:
\begin{equation*}\begin{aligned} \textbf{y}(t) &= [y_0(t),y_1(t),...,y_{R-1}(t)]^T\\ \textbf{y}(n) &= [y_0(n),y_1(n),...,y_{R-1}(n)]^T \end{aligned}\end{equation*}

zusammengefasst.

Analog zum Eingangs- und Ausgangsvektor werden die einzelnen Systemzustände \(x_i(t)\) bzw. \(x_i(n)\) zu einem Zustandsvektor

Definition Ausgangsvektor:
\begin{equation*}\begin{aligned} \textbf{x}(t) &= [x_0(t),x_1(t),...,x_{N-1}(t)]^T \,\,\text{bzw.}\\ \textbf{x}(n) &= [x_0(n),x_1(n),...,x_{N-1}(n)]^T \end{aligned}\end{equation*}

zusammengefasst. Die einzelnen Zustände kann man sich als "Speichereinheiten" vorstellen (für die gesamte Vergangenheit). Sie sind verantwortlich für das weitere Verhalten des Systems, abgesehen von äußeren Einwirkungen. Die Zustände beschreiben somit das "Eigenverhalten" eines Systems.


Mit dieser Nomenklatur folgt die bereits im ersten Teil dieser Vorlesungskapitel eingeführte allgemeine Zustandsbeschreibung (siehe "Signale und Systeme 1). Für den kontinuierlichen Fall ergibt sich ein Differentialgleichungssystem: \begin{equation*}\begin{aligned} \pmb{\dot{x}}(t) &= f\Big(\textbf{x}(t),\textbf{v}(t)\Big),\\ \textbf{y} (t) &= g\Big(\textbf{x}(t),\textbf{v}(t)\Big). \end{aligned}\end{equation*}

Im diskreten Fall ergibt sich ein Differenzengleichungssystem: \begin{equation*}\begin{aligned} \textbf{x}(n+1) &=f\Big(\textbf{x}(n),\textbf{v}(n)\Big),\\ \textbf{y}(n) &=g\Big(\textbf{x}(n),\textbf{v}(n)\Big). \end{aligned}\end{equation*}

\(\longrightarrow\) Man beachte hierbei die zu Beginn dieses Abschnitts eingeführte Einschränkung auf lineare, verschiebungsinvariante, dynamische, kausale Systeme.
Als Folge davon müssen die Funktionen \(g(...)\) und \(f(...)\) linear in Bezug auf \(x(...)\) und \(v(...)\) sein. Außerdem dürfen die Parameter der Funktionen nicht von der Zeit abhängen (Verschiebungsinvarianz!).

Durch diese Einschränkung kann folgender Ansatz für die Zustandsbeschreibung von linearen, zeitinvarianten Systemen ansetzen.

Definition Zustandsbeschreibung und Ausgangsgleichung:
\begin{equation*}\begin{aligned} \pmb{\dot{x}} &= \textbf{Ax}(t) + \textbf{B}\,\textbf{v}(t), \\ \textbf{y}(t) &= \textbf{Cx}(t) + \textbf{D}\,\textbf{v}(t).\\ \textbf{x}(n+1) &= \textbf{A}\, \textbf{x}(n) + \textbf{B}\,\textbf{v}(n),\\ \textbf{y}(n) &= \textbf{C}\, \textbf{x}(n) + \textbf{D}\,\textbf{v}(n). \end{aligned}\end{equation*}

Die Größen \(\textbf{A}\),\(\textbf{B}\),\(\textbf{C}\) und \(\textbf{D}\) müssen offenbar Matrizen sein, welche Linearkombinationen der Elemente \(x_r(t)\) und \(v_l(t)\) bzw. \(x_r(n)\) und \(v_l(n)\) beschreiben. Die Dimensionen der Matrizen folgen aus dem o.g. Ansatz:

Beispiel für eine \([I \times J]\)-Matrix (I-Zeilen, J-Spalten): \begin{equation*}\begin{aligned} \textbf{M}\,\,=\,\,\left[ \begin{array}{cccccc} m_{0,0} & m_{0,1} & \dots & m_{0,j} & \dots & m_{0,J-1} \\ m_{1,0} & m_{1,1} & \dots & m_{1,j} & \dots & m_{1,J-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ m_{I-1,0} & m_{I-1,1} & \dots & m_{I-1,j} & \dots & m_{I-1,J-1} \end{array}\right] \end{aligned}\end{equation*} \begin{equation*}\begin{aligned} \textbf{M}:[I \times J]. \end{aligned}\end{equation*}



Übersichtsdarstellung für kontinuierliche Systeme:

SystemKont
\(\textbf{A}\)
\(\textbf{B}\)
\(\textbf{v}(t)\)
\(\textbf{v}(t)\)
\(\pmb{\dot{x}}(t)\)
\(\textbf{x}(t)\)
\(\textbf{x}(t)\)
\(\textbf{D}\)
\(\textbf{C}\)
\(\textbf{y}(t)\)
N Speicher- elemente

Übersichtsdarstellung für diskrete Systeme:

SystemKont
\(\textbf{A}\)
\(\textbf{B}\)
\(\textbf{v}(n)\)
\(\textbf{v}(n)\)
\(\textbf{x}(n+1)\)
\(\textbf{x}(n)\)
\(\textbf{x}(n)\)
\(\textbf{D}\)
\(\textbf{C}\)
\(\textbf{y}(n)\)
N Speicher- elemente

Bezeichnungen der einzelnen Gleichungen:

Bedeutung der einzelnen Matritzen:

Speicherelemente

Grundlagen (für kontinuierliche Systeme)

Speicherelemente sind "anschauliche" Realisierungen von Zustandsgrößen, die das Systemverhalten ohne äußere Einflüsse bestimmen. Diese Zustandsgrößen bescheiben in physikalischen Systemen (z.B. elektrischen oder mechanischen) im Allgemeinen die gespeicherte Energie.

Beispiele

In elektrischen Schaltungen tritt Energie in Form von elektrischen und magnetischen Feldern auf. Man muss hier also Kapazitäten und Induktivitäten betrachten.

Kapazität:

Induktivität:

Auch für mechanische Systeme kann man analoge Überlegungen anstellen - die Zusammenhänge lassen sich stets durch Integrierer-Bausteine beschreiben. Allgemein gilt dabei immer: \begin{equation*} x_i(t) \,\,= \int\limits_{\tau=-\infty}^{t}\!\! \dot x_i(\tau)\,d\tau . \end{equation*}

Im Laplace-Bereich lässt sich dies durch eine Multiplikation mit \(\frac{1}{s}\) darstellen!

Grundlagen (für diskrete Systeme)

Diskrete (bzw. digitale) Systeme enthalten keine Energiespeicher im selben Sinn wie kontinuierliche Systeme, sehr wohl aber Speicher im Sinne von (digitalen Daten-) Speicherzellen, die in einem Takt beschrieben und im nächsten Takt gelesen werden können:

\(\Rightarrow\)Im Takt \(n\) steht am Speicherausgang \(x_i(n)\) zur Verfügung, am Speichereingang liegt der Wert an, welcher im Takt \(n+1\) am Ausgang sein wird.

Damit wird eine Verzögerung oder allgemeiner eine Verschiebung beschrieben. Im z-Bereich entspricht dies einer Übertragungsfunktion von \begin{equation*} H(z)\,\,=\,\,\frac{1}{z}\,\,=\,\,z^{-1}. \end{equation*}

Übersichtsdarstellung im Frequenzbereich

Durch die Zusammenfassung der bisherigen Überlegungen ergibt sich das folgende Übersichtsdiagramm für die Zustandsraumdarstellung im Laplace- Bereich:

SystemKont
\(\textbf{A}\)
(Systemmatrix)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{B}\)
(Eingangsmatrix)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{v}(s)\)
\(\textbf{v}(s)\)
\(s\textbf{x}(s)\)
\(\textbf{x}(s)\)
\(\textbf{x}(s)\)
\(\textbf{D}\)
(Durchgangsmatrix)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{C}\)
(Ausgangsmatrix)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{y}(s)\)
\(\frac{1}{s}\)

Dabei gilt: \begin{equation*}\begin{aligned} \textbf{v}(s) &= \big[V_0(s),\,V_1(s),\,...,\,V_{L-1}(s) \big]^T\\ \textbf{x}(s) &= \big[X_0(s),\,X_1(s),\,...,\,X_{N-1}(s) \big]^T,\\ \textbf{y}(s) &= \big[Y_0(x),\,Y_1(s),\,...,\,Y_{R-1}(s) \big]^T. \end{aligned}\end{equation*}


Für den z-Bereich gilt folgende Übersicht:

SystemKont
\(\textbf{A}\)
(Systemmatrix)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{B}\)
(Eingangsmatrix)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{v}(z)\)
\(\textbf{v}(z)\)
\(z\textbf{x}(z)\)
\(\textbf{x}(z)\)
\(\textbf{x}(z)\)
\(\textbf{D}\)
(Durchgangsmatrix)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{C}\)
(Ausgangsmatrix)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{y}(z)\)
\(z^{-1}\)

Hier gilt: \begin{equation*}\begin{aligned} \textbf{v}(z) &= \big[V_0(z),\,V_1(z),\,...,\,V_{L-1}(z) \big]^T, \\ \textbf{x}(z) &= \big[X_0(z),\,X_1(z),\,...,\,X_{N-1}(z) \big]^T, \\ \textbf{y}(z) &= \big[Y_0(z),\,Y_1(z),\,...,\,Y_{R-1}(z) \big]^T. \\ \textbf{x}(z) &= \textbf{A}\, z^{-1}\,\textbf{x}(z) + \textbf{B}\,\,z^{-1}\,\textbf{v}(z),\\ \textbf{y}(z) &= \textbf{C}\, \textbf{x}(z) + \textbf{D}\,\textbf{v}(z). \end{aligned}\end{equation*}


"Anwendungen" für die Zustandsraumdarstellung

Kalman-Filter

Die folgenden Beispiele beruhen auf der Dissertation von Dr.-Ing. Henning Puder. Thematisch geht es dabei um eine Geräuschreduktion für ein Freisprechsystem im Kraftfahrzeug.

Anwendungsbeispiel:

Gibt es hier einen fertigen Graphen?

Im Rahmen der Arbeiten von Herrn Puder wurden autoregressive Sprachmodelle im Zustandsraum für Sprachsignale und für Geräusche verwendet.

SystemKont
\(\textbf{A}_b(n)\)
Zustandsraummodell für Hintergrundgeräusche (hier zeitveränderliche Modellparameter)
\(-\!\!\!-\!\!\!-\)
\(\textbf{A}_s(n)\)
Zustandsraummodell für Sprachsignale (hier zeitveränderliche Modellparameter)
\(-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\)
\(\textbf{b}_b\)
\(\textbf{b}_s\)
\(\textbf{c}_b\)
\(\textbf{c}_s\)
\(v_b(n)\)
\(v_s(n)\)
\(z^{-1}\)
\(y_b(n)\)
\(y_s(n)\)
\(y(n)\)
\(z^{-1}\)

Auf Basis der Zustandsraumdarstellung kann nun ein Algorithmus entwickelt werden, welcher das Nutzsignal optimal von der Störung trennt. Dieses sog. Kalman-Filter hat dabei folgende Eigenschaften:

Aufgrund dieser Eigenschaften wird dieses Optimalfilter sehr häufig eingesetzt. Vor allem in der Regelungstechnik spielt es eine wichtige Rolle.

Rudolf Emil Kàlmàn(Geboren: 19. Mai 1930 in Budapest) ist ein ungarisch-US-amerikanischer Mathematiker. Er entwickelte 1960 das nach ihm benannte Kalman-Filter.

Kàlmàn wurde in Budapest geboren, wanderte jedoch in die USA aus und studierte dort am Massachusetts Institute of Technology, wo er 1954 seinen Master-Titel erhielt. Einen Doktortitel erhielt er 1957 an der Columbia University, zu der er nach seinem Abschluss am MIT wechselte. Er arbeitete von 1958 bis 1964 am Institute for Advanced Study und erhielt 1964 eine Professur an der Stanford University. 1971 wechselte er als Direktor des Zentrums für mathematische Systemtheorie an die University of Florida. Gleichzeitig übernahm er die Leitung des Zentrums für mathematische Systemtheorie an der ETH Zürich. 1997 wurde er an der ETH Zürich emeritiert.

SystemKont

\(\small\text{Quelle: Wikipedia}\)

Struktur des Kalman-Filters für die Geräuschreduktionsanwendung:

SystemKont
\(\hat{\textbf{A}}_b(n)\)
Zustandsraummodell für Hintergrundgeräusche
\(-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\)
\(\hat{\textbf{A}}_s(n)\)
Zustandsraummodell für Sprachsignale
\(-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\)
\(\textbf{b}_b\)
\(\textbf{b}_s\)
\(\textbf{c}_b\)
\(\textbf{c}_s\)
\(v_b(n)\)
\(v_s(n)\)
\(z^{-1}\)
\(y_b(n)\)
\(y_s(n)\)
\(y(n)\)
\(z^{-1}\)
\(\textbf{A}_b(n)\)
Zustandsraummodell für Hintergrundgeräusche
\(-\!\!\!-\)
\(\textbf{A}_s(n)\)
Zustandsraummodell für Sprachsignale
\(-\!\!\!-\!\!\!-\)
\(\textbf{c}_b\)
\(\textbf{c}_s\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(-\hat{s}(n)\)
Kalman-Verstärkung
\(-\!\!\!-\!\!\!-\)
Sollen hier Hörbeispiele eingefügt werden?

Von der Differenzengleichung zur Zustandsraumbeschreibung

Differenzengleichung

Ein diskretes, lineares, verschiebungsinvariantes System mit einem Eingang und einem Ausgang kann durch folgende Differenzengleichung beschrieben werden: \begin{equation*}\begin{aligned} &y(n)+a_{1}\,y(n-1)+a_{2}\,y(n-2)+...+a_{N_1}\,y(n-N+1) \\ &\quad =\,\, b_0\,v(n) + \tilde b_{1} \, v(n-1) + \tilde b_{2} \,v(n-2)+ ... + \tilde b_{N-1} \,v(n-N+1). \end{aligned}\end{equation*}

Zustandsraumbeschreibung

Für die Zustandsraumbeschreibung suchen wir nun

Umwandlung zur Zustandsraumbeschreibung

Zunächst wird das System in einen sog. Durchgriff und ein durchgriffsfreies System aufgespalten. \begin{equation*}\begin{aligned} &\color{green}{y(n)}+a_{1}\,y(n-1)+a_{2}\,y(n-2)+...+a_{N-1}\,y(n-N+1) \\ &\quad =\,\, \color{red}{b_0\,v(n)} + \tilde b_{1} \, v(n-1) + \tilde b_{2} \,v(n-2)+ ... + \tilde b_{N-1} \,v(n-N+1)\\ & \quad \quad \Longrightarrow \\ & \quad \quad \quad \color{green}{y(n)} = \color{red}{d\,v(n)} + u(n) \\ & \quad \quad \quad \quad \text{mit} \\ & \quad \quad \quad d\,\,=\,\,b_0,\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{...mit der Umbenennung in den Durchgriffsparameter...}}} \\ & \quad \quad \quad \quad \text{und} \\ & \quad \quad \quad u(n)+a_{1}\,u(n-1)+a_{2}\,u(n-2)+...+a_{N-1}\,u(n-N+1) \\ & \quad \quad \quad \quad =\,\, b_{1} \, v(n-1) + b_{2} \,v(n-2)+ ... + b_{N-1}\,v(n-N+1).\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{...neue Differenzengleichung mit neuer Ausgangsbezeichnung und "}\text{Weglassen"}\text{ des Terms... \(b_0v(n)\)!}}} \end{aligned}\end{equation*}


Graphische Veranschaulichung:

SystemKont
\(v(n)\)
\(v(n)\)
\(y(n)\)
\(y(n)\)
\(u(n)\)
\(d\,=\,b_0\)
Ausgangssystem
\(-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\)
Lineares, zeitdiskretes, verschiebungsinvariantes, durchgriffsfreies System mit der Differenzengleichung:
\(-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\)
\(u(n)+a_1u(n-1)+a_2u(n-2)+...+a_{N-1}u(n-N+1)\)
\(=\, b_{1} \, v(n-1) + b_{2} \,v(n-2)+ ... + b_{N-1} \, v(n-N+1).\)








Zielstruktur für ein Eingangs- und ein Ausgangssignal:

SystemKont
\(\textbf{A}\)
(Systemmatrix)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{b}\)
(Eingangsvektor)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(v(n)\)
\(\textbf{x}(n+1)\)
\(\textbf{x}(n)\)
\(d\)
(Durchgriff)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{c}\)
(Ausgangsvektor)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(y(n)\)
\(z^{-1}\)

Bisheriges Ergebnis:

SystemKont
\(v(n)\)
\(b_0\)
\(y(n)\)
\(u(n)\)


Die neue Differenzengleichung wird nun von der sog. Direktform 1 in die Direktform 2 umgewandelt. Die Speicheerstellen der Direktform 2 enthalten die Zustandsspeicher.

Direktform 1:

SystemKont
\(v(n)\)
\(u(n)\)
\(0\)
\(b_1\)
\(b_2\)
\(b_{N-2}\)
\(b_{N-1}\)
\(-a_1\)
\(-a_2\)
\(-a_{N-2}\)
\(-a_{N-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)


Direktform 2:

SystemKont
\(v(n)\)
\(u(n)\)
\(0\)
\(b_1\)
\(b_2\)
\(b_{N-2}\)
\(b_{N-1}\)
\(-a_1\)
\(-a_2\)
\(-a_{N-2}\)
\(-a_{N-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(x(n+1)\)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(x(n)\)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(x(n-1)\)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(x(n-N+3)\)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(x(n-N+2)\)


Ausgehend von der Differenzengleichung des durchgriffsfreien Systems (Direktform 1) \begin{equation*}\begin{aligned} & u(n)+a_{1}\,u(n-1)+a_{2}\,u(n-2)+...+a_{N-1}\,u(n-N+1) \\ & \quad =\,\, b_{1} \, v(n-1) + b_{2} \,v(n-2)+ ... + b_{N-1}\,v(n-N+1). \end{aligned}\end{equation*}

wird diese nun wie folgt geschrieben (Direktform 2): \begin{equation*}\begin{aligned} u(n) &= b_{1}\,x(n)+b_{2}\,x(n-1)+...+b_{N-1}\,x(n-N+2), \\ x(n+1) &= v(n) - a_{1} \, x(n) - a_{2} \,x(n-1) - ... - a_{N-1}\,x(n-N+2). \end{aligned}\end{equation*}

Damit die Gleichung \(y(n) = d\,v(n) + u(n) \) erfüllt ist, wird \begin{equation*}\begin{aligned} u(n) &= \pmb{c}^T\,\pmb{x}(n), \end{aligned}\end{equation*}

mit der Ausgangsmatrix bzw. dem Ausgangsvektor \begin{equation*}\begin{aligned} \pmb{c} &= \big[\,b_1,\,...,\,b_{N-1}\big]^T \end{aligned}\end{equation*}

und dem Zustandsvektor \begin{equation*}\begin{aligned} \pmb{x}(n) &= \big[ x(n),\,x(n-1),\,...,\,x(n-N+2)\big]^T. \end{aligned}\end{equation*}

definiert.


Weiterhin gilt die Zielstruktur für ein Eingangs- und ein Ausgangssignal:

SystemKont
\(\textbf{A}\)
(Systemmatrix)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{b}\)
(Eingangsvektor)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(v(n)\)
\(\textbf{x}(n+1)\)
\(\textbf{x}(n)\)
\(d\)
(Durchgriff)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{c}\)
(Ausgangsvektor)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(y(n)\)
\(z^{-1}\)

Das bisherige Ergebnis bildet sich jetzt zu:

SystemKont
\(v(n)\)
\(b_0\)
\(y(n)\)
\(\textbf{x}(n)\)
\(\textbf{c}=[b_1,...,b_{N-1}]^T\)


Ausgehend von der Differenzengleichung des durchgriffsfreien Systems (Direktform 2) \begin{equation*}\begin{aligned} \pmb{x}(n+1) &= v(n) - a_{1} \, x(n) - a_{2} \,x(n-1) - ... - a_{N-1}\,x(n-N+2) \end{aligned}\end{equation*}

und der Definition des Zustandsvektors \begin{equation*}\begin{aligned} \pmb{x}(n) &= \big[ x(n),\,x(n-1),\,...,\,x(n-N+2)\big]^T, \end{aligned}\end{equation*}

wird diese nun in Matrix-Vektor-Schreibweise umgestellt: \begin{equation*}\begin{aligned} \underbrace{\left[ \begin{array}{c} x(n+1) \\ x(n) \\ \vdots \\ \!\!x(n-N+4)\!\! \\ \!\!x(n-N+3)\!\! \end{array}\right] }_{\pmb{x}(n+1)} &= \underbrace{\left[ \begin{array}{ccccc} -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{N-2} & -a_{N-1} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{array}\right]}_{\pmb{A}} \, \underbrace{\left[ \begin{array}{c} x(n) \\ x(n-1) \\ \vdots \\ x(n-N+3) \\ x(n-N+2) \end{array}\right]}_{\pmb{x}(n)}+ \underbrace{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]}_{\displaystyle{\pmb{b}}}\, v(n) \nonumber \\ \pmb{x}(n+1) &= \pmb{A}\,\pmb{x}(n) + \pmb{b}\,v(n). \end{aligned}\end{equation*}

Weiterhin gilt die Zielstruktur für ein Eingangs- und ein Ausgangssignal:

SystemKont
\(\textbf{A}\)
(Systemmatrix)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{b}\)
(Eingangsvektor)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(v(n)\)
\(\textbf{x}(n+1)\)
\(\textbf{x}(n)\)
\(d\)
(Durchgriff)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\textbf{c}\)
(Ausgangsvektor)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(y(n)\)
\(z^{-1}\)

Das Ergebnis ist nun schließlich:

SystemKont
\(v(n)\)
\(b_0\)
\(y(n)\)
\(\textbf{x}(n)\)
\(\textbf{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right]\)
\(\pmb{x}(n+1)\)
\(\pmb{A}=...\)
\(\textbf{c}=\left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\ \vdots\\b_{N-1}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\tilde{b}_1-b_0a_1\\ \tilde{b}_2-b_0a_2\\ \vdots\\ \tilde{b}_{N-1} -b_0a_{N-1}\end{array}\right]\)


Anmerkungen:

Fragen: Antworten:

Warum haben die FIR-Anteile der beiden Differenzengleichungen zu Beginn der Umwandlung zur Zustandsraumbeschreibung unterschiedliche Koeffizienten (\(\tilde{b}_i\) versus \(b_i\))?

Es wird nicht \(y\) sondern \(u\) zurück gekoppelt. Des weiteren wird der Durchgriff abgespalten.

Welcher Art von "Bauteil" entsprechen die Zustandsspeicher in der kontinuierlichen Zustandsraumdarstellung?

Die Zustandsspeicher in der kontinuierlichen Zustandsraumdarstellung gleichen einem Integrierer.

Welche Anwendungsfälle (außer Geräuschreduktion) können Sie für die Zustandsraumdarstellung bzw. Kalman-Filter nennen?

Ein Anwendungsfall wäre die Regelung von Größen.


Signalflussgraphen

Allgemeines

Ein Signalflussgraph ist ein Hilfsmittel zur vereinfachten Darstellung von Blockschaltbildern. Signalflussgraphen sind gerichtete und gewichtete Graphen, d.h. die Richtungen und die Gewichte der einzelnen Zweige müssen angegeben werden.

Beispiel:

SystemKont
\(v(n)\)
\(b\)
\(a\)
\(z^{-1}\)
\(c\)
\(y(n)\)


Elemente von Signalflussgraphen

Übersichtsdarstellung als Signalflussgraph

Für den Laplace-Bereich bzw. für kontinuierliche Systeme ergibt ich folgender Signalflussgraph:



SystemKont
\(\textbf{v}(t)\)
\(\textbf{v}(s)\)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(s^{-1}\)
\(\pmb{\dot{x}}(t)\)
\(\textbf{v}(t)\)
\(\textbf{x}(t)\)
\(\textbf{y}(t)\)
\(\textbf{y}(s)\)
\(\textbf{A}\)
\(\textbf{B}\)
\(\textbf{C}\)
\(\textbf{D}\)


Dabei gilt: \begin{equation*}\begin{aligned} \textbf{v}(t) &= \big[v_0(t),\,v_1(t),\,...,\,v_{L-1}(t) \big]^T, \\ \textbf{x}(t) &= \big[x_0(t),\,x_1(t),\,...,\,x_{N-1}(t) \big]^T, \\ \textbf{y}(t) &= \big[y_0(t),\,y_1(t),\,...,\,y_{R-1}(t) \big]^T;\\ \pmb{\dot {x}}(t) &= \pmb{A}\,\pmb{x}(t) + \pmb{B}\,\pmb{v}(t),\\ \pmb{y}(t) &= \pmb{C}\,\pmb{x}(t) + \pmb{D}\,\pmb{v}(t). \end{aligned}\end{equation*}

Für den z-Bereich bzw. für diskrete Systeme ergibt sich folgender Signalflussgraph:



SystemKont
\(\textbf{v}(n)\)
\(\textbf{v}(z)\)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(z^{-1}\)
\(\pmb{x}(n+1)\)
\(\textbf{v}(n)\)
\(\textbf{x}(n)\)
\(\textbf{y}(n)\)
\(\textbf{y}(z)\)
\(\textbf{A}\)
\(\textbf{B}\)
\(\textbf{C}\)
\(\textbf{D}\)


Dabei gilt: \begin{equation*}\begin{aligned} \textbf{v}(n) &= \big[v_0(n),\,v_1(n),\,...,\,v_{L-1}(n) \big]^T, \\ \textbf{x}(n) &= \big[x_0(n),\,x_1(n),\,...,\,x_{N-1}(n) \big]^T, \\ \textbf{y}(n) &= \big[y_0(n),\,y_1(n),\,...,\,y_{R-1}(n) \big]^T;\\ \pmb{{x}}(n+1) &= \pmb{A}\,\pmb{x}(n) + \pmb{B}\,\pmb{v}(n),\\ \pmb{y}(n) &= \pmb{C}\,\pmb{x}(n) + \pmb{D}\,\pmb{v}(n). \end{aligned}\end{equation*}

Beispiel einer Zustandsraumbeschreibung

Es sei ein System gegeben mit folgenden Eigenschaften:

Damit ergibt sich folgende Zustandsgleichung (mit Beispielwerten): \begin{equation*}\begin{aligned} \pmb{x}(n+1) \,\,=\,\,\left[ \begin{array}{c} x_0(n+1) \\ x_1(n+1) \\ x_2(n+1) \end{array}\right] \,\,=\,\,\underbrace{\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right]}_{\pmb{A}}\, \left[ \begin{array}{c} x_0(n) \\ x_1(n) \\ x_2(n) \end{array}\right] + \underbrace{ \left[ \begin{array}{cc} 10 & 11 \\ 12 & 13 \\ 14 & 15 \end{array}\right]}_{\pmb{B}}\, \left[ \begin{array}{c} v_0(n) \\ v_1(n) \end{array}\right]. \end{aligned}\end{equation*}

Die Ausgangsgleichung wird zu (wieder mit Beispielwerten): \begin{equation*}\begin{aligned} y(n)\,\,=\,\,\underbrace{\left[ \begin{array}{ccc} 16 & 17 & 18 \end{array}\right]}_{\pmb{c}}\, \left[ \begin{array}{c} x_0(n) \\ x_1(n) \\ x_2(n) \end{array}\right] + \underbrace{ \left[ \begin{array}{cc} 19 & 20 \end{array}\right]}_{\pmb{d}}\, \left[ \begin{array}{c} v_0(n) \\ v_1(n) \end{array}\right]. \end{aligned}\end{equation*}

Wenn nun aus diesen beiden Gleichungen ein Signalflussgraph gezeichnet werden soll, so bietet sich folgendes Vorgehen an:

Beispiel:



Beispiele:
SystemKont
\(v_0(n)\)
\( v_1(n)\)
\(x_0(n+1)\,\,\,z^{-1}\)
\(x_0(n)\)
\(x_1(n+1)\,\,\,z^{-1}\)
\(x_1(n)\)
\(x_2(n+1)\,\,\,z^{-1}\)
\(x_2(n)\)
\(y(n)\)
Bitte vervollständigen Sie das folgende Signalflussdiagramm! Verwenden Sie dabei die Zahlenwerte der zuvor angegebenen Zustands- und Ausgangsgleichung.
Zum Anzeigen oder Verbergen der Lösung bitte den Button rechts betätigen.
SystemKont
\(v_0(n)\)
\( v_1(n)\)
\(x_0(n+1)\,\,\,z^{-1}\)
\(x_0(n)\)
\(x_1(n+1)\,\,\,z^{-1}\)
\(x_1(n)\)
\(x_2(n+1)\,\,\,z^{-1}\)
\(x_2(n)\)
\(y(n)\)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20




Übertragungs-, Impulsantwort- und Übertragungsmatrizen

Definition und Deutung von Übertragungs- und Impulsantwortmatrizen

Bisher wurde sich meist auf Systeme mit einem Eingang und einem Ausgang beschränkt> \begin{equation*}\begin{aligned} v(t)\,\,\longrightarrow\,\,y(t)\quad\text{bzw.}\quad v(n)\,\,\longrightarrow\,\,y(n). \end{aligned}\end{equation*}

Wird dies auf \(L > 1\) und \(R > 1\) Ausgänge erweitert, so werden Anregungsvektoren \(\textbf{v}(t)\) bzw. \(\textbf{v}(n)\) sowie Reaktions- bzw. Ausgangsvektoren \(\textbf{y}(t)\) bzw. \(\textbf{y}(n)\) verwendet.

Die Faltungsbeschreibungen: \begin{equation*}\begin{aligned} y(t)\,\,=\,\,h_0(t) \ast v(t) \quad\text{bzw.}\quad y(n)\,\,=\,\,h_0(n) \ast v(n) \end{aligned}\end{equation*}

können für den mehrkanaligen Fall in Matrix-Vektor-Schreibweise erweitert werden: \begin{equation*}\begin{aligned} \pmb{y}(t)\,\,=\,\,\pmb{H}_0(t) \ast \pmb{v}(t) \quad\textrm{bzw.}\quad \pmb{y}(n) \,\,=\,\,\pmb{H}_0(n) \ast \pmb{v}(n). \end{aligned}\end{equation*}

Die Impulsantwortmatrix \(\pmb{H}_0(t)\) bzw. \(\pmb{H}_0(n)\) hat dabei die Dimension \(R \times L\).

Die einzelnen Elemente der Signalvektoren bzw. Impulsantwortmatrizen sind dabei wie folgt definiert: \begin{equation*}\begin{aligned} \underbrace{\left[ \begin{array}{c} y_0(...) \\ y_1(...) \\ \vdots \\ y_r(...) \\ \vdots \\ y_{R-1}(...) \end{array}\right] }_{\pmb{y}(...)} &=\,\,\underbrace{\left[ \begin{array}{cccccc} h_{0,0,0}(...) & h_{0,0,1}(...) & \!\!\dots\!\! & h_{0,0,l}(...) & \!\!\dots\!\! & h_{0,0,L-1}(...) \\ h_{0,1,0}(...) & h_{0,1,1}(...) & \!\!\dots\!\! & h_{0,1,l}(...) & \!\!\dots\!\! & h_{0,1,L-1}(...) \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \!\!\vdots\!\! \\ h_{0,r,0}(...) & h_{0,r,1}(...) & \!\!\dots\!\! & h_{0,r,l}(...) & \!\!\dots\!\! & h_{0,r,L-1}(...) \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \!\!\vdots\!\! \\ h_{0,R-1,0}(...) & h_{0,R-1,1}(...) & \!\!\dots\!\! & h_{0,R-1,l}(...) & \dots & h_{0,R-1,L-1}(...) \end{array}\right]}_{\pmb{H}_0(...)}\\ &\,\,\ast\, \underbrace{\left[ \begin{array}{c} v_0(...) \\ v_1(...) \\ \vdots \\ v_l(...) \\ \vdots \\ v_{L-1}(...) \end{array}\right]}_{\pmb{v}(...)}. \end{aligned}\end{equation*}

Eine Zeile dieses Gleichungssystems ist dabei als Summe über \(L\) Einzelfaltungen zu verstehen. \begin{equation*}\begin{aligned} y_r(...)\,\,=\,\,\sum\limits_{l=0}^{L-1} h_{0,r,l}(t) \ast v_l(t). \end{aligned}\end{equation*}

Ähnliche Matrix-Vektor-Überlegungen können auch im Frequenzbereich angestellt werden. Es gilt für lineare, verschiebungsinvariante ...

Wendet man dies auf Systeme (wieder linear und verschiebungsinvariant) an, so gilt für ...

Wie bisher gilt also auch für MIMO-Systeme (multiple input multiple output-Systeme): Bei exponentieller Anregung gleicher Art \(e^{st}\) bzw. \(z^n\) mit verschiedenen komplexen Amplituden an allen Eingängen entstehen an allen Ausgängen komplexe exponentielle Reaktionen gleicher Form.

Völlig entsprechend zu diesen Überlegungen gilt für allgemeine harmonische Schwingungen für ...

Zusammenhänge zwischen den Systembeschreibungen

Die eingeführten Matrizen (Impulsantwortmatrix \(\pmb{H}_0(t)\) bzw. \(\pmb{H}_0(n)\), Übertragungsmatrix \(\pmb{H}(s)\) bzw. \(\pmb{H}(z)\) und Frequenzgangmatrix \(\pmb{H}(j\omega)\) bzw. \(\pmb{H}(e^{j\Omega})\)) sind entsprechende Erweiterungen der bekannten Skalarbeziehungen. Es gelten dabei auch wieder die entsprechenden Transformationsbeziehungen ...

wobei die einzelnen Transformationen elementeweise zu verstehen sind, d.h. es gilt z.B.

\(H_{r,l}(s)\) und \(H_{r,l}(z)\) sind die Übertragungsfunktionen vom Eingang \(l\) zum Ausgang \(r\).

Zusammenhang mit der Zustandsdarstellung

Übertragungsmatrix

Als nächstes wird sich mit der Frage beschäftigt, wie man aus der Zustandsraumdarstellung (d.h. die Matrizen \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) sind bekannt) zur Übertragungsmatrix kommen kann. Hierzu wird folgender Zusammenhang verwendet:

\(\Rightarrow\)Wenn auf alle Einträge eines linearen, zeitinvarianten Systems ein exponentielles Signal der Form \(\pmb{v}(t)\,=\,\pmb{v}\,e^{st}\) bzw. \(\pmb{v}(n)\,=\,\pmb{v}\,z^{n}\) gegeben wird, dann werden auch alle Systemzustände sowie alle Ausgangssignale eine exponentielle Form aufweisen, d.h. es gilt: \begin{equation*}\begin{aligned} \pmb{x}(t) &= \pmb{x}\,e^{st}, \\ \pmb{y}(t) &= \pmb{y}\,e^{st}, \end{aligned}\end{equation*} bzw. \begin{equation*}\begin{aligned} \pmb{x}(n) &= \pmb{x}\,z^n, \\ \pmb{y}(n) &= \pmb{y}\,z^n. \end{aligned}\end{equation*}

Wird nun die Ableitung bzw. Verzögerung des Zustandsvektors bestimmt, so ergibt sich für ...

Wenn nun ähnliche Überlegungen für Ausgangsgleichung angewendet werden, so ergibt sich für ...

Werden diese Ergebnisse mit den früher gefundenen Zusammenhängen \(\textbf{y} = \textbf{H}(s)\textbf{v}\) bzw. \(\textbf{y} = \textbf{H}(z)\textbf{v}\) verglichen, so ergibt sich für die Übertragungsmatrix von

Für die Frequenzmatrizen gilt die gleiche Herleitung allerdings mit \(s=j\omega\) bzw. \(z=e^{j\Omega}\).

Impulsantwortmatrizen

Will man aus der Zustandsraumdarstellung die einzelnen Impulsantworten bzw. die Impulsantwortmatrix bestimmen, so kann man verwenden, dass sich die Impulsantworten durch Rücktransformation der Übertragungsfunktionen bestimmen lassen. Es gilt dann für...

Um die Impulsantwortmatrizen \(\textbf{H}_0(t)\) bzw. \(\textbf{H}_0(n)\) weiter zu vereinfachen, werden zunächst die Matrizen \([s\textbf{I}-\textbf{A}]^{-1}\) bzw. \([z\textbf{I}-\textbf{A}]^{-1}\) im Detail betrachtet und es wird versucht hierfür die Rücktransformationen zu bestimmen.

Für die Rücktransformation der Matrizen \([s\textbf{I}-\textbf{A}]^{-1}\) bzw. \([z\textbf{I}-\textbf{A}]^{-1}\) werden zunächst die skalaren Transformationspaare: \begin{equation*} \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-a}\right\} \,\,=\,\,e^{at}\,\delta_{-1}(t) \end{equation*} bzw. \begin{equation*} \mathcal{Z}^{-1} \left\{ \frac{z}{z-a}\right\} \,\,=\,\,a^{n}\,\gamma_{-1}(n). \end{equation*} betrachtet.

Wird das letzte Transformationsbeispiel mit \(z^{-1}\) erweitert, so entspricht dies im Zeitbereich einer Verzögerung um einen Takt: \begin{equation*} \mathcal{Z}^{-1} \left\{ \frac{1}{z-a}\right\} \,\,=\,\,a^{n-1}\,\gamma_{-1}(n-1). \end{equation*}

Werden diese Tramsformationen auf MIMO-Systeme erweitert, so gilt: \begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{L}^{-1} \big\{ [s\pmb{I}-\pmb{A}]^{-1} \big\} &= e^{\pmb{A}t}\,\delta_{-1}(t), \\ \mathcal{Z}^{-1} \big\{ [z\pmb{I}-\pmb{A}]^{-1} \big\} &= \pmb{A}^{n-1}\,\gamma_{-1}(n-1). \end{aligned}\end{equation*}

Die Schreibweise \(e^{\pmb{A}t}\,\delta_{-1}(t)\) verwendet hier das sog. Matrizenexponential, welches wie folgt definiert ist: \(e^{\pmb{A}t}\,=\,\pmb{I}+\pmb{A}t + \frac{1}{2!}(\pmb{A}t)^2 + \frac{1}{3!} (\pmb{A}t)^3 + ... \)

Wird dieses Ergebnis in die entsprechenden Impulsantwortmatrizen bzw. in die Ausgangsgleichungem eingesetzt, so ergibt sich für ...

Fragen: Antworten:

Was bedeutet es, wenn ein System durchgriffsfrei ist? Was gilt dann für die Matrizen der Zustandsbeschreibung und was kann über die einzelnen Impulsantworten eines diskreten Systems gesagt werden?

Der Eingang ist nicht direkt auf den Ausgang gekoppelt. Es gilt für die Durchgangsmatrix:\(D = 0\).Im Diskreten ist die Impulsantwort an der der Stelle \(\pmb{H}_0(0)=0\). Im kontinuierlichen kein gibt es keinen Diracanteil.

Welche Anregungsgrößen mussten bei dem Mehrkanaleingangssignal gleich sein und welche durften unterschiedlich sein, damit die Übertragungs- und Frequenzgangüberlegungen angestellt werden durften?

Die Amplitude darf hier unterschiedlich sein, die exponentiellen Reaktionen \(s\) müssen aber gleich bleiben.

Form der Matrizen

Übertragungsmatrizen

Um die Zustandsraumdarstellung besser mit den bisherigen Überlegungen zu Systembeschreibungen - insbesondere der Beschreibung mittels gebrochen rationaler Funktionen im Übertragungsbereich - vergleichen zu können, werden die Übertragungsmatrizen noch einmal etwas detaillierter betrachtet. Das bisherige Ergebnis für die Übertragungsmatrizen war für ...

Werden die Inversen solcher Matrizen bestimmt, so können die Ergebnisse wie folgt aufgeteilt werden: \begin{equation*}\begin{aligned} {[s\,\pmb{I}-\pmb{A}]^{-1}} &= \frac{1}{\textrm{det}\{s\pmb{I}-\pmb{A}\}}\, \text{adj}\{ s\pmb{I}-\pmb{A}\},\\ [z\,\pmb{I}-\pmb{A}]^{-1} &= \frac{1}{\textrm{det}\{z\pmb{I}-\pmb{A}\}}\, \text{adj}\{ z\pmb{I}-\pmb{A}\}. \end{aligned}\end{equation*}

mit det: Determinante und adj: Adjunkte

Für eine 3x3-Matrix der Form \begin{equation*}\begin{aligned} \pmb{M}\,\,=\,\,\left[ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right] \end{aligned}\end{equation*}

bestimmt sich die Determinante wie folgt: \begin{equation*}\begin{aligned} \text{det}\{\pmb{M}\}\,\,=\,\,a\,e\,i + b\,f\,g + c\,d\,h - c\,e\,g - b\,d\,i - a\,f\,h. \end{aligned}\end{equation*}

Für die Adjunkte gilt: \begin{equation*}\begin{aligned} \text{adj}\{\pmb{M}\}\,=\, \left[ \begin{array}{rrr} \text{det}\left\{ \begin{array}{cc} \!\!e\!\! & \!\!f\!\! \\ \!\!h\!\! & \!\!i\!\! \end{array}\right\} & \!\!\!-\text{det}\left\{ \begin{array}{cc} \!\!d\!\! & \!\!f\!\! \\ \!\!g\!\! & \!\!i\!\! \end{array}\right\} & \text{det}\left\{ \begin{array}{cc} \!\!d\!\! & \!\!e\!\! \\ \!\!g\!\! & \!\!h\!\! \end{array}\right\} \!\! \\ \!\!\!-\text{det}\left\{ \begin{array}{cc} \!\!b\!\! & \!\!c\!\! \\ \!\!h\!\! & \!\!i\!\! \end{array}\right\} & \text{det}\left\{ \begin{array}{cc} \!\!a\!\! & \!\!c\!\! \\ \!\!g\!\! & \!\!i\!\! \end{array}\right\} & \!\!\!-\text{det}\left\{ \begin{array}{cc} \!\!a\!\! & \!\!b\!\! \\ \!\!g\!\! & \!\!h\!\! \end{array}\right\} \!\! \\ \text{det}\left\{ \begin{array}{cc} \!\!b\!\! & \!\!c\!\! \\ \!\!e\!\! & \!\!f\!\! \end{array}\right\} & \!\!\!-\text{det}\left\{ \begin{array}{cc} \!\!a\!\! & \!\!c\!\! \\ \!\!d\!\! & \!\!f\!\! \end{array}\right\} & \text{det}\left\{ \begin{array}{cc} \!\!a\!\! & \!\!b\!\! \\ \!\!d\!\! & \!\!e\!\! \end{array}\right\}\!\! \end{array}\right]^T \,=\, \left[ \begin{array}{ccc} \!\!ei-hf & ch-bi & bf-ce\!\!\\ \!\!fg-di & ai-cg & cd-af\!\! \\ \!\!dh-eg & bg-ah & ae-bd\!\! \end{array}\right]\!. \end{aligned}\end{equation*}

Wendet man die Kenntnisse zur Bestimmung der Determinante und der Adjunkte auf die hier verwendete Matrixform an, so erkennt man, dass jeweils Polynome in \(s\) bzw. \(z\) entstehen. Für die Polynomgrade gilt dabei für...

Die Zählerpolynome sind jeweils vom Grad \(\leq N-1\) und das Nennerpolynom ist vom Grad \(N\). Das in allen Elementen der resultierenden Matrix auftretende Nennerpolynom heißt charakteristisches Polynom und ist über die einzelnen Determinanten \begin{equation*}\begin{aligned} N(s) &= \text{det}\{s\pmb{I}-\pmb{A}\}, \\ N(z) &= \text{det}\{z\pmb{I}-\pmb{A}\} \end{aligned}\end{equation*} definiert.

Zusammenfassend kann man festhalten, dass alle Elemente der invertierten Matrizen \([s\textbf{I}-\textbf{A}]^{-1}\) bzw. \([z\textbf{I}-\textbf{A}]^{-1}\) echt gebrochen rationale Funktionen mit indentischen Nennerpolynomen \(N(s)\) bzw. \(N(z)\) enthalten. Für die einzelnen Elemente der Übertragungsmatrizen gilt daher für ...

Diese Darstellungsform ist aus früheren Teilen des Skriptes bekannt. Die Summendarstellung kann in eine Produktdarstellung umgewandelt werden. Hier gilt dann für ...

Bemerkung: Die Zählernullstellen sind dabei elementespezifisch, die Nennernullstellen (die Pole) sind für alle Elemente gleich!

Sollten alle Polstellen unterschiedlich sein, so können die einzelnen Übertragungsfunktionen durch eine Partialbruchzerlegung in folgende Form gebracht werden. Es gilt für ...

Sollten mehrfache Polstellen aufteten, so ist (siehe entsprechende Kapitel für Systeme mit einem Eingang und einem Ausgang) folgende Form zu wählen. Es gilt für ...

Mit \(\tilde{N}\) für die Anzahl der unterschiedlichen Nullstellen und \(N_{\nu}\) für die Haüfigkeit der einzelnen Nullstellen.

Fragen: Antworten:

Warum gibt es bei allen Elementen der Übertragungsfunktionsmatrix gleiche Polstellen

Weil die Determinante eine skalare Größe ist und jeder Teil der Adjunkte durch dieselbe skalare Größe geteilt wird.

Was kann über die Anzahl von Nullstellen (bzw. die Differenz zwischen Nullstellen- und Polstellenzahl) bei durchgriffsfreien Systemen gesagt werden?

Der Zählergrad ist kleiner als der Nennergrad.

Wie könnten aus der Summenformdarstellung (letzte Formel) der Übertragungsmatrix die einzelnen Impulsantworten bestimmt werden?

Es könnten die Pol- und Nullstellen bestimmt werden. Die Übertragungsfunktion kann dann transformiert werden.

Impulsantwortmatrizen

Aus den Überlegungen zu linearen Systemen mit nur einem Eingang und einem Ausgang konnten die Transformationsbeziehungen \begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s - a} \right\} &= e^{at}\,\delta_{-1}(t), \\ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s - a)^\kappa} \right\} &= e^{at}\,\delta_{-\kappa}(t). \end{aligned}\end{equation*}

für kontinuierliche Systeme und \begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{Z}^{-1} \left\{ \frac{1}{z - a} \right\} &= a^{n-1}\,\gamma_{-1}(n-1), \\ \mathcal{Z}^{-1} \left\{ \frac{1}{(z - a)^\kappa} \right\} &= a^{n-\kappa}\,\left (\begin{array}{c} n-1 \\ \kappa -1 \end{array}\right)\gamma_{-1}(n-\kappa). \end{aligned}\end{equation*}

für diskrete Systeme hergeleitet werden. \(\left (\begin{array}{c} n-1 \\ \kappa -1 \end{array}\right)\) sind dabei die Binomialkoeffizienten.

Wenn diese Beziehungen nun auf die einzelnen Elemente der Übertragungsfunktionen angewendet werden, so ergibt sich für ...

Bemerkungen:

Stabilität

Zu Beginn des ersten Teils dieses Skriptes wurden rationale Übertragungsfunktionen behandelt. Die hier betrachtete MIMO-Systemklasse weist offenbar genau solche Funktionen (als Elemente der Übertragungsmatrix) auf. Hier gelten nun die gleichen Stabilitätsbetrachtungen:

Bei stabilen Systemen müssen alle Pole in der linken s-Halbebene bzw. im Einheitskreis der z-Ebene liegen.