Logo DSS

Signale and Systeme – Laplace- und z-Transformation

Inhalt

Laplace-Transformation
Definition
Begrifsserklärung
z-Transformation
Definition
Begrifsserklärung
Eigenschaften, Sätze und Beispiele
Verständnisfragen
Eigenschaften und Sätze
Verständnisfragen
Beispiele
Transformationstabellen
Verständnisfragen
Zusammenhänge und Querverbindungen

Laplace-Transformation

Definition

Definition der inversen Laplace-Transformation:
Die inverse Laplace-Transformation gilt für kontinuierliche Signale und ist folgendermaßen definiert: \begin{equation}\begin{aligned} v(t)\,\,=\,\,\frac{1}{2\pi j} \!\!\int\limits_{\scriptsize{ \begin{matrix}{c}s=\sigma+j\omega,\\ \omega = -\infty\end{matrix}}}^{\infty}\!\! V(s)\,e^{s t}\,ds. \end{aligned}\end{equation} Sie kann als unendlich dichte Überlagerung von allgemeibnen Exponentialfunktionen angesehen werden.

\(v(t)\) ist im Allgemeinen nicht periodisch.
Das zuvor genannte Integral bei der inversen Laplace-Transformation geht in das enstprechende Fourier-Integral über, wenn folgende Randbedingung eingeführt wird:

\begin{equation*}s \,\,=\,\, \sigma + j\omega\Big|_{\sigma = 0} \,\, \leftarrow \text{Integration auf der imaginären Achse!}\end{equation*}

Man kann dies leicht einsehen, wenn man folgende Substitution vornimmt:

\begin{equation*}s \,\,=\,\, j\omega,\qquad\frac{d}{d\omega}s = j,\,\,\rightarrow ds = j\,d\omega\end{equation*}

Damit ensteht wieder das ursprüngliche Fourier-Integral.

Die Umkehrung der inversen Transformationen, d.h. die Bestimmung der Spektren aus den Zeitsignalen, sind wie folgt definiert:

Definition der Laplace-Transformation:
\begin{equation}\begin{aligned} V(s)\,\,= \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! v(t)\,e^{-st}\,dt \end{aligned}\end{equation}

Für diese Transformation haben sich wieder verschiedene Schreibweisen etabliert. Wir werden hier folgende Notation verwenden:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t) & \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet & V(s), \\ v(t) &=& \mathcal{L}^{-1}\Big\{ V(s) \Big\},\\ V(s) &=& \mathcal{L}\big\{ v(t) \big\}.\\ \end{aligned}\end{equation*}

Begriffserklärung

Man kann die Laplace-Transformierte als Fourier-Transformation eines modifizierten Signals deuten. Man kann dies zeigen, für

\begin{equation*}\begin{aligned} V(s) &= \,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! v(t)\,e^{-st}\,dt \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen von \(s\,\,=\,\,\sigma+j\omega\) ...}}}\\ &= \,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! v(t)\,e^{-(\sigma + j\omega)t}\,dt \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Terme neu zusammenfassen ...}}}\\ &= \,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! \Big[v(t)\,e^{-\sigma t} \Big]\, e^{-j\omega t}\,dt \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Definition der Fourier-Transformation einsetzen ...}}}\\ &= \,\, \mathcal{F}\Big\{ v(t)\,e^{-\sigma t} \Big\} \end{aligned}\end{equation*}

Die "Signal-Modifikation" kann dabei so verwendet werden, dass nach der Modifikation die Existenzbedingungen für die Fourier-Transformation erfüllbar sind, d.h. die absolute Integrierbarkeit von \(v(t)\) wird damit folgendermaßen umgewandelt:

\begin{equation*}\begin{aligned} \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\Big| v(t)\, e^{-\sigma t}\Big|\,dt \,\, \le \,\, M \,\,<\,\,\infty. \end{aligned}\end{equation*}

Unter Umständen ist eine Wahl des Wertes \(\sigma\) so möglich, dass die o.g. Existenzbedingungen erfüllt werden, während die ursprünglichen Existenzbedingungen der Fourier-Transformation nicht erfüllt sind.
Für jene \(s\)-Werte mit diesem Realteil \(\sigma\,\, =\,\,\text{Re}\big\{s\big\}\) lassen sich dann \(v(t)\) durch Spektralanteile, die mit der Laplace-Transformation bestimmt wurden, ausdrücken.

Daraus folgt, dass es Signale \(v(t)\) gibt, für die keine Fourier-Transformierte angegeben werden kann, aber für geeignete Werte von \(s\) dennoch Laplace-Transformierte existieren.
Nur wenn sich \(V(s)\) auch für \(\text{Re}\Big\{s\Big\}\,\,=\,\,\sigma\,\,=\,\,0\) berechnen lässt, wenn also die Fourier-Transformierte ebenfalls existiert, dann gilt

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{L}\big\{v(t)\big\}\Big|_{s=j\omega} \,\,=\,\, V(s=j\omega)\,\, =\,\,V(j\omega)\,\,=\,\,\mathcal{F}\big\{v(t)\big\}. \end{aligned}\end{equation*}

z-Transformation

Definition

Definition der inversen z-Transformation:
Die inverse z-Transformation gilt für diskrete Signale und ist folgendermaßen definiert: \begin{equation}\begin{aligned} v(n)\,\,=\,\,\frac{1}{2\pi j} \!\!\oint\limits_{\textrm{ um 0}}^{\textrm{ Geschl. Weg}} \!\! V(z)\,z^n\,\frac{dz}{z}. \end{aligned}\end{equation} Sie kann als unendlich dichte Überlagerung von allgemeinen Exponentialfunktionen angesehen werden.

\(v(n)\) ist im Allgemeinen nicht periodisch.
Bei der inversen z-Transformation integriert man auf einem geschlossenen Weg (Kreis) um den Nullpunkt der komplexen z-Ebene herum (dieser ist eingeschlossen).

Das zuvor genannte Integral bei der inversen z-Transformation geht in das enstprechende Fourier-Integral über, wenn folgende Randbedingung eingeführt wird:

\begin{equation*}z \,\,=\,\, \rho\,e^{j\Omega}\Big|_{\rho=1}. \,\, \leftarrow \text{Integration auf dem Einheitskreis!}\end{equation*}

Man kann dies leicht einsehen, wenn man folgende Substitution vornimmt:

\begin{equation*}z \,\,=\,\, e^{j\Omega},\qquad\frac{dz}{z} \Big|_{z=e^{j\Omega}} \,=\, \frac{d e^{j\Omega}}{d\Omega}\,d\Omega\, \frac{1}{e^{j\Omega}}\,=\,j\frac{e^{j\Omega}}{e^{j\Omega}}\,d\Omega \,=\, j\,d\Omega.\end{equation*}

Damit ensteht wieder das ursprüngliche Fourier-Integral.

Die Umkehrung der inversen Transformationen, d.h. die Bestimmung der Spektren aus den Zeitsignalen, sind wie folgt definiert:

Definition der z-Transformation:
\begin{equation}\begin{aligned} V(z)\,\,=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v(n)\,z^{-n} \end{aligned}\end{equation}

Für diese Transformation haben sich wieder verschiedene Schreibweisen etabliert. Wir werden hier folgende Notation verwenden:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(n) & \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet & V(z), \\ v(n) &=& \mathcal{Z}^{-1}\big\{ V(z) \big\},\\ V(z) &=& \mathcal{Z}\big\{ v(n) \big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Begriffserklärung

Man kann die z-Transformierte als Fourier-Transformation eines modifizierten Signals deuten. Man kann dies zeigen, für

\begin{equation*}\begin{aligned} V(z) \,\,&=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\!\! v(n)\,z^{-n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen von \(s=\sigma+j\omega\) ...}}}\\ \,\,&=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\!\! v(t)\,(\rho\,e^{j\Omega})^{-n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Terme neu zusammenfassen ...}}}\\ \,\,&=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\!\! \Big[v(n)\,\rho^{-n} \Big]\, e^{-j\Omega n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Definition der Fourier-Transformation einsetzen ...}}}\\ \,\,&=\,\, \mathcal{F}\Big\{ v(n)\,\rho^{-n} \Big\} \end{aligned}\end{equation*}

Die "Signal-Modifikation" kann dabei so verwendet werden, dass nach der Modifikation die Existenzbedingungen für die Fourier-Transformation erfüllbar sind, d.h. die absolute Summierbarkeit von \(v(n)\) wird damit folgendermaßen umgewandelt:

\begin{equation*}\begin{aligned} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \Big|v(n)\,\rho^{-n}\Big| \,\,\le\,\, M\,\,<\,\,\infty. \end{aligned}\end{equation*}

Unter Umständen ist eine Wahl des Wertes \(\rho\) so möglich, dass die o.g. Existenzbedingungen erfüllt werden, während die ursprünglichen Existenzbedingungen der Fourier-Transformation nicht erfüllt sind.
Für jene \(z\)-Werte mit dem Betrag \(\rho\,\,=\,\,\big| z\big|\) lassen sich dann \(v(n)\) durch Spektralanteile, die mit der z-Transformation bestimmt wurden, ausdrücken.

Daraus folgt, dass es Signale \(v(n)\) gibt, für die keine Fourier-Transformierte angegeben werden kann, aber für geeignete Werte von \(s\) dennoch Transformierte existieren.
Nur wenn sich \(V(s)\) auch berechnen lässt für \(\text{Re}\Big\{s\Big\}\,\,=\,\,\sigma\,\,=\,\,0\), wenn also die Fourier-Transformierte ebenfalls existiert, dann gilt

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{Z}\big\{v(n)\big\}\Big|_{z=e^{j\Omega}} \,\,=\,\, V(z=e^{j\Omega}) \,\,=\,\,V(e^{j\Omega})\,\,=\,\,\mathcal{F}\big\{v(n)\big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Eigenschaften, Sätze und Beispiele

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Wie prüfen Sie, ob ein System oder eine Transformation linear ist?

Für eine lineare Transformation muss folgende Gleichung gelten: \begin{equation*} S\Bigg\{\sum\limits_{l=-\infty}^{\infty}\alpha_l\, v(\dots)\Bigg\}\,\, =\,\,\alpha_l\,S\Bigg\{\sum\limits_{l=-\infty}^{\infty} v(\dots)\Bigg\} . \end{equation*}

Erklären Sie den Unterschied zwischen einer Laplace- und einer Fourier-Transormation? Kennen Sie Signale für welche die eine Transformation existiert und die andere nicht?

Der hauptsächliche Unterschied zwischen der Fourier- under Laplace-Transformation ist folgender:
Bei der Fourier-Transformation werden rein harmonische Funktionen \(e^{j\,\omega\,t}\) verwendet. Dabei nimmt \(\omega\) nur relle Werte an. Bei der Laplace-Transformation hingegen nutzt man folgenden Exponentialterm: \begin{equation*}e^{-j\,s\,t}\,\,=\,\,e^{-j\,(\sigma+j\omega)\,t}.\end{equation*} Hier kann die Variable \(s\) komplex, aber auch reell sein. Desweiteren belegt bei der Laplace-Transformation das Signal nur die positive Hälfte des Zeitbereichs. Man spricht von einer einseitigen Transformation.
Bei einer rechtsseitigen Funktion ist die Fourier-Transformation ein Spezialfall der Laplace-Transformation.

Was bewirkt die Multiplikation einer Folge mit dem Term \(\rho^{-n}\)? Für welche Formen von Folgen, kann dies "kritisch" sein?

Die Multiplikation einer Folge \(v(n)\) mit \(\rho^{-n}\) bewirkt auf der einen Seite ein Abklingen und auf der anderen Seite ein Zunehmen von \(v(n)\). Dies ist meist nur bei Signalen sinnvoll, welche einzig eine Hälfte der Zeitachse belegen.

Eigenschaften und Sätze

Linearität und Modulation

Sowohl die Laplace- als auch die z-Transformation beschreiben lineare Transformationen im Sinne der anfangs in dieser Vorlesungen vorgestellten Definition.

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*}\begin{aligned} V(s) \,\, &=\,\, \mathcal{L}\big\{ v(t) \big\}, \\ v_1(t) \,\, &=\,\, v(t)\,e^{s_0 t} \end{aligned}\end{equation*}

gegeben und das zugehörige Spektrum

\begin{equation*}\begin{aligned} V_1(s) \,\, &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! v(t)\,e^{s_0 t}\,e^{-st}\,dt \\ \,\, &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! v(t)\,e^{-(s-s_0)t}\,dt \,\,=\,\, V(s-s_0) \end{aligned}\end{equation*}

gesucht.

Analog ist für diskrete Signale

\begin{equation*}\begin{aligned} V(z) \,\, &=\,\, \mathcal{Z}\big\{ v(n) \big\}, \\ v_1(n) \,\, &=\,\, v(n)\,z_0^n \end{aligned}\end{equation*}

gegeben und das zugehörige Spektrum

\begin{equation*}\begin{aligned} V_1(z) \,\, &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\!\! v(n)\,z_0^n\,z^{-n} \\ \,\, &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\!\! v(n)\,\left(\frac{z}{z_0} \right)^{\!\!\!-n} \,=\, V\Big(\frac{z}{z_0}\Big) \end{aligned}\end{equation*}

gesucht.

Es ergibt sich also folgende Definition für die Modulation:

Definition der Eigenschaft "Modulation":
Die Modulation kontinuierlicher Signale im Zeitbereich entspricht einer Verschiebung im (Laplace-)Frequenzbereich (in Analogie zum Fourier-Spektrum): \begin{equation} \mathcal{L}\Big\{v(t)\,e^{s_0 t} \Big\} \,\,=\,\, V(s-s_0). \end{equation} Für diskrete Signale gilt \begin{equation} \mathcal{Z}\Big\{ v(n)\,z_0^n\Big\} \,\,=\,\, V\Big(\frac{z}{z_0}\Big). \end{equation} Das heißt eine Modulation im Zeitbereich entspricht nicht einer Verschiebung im (z-)Frequenzbereich! Setzt man allerdings \(z = e^{j\Omega}\) sowie \(z_0 = e^{j\Omega_0}\) so gilt: \begin{equation*}\frac{z}{z_0} \,=\,\frac{e^{j\Omega}}{e^{j\Omega_0}}\,=\,e^{j(\Omega-\Omega_0)}. \end{equation*}

Verschiebung

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*}\begin{aligned} V(s) \,\,&=\,\, \mathcal{L}\big\{ v(t) \big\}, \\ v_1(t) \,\,&=\,\,v(t-t_0) \end{aligned}\end{equation*}

gegeben und die zugehörige Laplace-Transformierte gesucht:

\begin{equation*}\begin{aligned} V_1(s) \,\,&=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! v(t-t_0)\,e^{-st}\,dt \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Hinzunehmen von \(1= e^{-st_0}\,e^{st_0}\) ...}}}\\ \,\,&=\,\, e^{-st_0}\!\!\int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! v(t-t_0)\,e^{-s(t-t_0)}\,dt \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Substituieren von \(x=t-t_0\) und\(dt\,\,=\,\,dx\) ...}}}\\ \,\,&=\,\, e^{-st_0}\!\!\int\limits_{x=-\infty}^{\infty}\!\! v(x)\,e^{-sx}\,dx \,\,=\,\, e^{-st_0}\,V(s). \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale ist

\begin{equation*}\begin{aligned} V(z) \,\,&=\,\, \mathcal{Z}\big\{ v(n) \big\},\\ v_1(n) \,\,&=\,\, v(n-n_0). \end{aligned}\end{equation*}

gegeben und die zugehörige Laplace-Transformierte gesucht:

\begin{equation*}\begin{aligned} V_1(z)\,\,&=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\!\! v(n-n_0)\,z^{-n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Hinzunehmen von \(1 \,\,=\,\, z^{-n_0}\,z^{n_0}\) ...}}}\\ \,\,&=\,\, z^{-n_0}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\!\! v(n-n_0)\,z^{-(n-n_0)} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Substituieren von \(k \,\,=\,\, n-n_0\) ...}}}\\ \,\,&=\,\, z^{-n_0}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\!\! v(k)\,z^{-k} \,=\, z^{-n_0}\,V(z). \end{aligned}\end{equation*}

Definition der Eigenschaft "Verschiebung":
Die Verschiebung kontinuierlicher Signale im Zeitbereich entspricht einer allgemeinen komplexen Modulation im Laplace-Spektrum. Setzt man \(s\,\,=\,\,j\omega\), so geht der Verschiebungsoperator \(e^{-s t_0}\) über in den linearen Phasenterm \(e^{-j\omega t_0} \) der Fourier-Transformation: \begin{equation} \mathcal{L}\Big\{v(t-t_0)\Big\} \!=\! e^{-s t_0}\, V(s). \end{equation} Für diskrete Signale gilt \begin{equation} \mathcal{Z}\Big\{ v(n)\,z_0^n\Big\} \!=\!\! V\Big(\frac{z}{z_0}\Big). \end{equation} Es entsteht eine ähnliche Beziehung wie in den vorigen Überlegungen. Setzt man \(z \,\,=\,\, e^{j\Omega}\), so geht der Verschiebungsoperator \(z^{-n_0}\) über in den linearen Phasenterm \(e^{-j\Omega n_0}\) der Fourier-Transformation.

Symmetrien

Wegen der allgemeinen Komplexwertigkeit von \(s\) und \(z\) sind keine Symmetrien festzustellen, die den einfachen Zusammenhängen bei der Fourier-Transformation entsprächen.

Zu Erinnerung:
Für die Fourier-Transformation gilt: \begin{equation}\mathcal{F}\big\{ V(jt) \big\} \,\,=\,\,2\pi\,v(-\omega).\end{equation} Dabei wurde die Fourier-Transformation auf ein Spektrum angewandt.

Faltungs- und Multiplikationssätze

Analog zum Faltungssatz bei der Fourier-Transformation findet man ...

Definition des Faltungssatzes:
Der Faltungssatz ist für kontinuierliche Signale mit \begin{equation}\begin{aligned}\mathcal{L}\Big\{v_1(t) \ast v_2(t) \Big\} \,\,&=\,\,V_1(s)\,V_2(s)\\ &=\,\, \mathcal{L}\Big\{v_1(t)\Big\}\,\mathcal{L}\Big\{v_2(t)\Big\} \end{aligned}\end{equation} und für diskrete Signale mit \begin{equation}\begin{aligned}\mathcal{Z}\Big\{ v_1(n) \ast v_1(n) \Big\} \,\,&=\,\, V_1(z)\,V_1(z) \\ &=\,\, \mathcal{Z}\Big\{ v_1(n) \Big\} \,\mathcal{Z}\Big\{ v_2(n) \Big\}. \end{aligned}\end{equation} definiert.

Bei der Herleitung dieser Zusammenhänge geht man analog zu den Überlegungen bei der Fourier-Transformation vor!

Beim Multiplikationssatz ergeben sich – zumindest für diskrete Signale – Unterschiede. Für kontinuierliche Signale gilt:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{L}\Big\{v_1(t) v_2(t) \Big\} \,\,&=\,\, \frac{1}{2\pi j}\,V_1(s)\ast V_2(s) \\ \,\,&=\,\, \frac{1}{2\pi j} \int\limits_{\scriptsize{ \begin{array}{c}x=\sigma+j\eta,\\ \eta = -\infty\end{array}}}^{\infty} V_1(x)\,V_2(s-x)\,dx. \end{aligned}\end{equation*}

Die Herleitung geht wieder analog zu den entsprechenden Überlegungen bei der Fourier-Transformation.
Für diskrete Signale ergibt sich:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{Z}\Big\{v_1(n)\, v_2(n) \Big\} \,\,&=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v_1(n)\,v_2(n)\,z^{-n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen der inversen z-Transformation \(v_1(n)\,=\,\frac{1}{2\pi j} \oint\limits_{z} V_1(z)\,z^n\,\frac{dz}{z}\) ...}}}\\ \,\,&=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi j}\oint\limits_{\eta} V_1(\eta)\,\eta^n\,\frac{d\eta}{\eta}\,v_2(n)\,z^{-n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Vertauschen der Reihenfolge der Summation und Integration ...}}}\\ \,\,&=\,\, \frac{1}{2\pi j} \oint\limits_{\eta} V_1(\eta) \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \eta^n\,v_2(n)\,z^{-n} \, \frac{d\eta}{\eta} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Potenzen Zusammenfassen ...}}}\\ \,\,&=\,\, \frac{1}{2\pi j} \oint\limits_{\eta} V_1(\eta) \underbrace{\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v_2(n) \Big( \frac{z}{\eta} \Big)^{-n}}_{V_2(z/\eta)} \, \frac{d\eta}{\eta} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen der z-Transformationsgleichung ...}}}\\ \,\,&=\,\, \frac{1}{2\pi j} \oint\limits_{\eta} V_1(\eta) V_2(\frac{z}{\eta}) \, \frac{d\eta}{\eta}. \end{aligned}\end{equation*}

Definition des Multiplikationssatzes:
Der Multiplikationssatz ist für kontinuierliche Signale mit \begin{equation}\begin{aligned}&\mathcal{L}\Big\{v_1(t) v_2(t) \Big\} \\ &= \,\frac{1}{2\pi j} \!\!\!\!\int\limits_{\scriptsize{ \begin{array}{c}x=\sigma+j\eta,\\ \eta = -\infty\end{array}}}^{\infty}\!\!\!\!\!\! V_1(x)\,V_2(s-x)\,dx \end{aligned}\end{equation} und für diskrete SIgnale mit \begin{equation}\begin{aligned}&\mathcal{Z}\Big\{v_1(n)\, v_2(n) \Big\} \\ &= \, \frac{1}{2\pi j} \oint\limits_{\eta} V_1(\eta) V_2(\frac{z}{\eta}) \, \frac{d\eta}{\eta}. \end{aligned}\end{equation} definiert.

Parseval'sche Gleichung

Mit Hilfe der Faltungssätze können folgende Beziehungen hergeleitet werden:

Für kontinuierliche Signale ergibt sich

\begin{equation*}\begin{aligned} w_v(\infty) \,\,&=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\big| v(t)\big|^2\,dt \\ &=\,\, \frac{1}{2\pi j} \!\!\!\!\int\limits_{\scriptsize{ \begin{array}{c}x=\sigma+j\eta,\\ \eta = -\infty\end{array}}}^{\infty}\!\!\!\!\!\! V(s)\,V^*(-s^*)\,ds. \end{aligned}\end{equation*}

Analog folgt für diskrete Signale

\begin{equation*}\begin{aligned} w_v(\infty)\,\,&=\,\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \big| v(n)\big|^2 \\ &=\,\, \frac{1}{2\pi j} \oint\limits_{\eta} V(z)\,V^*(\frac{1}{z^*}) \, \frac{dz}{z}. \end{aligned}\end{equation*}

Hierbei ist zu beachten, dass dies keine Integrale über \(|V(...)|^2\) sind! Für \(s \,\,=\,\, j\omega\) bzw. \(z = e^{j\Omega}\) gehen sie aber in solche über, eben gerade jene, die für die Fourier-Transformation hergeleitet wurden.

Differentiation und Differenzbildung

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*}V(s) \,=\,\mathcal{L}\big\{ v(t) \big\}. \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird die Ableitung gemäß

\begin{equation*}v_1(t) \,\,=\,\,\dot{v}(t)\,\,=\,\,\frac{d}{dt}v(t) \end{equation*}

definiert.
Stellt man hier die gleichen Überlegungen wie im entsprechenden Abschnitt der Fourier-Transformation an, so erhält man

\begin{equation*}\mathcal{L}\Big\{\frac{d}{dt}v(t)\Big\} \,\,=\,\, s\,V(s). \end{equation*}

Stellt man hier die gleichen Überlegungen wie im entsprechenden Abschnitt der Fourier-Transformation an, so erhält man die Definition der Differentiation:

Definition der "Differentiation":
Die Differentiation ist für kontinuierliche Signale mit \begin{equation}\mathcal{L}\Big\{\frac{d}{dt}v(t)\Big\} \,\,=\,\, s\,V(s) \end{equation} definiert.

Es gilt wieder, dass die o.g. Beziehungen för \(s\,\,=\,\,j\omega\) in die entsprechenden Beziehungen der Fourier-Transformation übergehen.

Für diskrete Signale ist

\begin{equation*}V(z) \,=\,\mathcal{Z}\big\{ v(n) \big\} \end{equation*}

gegeben. Hier wird eine Signaldifferenz gemäß

\begin{equation*}v_1(n) \,\,=\,\,\Delta v(n) \,\,=\,\,v(n) - v(n-1) \end{equation*}

definiert.

Stellt man hier die gleichen Überlegungen wie im entsprechenden Abschnitt der Fourier-Transformation an, so erhält man die Definition der Differenzbidlung:

Definition der "Differenzbildung":
Die Differenzbildung ist für diskrete Signale mit \begin{equation}\mathcal{Z}\Big\{v(n) - v(n-1)\Big\} \,\,=\,\,V(z)\,\big[1-z^{-1} \big] \end{equation} definiert.

Es gilt wieder, dass die o.g. Beziehungen für \(z \,\,=\,\, e^{j\Omega}\) in die entsprechenden Beziehungen der Fourier-Transformation übergehen.

Differentiation im Spektrum

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*}V(s) \,=\,\mathcal{L}\big\{ v(t) \big\} \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird die spektrale Ableitung gemäß

\begin{equation*}V_1(s) \,\,=\,\,\frac{d}{ds}\,V(s) \end{equation*}

definiert. Gesuchtist nun die zugehörige inverse Laplace-Transformation (in Abhängigkeit von \(v(t)\)):

\begin{equation*}\begin{aligned}V_1(s) \,\,&=\,\, \frac{d}{ds}\,\int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! v(t)\,e^{-st}\,dt\\ \,\,&=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! \big[v(t)\,(-t)\big]\,e^{-st}\,dt\\ \,\,&=\,\, \mathcal{L}\big\{v(t)\,(-t) \big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale ist

\begin{equation*}V(z) \,=\,\mathcal{Z}\big\{ v(n) \big\} \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird die spektrale Ableitung gemäß

\begin{equation*}V_1(z) \,\,=\,\,z\,\frac{d}{dz}\,V(z) \end{equation*}

definiert. Gesuchtist nun die zugehörige inverse z-Transformation (in Abhängigkeit von \(v(n)\)):

\begin{equation*}\begin{aligned}V_1(z) \,\,&=\,\, z\,\frac{d}{dz}\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\!\! v(n)\,z^{-n} \\ \,\,&=\,\, z\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\!\! \big[v(n)\,(-n)\big]\,z^{-n-1} \\ \,\,&=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\!\! \big[v(n)\,(-n)\big]\,z^{-n} \,=\, \mathcal{Z}\big\{v(n)\,(-n) \big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Daraus ergeben sich insgesamt folgende Definitionen:

Definition der "Differentiation im Spektrum":
Die Differentiation im Spektrum ist für kontinuierliche Signale mit \begin{equation}\frac{d}{ds}\,V(s) \,\,=\,\, \mathcal{L}\big\{v(t)\,(-t) \big\}. \end{equation} definiert. Dieses Ergebnis ist wiederum konform mit den entsprechenden Fourier-Überlegungen. Für \(s\,\,=\,\,j\omega\) geht das Ergebnis in das Fourier-Ergebnis über.

Die Differentiation im Spektrum ist für diskrete Signale mit \begin{equation}z\,\frac{d}{dz}\,V(z) \,\,=\,\, \mathcal{Z}\big\{v(n)\,(-n) \big\}. \end{equation} definiert. Im Unterschied zu den Überlegungen im Fourier-Spektrum ist hier die zusätzlich Multiplikation mit der Frequenzvariablen notwendig. Das Ergebnis geht aber für \(z \,\,=\,\, e^{j\Omega}\) in das Fourier-Ergebnis über. Hierbei ist der Zusammenhang zu beachten – dies ist auch der Grund für die zusätzliche Multiplikation mit \(z\).

Integration und Summation

Mit der Definition für die Integration kontinuierlicher Signale

\begin{equation*}v_1(t) \,\,=\int\limits_{\tau=-\infty}^{t}v(\tau)\,d\tau \end{equation*}

ergibt sich aus einer völlig analogen Herleitung wie bei der Fourier-Transformation ...

Definition der "Integration":
Die Integration ist mit \begin{equation}\begin{aligned} \mathcal{L}\big\{ v(t) \big\} \,\&=\,\, V(s), \\ \mathcal{L}\Bigg\{\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{t} v(\tau)\,d\tau \Bigg\} \,\&=\,\, \frac{1}{s}\,V(s) \end{aligned}\end{equation} definiert.

Mit der definition der Summation diskreter Signale

\begin{equation*}v_1(n) \,\,=\,\,\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n}v(\kappa) \end{equation*}

ergibt sich ebenso aus einer völlig analogen Herleitung wie bei der Fourier-Transformation ...

Definition der "Summation":
Die Summation ist mit \begin{equation}\begin{aligned} \mathcal{Z}\big\{ v(n) \big\} \,\&=\,\, V(z), \\ \mathcal{Z}\Bigg\{ \,\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{n} v(\kappa) \Bigg\} \,\&=\,\, \frac{V(z)}{1-z^{-1}} \end{aligned}\end{equation} definiert.

Diese Ergebnisse stellen die Umkehrung der Spektralbeziehungen für die Differentiation bzw. Differenzenbildung dar!

Bei den entsprechenden Beziehungen für die Fourier-Transformation wurde gefordert, dass die Spektralwerte \(V(...)\) an den Stützstellen \(s\,\,=\,\,j\omega\,\,=\,\,0\) bzw. \(z\,\,=\,\,e^{j\Omega}\,\,=\,\,1 \) Null sein müssen. Dies hatte zur Folge, dass \(v_1(t)\) bzw. \(v_1(n)\) für \(t\rightarrow \infty \) bzw. \(n\rightarrow \infty\) abklingen müssen. Da hier aber gerade nicht Fourier-transformierbare Signale erfasst werden sollen, muss dies für die Laplace- bzw. z-Transformation nicht so sein. Das heißt, \(V_1(s)|_{s=0}\) und \(V_1(z)|_{z=1}\) dürfen "singulär" sein (und einen "Pol" bei \(s\,\,=\,\,0\) bzw. \(z\,\,=\,\,0\) aufweisen)!

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Gegeben sei ein sog. rechtsseitiges Signal, d.h. es gilt \(v(t)\,=\,0, \forall\,t\,<\,0\). Für dieses Signal existiere die Fourier-Transformation. Für welche Werte von \(\sigma\) existiert dann auf jeden Fall auch eine Laplace-Transformation?

Es existiert dann für \(\sigma > 0\) eine Laplace-Transformation.

Was bewirkt eine Modulation einer Impulsantwort mit \(e^{s_0 t}\) im Zeitbereich? Kann dies Auswirkungen haben auf die Stabilität eines Systems? Warum und wenn ja, welche?

Eine Modulation im Zeitbereich mit \(e^{s_0\,t}\) entspricht einer Verschiebung im Frequenzbereich: \begin{equation*} v(t)\,e^{s_0 t}\,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,V(s-s_0). \end{equation*} Das Sytsem bleibt stabil, wenn weiterhin alle Pole in der linken Halbebene liegen.

Beispiele

Impulse

Für kontinuierliche Signale ist ein Impuls durch

\begin{equation*}v(t) \,=\, \delta_0(t) \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird die Laplace-Transformierte und der Konvergenzbereich gesucht:

\begin{equation*}\begin{aligned} \Delta_0(s) \,\,&=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\delta_0(t)\,e^{-st}\,dt \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Ausblendeigenschaft des Dirc-Impulses ...}}}\\ &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\delta_0(t)\,\underbrace{e^{0}}_{=\,1}\,dt \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Flächeneigenschaft des Dirac-Impulses ...}}}\\ &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\delta_0(t)\,dt \,\,\equiv\,\, 1 \quad \forall\,\,s. \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale ist ein Impuls durch

\begin{equation*}v(n) \,=\, \gamma_0(n) \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird die z-Transformierte und der Konvergenzbereich gesucht:

\begin{equation*}\begin{aligned} \Delta_0(z) \,\,&=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\gamma_0(n)\,z^{-n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Ausblendeigenschaft des Impulses ...}}}\\ &=\,\, z^0 \,\,\equiv\,\, 1 \quad \forall\,\,z. \end{aligned}\end{equation*}

Wie auch bei den bisher behandelten Transformationen liefern die Laplace- und die z-Transformation ein konstantes Spektrum über der Frequenz, d.h. ein sog. "weißes" Signal.

Fürt man eine Verallgemeinerung durch, sodass man Impulse in allgemeiner Lage beschreiben kann, so folgt im Diskreten

\begin{equation*}v(n) \,=\, \gamma_0(n-n_0) \end{equation*}

mit z-Transformierter und zueghörigem Konvergenzbereich:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{Z}\big\{\gamma_0(t-t_0)\big\} \,\,&=\,\, \,z^{-n_0}\,\mathcal{Z}\big\{\gamma_0(n)\big\}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Verschiebeoperator ...}}}\\ &=\,\, n^{-n_0}. \end{aligned}\end{equation*}

Sprünge

Für kontinuierliche Signale ist ein Sprung durch

\begin{equation*}v(t) \,=\, \delta_{-1}(t) \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird die Laplace-Transformierte und der Konvergenzbereich gesucht:

\begin{equation*}\begin{aligned} \Delta_{-1}(s) \,\,&=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\delta_{-1}(t)\,e^{-st}\,dt \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen der Sprungfunktion ...}}}\\ &=\,\, \int\limits_{t=0}^{\infty}e^{-st}\,dt \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Stammfunktion bestimmen ...}}}\\ &=\,\, \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_0^{\infty} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Grenzen einsetzen ...}}}\\ &=\,\, \frac{1}{s} - \lim_{t\rightarrow\infty} \frac{1}{s}\,e^{-st} \end{aligned}\end{equation*}

Wobei für den zweiten Teil des Grenzwertes gilt:

\begin{equation*}\begin{aligned} lim_{t\rightarrow\infty} e^{-st} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen von \(s\,\,=\,\,\sigma+j\omega\) ...}}}\\ \,\,&=\,\, \lim_{t\rightarrow\infty} \Big[ e^{-\sigma t}\,\underbrace{e^{-j\omega t}}_{|...|\,=\,1} \Big]\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Grenzwertbildung ...}}}\\ &=\,\, 0,\quad\textrm{für} \,\,\sigma>0. \end{aligned}\end{equation*}

Zusammengefasst folgt also:

\begin{equation*}\begin{aligned} \Delta_{-1}(s) \,\,=\,\,\mathcal{L}\Big\{ \delta_{-1}(t) \Big\} \,\,=\,\, \frac{1}{s} \,\,\textrm{für}\,\,\textrm{Re}\{s\} > 0. \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale ist ein Sprung durch

\begin{equation*}v(t) \,=\, \gamma_{-1}(n) \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird die z-Transformierte und der Konvergenzbereich gesucht:

\begin{equation*}\begin{aligned} \Delta_{-1}(z) \,\,&=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\gamma_{-1}(n)\,z^{-n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen der Sprungfunktion ...}}}\\ &=\,\, \sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{-n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Grenzübergang der endlichen geometrischen Reihe ...}}}\\ &=\,\,\left. \frac{1-z^{-(N+1)}}{1-z^{-1}}\right|_{N\rightarrow\infty} \end{aligned}\end{equation*}

Wobei für einen Grenzwertteil gilt:

\begin{equation*}\begin{aligned} \lim_{N\rightarrow\infty}z^{-(N+1)}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen von\(z\,=\,\rho \, e^{j\Omega}\) ...}}}\\ &=\,\, \lim_{N\rightarrow\infty} \Big[ \rho^{-(N+1)}\,\underbrace{e^{-j\Omega (N+1)}}_{|...|\,=\,1} \Big] \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Grenzwertbildung ...}}}\\ &=\,\, 0,\quad\textrm{für} \,\,\rho>1. \end{aligned}\end{equation*}

Zusammengefasst folgt also hier:

\begin{equation*} \Delta_{-1}(z) \,\,=\,\,\mathcal{Z}\Big\{ \gamma_{-1}(n) \Big\} \,\,=\,\, \frac{1}{1-z^{-1}} \qquad\qquad\qquad\,\,\textrm{für}\,\,|z| > 1. \end{equation*}

Geschaltete Exponentielle

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*} v(t) \,=\, e^{s_{\infty}t}\,\delta_{-1}(t) \end{equation*}

gegeben. Die zugehörige Laplace-Transformierte und der Konvergenzbereich lauten:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{L}\Big\{ e^{s_{\infty}t}\,\delta_{-1}(t) \Big\} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Modulationssatz ...}}}\\ &=\,\,\left.\mathcal{L}\Big\{\delta_{-1}(t) \Big\}\right|_{s:=s-s_{\infty}}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen ...}}}\\ &=\,\, \frac{1}{s-s_{\infty}} , \qquad\qquad\textrm{für } \textrm{Re}\{s\}\,>\,\textrm{Re}\{s_{\infty}\} \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale ist

\begin{equation*} v(n) \,=\, z_{\infty}^n\,\gamma_{-1}(n) \end{equation*}

gegeben. Die zugehörige z-Transformierte und der Konvergenzbereich lauten:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{Z}\Big\{ z_{\infty}^n\,\gamma_{-1}(n) \Big\} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Modulationssatz ...}}}\\ &=\,\, \left.\mathcal{Z}\Big\{\gamma_{-1}(n) \Big\}\right|_{z:=\frac{z}{z_{\infty}}} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen ...}}}\\ &=\,\, \frac{1}{1-\frac{z_{\infty}}{z}} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Multiplikation mit $z/z$ ...}}}\\ &=\,\, \frac{z}{z-z_{\infty}}, \qquad\qquad\textrm{für }\,|z|\,>\,|z_{\infty}| \end{aligned}\end{equation*}

Diese Transformationspaare werden im Verlauf der Vorlesung eine wichtige Rolle spielen. Sie gelten auch für geschaltete harmonische Exponentialfunktionen!

Geschaltete periodische Signale

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*} v_{\text{p}}(t) \,=\, v_{\text{p}}(t+\lambda T) \,=\, \sum\limits_{\mu=-\infty}^ {\infty} c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t} \end{equation*}

gegeben. Aufgrund der Periodizität kann das Signal als Fourier-Reihe dargestellt werden. Daraus wird durch Multiplikation mit einer Sprungfunktion ein geschaltetes periodisches Signal erzeugt:

\begin{equation*} v(t) \,=\, v_{\text{p}}(t) \, \delta_{-1}(t). \end{equation*}

Gesucht ist nun die Laplace-Transformierte dieses Signals.
Es ergibt sich:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{L}\big\{ v(t) \big\} \,\,&=\,\,\mathcal{L}\big\{ v_{\text{p}}(t) \, \delta_{-1}(t) \big\} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen der Fourier-Reihe ...}}}\\ &=\,\, \mathcal{L}\bigg\{ \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} c_{\mu}\, e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t} \, \delta_{-1}(t)\bigg\} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Reihenfolge von Transformation und Summe ...}}}\\ &=\,\, \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} c_{\mu} \,\mathcal{L}\big\{ e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t} \, \delta_{-1}(t) \big\} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Modulationssatz ...}}}\\ &=\,\, \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} c_{\mu} \,\mathcal{L}\big\{ \delta_{-1}(t)\big\}\Big|_{s:=s-j\mu\frac{2\pi}{T}}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Transformationsergebnis einsetzen ...}}}\\ &=\,\,\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} \frac{c_{\mu}}{s-j\mu\frac{2\pi}{T}} \qquad\qquad \text{für }\textrm{Re}\{s\} > 0. \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale ist

\begin{equation*} v_{\text{p}}(n) \,=\, v_{\text{p}}(n+\lambda M) \,=\, \frac{1}{M}\,\sum \limits_{\mu=0}^{M-1} V_M(\mu)\,e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n} \end{equation*}

gegeben. Aufgrund der Periodizität kann das Signal als inverse diskrete Fourier-Transformation dargestellt werden. Daraus wird durch Multiplikation mit einer Sprungfunktion ein geschaltetes periodisches Signal erzeugt:

\begin{equation*} v(n) \,=\, v_{\text{p}}(n) \, \gamma_{-1}(n). \end{equation*}

Gesucht ist nun die z-Transformierte dieses Signals.
Es ergibt sich:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{Z}\big\{ v(n) \big\} \,\,&=\,\, \mathcal{Z}\big\{ v_{\text{p}}(t) \, \gamma_{-1}(n) \big\} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen der inversen DFT ...}}}\\ &=\,\, \mathcal{Z}\bigg\{ \sum\limits_{\mu=0}^{M-1} V_M(\mu)\,e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n} \, \gamma_{-1}(n)\bigg\} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Reihenfolge von Transformation und Summe ...}}}\\ &=\,\, \sum\limits_{\mu=0}^{M-1} V_M(\mu) \,\mathcal{Z}\big\{e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n} \, \gamma_{-1}(n) \big\}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Modulationssatz ...}}}\\ &=\,\, \sum\limits_{\mu=0}^{M-1} V_M(\mu) \,\mathcal{Z}\big\{\gamma_{-1}(n)\big\} \Big|_{z:=\frac{z}{e^{j\mu\frac{2\pi}{M}}}} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Transformationsergebnis einsetzen ...}}}\\ &=\,\,\sum\limits_{\mu=0}^{M-1} V_M(\mu) \,\frac{z}{z-e^{j\mu\frac{2\pi}{M}}} \qquad\qquad \text{für }|z| > 1. \end{aligned}\end{equation*}

Es lassen sich folgende Beobachtungen machen:

Modulierte Rampe

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*} v(t) \,=\, e^{s_{\infty}t}\,\delta_{-2}(t) \end{equation*}

gegeben. Dies kann man folgendermaßen auf die Sprungfunktion zurückführen:

\begin{equation*} v(t) \,=\, e^{s_{\infty}t}\,t\,\delta_{-1}(t). \end{equation*}

Gesucht ist die zugehörige Laplace-Transormierte und der Konvergenzbereich:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{L}\big\{v(t)\big\} \,\,&=\,\, \mathcal{L}\big\{e^{s_{\infty}t}\,t\,\delta_{-1}(t)\big\}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{...Multiplikation mit \(t\) entspricht modifizierter Ableitung im Spektrum ...}}}\\ &=\,\, -\frac{d}{ds}\Big[\mathcal{L}\big\{e^{s_{\infty}t}\,\delta_{-1}(t)\big\}\Big] \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen bisheriger Ergebnisse ...}}}\\ &=\,\, -\frac{d}{ds}\left[\frac{1}{s-s_{\infty}}\right]\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Quotientenregel \(\left[ \frac{u}{v}\right]' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) ...}}}\\ &=\,\,\frac{1}{(s-s_{\infty})^2} \qquad\qquad \textrm{für}\,\,\textrm{Re}\{s\} > \textrm{Re}\{s_{\infty}\}. \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale ist

\begin{equation*} v(n) \,=\, z_{\infty}^n\,\gamma_{-2}(n) \end{equation*}

gegeben. Dies kann man folgendermaßen auf die Sprungfunktion zurückführen:

\begin{equation*} v(n) \,=\, z_{\infty}^n\,n\,\gamma_{-1}(n). \end{equation*}

Gesucht ist die zugehörige z-Transormierte und der Konvergenzbereich:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{Z}\big\{v(n)\big\} \,\,&=\,\, \mathcal{Z}\big\{z_{\infty}^n\,n\,\gamma_{-1}(n)\big\} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{...Multiplikation mit \(n\) entspricht modifizierter Ableitung im Spektrum ...}}}\\ &=\,\, -z\,\frac{d}{dz}\Big[\mathcal{Z}\big\{z_{\infty}^n\,\gamma_{-1}(n)\big\}\Big] \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen bisheriger Ergebnisse ...}}}\\ &=\,\, -z\,\frac{d}{dz}\left[\frac{z}{z-z_{\infty}}\right]\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Quotientenregel \(\left[ \frac{u}{v}\right]' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) ...}}}\\ &=\,\, \frac{z\,z_{\infty}}{(z-z_{\infty})^2} \qquad\qquad |z| > |z_{\infty}|. \end{aligned}\end{equation*}

Offenbar führt jeder weitere Faktor \(t\) bzw. \(n\) beim Signal zu ...
... einem immer glatteren Verlauf bei \(t\,\,=\,\,0\) bzw. \(n\,\,=\,\,0\),
... einem immer höheren Grad des Nennerterms \(s-s_\infty\) bzw. \(z-z_\infty\),
... einer immer größeren Graddifferenz des Zähler- und des Nennerterms, weil der Zählergrad gleich bleibt (zumindest bei der Laplace-Transformation)

Gebrochen-rationale Funktionen

Die bisher genannten Signal-Transformations-Paare sind Sonderfälle einer allgemeineren ransformationsklasse, die in Anwendungen sehr häufig auftritt:

Für kontinuierliche Signale:

\begin{equation*} V(s) \,\,=\,\,\frac{\sum\limits_{\mu=0}^{m}\alpha_{\mu}\,s^{\mu}} {\sum\limits_{\nu=0}^{k}\beta_{\nu}\,s^{\nu}} \end{equation*}

und für diskrete Signale:

\begin{equation*} V(z) \,\,=\,\,\frac{\sum\limits_{\mu=0}^{m}\alpha_{\mu}\,z^{\mu}} {\sum\limits_{\nu=0}^{k}\beta_{\nu}\,z^{\nu}}. \end{equation*}

Den Quotienten zweier Polynome bezeichnet man als (gebrochen) rationale Funktionen. Rationale Funktionen lassen sich in Partialbrüche zerlegen. Die Basis ist, dass jedes Polynom N-ten Grades N Nullstellen hat. Dies gilt natürlich auch für Nenner-Polynome. Nenner-Nullstellen bedeuten aber „Unendlichkeitsstellen“ des Quotienten, das sind sog. „Pole“ von \(V(s)\) bzw. \(V(z)\).

Partialbruchdarstellungen für den Fall \(m\,\,=\,\,k\) (Grad des Nennerpolynoms = Grad des Zählerpolynoms) und für kontinuierliche Signale mit

\begin{equation*} s_{\infty,\mu}\,\ne\, s_{\infty,\lambda}\quad\forall\,\mu\,\ne\,\lambda \end{equation*}

und für diskrete Signaleb mit

\begin{equation*} z_{\infty,\mu}\,\ne\, z_{\infty,\lambda}\quad\forall\,\mu\,\ne\,\lambda, \end{equation*}

d.h. alle Polstellen sind unterschiedlich und kommen jeweils nur einmal vor. Unter diesen Randbedingungen ist folgende Umformung möglich:
Für kontinuierliche Signale:

\begin{equation*} V(s) \,\,=\,\,B_0 + \sum\limits_{\nu=1}^{k} \frac{B_{\nu}}{s-s_{\infty,\nu}} \end{equation*}

und für diskrete Signale:

\begin{equation*} V(z) \,\,=\,\,B_0 + \sum\limits_{\nu=1}^{k} \frac{B_{\nu}}{z-z_{\infty,\nu}}. \end{equation*}

Wegen der Linearität der Laplace- und der z-Transformation sind mit den vorherigen Beispielen die Rücktransformationen einfach möglich.
Für kontinuierliche Signale mit:

\begin{equation*}\begin{aligned} V(s) \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ &\,\,v(t) \\ &=\,\,B_0\,\delta_0(t) + \sum\limits_{\nu=1}^{k} B_{\nu}\,e^{s_{\infty,\nu}t}\, \delta_{-1}(t)\\ & \qquad\qquad \textrm{für}\,\,\textrm{Re}\{s\} > \max\Big\{\textrm{Re} \{s_{\infty,\nu}\}\Big\}. \end{aligned}\end{equation*}

und für diskrete Signale mit:

\begin{equation*}\begin{aligned} V(z) \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ &\,\,v(n) \\ &=\,\,B_0\,\gamma_0(t) + \sum\limits_{\nu=1}^{k} B_{\nu}\,e^{s_{\infty,\nu}n}\, \gamma_{-1}(n)\\ & \qquad\qquad \textrm{für}\,\,|z| > \max\Big\{|z_{\infty,\nu}|\Big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Partialbruchdarstellungen für den Fall \(m\,\,=\,\,k\) (Grad des Nennerpolynoms = Grad des Zählerpolynoms) und für mehrfache Pole, d.h.
für kontinuierliche Signale mit:

\begin{equation*} (s-s_{\infty,\nu})^{k_{\nu}} \end{equation*}

und für diskrete Signale mit:

\begin{equation*} (z-z_{\infty,\nu})^{k_{\nu}} \end{equation*}

Dabei gibt \(k_{\nu}\) die Vielfachheit des Poles an.
Wenn zumindest ein Pol mehrfach vorhanden ist, gibt es offenbar weniger als \(k\) verschiedene Pole \(s_{\infty,\nu}\) bzw. \(z_{\infty,\nu}\), da deren Gesamtzahl ja unverändert ( = \(k\)) bleibt. Mit der Anzahl \(k_0\) unterschiedlicher Pole gilt aber immer:

\begin{equation*} \sum\limits_{\nu=1}^{k_0}k_{\nu} \,\,=\,\,k. \end{equation*}

Wendet man eine allgemeine Partialbruchzerlegung an, die auch Mehrfachpolstellen berücksichtigt, so gelangt man zu folgender Form für kontinuierliche Signale

\begin{equation*}\begin{aligned} V(s)\,\,=\,\,B_0 + \sum\limits_{\nu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\nu}} \frac{B_{\nu,\kappa}}{(s-s_{\infty,\nu})^{\kappa}} \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ &v(t) \\ &=\,\,B_0\,\delta_0(t) + \sum\limits_{\nu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\nu}} B_{\nu,\kappa}\,e^{s_{\infty,\nu}t}\,\delta_{-\kappa}(t)\\ &=\,\, B_0\,\delta_0(t) + \sum\limits_{\nu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\nu}} B_{\nu,\kappa}\,e^{s_{\infty,\nu}t}\,\frac{t^{\kappa-1}}{(\kappa-1)!}\,\delta_{-1}(t)\\ &\qquad\qquad \textrm{für}\,\,\textrm{Re}\{s\} > \max\Big\{\textrm{Re}\{s_{\infty,\nu}\}\Big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signalefolgt:

\begin{equation*}\begin{aligned} V(z) \,\,=\,\,B_0 + \sum\limits_{\nu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\nu}} B_{\nu,\kappa}\,\frac{z}{(z-z_{\infty,\nu})^{\kappa}} \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ &v(n) \\ &=\,\,B_0\,\gamma_0(n) +\\ &\sum\limits_{\nu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_\nu} B_{\nu,\kappa}\, z_{\infty,\nu}^{n-\kappa+1}\,\left(\begin{matrix}n \\ \kappa-1\end{matrix} \right)\,\gamma_{-1}(n-\kappa+1)\\ &\qquad\qquad \textrm{für}\,\,|z| > \max\Big\{|z_{\infty,\nu}|\Big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Bei der Partialbruchzerlegung tauchen dabei nicht nur jene Terme mit der maximalen Vielfachheit, sondern auch alle anderen (mit geringerer Vielfachheit) auf! Man beachte bei obigen Berechnungen die beiliegenden Transformationstabellen!

Es sollen nun die Partialbruchkoeffizienten \(B_{\nu}\) bzw. \(B_{\nu,\kappa}\) berechnet werden. Die Absolut-Glieder \(b_0\) für kontinuierliche Signale ergeben sich wie folgt:

\begin{equation*}\begin{aligned} \lim_{s\rightarrow\infty} \Big[V(s)\Big] \,\,&=\,\, \lim_{s\rightarrow\infty} \left[B_0 + \sum\limits_{\nu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\nu}} \frac{B_{\nu,\kappa}}{(s-s_{\infty,\nu})^{\kappa}}\right] \\ &=\,\, B_0 \end{aligned}\end{equation*}

Setzt man noch die ursprüngliche Form des Spektrums

\begin{equation*} V(s) \,\,=\,\,\frac{\sum\limits_{\mu=0}^{k}\alpha_{\mu}\,s^{\mu}} {\sum\limits_{\nu=0}^{k}\beta_{\nu}\,s^{\nu}} \end{equation*}

ein, so ergibt sich

\begin{equation*} \lim_{s\rightarrow\infty} \Big[V(s)\Big] \,\,=\,\, B_0 \,\,=\,\,\frac{\alpha_k}{\beta_k}. \end{equation*}

Für diskrete Signale ergibt sich analog:

\begin{equation*}\begin{aligned} \lim_{z\rightarrow 0} \Big[V(z)\Big] \,\,&=\,\, \lim_{z\rightarrow 0} \left[B_0 + \sum\limits_{\nu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\nu}} B_{\nu,\kappa}\,\frac{z}{(z-z_{\infty,\nu})^{\kappa}}\right] &=\,\, B_0 \end{aligned}\end{equation*}

Setzt man noch die ursprüngliche Form des Spektrums

\begin{equation*} V(z) \,\,=\,\,\frac{\sum\limits_{\mu=0}^{k}\alpha_{\mu}\,z^{\mu}} {\sum\limits_{\nu=0}^{k}\beta_{\nu}\,z^{\nu}} \end{equation*}

ein, so ergibt sich

\begin{equation*} \lim_{z\rightarrow 0} \Big[V(z)\Big] \,\,=\,\, B_0 \,\,=\,\,\frac{\alpha_0}{\beta_0}. \end{equation*}

Zur Berechnung der Koeffizienten \(B_\nu) bei einfachen Polen für kontinuierliche Signale geht man wie folgt vor:

\begin{equation*}\begin{aligned} &\lim_{s\rightarrow s_{\infty,\nu}} \Big[V(s)\,(s-s_{\infty,\nu})\Big] \\ & \qquad =\,\,\lim_{s\rightarrow s_{\infty,\nu}} \left[(s-s_{\infty,\nu})\,\left(B_0 + \frac{B_{\nu}}{s-s_{\infty,\nu}} + \sum\limits_{\mu=1,\mu\ne\nu}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} \frac{B_{\mu,\kappa}}{(s-s_{\infty,\mu})^{\kappa}}\right) \right] \\ & \qquad =\,\, \lim_{s\rightarrow s_{\infty,\nu}} \left[B_0\,(s-s_{\infty,\nu}) + B_{\nu} + \sum\limits_{\mu=1,\mu\ne\nu}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} \frac{B_{\mu,\kappa}\,(s-s_{\infty,\nu})}{(s-s_{\infty,\mu})^{\kappa}}\right]\\ & \qquad =\,\, B_{\nu} \end{aligned}\end{equation*}

Analog gilt bei der Berechnung der Koeffizienten \(B_\nu}) bei einfachen Polen für diskrete Signale Folgendes:

\begin{equation*}\begin{aligned} & \lim_{z\rightarrow z_{\infty,\nu}} \Big[V(z)\,\frac{z-z_{\infty,\nu}}{z}\Big] \\ &\qquad =\,\,\lim_{z\rightarrow z_{\infty,\nu}} \left[\frac{z-z_{\infty,\nu}}{z}\, \left(B_0 + B_{\nu}\,\frac{z}{z-z_{\infty,\nu}} + \sum\limits_{\mu=1,\mu\ne\nu}^{k_0} \sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} \frac{B_{\mu,\kappa}\,z}{(z-z_{\infty,\mu})^{\kappa}}\right) \right]\\ & \qquad =\,\, \lim_{z\rightarrow z_{\infty,\nu}} \left[B_0\,\frac{z-z_{\infty,\nu}}{z} + B_{\nu} + \sum\limits_{\mu=1,\mu\ne\nu}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} \frac{z-z_{\infty,\nu}}{z}\, \frac{B_{\mu,\kappa}\,z}{(z-z_{\infty,\mu})^{\kappa}}\right] \\ &\qquad =\,\, B_{\nu} \end{aligned}\end{equation*}

Bei der Bestimmung der Koeffizienten \(B_{\nu,\kappa}\)bei mehrfachen Polen für kontinuierliche Signale gilt:

\begin{equation*} B_{\nu,\kappa} \,\,=\,\, \frac{1}{(k_{\nu}-\kappa)!}\,\lim_{s\rightarrow s_{\infty,\nu}} \left[\frac{d^{k_{\nu}-\kappa}}{ds^{k_{\nu}-\kappa}}\,V(s)\,(s-s_{\infty,\nu})^{k_{\nu}}\right] \end{equation*}

und analog für diskrete Signale:

\begin{equation*} B_{\nu,\kappa} \,\,=\,\, \frac{1}{(k_{\nu}-\kappa)!}\,\lim_{z\rightarrow z_{\infty,\nu}} \left[\frac{d^{k_{\nu}-\kappa}}{dz^{k_{\nu}-\kappa}}\,\frac{V(z)}{z}\,(z-z_{\infty,\nu})^{k_{\nu}}\right]. \end{equation*}

Transformationstabellen

Laplace-Transformation

\(v(t)\) \(\mathcal{L}\{v(t)\}\) Konvergenzbereich
\(\delta_{-1}(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t\geq0 \end{cases}\) \(\frac{1}{s}\) \(\text{Re}\{s\}>0\)

\( \cos(\omega_0t-\varphi)\cdot \delta_{-1}(t)\)
\(\frac{s\cos(\varphi)+\omega_0\sin(\varphi)}{s^2+\omega_0^2}\) \(\text{Re}\{s\}>0\)

\( \cos(\omega_0t)\cdot \delta_{-1}(t)\)
\(\frac{s}{s^2+\omega_0^2}\) \(\text{Re}\{s\}>0\)

\(\sin(\omega_0t)\cdot \delta_{-1}(t)\)
\(\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\) \(\text{Re}\{s\}>0\)

\(t^k \cdot \delta_{-1}(t) \quad k\in \mathbb{N}_0 \)
\(\frac{k!}{s^{k+1}}\) \(\text{Re}\{s\}>0\)

\(\delta_{-k}(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} & t\geq0 \end{cases} \quad k\in \mathbb{N}\)
\( \frac{1}{s^k}\) \(\text{Re}\{s\}>0\)

\(te^{s_{\infty}t} \cdot \delta_{-1}(t)\)
\( \frac{1}{(s-s_{\infty})^2}\) \(\text{Re}\{s\}>\text{Re}\{s_{\infty}\}\)

\(t^2e^{s_{\infty}t} \cdot \delta_{-1}(t)\)
\( \frac{2!}{(s-s_{\infty})^3}\) \(\text{Re}\{s\}>\text{Re}\{s_{\infty}\}\)

\(t^ke^{s_{\infty}t} \cdot \delta_{-1}(t)\)
\( \frac{k!}{(s-s_{\infty})^{k+1}}\) \(\text{Re}\{s\}>\text{Re}\{s_{\infty}\}\)

\(e^{s_{\infty}t} \cdot \delta_{-k}(t)\)
\(\frac{1}{(s-s_{\infty})^k}\) \(\text{Re}\{s\}>\text{Re}\{s_{\infty}\}\)

\(e^{s_{\infty}t}[1+s_{\infty}t] \cdot \delta_{-1}(t)\)
\(\frac{s}{(s-s_{\infty})^2}\) \(\text{Re}\{s\}>\text{Re}\{s_{\infty}\}\)

\( \frac{d^\kappa}{dt^\kappa}e^{s_{\infty}t} \cdot \delta_{-k}(t)\)
\( \frac{s^\kappa}{(s-s_{\infty})^\kappa}\) \(\text{Re}\{s\}>\text{Re}\{s_{\infty}\}\)

z-Transformation

\(v(n)\) \(\mathcal{Z}\{v(n)\}\) Konvergenzbereich
\(\gamma_{0}(n)=\begin{cases} 0 & n\neq0 \\ 1 & n=0 \end{cases}\) \(1\) ganze z-Ebene

\(\gamma_{-1}(n)=\begin{cases} 0 & n<0 \\ 1 & n\geq0 \end{cases}\)
\( \frac{z}{z-1}\) \(|z|>1\)

\(z_{\infty}^n \cdot \gamma_{-1}(n)\)
\(\frac{z}{z-z_{\infty}}\) \(|z|>|z_{\infty}|\)

\(\cos(\Omega_0n-\varphi)\cdot\gamma_{-1}(n)\)
\(\frac{z[z\cdot\cos(\varphi)-\cos(\Omega_0+\varphi)]}{z^2-2z\cdot\cos(\Omega_0)+1}\) \(|z|>1\)

\(\cos(\Omega_0n)\cdot\gamma_{-1}(n)\)
\(\frac{z[z-\cos(\Omega_0)]}{z^2-2z\cdot\cos(\Omega_0)+1}\) \(|z|>1\)

\(\sin(\Omega_0n)\cdot\gamma_{-1}(n)\)
\(\frac{z\cdot\sin(\Omega_0)}{z^2-2z\cdot\cos(\Omega_0)+1}\) \(|z|>1\)

\(n\cdot z_{\infty}^n \cdot \gamma_{-1}(n)\)
\(\frac{z\cdot z_{\infty}}{(z-z_{\infty})^2}\) \(|z|>|z_{\infty}|\)

\(n^2\cdot z_{\infty}^n\cdot \gamma_{-1}(n)\)
\(\frac{z\cdot z_{\infty}(z+z_{\infty})}{(z-z_{\infty})^3}\) \(|z|>|z_{\infty}|\)

\( {n+\lambda-1 \choose \kappa} z_{\infty}^{n+\lambda-\kappa-1}\)
\((=0, \quad \forall n<\kappa+1-\lambda)\)
\( \textrm{mit }\lambda, \kappa \in \mathbb{N}_0, \; \lambda\leq\kappa+1\)
\( \frac{z^\lambda}{(z-z_{\infty})^{\kappa+1}}\) \(|z|>|z_{\infty}|\)

\( {n \choose \kappa} (=0, \quad n<\kappa)\)
\( \frac{z}{(z-1)^{\kappa+1}}\) \(|z|>1\)

Verständnisfragen

Fragen:
Gegeben sein folgende Übertragungsfunktion \begin{equation*} H(z)\,\,=\,\,\frac{z+0.9}{z-0.9} \end{equation*} Versuchen Sie den Betrag dieser Funktion im gesamten z-Bereich zu skizzieren.
Zum Anzeigen oder Verbergen der Lösung bitte den Button rechts betätigen.

Der Betrag dieser Übertragungsfunktion im geamten z-Bereich sieht wie folgt aus: Durch Anklicken der Graphik kann diese in einem neuen Fenster in voller Auflösung betrachtet werden. Die Polstelle \(z\,=\,0.9\) ist deutlich zu erkennen. Der Peak dort geht gegen unendlich, da hier in der Übertragungsfunktion durch Null geteilt wird. Da dieser Peak über eine enorme Höhe verfügt, ist der eher gering ausgeprägte Peak bei der Nullstelle mit \(z\,=\,0.9\) nicht zu erkennen. In folgender Graphik wurde die Übertragungsfunktion aus diesem Grund aus einer "näheren" Perspektive betrachtet: Auch hier ermöglicht das Anklicken der Graphik eine Betrachtung in einem neuen Fenster mit voller Auflösung. Auf der rechten Seite ist der Beginn des Polstellen-Peaks zu erkennen. Auf der linken Seite sieht man nun den Peak der Nullstelle in Richtung der Nullebene. Er zeigt in die entgegengesetzte Richtung des Polstellen-Peaks.

Wie sieht der Betrag der Übertragungsfunktion aus (skizzieren Sie diesen)?
Zum Anzeigen oder Verbergen der Lösung bitte den Button rechts betätigen.

Der Betrag dieser Übertragungsfunktion sieht wie folgt aus: Durch Anklicken der Graphik kann diese in einem neuen Fenster in voller Auflösung betrachtet werden.

Um welche Art von Filter handelt es sich?
Zum Anzeigen oder Verbergen der Lösung bitte den Button rechts betätigen.

Es handelt sie hier um einen Tiefpass. Tiefe Frequenzen werden durchgelassen, können also das Filter "passieren" und hohe Frequenzen werden stark gedämpft oder sogar ganz eliminiert.

Zusammenhänge und Querverbindungen

Transformation von "Signum-Signalen"

Für kontinuierliche Siganle ist

\begin{equation*}\begin{aligned} s(t) \,=\, \textrm{sgn}(t)\,\,\,\, \begin{cases} 1,\,\, & t\,>\,0, \\ 0,\,\, & t\,=\,0, \\ -1,\,\, & t\,<\,0. \\ \end{cases}. \end{aligned}\end{equation*}

SignFktn
\( s(t) \)
\( t \)
\( -1 \)
\( 1 \)


Die Fourier-Transformation davon ist laut Existenzbedingung problematisch, da:

\begin{equation*}\begin{aligned} \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} \big|s(t)\big|\,dt \,\,=\,\,2\int\limits_{t=0}^{\infty} 1\,dt \,\,\longrightarrow\,\,\infty. \end{aligned}\end{equation*}

Dennoch existiert das Spektrum \(S(j\omega)\)als gewöhnliche Funktion, die mit einem "Kunstgriff" zu finden sind und deren inverse Transformation auch wieder auf das Eingangssignal führt.

Es gilt die verallgemeinerte Ableitung:

\begin{equation*}\begin{aligned} \textrm{D}\big\{ s(t) \big\} \,\,=\,\,2\,\delta_0(t) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, S(j\omega)\,j\omega \,\,=\,\,2\,\cdot\,1\\ \Longrightarrow\,\,S(j\omega) \,\,=\,\,\frac{2}{j\omega}. \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Siganle ist

\begin{equation*}\begin{aligned} s(n) \,=\, \textrm{sgn}(n)\,\,\,\, \begin{cases} 1,\,\, & n\,>\,0, \\ 0,\,\, & n\,=\,0, \\ -1,\,\, & n\,<\,0. \\ \end{cases}. \end{aligned}\end{equation*}

SignFktndiskret
\( s(n) \)
\( n \)
\( -1 \)
\( 1 \)


Die Fourier-Transformation davon ist laut Existenzbedingung problematisch, da:

\begin{equation*}\begin{aligned} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \big|s(n)\big|\,dt \,\,=\,\,2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} 1 \,\,\longrightarrow\,\,\infty. \end{aligned}\end{equation*}

Dennoch existiert das Spektrum \(S(e^{j\,\Omega})\)als gewöhnliche Funktion, die mit einem "Kunstgriff" zu finden sind und deren inverse Transformation auch wieder auf das Eingangssignal führt.

Es gilt die verallgemeinerte Ableitung:

\begin{equation*}\begin{aligned} s(n) - s(n-1) \,\,=\,\, \gamma_0(n) + \gamma_0(n-1) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, &S\big(e^{j\Omega}\big)\,\big[ 1 - e^{-j\Omega}\big] \,\,=\,\, 1\,\big[ 1 + e^{-j\Omega}\big]\\ &\Longrightarrow\,\,S(e^{j\Omega}) \,\,=\,\,\frac{1+e^{-j\Omega}}{1-e^{-j\Omega}}. \end{aligned}\end{equation*}

Die Spektralfunktion kann wie folgt umgeformt werden:

\begin{equation*}\begin{aligned} S(e^{j\Omega}) &=\,\, \frac{1+e^{-j\Omega}}{1-e^{-j\Omega}}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Ausklammern von \(e^{-j \frac{\Omega}{2}}\) ...}}}\\ &=\,\, \frac{e^{-j\frac{\Omega}{2}}\,\big[e^{j\frac{\Omega}{2}}+ e^{-j\frac{\Omega}{2}}\big]}{e^{-j\frac{\Omega}{2}}\,\big[e^{j\frac{\Omega}{2}}-e^{-j\frac{\Omega}{2}}\big]}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... cos- und sin-Funktionen einsetzen ...}}}\\ &=\,\,\frac{2\,\cos\big(\frac{\Omega}{2}\big)}{2j\,\sin\big(\frac{\Omega}{2}\big)} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... cot-Funktion einsetzen ...}}}\\ &=\,\, -j\cot\left( \frac{\Omega}{2}\right). \end{aligned}\end{equation*}

Zur Veranschaulichung der Differenzbildung soll folgende Graphik dienen

DiffSignFktndiskret
\( s(n) \)
\( n \)
\( -1 \)
\( 1 \)
\( s(n-1) \)
\( n \)
\( -1 \)
\( 1 \)
\( s(n)-s(n-1) \)
\( n \)
\( 1 \)


Sowohl die z- als auch die Laplace-Transformation existieren nicht - – es lassen sich keine "passenden" Werte \(\sigma = \textrm{Re}\{s\}\) bzw. \(\rho = |z|\) finden, für welche die Existenzbedingungen (absolute Integrierbarkeit bzw. Summierbarkeit) erfüllbar wären.

Transformation von "Sprung-Signalen"

Für die Laplace- und z-Transformation haben wir bereits folgende Ergebnisse bestimmt:
Im Kontinuierlichen

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t) \,=\, \delta_{-1}(t) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, \mathcal{L}\Big\{ \delta_{-1}(t) \Big\} \,\,=\,\, \frac{1}{s} \,\,\textrm{für} \,\,\textrm{Re}\{s\} > 0 \end{aligned}\end{equation*}

und im Kontinuierlichen

\begin{equation*}\begin{aligned} v(n) \,=\, \gamma_{-1}(n) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, \mathcal{Z}\Big\{ \gamma_{-1}(n) \Big\} \,\,=\,\, \frac{1}{1-z^{-1}} \,\,\textrm{für}\,\,|z| > 1. \end{aligned}\end{equation*}

Der "Kunstgriff" aus dem vorigen Beispiel f&uum,l;hrt hier nicht zum Erfolg: Die Rücktransformation des Ergebnisses ist nicht wiedeächlich nicht.
Aber: Mit Hilfe der vorherigen Ergebnisse findet man die Fourier-Transformierte von Sprungsignalen. Im Kontinuierlichen kann mit der Signum-Funktion folgende Umformung durchgeführt werden:

\begin{equation*}\begin{aligned} \delta_{-1}(t) \,\,=\,\, \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,\textrm{sgn}(t) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, &\mathcal{F}\Big\{ \delta_{-1}(t) \Big\} \\ &=\,\, \frac{1}{2}\,2\pi\,\delta_0(\omega) + \frac{1}{2}\,\frac{2}{j\omega}\\ &=\,\, \pi\,\delta_0(\omega)+\frac{1}{j\omega}. \end{aligned}\end{equation*}

Hier liegt das Problem: Die Fourier-Transformierte ist nur anzugeben, wenn Distributionen, d.h. "verallgemeinerte" Funktionen, zugelassen werden. Offenbar gilt hier:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{L}\Big\{ \delta_{-1}(t) \Big\}\bigg|_{s=j\omega} \,\,\ne\,\, \mathcal{F}\Big\{ \delta_{-1}(t) \Big\} \end{aligned}\end{equation*}

Analog kann im Diskretenmit der Signum-Funktion folgende Umformung durchgeführt werden:

\begin{equation*}\begin{aligned} \gamma_{-1}(n) \,\,=\,\, \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,\textrm{sgn}(n) + \frac{1}{2}\,\gamma_0(n) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, &\mathcal{F}\Big\{ \gamma_{-1}(n) \Big\} \\ &\qquad =\,\, \pi\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\! \delta_0(\Omega-\lambda\,2\pi) + \frac{1}{2j}\,\cot\left(\frac{\Omega}{2}\right)+\frac{1}{2}. \end{aligned}\end{equation*}

Hier liegt das Problem: Die Fourier-Transformierte ist nur anzugeben, wenn Distributionen, d.h. "verallgemeinerte" Funktionen, zugelassen werden. Offenbar gilt hier:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{Z}\Big\{ \gamma_{-1}(n) \Big\}\bigg|_{z=e^{j\Omega}} \,\,\ne\,\, \mathcal{F}\Big\{ \gamma_{-1}(n) \Big\} \end{aligned}\end{equation*}

Zusammenhang zwischen Sprungsignalen und Integration bzw. Summation

Gemäß den Überlegungen, die zuvor angestellt wurden gilt für integrierte Signale mit:

\begin{equation*}\begin{aligned} V(s) \,\,&=\,\,\mathcal{L}\big\{ v(t) \big\},\\ v_1(t) \,\,&=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{t} v(\tau)\,d\tau. \end{aligned}\end{equation*}

Durch Transformation der Integration erhält man zum einen

\begin{equation*}\begin{aligned} V_1(s) &=&\frac{1}{s}\,V(s), \end{aligned}\end{equation*}

und zum anderen erhält man durch den Faltungssatz:

\begin{equation*}\begin{aligned} v_1(t) \,\,&=\,\,v(t) \,\ast\,\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s}\Big\}\\ \,\,&=\,\, v(t)\,\ast\,\delta_{-1}(t). \end{aligned}\end{equation*}

Zusammengefasst ergibt sich:

\begin{equation*}\begin{aligned} \int\limits_{\tau=-\infty}^{t} v(\tau)\,d\tau \,\,=\,\,v(t)\,\ast\,\delta_{-1}(t). \end{aligned}\end{equation*}

Die Integration kann als Faltung mit einer Sprungfunktion aufgefasst werden!

Ebenso lässt sich gemäß den Überlegungen, die zuvor angestellt wurden gilt für akkumulierte Signale mit:

\begin{equation*}\begin{aligned} V(z) \,\,&=\,\,\mathcal{Z}\big\{ v(n) \big\}, \\ v_1(n)\,\,&=\,\,\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n}v(\kappa) . \end{aligned}\end{equation*}

Durch Transformation der Integration erhält man zum einen

\begin{equation*}\begin{aligned} V_1(z) &=&\frac{z}{z-1}\,V(z), \end{aligned}\end{equation*}

und zum anderen erhält man durch den Faltungssatz:

\begin{equation*}\begin{aligned} v_1(n) \,\,&=\,\,v(n) \,\ast\,\mathcal{Z}^{-1}\Big\{\frac{z}{z-1}\Big\}\\ \,\,&=\,\, v(n)\,\ast\,\gamma_{-1}(n). \end{aligned}\end{equation*}

Zusammengefasst ergibt sich:

\begin{equation*}\begin{aligned} \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n}v(\kappa) \,\,=\,\,v(n)\,\ast\, \gamma_{-1}(n). \end{aligned}\end{equation*}

Die Akkumulation kann als Faltung mit einer Sprungfunktion aufgefasst werden!

Zusammenhang zwischen den einzelnen Transformationen

Es seien Signale mit endlicher Länge gegeben, im Kontinuierlichenmit

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t) &\in& \mathbb{C},\,\,\textrm{für}\,\,t\,\in\,[0,\,T],\\ v(t) &=& 0,\,\,\,\textrm{für}\,\,t\,\not\in\,[0,\,T]. \end{aligned}\end{equation*}

und im Diskretenmit

\begin{equation*}\begin{aligned} v(n) &\in& \mathbb{C},\,\,\textrm{für}\,\,n\,\in\,\{0,\,...,\,M-1\},\\ v(n) &=& 0,\,\,\,\textrm{für}\,\,n\,\not\in\,\{0,\,...,\,M-1\}. \end{aligned}\end{equation*}

Für die Fourier-Transformationen erhält man dann für kontinuierliche Signale

\begin{equation*}\begin{aligned} V(j\omega)\,\,=\,\,\int\limits_{t=0}^{T}v(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \end{aligned}\end{equation*}

diskrete Signale

\begin{equation*}\begin{aligned} V(e^{j\Omega})\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^{M-1}v(n)\,e^{-j\Omega n}. \end{aligned}\end{equation*}

Solange \(|v(t)|\) bzw. \(|v(n)|\) endlich groö sind, ergeben sich hier stets auch endlich große Integrale bzw. Summen – die Existenzbedingungen der Fourier-Transformation sind immer erfüllt!

Ähnliche Überlegungen können auch für die Laplace- und die z-Transformation angestellt werden. Für Signale mit endlicher Länge gilt im Kontinuierlichen

\begin{equation*}\begin{aligned} V(j\omega)\,\,=\,\,\int\limits_{t=0}^{T}v(t)\,e^{-s t}\,dt \end{aligned}\end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*}\begin{aligned} V(z)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^{M-1}v(n)\,z^{-n}. \end{aligned}\end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*}\begin{aligned} V(z)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^{M-1}v(n)\,z^{-n}. \end{aligned}\end{equation*}

Weisen die Signale eine Betragsbeschränkung auf, so existieren die Laplace- und die z-Transformierte für alle \(s\) bzw. \(z\). Damit sind natürlich auch \(\textrm{Re}\{s\} \,=\,\sigma\,=\,0\) bzw. \(|z| \,=\,\rho\,=\,1 \) erlaubt, d.h. es gilt für endlich lange, betragsbeschränkte kontinuierliche Signale:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{F}\big\{ v(t)\big\}\,\,=\,\, \mathcal{L}\big\{ v(t)\big\}\Big|_{s=j\omega} \end{aligned}\end{equation*}

und für diskrete:

\begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{F}\big\{ v(n)\big\}\,\,=\,\, \mathcal{Z}\big\{ v(n)\big\}\Big|_{z=e^{j\Omega}}. \end{aligned}\end{equation*}

Setzt man nun das zeitlich begrenzte Signal periodisch fort, d.h. es gilt im Kontinuierlichen

\begin{equation*}\begin{aligned} v_{\text{p}}(t)\,\,=\,\,\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}v(t-\lambda T) \end{aligned}\end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*}\begin{aligned} v_{\text{p}}(n)\,\,=\,\,\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}v(n-\lambda M). \end{aligned}\end{equation*}

Für periodische Signale kann daraus eine Fourier-Reihe bzw. eine Diskrete Fourier-Transformation mit den entsprechenden Koeffizienten entwickelt werden:

\begin{equation*}\begin{aligned} &\scriptsize{\color{grey}{\text{(Kontinuierlich)}}}\\ c_{\mu}\,\,=\,\,\frac{1}{T}\int\limits_{t=0}^{T}v(t)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\,dt, \end{aligned}\end{equation*}

\begin{equation*}\begin{aligned} &\scriptsize{\color{grey}{\text{(Diskret)}}}\\ V_M(\mu)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^{M-1}v(n)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n}. \end{aligned}\end{equation*}

Gemäß den bisherigen Überlegungen bestehen folgende Zusammenhänge zwischen den einzelnen Transformationen:

\begin{equation*}\begin{aligned} \scriptsize{\color{grey}{\text{(Kontinuierlich)}}}\\ &c_{\mu} \,\,=\,\,&\frac{1}{T}\,V(j\omega)\Big|_{\omega=\mu\frac{2\pi}{T}} \,\,=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&V(s)\Big|_{s=j\mu\frac{2\pi}{T}},\\ &\scriptsize{\text{Fourier-Reihe}} &\scriptsize{\text{Fourier-Transformation}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&\scriptsize{\text{Laplace-Transformation}} \end{aligned}\end{equation*}

\begin{equation*}\begin{aligned} \scriptsize{\color{grey}{\text{(Kontinuierlich)}}}\\ &V_M(\mu) \,\,=\,\,&V(e^{j\Omega})\Big|_{\Omega=\mu\frac{2\pi}{M}} \,\,=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&V(z)\Big|_{z=e^{j\mu\frac{2\pi}{M}}}.\\ &\scriptsize{\text{DFT}} &\scriptsize{\text{Fourier-Transformation}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&\scriptsize{\text{z-Transformation}} \end{aligned}\end{equation*}

Zusammengefasst kann man sagen:

In bestimmten Fällen genügen Abtastwerte zur vollständigen Beschreibung kontinuierlicher Funktionen – hierzu am Ende der Vorlesung mehr!

Zusammenhang zwischen Grad-Differenz und Stetigkeit

Man betrachte kontinuierliche Signale, deren Laplace-Spektrum folgende Form aufweist:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t)\,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,V(s) \,\,=\,\,\left.\frac{\sum\limits_{\mu=0}^{m} \alpha_{\mu}\,s^{\mu} }{\sum\limits_{\nu=0}^{k} \beta_{\nu}\,s^{\nu}}\right|_{\beta_k=1} \end{aligned}\end{equation*}

Wir bezeichnen die Grad-Differenz mit \(\Delta=k-m\) und nehmen an, dass diese größer als oder gleich Null sein soll. In diesem Fall liefert die inverse Laplace-Transformation:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t) \,\,=\,\,B_0\,\delta_0(t) + \sum\limits_{\nu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1} ^{k_{\nu}} B_{\nu,\kappa}\,e^{s_{\infty,\nu}t}\,\delta_{-\kappa}(t). \end{aligned}\end{equation*}

Gemäß den bisherigen Überlegungen kann der Koeffizient \(B_0\) gemäß

\begin{equation*}\begin{aligned} B_0 \,\,=\,\, \lim_{s\rightarrow\infty} \Big[V(s)\Big] \,\,=\,\, \frac{\alpha_k}{\beta_k}\Big|_{\beta_k=1} \,\,=\,\,\alpha_k \end{aligned}\end{equation*}

bestimmt werden.

Man kann also schlussfolgern, dass je höher due Grad-Differenz \(\Delta = k-m\), desto "flacher" ist die Funktion \(v(t)\). Umgekehrt gilt auch: Je "flacher" (d.h. je mehr Ableitungen von \(v(t)\) differenzierbar sind, desto höher ist die Grad-Differenz \(\Delta\). Mit wachsender Grad-Differenz \(\Delta\) wird

\begin{equation*} \lim_{s\rightarrow \infty}\big[V(s)\big]\,\,=\,\,\lim_{s\rightarrow \infty}\frac{\alpha_{k-\Delta}\,s^{k-\Delta}+...}{s^k+...} \end{equation*}

immer kleiner. D.h. hohe Frequenzen sind in Spektren "flacher" Signale nur in geringem Maße vorhanden.

Spektraldarstellungen und Faltungen werden betont, weil das "Denken" in Exponentialanteilen etwas "Natürliches" in den Ingenieurwissenschaften ist (insbesondere weil diese "Eigenfunktionen" von LTI-Systemen sind). Außerdem entspricht eine Falltung einer Filterung und ist eine zentrale Beschreibung linearer, verschiebungsinvarianter Systeme ist. Dort ist der Faltungssatz auch oft Teil der praktischen Realisierung (siehe Vorlesung "Digitale Signalverarbeitung").