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Signale and Systeme – Fourier-Reihe und DFT

Inhalt

Fourier-Reihe
Definition und Begriffserklärung
Berechnung der Koeffizienten
Fehlerbetrachtung, Bessel-Ungleichung und Parseval'sche Gleichung
Verständnisfragen
Diskrete Fourier-Transformation
Definition und Begriffserklärung
Eigenschaften der inversen Diskreten Fourier-Transformation
Eigenschaften des Spektrums
Fehlerbetrachtung, Bessel-Ungleichung, Parseval‘sche Gleichung
Verständnisfragen
Transformationssymbole
Fourier-Reihe und DFT
Eigenschaften und Sätze
Verständnisfragen - Teil 1
Verständnisfragen - Teil 2
Verständnisfragen - Teil 3

Fourier-Reihe

Definition und Begriffserklärung

Definition der Fourier-Reihe:
\begin{equation} v(t) \,\,=\,\, \underbrace{\sum \limits_{\mu \,\, = \,\, - \infty}^{\infty}}_{\begin{matrix}\text{Summe}\\\text{(lineare} \\ \text{ Überlagerung)}\end{matrix}} \underbrace{c_{\mu}}_{{\begin{matrix}\text{Gewichte}\\ \text{(komplexe}\\ \text{Amplituden)} \end{matrix}}} \, \underbrace{e^{j \mu \frac{2\pi}{T}t}}_{ \begin{matrix}\text{Anteile} \\ \text{der Form}\\ e^{j\omega t} \end{matrix}} \end{equation}

Das Einsetzen von \( t \rightarrow t + \lambda T\) in die oben genannte Definitioen ergibt:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t+\lambda T) \,\, &= \,\, \sum\limits_{\mu\,\,=\,\,-\infty}^{\infty} c_\mu e^{j\mu \frac{2\pi}{T}(t+\lambda T)} \,\,\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufteilen des Exponentialtherms in zwei Komponenten ...}}}\\ &= \,\, \sum \limits_{\mu \,\, = \,\, -\infty}^{\infty} c_\mu e^{j\mu \frac{2\pi}{T}t} e^{j\mu \frac{2\pi}{T}\lambda T}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Bei Vielfachen von \(2\pi\) ist der zweite Exponentialterm immer 1 ...}}}\\ & = \,\, \sum \limits_{\mu\,\, = \,\, -\infty}^{\infty} c_\mu e^{j\mu \frac{2\pi}{T}t} \underbrace{e^{j\mu 2 \pi\lambda}}_{=1}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Es folgt mit obiger Erkenntnis die vereinfachte Formel mit nur einem Exponentialterm ...}}}\\ &= \,\, \sum \limits_{\mu\,\, = \,\, -\infty}^{\infty} c_\mu e^{j\mu \frac{2\pi}{T}t}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Man erhält wieder die Ursprungsfunktion ...}}}\\ &= \,\, v(t). \end{aligned}\end{equation*}

Aus dieser eben gezeigten Periodizität ergibt sich, dass die Darstellung

\begin{equation*}\sum \limits_{\mu\,\, = \,\, -\infty}^{\infty} c_\mu e^{j\mu \frac{2\pi}{T}t}\end{equation*}

für \(T\)-periodische Signale geeignet ist. Allerdings kann diese Darstellung auch für Signale mit endlicherm Länge \(T\) verwendet werden. Ein endlich langes Signal kann "in Gedanken" \(T\)-periodisch wiederholt werden. So kann \(v(t)\) durch die o.g. Fourier-Reihe überall – und damit insbesondere auch in einer Periode, die gerade die Gesamtlänge des Signals darstellt – beschrieben werden.

Der Summenausdruck

\begin{equation*}\sum \limits_{\mu\,\, = \,\, -\infty}^{\infty} c_\mu e^{j\mu \frac{2\pi}{T}t}\end{equation*}

ist grundsätzlich \(T\)-periodisch. Es gibt \(\infty\) viele (aber abzählbare) Spektralanteile bei den Frequenzen

\begin{equation*} \omega \,\, := \,\, \omega_\mu \,\, = \,\, \mu \frac{2\pi}{T}, \end{equation*}

d.h. bei Vielfachen (Harmonischen, Oberwellen) der Grundfrequenz

\begin{equation*} \omega_1 \,\, = \,\, \frac{2\pi}{T} \,\, = \,\, 2 \pi f_1 \end{equation*}

mit

\begin{equation*} f_1\,\, = \,\, \frac{1}{T},\end{equation*}

d.h. einzelne, abzählbare (diskrete) Frequenzkomponenten. Man spricht dabei von einem Linienspektrum.

Berechnung der Koeffizienten

Es müssen nun noch die Koeffizienten, d.h. geeignete Gewichte, bestimmt werden. Diese Gewichtskoeffizienten können durch folgenden Ansatz berechnet werden:

  1. Definition eines Approximationsproblems,
  2. Definition eines geeigneten Optimierungskriteriums für das Approximationsproblem,
  3. Lösung des Problems.
Definition des Approximationsproblems:
Gegeben sei folgende endliche trigonometrische Reihe \begin{equation*} g_k(t) \,\,=\,\, \sum \limits_{\mu\,\, = \,\, -k}^{k} c_\mu e^{j\mu \frac{2\pi}{T}t}. \end{equation*} Diese soll die Funktion \( v(t)\) "möglichst gut" approximieren.
Definition einer Optimierungsfunktion für das Approximationsproblem:
Für die Approximation soll folgende Kostenfunktion minimiert werden: \begin{equation*} \epsilon_k \,\, = \,\, \int \limits_{t\,\, = \,\, t_0}^{t_0+T} |g_k(t) - v(t)|^2 dt \,\,\,\, \overrightarrow{\scriptsize{c_\mu \,\, = \,\, c_{\mu,opt}}}\,\,\,\,min. \end{equation*} Hierbei wird über eine Signalperiode mit beliebigem Startwert integriert.

Zur Lösung des Approximationsproblems findet zunächst eine Minimierung bezüglich der freien Variablen \(c_\mu\) statt:

\begin{equation*} \frac{\partial \epsilon_k}{\partial c_\nu}, \,\,\,\, \text{für}\,\,\,\, \nu\in \{ -k,\,...,\,-1,\,0,\,1,\,...,\, k\}.\end{equation*}

Man erhält \(2n+1\) Gleichungen zur Bestimmung der \(2n+1\) Koeffizienten.

Ein wichtiger Zusammenhang, der demnächst immer wieder Verwendung finden wird, ist das Integral über eine Periode einer harmonischen Schwingung:

\begin{equation*} \frac{1}{T} \int \limits_{t_0}^{t_0+T} e^{j(\nu -\mu) \frac{2 \pi}{T}} dt.\end{equation*}

Hierbei sollte unterschieden werden, ob das Argument der Exponentialfunktion Null ist oder nicht:

Fall 1 (\(\mu \,\, = \,\, \nu\)):

\begin{equation*} \frac{1}{T} \int \limits_{t_0}^{t_0+T} e^{j(\nu -\mu) \frac{2 \pi}{T}} dt \,\,=\,\, \frac{1}{T} \int \limits_{t_0}^{t_0+T} \underbrace{e^{j \,0\, \frac{2 \pi}{T}}}_{=\,\, 1} dt \,\,=\,\, \frac{1}{T}T \,\,=\,\, 1, \,\,\,\, \text{für}\,\, \mu \,\,=\,\,\nu.\end{equation*}

Fall 2 (\(\mu\,\,\neq \,\, \nu\)):

Die Exponentialfunktion kann in Real- und Imaginärteil aufgeteilt werden:

\begin{equation*}e^{j(\nu -\mu) \frac{2 \pi}{T}}\,\, = \,\, \cos\left( (\nu -\mu) \frac{2 \pi}{T}\right) + j \, \sin\left((\nu -\mu) \frac{2 \pi}{T}\right)\end{equation*}

Das Integral über eine (oder mehrere) Periode(n) einer harmonischen Schwingung ist Null:

\begin{equation*}\begin{aligned} & \int \limits_{t_0}^{t_0+T} \cos\left(\kappa \frac{2\pi}{T} t\right)\, dt\\ &=\,\, \int \limits_{t_0}^{t_0+T} \sin\left(\kappa \frac{2\pi}{T} t\right)\, dt\\ &=\,\,0\,\,\,\, \forall\,\kappa\neq0.\end{aligned}\end{equation*} HarmExp
\( \kappa - 1 \)
\( t_0 \)
\( t_0 + T \)
\( t \)

Zusammengefasst mit den vorherigen Überlegungen gilt daher

\begin{equation*} \frac{1}{T} \int \limits_{t_0}^{t_0+T} e^{j(\nu -\mu) \frac{2 \pi}{T}} dt \,\,=\,\, \begin{cases}1, \,\,\,\, \text{für} \,\,\mu \,\, = \,\, \nu,\\[1mm] 0, \,\,\,\, \text{sonst.}\end{cases}\end{equation*}

Als allgemeine Lösung des Problems für komplexwertige Signale ergibt sich folgende Gleichung:

\begin{equation*} c_\mu \,\, = \,\, \frac{1}{T} \int \limits_{t\,\,=\,\,t_0}^{t_0+T} v(t) \, e^{-j\, \mu \frac{2 \pi}{T}t}dt.\end{equation*}

Fehlerbetrachtung, Bessel-Ungleichung und Parseval'sche Gleichung

Fehlerbetrachtung

Mit der zuvor bestimmten Wahl für die Koeffizienten \(c_\mu\) wird die endliche Reihe für jede Wahl von \(k\) eine im quadratischen Sinne optimale Approximation des Signals \(v(t)\). Der verbleibende quadratische Fehler bestimmt sich dabei gemäß:

\begin{equation*} \epsilon_k \,\, = \,\, \frac{1}{T}\int \limits_{t\,\,=\,\,t_0}^{t_0+T} \lvert v(t)-\sum \limits_{\mu\,\, = \,\, -k}^{k}c_\mu e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\rvert^2\,\,dt.\end{equation*}

Wie wir in Kürze sehen werden, kann man diese Form wie folgt vereinfachen:

\begin{equation*}\epsilon_k \,\,=\,\, \underbrace{\frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \big| v(t) \big|^2 dt}_{=\,\bar p_v} - \sum\limits_{\mu=-k}^{k} \big|c_{\mu}\big|^2.\end{equation*}

Da der minimale quadratische Fehler stets größer oder gleich Null sein muss \((\epsilon_k \ge 0\)), folgt daraus

\begin{equation*}\bar p_v \,\,=\,\, \frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \big| v(t) \big|^2 dt \,\,\ge\,\, \sum\limits_{\mu=-k}^{k} \big|c_{\mu}\big|^2. \end{equation*}

Man bezeichnet diese Ungleichung als "Bessel-Ungleichung".

Anmerkungen

Durch Hinzunehmen weiterer Reihenglieder (d.h. durch Vergrößern von \(k\)) kann der Fehler \(\epsilon_k\) nicht zunehmen
. Man kann zeigen, dass gilt:

\begin{equation*}\lim_{k\rightarrow \infty} \epsilon_k \,\,=\,\,0.\end{equation*}

Diese "Konvergenz" der Fourier-Reihe gilt allerdings nur "fast überall". Bei Unstetigkeitsstellen (selbst bei \(k\rightarrow \infty\)) gilt dies nicht. Hier verbleiben Fehler (auch für \(k\rightarrow \infty\)) in einzelnen Punkten. Dieser Effekt heißt Gibbs‘sches Phänomen.

Für \(k\rightarrow \infty\) wird aus der Bessel-Ungleichung die Parseval‘sche Gleichung der Fourier-Reihe:

\begin{equation*}\bar p_v \,\,=\,\, \frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \big| v(t) \big|^2 dt \,\,=\,\, \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} \big|c_{\mu}\big|^2.\end{equation*}

Beispiel zum Gibb'schen Phänomen

Approximation einer periodischen Rechteckschwingung mit 6 Exponentialfunktionen ExampleGibbs
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\(\mu \)
\( |c_{\mu}| \)
\( |c_{\mu}| \)
\( |c_{\mu}| \)
\(\mu \)
\(\mu \)
\( \mu \)
\( g_3(t) \)
\( g_{10}(t) \)
\( g_{20}(t) \)
\( t_0 + 2T \)
\( t_0 + 2T \)
\( t_0 + 2T \)
\( t_0 \)
\( t_0 \)
\( t_0 \)
\(t \)
\(t \)
\( t \)
Approximation einer periodischen Rechteckschwingung mit 20 Exponentialfunktionen
Approximation eine periodischen Rechteckschwingung mit 40 Exponentialfunktionen.

Herleitung der vereinfachten Schreibweise des quadratischen Fehlers

Wir wollen nun folgenden Zusammenhang herleiten:

\begin{equation*}\epsilon_k \,\,=\,\, \frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \bigg| v(t) - \sum\limits_{\mu=-k}^{k}c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\bigg|^2 \,dt \,\,=\,\, \frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \big| v(t) \big|^2 dt - \sum\limits_{\mu=-k}^{k} \big|c_{\mu}\big|^2.\end{equation*}

Dazu wird zunächst das Betragsquadrat umgeschrieben:

\begin{equation*}\frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \bigg| v(t) - \!\!\sum\limits_{\mu=-k}^{k}c_{\mu}\, e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\bigg|^2 \,dt \,\,=\,\, \frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \bigg[ v(t) - \!\!\sum\limits_{\mu=-k}^{k}c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\bigg] \bigg[ v(t) - \!\! \sum\limits_{\mu=-k}^{k}c_{\mu}\, e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\bigg]^* \,dt.\end{equation*}

Durch Ausmultiplizieren der beiden Terme in Klammern ergibt sich:

\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \bigg| v(t) - \!\!\sum\limits_{\mu=-k}^{k}c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\bigg|^2 \,dt &= \frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \big| v(t) \big|^2 dt - \sum\limits_{\mu=-k}^{k} c_{\mu}^* \overbrace{\frac{1}{T} \, \int \limits_{t=t_0}^{t_0+T} \,v(t)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t} dt}^{c_{\mu}}\\ &- \sum\limits_{\mu=-k}^{k} c_{\mu} \underbrace{\frac{1}{T} \!\!\int \limits_{t=t_0}^{t_0+T}\!\! v^*(t)\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t} dt}_{c_{\mu}^*} + \sum\limits_{\mu=-k}^{k} \sum\limits_{\nu=-k}^{k} c_{\mu}\,c_{\nu}^* \,\frac{1}{T} \!\!\int\limits_{t=t_0}^{t_0+T}\!\! e^{j(\mu-\nu)\frac{2\pi}{T}t} dt. \end{aligned}\end{equation*}

Somit ergibt durch Einsetzen der Ergbisse

\begin{equation*}\begin{aligned} \frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \bigg| v(t) - \!\!\sum\limits_{\mu=-k}^{k}c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\bigg|^2 \,dt &= \frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \big| v(t) \big|^2 dt - \sum\limits_{\mu=-k}^{k} c_{\mu}^* \, c_{\mu} \\ &- \sum\limits_{\mu=-k}^{k} c_{\mu} \,c_{\mu}^* + \sum\limits_{\mu=-k}^{k} \sum\limits_{\nu=-k}^{k} c_{\mu}\,c_{\nu}^*\, \underbrace{\frac{1}{T} \!\!\int\limits_{t=t_0}^{t_0+T}\!\! e^{j(\mu-\nu)\frac{2\pi}{T}t} dt}_{=\,\left\{\begin{array}{ll} 1, & \textrm{falls}\,\,\mu=\nu, \\ 0,&\,\textrm{sonst}.\end{array}\right.}\end{aligned}\end{equation*}

Zusammen ergibt dies:

\begin{equation*}\begin{aligned} \frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \bigg| v(t) - \!\!\sum\limits_{\mu=-k}^{k}c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\bigg|^2 \,dt &= \frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \big| v(t) \big|^2 dt - \sum\limits_{\mu=-k}^{k} \big|c_{\mu}\big|^2 - \sum\limits_{\mu=-k}^{k} \big|c_{\mu}\big|^2 + \sum\limits_{\mu=-k}^{k} \big|c_{\mu}\big|^2\\ &= \frac{1}{T} \int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} \big| v(t) \big|^2 dt - \sum\limits_{\mu=-k}^{k} \big|c_{\mu}\big|^2 .\end{aligned}\end{equation*}

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Warum kann es sinnvoll sein, ein periodisches Signal in einzelne Exponentialschwingungen zu zerlegen?

Das Ergebnis der Fourier-Reihe lässt sich in dieser Form - Betrag und Phase - besser auswerten.

Wie muss ein Signal beschaffen sein, damit das Gibb‘sche Phänomen möglichst nicht auftritt?

Das Signal darf keine Unstetigkeitsstellen aufweisen. Sonst konvergiert der Fehler der Fourier-Reihe nicht gegen Null.

Welche Besonderheit weisen periodische Signale im Spektrum auf?

Jedes periodische Signal setzt sich aus harmonischen Signalen zusammen. Das Spektrum des periodischen Signals ist damit ebenfalls eine Zusammensetzung der Einzelspektren dieser harmonischen Signale.

Diskrete Fourier-Transformation

Definition und Begriffserkläung

Definition der diskreten Fourier-Transformation:
Analog zur Fourier-Reihe für kontinuierliche Signale ist die diskrete Fourier-Transformation als Fourier-Reihe für periodische (bzw. endlich lange) diskrete Signale \begin{equation} v(n) \,\,=\,\, \frac{1}{M}\sum\limits_{\mu\,\,=\,\,0}^{M-1} V_M(\mu)\,e^{j\,\mu\frac{2\pi}{M}n}, \,\,\,\, \text{für}\, n\in\{0,\,1,\, ...,\,M-1\} \end{equation} mit den Koeffizienten \begin{equation} V_M(\mu)\,\,=\,\, \sum\limits_{\mu\,\,=\,\,0}^{M-1} v(n) \,e^{j\,\mu\frac{2\pi}{M}n}, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{für}\, \mu\in\{0,\,1,\, ...,\,M-1\} \end{equation} definiert.

Anmerkungen

Das Intervall \( n\in\{0,\,1,\, ...,\,M-1\}\) kann auch anders gewählt werden. Wichtig ist, dass über eine volle Signalperiode summiert wird:

\begin{equation*}n\in\{n_0,\,n_0+1,\, ...,\,n_0+M-1\}.\end{equation*}

Die inverse diskrete Fourier-Transformation führt auf diskrete Signale mit einer Periode \(M\): \begin{equation*}v(n+\lambda \,M)\,\,=\,\, \frac{1}{M}\sum\limits_{\mu\,\,=\,\,0}^{M-1} V_M(\mu)\, e^{j\,\mu\frac{2\pi}{M}(n+\lambda\,M)}\,\,=\,\,\frac{1}{M}\sum\limits_{\mu\,\,=\,\,0}^{M-1} V_M(\mu)\, e^{j\,\mu\frac{2\pi}{M}n}\,\underbrace{e^{j\,\mu\,2\pi\lambda}}_{=\,\,1} \,\, = \,\, v(n). \end{equation*} Das heißt: auch diese Darstellung ist geeignet für \(M\) – periodische (diskrete) Signale. Wie im kontinuierlichen Pendant kann man die Darstellung allerdings auch für Signale mit einer endlichen Länge verwenden (hierbei ergänzt man das Signal "virtuell" so, dass es periodisch wird).

Eigenschaften der inversen diskreten Fourier-Transformation

Der Summenausdruck (inverse DFT) ist grundsätzlich \(M\) – periodisch (siehe oben). Es gibt endlich viele (nämlich \(M\)) Spektralkomponenten bei den Frequenzen \begin{equation*} \Omega \,\,:=\,\, \Omega_\mu \,\, =\,\, \mu \frac{2\pi}{M},\end{equation*} d.h. bei Vielfachen der Grundfrequenz \begin{equation*} \Omega_1 \,\, =\,\,\frac{2\pi}{M}.\end{equation*} Es entstehen einzelne, diskrete Frequenzkomponenten: dies wird Linienspektrum genannt.

Eigenschaften des Spektrums

Das Einsetzen von \( \mu\,\,=\,\,\mu + \lambda\,M\) in die Definitionsgleichung der diskreten Fourier-Transformation ergibt:

\begin{equation*}V_\mu(n+\lambda \,M)\,\,=\,\, \sum\limits_{n\,\,=\,\,0}^{M-1} v(n)\, e^{-j\,(\mu+\lambda\,M)\frac{2\pi}{M}n}\,\,=\,\,\sum\limits_{n\,\,=\,\,0}^{M-1} v(n)\, e^{-j\,\mu\frac{2\pi}{M}n}\,\underbrace{e^{j\,2\pi\lambda n}}_{=\,\,1} \,\, = \,\, V_M(\mu). \end{equation*}

Das Spektrum \(V_M(\mu)\) ist grundsätzlich periodisch, aber man kann es äquivalent auch als endlich breit mit der Breite \(M\) auffassen:
Es ergibt sich die Frequenzbereichs-Breite

\begin{equation*}\mu\in\{0,\,1,\,...,\,M-1\} \rightarrow \Omega_\mu\in\{0,\, \frac{2\pi}{M},\,...,\,2\pi-\frac{2\pi}{M}\}\end{equation*}

mit periodischer Wiederholung unterhalb von \( \Omega\,\,<\,\,\Omega_0 \,\,=\,\, 0\) und oberhalb von \(\Omega\,\,>\,\,\Omega_{M-1} \,\,=\,\, 2\pi - \frac{2\pi}{M}.\)

Die Herleitung von \(V_M(\mu)\) gemäß der Definition der Diskreten Fourier-Transformation kann analog zur Fourier-Reihe als Approximationsaufgabe angesehen (bzw. durchgeführt) werden.

Fehlerbetrachtung, Bessel-Ungleichung, Parseval‘sche Gleichung

Definition der endlichen geometrischen Reihe:
\begin{equation}g_k(n)\,\,=\,\,\frac{1}{M}\sum \limits_{\mu=0}^{k-1} V_M(\mu)\,e^{j\mu \frac{2\pi}{M} n}, \quad\textrm{mit}\,\,k\,<\, M \end{equation}

Hiermit kann eine Folge \(g_k(n)\) der Periodendauer \(M\) (oder der Länge \(M\)) durch eine trigonometrische Reihe approximiert werden. Hierbei wird – ähnlich wie im Kontinuierlichen – folgende Funktion minimiert:

\begin{equation*}\epsilon_k\,\,=\,\,\frac{1}{M}\sum\limits_{n=0}^{M-1} \Big|g_k(n) - v(n) \Big|^2 \,\,\longrightarrow \min .\end{equation*}

Die Lösung dieses Approximationsproblems geschieht ähnlich wie im vorherigen Abschnitt durch Verwendung von

\begin{equation*}\frac{\partial \epsilon_k}{\partial V_M(\nu)}\,\,=\,\,0\end{equation*}

und führt auf die (zuvor schon genannte) Lösung:

\begin{equation*}V_M(\nu)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^{M-1} v(n)\,e^{-j\nu \frac{2\pi}{M} n}.\end{equation*}

Man kann zeigen, dass \(g_k(n)\) für jedes \(k \le M\) eine optimale Approximation im Sinne einer Minimierung des quadratischen Betragsfehlers darstellt.

Der verbleibende quadratische Fehler kann ähnlich wie im kontinuierlichen Fall wie folgt umgeformt werden:

\begin{equation*}\begin{aligned}\epsilon_k\,\,=\,\,\frac{1}{M}\sum\limits_{n=0}^{M-1} \Big|g_k(n) - v(n) \Big|^2 \!&=\! \frac{1}{M}\sum\limits_{n=0}^{M-1} \Big|v(n) \Big|^2 - \frac{1}{M}\sum\limits_{n=0}^{M-1} \Big|g_k(n) \Big|^2 \nonumber \\ &= \bar p_v - \bar p_{g_k} \nonumber \\ &= \bar p_v - \frac{1}{M^2} \sum\limits_{\mu=0}^{k-1} \Big| V_M(\mu) \Big|^2.\end{aligned}\end{equation*}

Da die Fehlerfunktion stets größer oder gleich Null sein muss, folgt daraus wieder die Bessel‘sche Ungleichung:

\begin{equation*}\bar p_v \,\,=\,\, \frac{1}{M}\sum\limits_{n=0}^{M-1} \Big|v(n) \Big|^2 \,\,\ge \,\, \frac{1}{M^2} \sum\limits_{\mu=0}^{k-1} \Big| V_M(\mu) \Big|^2.\end{equation*}

Diese gilt aber nur für \(k \le M\).

Man kann weiter zeigen, dass für \(k = m\) die Fehlerfunktion Null wird, d. h. es gilt

\begin{equation*}\bar p_v \,\,=\,\, \frac{1}{M}\sum\limits_{n=0}^{M-1} \Big|v(n) \Big|^2 \,\,= \,\, \frac{1}{M^2} \sum\limits_{\mu=0}^{M-1} \Big| V_M(\mu) \Big|^2.\end{equation*}

Dies ist wieder die Parseval‘sche Gleichung. Das bedeutet, dass man die mittlere Leistung eines periodischen Signals bzw. die Energie eines endlichen Signals entweder im Zeitbereich oder im Frequenzbereich bestimmen kann.
Dies kann man zeigen, in dem man – z.B. – die Definitionsgleichungen

\begin{equation*}V_M(\mu)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^{M-1} v(n)\,e^{-j\mu \frac{2\pi}{M} n}\end{equation*}

in die Summe

\begin{equation*}\frac{1}{M^2} \sum\limits_{\mu=0}^{M-1} \Big| V_M(\mu) \Big|^2\end{equation*}

einsetzt.

Beweis der Parseval‘schen Gleichung für periodische diskrete Signale

Für den Beweis (sowie für zahlreiche Herleitungen in der zeitdiskreten Signalverarbeitung) spielt folgende endliche Reihe eine wichtige Rolle:

\begin{equation*}\frac{1}{M}\sum\limits_{n=0}^{M-1} e^{jk\frac{2\pi}{M}n}.\end{equation*}

Sollte \(k\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(M\) sein, d.h. es gilt \(k\,\textrm{mod}\,M\equiv 0\) bzw. \(k=\kappa M\), dann kann diese Summe wie folgt berechnet werden:

\begin{equation*}\frac{1}{M}\sum\limits_{n=0}^{M-1} e^{jk\frac{2\pi}{M}n} \,\,=\,\,\frac{1}{M} \sum\limits_{n=0}^{M-1} \underbrace{e^{j\kappa M \frac{2\pi}{M}n}}_{=\,1} \,\,=\,\,\frac{1}{M} \sum\limits_{n=0}^{M-1} 1 \,\,=\,\,1.\end{equation*}

Für die anderen Fälle hat die Reihe folgende Form

\begin{equation*}\sum\limits_{n=0}^{M-1} a^n \,\,=\,\,\frac{1 - a^M}{1-a}.\end{equation*}

Setzt man nun für \(a \,\,= \,\,e^{jk\frac{2\pi}{M}}\), so ergibt sich

\begin{equation*}\frac{1}{M}\sum\limits_{n=0}^{M-1} e^{jk\frac{2\pi}{M}n} \,\,=\,\,\frac{1}{M}\, \frac{1-\overbrace{e^{jk\frac{2\pi}{M}M}}^{=\,1}}{1-e^{jk\frac{2\pi}{M}}} \,\,=\,\,0 \qquad (\textrm{für}\,k\,\textrm{mod}\,M \,\not \equiv\, 0).\end{equation*}

Zusammengefasst ergibt sich:

\begin{equation*}\frac{1}{M}\sum\limits_{n=0}^{M-1} e^{jk\frac{2\pi}{M}n} \,\,=\,\,\left\{ \begin{array}{ll} 1, & \textrm{für}\,\,k\,\textrm{mod}\,M\,\equiv\,0, \\ 0, & \textrm{sonst}. \end{array}\right.\end{equation*}

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Wie viele Spektralanteile benötigt man um eine periodische, reelle Folge mit einer Periodendauer von 16 Takten zu beschreiben?

Reelle Signale haben ein symmetrisches Spektrum. Aus diesem Grund brauchen nicht alle Spektralanteile bei der DFT berechnet werden. Bei \(M\,\,=\,\,16\) bedeutet das, dass \(\frac{M}{2}+1 = 9\) spektrale Anteile zu Signalbeschreibung ausreichen. Aus diesen Anteilen lassen sich die restlichen Stützstellen bestimmen.

Wie kann man "vorgehen", wenn man die DFT für nicht-periodische Folgen anwenden will?

Das Signal wird "virtuell" ergäzt. sodass es periodisch wird.

Wie können Sie die mittlere Leistung eines periodischen Signals aus dessen Spektrum bestimmen?

Die mittlere Leistung lässt sich im Frequenzbereich mit \begin{equation*}\frac{1}{M^2} \sum\limits_{\mu=0}^{M-1} \Big| V_M(\mu) \Big|^2\end{equation*} berechnen.

Transformationssymbole

In der Literatur werden für die Umrechnung vom Zeit- in den Frequenzbereich oftmals spezielle Symbole verwendet. Üblich sind dabei folgende Schreibweisen (viele der hier genannten Transformationen werden wir erst noch behandeln):

Wir werden hier lediglich ein Symbol verwenden. Der leere Kreis beschreibt dabei den Zeitbereich, der ausgefüllte Bereich den Frequenz- bzw. Bildbereich, also z.B.

\begin{equation*}v(n)\,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\, V_M(\mu)\end{equation*}

oder

\begin{equation*}c_{\mu}\,\, \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ \,\, v(t).\end{equation*}

Fourier-Reihe und DTF

Eigenschaften und Sätze

Linearität

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*}v_{1,2}(t) \,\,=\,\,v_{1,2}(t+\lambda T)\end{equation*}

gegeben.

Hierzu sind die Fourier-Reihen-Koeffizienten \(c_{1,2\,\mu}\) bekannt. Gesucht sind nun die Fourier-Reihen-Koeffizienten des Signals

\begin{equation*}v(t) \,\,=\,\,\alpha_1\,v_{1}(t) + \alpha_2\,v_2(t),\end{equation*}

d.h. der gewichteten Summe beider Signale:

\begin{equation*}c_{\mu}=\frac{1}{T}\!\int\limits_{t_0}^{t_0+T}\! \big[\alpha_1\,v_1(t)+\alpha_2\,v_2(t)\big]\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}dt.\end{equation*}

Durch Umformen erhält man:

\begin{equation*}\begin{aligned}c_{\mu}\,\,&=\,\,\frac{1}{T}\!\int\limits_{t_0}^{t_0+T}\! \big[\alpha_1\,v_1(t)+\alpha_2\,v_2(t) \big]\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}dt\\ &=\,\,\alpha_1\,\frac{1}{T}\!\int\limits_{t_0}^{t_0+T}\! v_1(t)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}dt \,\,+\,\,\alpha_2\,\frac{1}{T}\!\int\limits_{t_0}^{t_0+T}\! v_2(t)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}dt\\ &=\,\,\alpha_1\,c_{1\,\mu} + \alpha_2\,c_{2\,\mu} .\end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale wird ähnlich wie im Kontinuierlichen vorgegangen. Hier ist

\begin{equation*}v_{1,2}(n) \,\,=\,\,v_{1,2}(n+\lambda M)\end{equation*}

gegeben.

Dazu sind die einzelnen diskreten Fourier-Transformierten \(V_{1,2\,M}(\mu)\) bekannt. Gesucht sind nun die diskreten Fourier-Transformierten der Folge

\begin{equation*}v(n) \,\,=\,\,\alpha_1\,v_{1}(n) + \alpha_2\,v_2(n),\end{equation*}

d.h. der gewichteten Summe beider Folgen:

\begin{equation*}V_{M}(\mu)=\sum\limits_{n=0}^{M-1}\! \big[\alpha_1\,v_1(n)+\alpha_2\,v_2(n) \big]\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n}.\end{equation*}

Durch Umformen erhält man:

\begin{equation*}\begin{aligned}V_{M}(\mu)\,\,&=\,\,\sum\limits_{n=0}^{M-1}\! \big[\alpha_1 \,v_1(n)+\alpha_2\,v_2(n) \big]\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n} \\ \!\!&=\,\,\alpha_1\,\sum\limits_{n=0}^{M-1} v_1(n)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n} \!\!+\,\,\alpha_2\,\sum\limits_{n=0}^{M-1} v_2(n)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n} \\ \!\!&=\,\,\alpha_1\,V_{1\,M}(\mu) + \alpha_2\,V_{2\,M}(\mu).\end{aligned}\end{equation*}

Daraus ergibt sich folgende Definition.

Definition der Eigenschaft "Linearität":
Sowohl die Fourier-Reihen-Entwicklung als auch die DFT und die IDFT sind lineare Operatoren (im gleichen Sinne, wie lineare Systeme definiert wurden). Für die Fourier-Reihe gilt \begin{equation} v(t) \,\,=\,\,\alpha_1\,v_{1}(t) + \alpha_2\,v_2(t) \,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\,\alpha_1\,c_{1\,\mu} + \alpha_2\,c_{2\,\mu} \end{equation} und für die diskrete Fourier-Transformation \begin{equation} v(n) \,\,=\,\,\alpha_1\,v_{1}(n) + \alpha_2\,v_2(n) \,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\,\alpha_1\,V_{1\,M}(\mu) + \alpha_2\,V_{2\,M}(\mu) \end{equation}

Verschiebung

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*}v(t) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,c_{\mu}\end{equation*}

gegeben. Hierzu wird eine verschobene Signalvariante gemäß

\begin{equation*}v_1(t) \,\,=\,\,v(t-t_0)\end{equation*}

definiert. Gesucht ist nun die zugehörige Fourier-Reihe (in Abhängigkeit von \(c_mu\):

\begin{equation*}c_{1\,\mu} = \frac{1}{T}\int \limits_{t_0}^{t_0+T}v_1(t)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}dt.\end{equation*}

Einsetzten ergibt:

\begin{equation*}c_{1\,\mu} \,\,=\,\, \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} v(t-t_0)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}dt\end{equation*}

Substituert man \(t-t_0\,:=\,x\), d.h. es gilt \(t\,:=\,x+t_0\) und \(dt\,=\, dx\), dann erhält man:

\begin{equation*}\begin{aligned}c_{1\,\mu} \,\,&=\,\, \frac{1}{T}\int\limits_{x=0}^{T} v(x)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}x} \,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t_0}dx \\ \,\,&=\,\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t_0}\,\underbrace{\frac{1}{T}\int\limits_{x=0}^{T}v(x)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}x}dx}_{=\,c_{\mu},\,\,\text{weil über volle Periode integriert wird}} \\ \,\,&=\,\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t_0} \, c_{\mu} \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale ist

\begin{equation*}v(n) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,V_M(\mu)\end{equation*}

gegeben. Hierzu wird eine verschobene Folgenvariante gemäß

\begin{equation*}v_1(n) \,\,=\,\,v(n-n_0)\end{equation*}

definiert. Gesucht ist nun die zugehörige Spektraldarstellung (in Abhängigkeit von \(V_M(\mu)\):

\begin{equation*}V_{1\,M}(\mu) = \sum\limits_{n=0}^{M-1}v_1(n)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n}.\end{equation*}

Einsetzten ergibt:

\begin{equation*}V_{1\,M}(\mu) = \sum\limits_{n=0}^{M-1}v(n-n_0)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n}.\end{equation*}

Substituert man \(n-n_0\,:=\,k\), d.h. es gilt \(k\,:=\,-n_0,\,...,\,M-1-n_0\), dann erhält man:

\begin{equation*}\begin{aligned}V_{1\,M}(\mu) \!\!&=\,\, \sum\limits_{k=-n_0}^{M-1-n_0} v(k)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}k}\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n_0} \\ \,\,&=\,\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n_0}\,\underbrace{\sum\limits_{k=-n_0}^{M-1-n_0}v(k)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}k}}_{=\,V_M(\mu),\,\,\text{weil über volle Periode integriert wird}}\\ \,\,&=\,\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n_0}\,V_M(\mu)\end{aligned}\end{equation*}

Zusammengefasst ergibt sich folgende Definition.

Definition des Verschiebungssatzes:
Eine Verschiebung im Zeitbereich bewirkt bei periodischen Signalen bzw. Folgen eine Multiplikation mit einem komplexen Drehfaktor im Spektralbereich. Für die Fourier-Reihe gilt \begin{equation} v(t-t_0) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,c_{\mu}\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t_0} \end{equation} und für die diskrete Fourier-Transformation \begin{equation}v(n-n_0) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,V_M(\mu)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n_0}. \end{equation}

Anmerkungen

Eine Signalverschiebung ändert nicht das Betragsspektrum. Im Kontinuierlichen beweist das

\begin{equation*}\begin{aligned}\big|c_{1\,\mu}\big|\,\, &=\,\,\big|c_{\mu}\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t_0}\big| \\ \,\,&=\,\,\big|c_{\mu}\big|\,\underbrace{\big|e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t_0}\big|}_{=\,1}\,\, =\,\, \big|c_{\mu}\big|\end{aligned}\end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*}\begin{aligned}\big|V_{1\,M}(\mu)\big|\,\,&=\,\,\big|V_M(\mu)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}n_0}\big| \\ \,\,&=\,\,\big|V_M(\mu)\big|\,\underbrace{\big|e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}n_0}\big|}_{=\,1} \,\,= \,\, \big|V_M(\mu)\big|.\end{aligned}\end{equation*}

Eine Signalverschiebung addiert außerdem zum Phasenspektrum einen linearen Term. Im Kontinuierlichen lässt sich das mit

\begin{equation*}c_{1\,\mu}\,\,=\,\,\big|c_{\mu}\big|\, e^{j\arg\{c_{\mu}\}}\,e^{j\{-\mu\frac{2\pi}{T}t_0\}}\end{equation*}

woraus

\begin{equation*}\arg\{c_{1,\,\mu}\} \,\,=\,\, \arg\{c_{\mu}\} - \mu\frac{2\pi}{T}t_0\end{equation*}

folgt

und im Diskreten mit

\begin{equation*}V_{1\,M}(\mu)\,\,=\,\, \big|V_M(\mu)\big|\, e^{j\arg\{V_M(\mu)\}}\,e^{j\{-\mu\frac{2\pi}{M}n_0\}}\end{equation*}

woraus sich

\begin{equation*}\arg\big\{V_{1\,M}(\mu)\big\}\,\,=\,\, \arg\big\{V_M(\mu)\big\}-\mu\frac{2\pi}{M}n_0\end{equation*}

ergibt, beweisen

Verschiebung

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*}v(t) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,c_{\mu}\end{equation*}

Hierzu wird eine modulierte Signalvariante gemäß

\begin{equation*}v_1(t) \,\,=\,\,v(t)\, e^{j\mu_0\frac{2\pi}{T}t}\end{equation*}

mit

\begin{equation*}\mu_0\,\in\,\mathbb{Z}\end{equation*}

definiert. Gesucht ist nun die zugehörige Fourier-Reihe (in Abhängigkeit von \(c_\mu\)):

\begin{equation*}c_{1\,\mu} = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} v_1(t)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}dt. \end{equation*}

Einsetzen ergibt:

\begin{equation*}\begin{aligned}c_{1\,\mu} \,\,&=\,\, \frac{1}{T}\int \limits_{t_0}^{t_0+T}v(t)\,e^{j\mu_0\frac{2\pi}{T}t}\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}dt\\ \,\,&=\,\,\frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T}v(t)\,e^{-j(\mu-\mu_0)\frac{2\pi}{T}t}dt\\ \,\,&=\,\, c_{\mu-\mu_0}.\end{aligned}\end{equation*}

Zusammengefasst folgt daraus :

\begin{equation*}v(t)\,e^{j\mu_0\frac{2\pi}{T}t} \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\,c_{\mu-\mu_0}.\end{equation*}

Für diskrete Signale ist

\begin{equation*}v(n) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,V_M(\mu)\end{equation*}

Hierzu wird eine modulierte Folgenvariante gemäß

\begin{equation*}v_1(n) \,\,=\,\,v(n)\,e^{j\mu_0\frac{2\pi}{M}n}\end{equation*}

mit

\begin{equation*}\mu_0\,\in\,\mathbb{Z}\end{equation*}

definiert. Gesucht ist nun die zugehörige Spektraldarstellung (in Abhängigkeit von \(V_M(\mu)\)):

\begin{equation*}V_{1\,M}(\mu) = \sum\limits_{n=0}^{M-1}v_1(n)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n}. \end{equation*}

Einsetzen ergibt:

\begin{equation*}\begin{aligned}V_{1\,M}(\mu) \,\,&=\,\,\sum\limits_{n=0}^{M-1} v(n)\,e^{j\mu_0\frac{2\pi}{M}n}\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n} \\ \,\,&=\,\, \sum\limits_{n=0}^{M-1}v(n)\,e^{-j(\mu-\mu_0)\frac{2\pi}{M}n} \\ \,\,&=\,\, V_M(\mu-\mu_0).\end{aligned}\end{equation*}

Zusammengefasst folgt daraus :

\begin{equation*}v(n)\,e^{j\mu_0\frac{2\pi}{M}n} \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V_M(\mu-\mu_0). \end{equation*}

Definition des Modulationssatzes:
Eine Multiplikation mit einem komplexen Drehfaktor im Zeitbereich bewirkt bei periodischen Signalen bzw. Folgen eine Verschiebung im Spektralbereich. Für die Fourier-Reihe gilt \begin{equation}v(t)\,e^{j\mu_0\frac{2\pi}{T}t} \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,c_{\mu-\mu_0} \end{equation} und für die diskrete Fourier-Transformation \begin{equation}v(n)\,e^{j\mu_0\frac{2\pi}{M}n} \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,V_M(\mu-\mu_0). \end{equation}

Anmerkungen

Eine Multiplikation eines Signals bzw. einer Folge mit

\begin{equation*}e^{j\mu_0\frac{2\pi}{T}t} \,\,=\,\,\cos \Big(\mu_0\frac{2\pi}{T}t\Big) + j\,\sin\Big(\mu_0\frac{2\pi}{T}t\Big) \end{equation*}

beziehungsweise

\begin{equation*}e^{j\mu_0\frac{2\pi}{M}n} \,\,=\,\,\cos \Big(\mu_0\frac{2\pi}{M}´n\Big) + j\,\sin\Big(\mu_0\frac{2\pi}{M}n\Big) \end{equation*}

verändert das zugehörige Spektrum nicht in Betrag und Phase. Das Spektrum wird lediglich verschoben und zwar um \(\mu_0\) auf der \(\mu\)–Achse. Auf der \(\omega\)–Achse entspricht dies einer Verschiebung um

\begin{equation*}\mu_0\frac{2\pi}{T}\,=\,\mu_0\,\omega_1, \end{equation*}

auf der \(\Omega\)-Achse um

\begin{equation*}\mu_0\frac{2\pi}{M}\,=\,\mu_0\,\Omega_1. \end{equation*}

Solche Multiplikationen nennt man komplexe Modulation. Ihr Zweck ist gerade die Frequenzverschiebung eines gegebenen Signals bzw. Spektrums (z.B. zur Übertragung eines niederfrequenten Signals über einen hochfrequenten Kanal [z.B. Funk]).

Eine Multiplikation eines Signals bzw. einer Folge mit einer Sin- oder Cos-Modulationsfunktion kann wie folgt aufgefasst werden:

\begin{equation*}\begin{aligned}\sin\Big(\mu_0\frac{2\pi}{T}t\Big) &=\,\, -\frac{j}{2}\left[ e^{j\mu_0\frac{2\pi}{T}t} - e^{-j\mu_0\frac{2\pi}{T}t}\right],\\ \cos\Big(\mu_0\frac{2\pi}{T}t\Big) &=\,\,\,\frac{1}{2}\left[ e^{j\mu_0 \frac{2\pi}{T}t} + e^{-j\mu_0\frac{2\pi}{T}t}\right]. \end{aligned}\end{equation*}

Daraus folgt im Kontinuierlichen

\begin{equation*}\begin{aligned}v(t)\,\sin\Big(\mu_0\frac{2\pi}{T}t\Big) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet&\!\! -\frac{j}{2}\big[c_{\mu-\mu_0}-c_{\mu+\mu_0}\big], \\ v(t)\,\cos\Big(\mu_0\frac{2\pi}{T}t\Big) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet&\,\,\, \frac{1}{2} \big[c_{\mu-\mu_0}+c_{\mu+\mu_0}\big], \end{aligned}\end{equation*}

beziehungsweise im Diskreten

\begin{equation*}\begin{aligned}v(n)\,\sin\Big(\mu_0\frac{2\pi}{M}n\Big) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet&\!\! -\frac{j}{2}\big[V_M(\mu-\mu_0)-V_M(\mu+\mu_0)\big],\\ v(n)\,\cos\Big(\mu_0\frac{2\pi}{M}n\Big) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet&\,\,\, \frac{1}{2} \big[V_M(\mu-\mu_0)+V_M(\mu+\mu_0)\big]. \end{aligned}\end{equation*}

Folgende Graphiken sollen das Prinzip der Modulation visualisieren:

Komplexe Modulation:

MulationExp
\( \omega \)
\( \omega \)
Spektrum von \( v(t) \)
Spektrum von \( v(t)\,e^{j\mu_0\frac{2\pi}{T}t} \)
\(\omega = \mu_0\frac{2\pi}{T}\)
MulationSin
\( \omega \)
\( \omega \)
Spektrum von \( v(t) \)
Spektrum von \( v(t)\,\cos(j\mu_0\frac{2\pi}{T}t) \)
\(\omega = \mu_0\frac{2\pi}{T}\)
\(\omega = \mu_0\frac{2\pi}{T}\)

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Was bewirkt eine Multiplikation eines periodischen Signals mit einer Exponentialschwingung im Spektrum?

Multipliziert man ein periodisches Signal im Zeitbreich mit einer Exponentialfunktion, so folgt daraus eine Verschiebung im Spektralbereich (Modulationssatz).

Wie groß ist die Bandbreite eines cosinus-modulierten Signals (im Vergleich zu dessen ursprünglicher Bandbreite)?

Moduliert man ein Signal mit einem Cosinus, so wird dessen Spektrum sowohl bei der negativen als auch der positiven Frequenz der Cosinus-Schwingung, jedoch in der Amplitude um die Hälfte gedämpft, abgebildet.

Wie könnte man eine Cosinus-Modulation wieder rückgängig machen?

Man könnte das untere Seitenband des Spektrums mittels eines Filters eliminieren und das zurückbleibende Spektrum zurück zur Ausgangsposition im Spektrum modulieren. Verdoppelt man dort noch die Amplitude, so erhält man das Originalspektrum des modulierten Signals.

Differentiation und Differenzenbildung

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*}v(t) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,c_{\mu}\end{equation*}

gegeben und die Fourier-Reihe der Ableitung

\begin{equation*}v_1(t) \,\,=\,\,\frac{d\,v(t)}{dt}\end{equation*}

gesucht.

Das Einsetzen in die Definitionsgleichung ergibt:

\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{d\,v(t)}{dt} \,\,&=\,\, \frac{d}{dt} \left\{ \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t} \right\}\\ \,\,&=\,\, \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} c_{\mu} \frac{d}{dt}\left\{ e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t} \right\}\\ \,\,&=\,\,\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} \underbrace{c_{\mu} \,j\mu\frac{2\pi}{T}}_{=\,c_{1\,\mu}} \,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}. \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale ist

\begin{equation*}v(n) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,V_M(\mu)\end{equation*}

gegeben und die Transformierte der Differenz

\begin{equation*}v_1(n) \,\,=\,\,v(n) - v(n-1)\end{equation*}

gesucht.

Durch additive Überlagerung einer Folge mit einer verzögerten Variante ergibt sich:

\begin{equation*}\begin{aligned}v(n) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet& V_M(\mu),\\ v(n-1) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet& V_M(\mu)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}}, \nonumber \\ v(n)-v(n-1) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet& V_M(\mu) - V_M(\mu)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}}. \end{aligned}\end{equation*}

Zusammenfassend ergibt sich daraus folgende Definition der Differentiation und Differenzenbildung:

Definition der Differentiation und Differenzenbildung:
Für kontinuierliche Signale ist die Differentiation mit \begin{equation}\frac{d}{dt}\, v(t) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,c_{\mu} \,j\mu\frac{2\pi}{T} \,\,=\,\,c_{\mu}\,j\omega_{\mu}\end{equation} definiert.
Bei diskreten Signalen entspricht dies der Differenzenbildung, welche durch \begin{equation}\begin{aligned}v(n)-v(n-1) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,&V_M(\mu)\, \big(1-e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}}\big) \\ \,\,=\,\,&V_M(\mu)\,\big(1-e^{-j\Omega_{\mu}}\big) \end{aligned}\end{equation} beschrieben wird.

Integration und Summation

Für kontinuierliche Signale ist

\begin{equation*}v(t) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,c_{\mu}\end{equation*}

gegeben und die Fourier-Reihe der Integrals

\begin{equation*}v_1(t) \,\,=\int\limits_{\tau = -\frac{T}{2}}^{t}\!\! v(\tau)\,d\tau,\end{equation*}

mit

\begin{equation*}t\,\in\,\left[-\frac{T}{2},\,\frac{T}{2} \right)\end{equation*}

gesucht.

Das Einsetzen in die Transformation liefert:

\begin{equation*}\begin{aligned} v_1(t) \!\!&=\,\,\int\limits_{\tau = -\frac{T}{2}}^{t}\!\! v(\tau)\,d\tau \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Fourier-Reihenentwicklung ...}}}\\ \!\!&=\,\,\int\limits_{\tau = -\frac{T}{2}}^{t} \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty}c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}\tau}\,d\tau \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Vertauschung der Summation- und Integrationsreihenfolge ...}}}\\ \!\!&=\,\,\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} c_{\mu} \int\limits_{\tau = -\frac{T}{2}}^{t} e^{j\mu\frac{2\pi}{T}\tau}\,d\tau\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufteilung der Summe ...}}}\\ \!\!&=\,\,c_0\,\int\limits_{\tau = -\frac{T}{2}}^{t} \underbrace{e^{j 0\frac{2\pi}{T}\tau}}_{=\,1}\,d\tau + \sum\limits_{\scriptsize{ \begin{array}{c}\mu=-\infty,\\ \mu \ne 0\end{array}}}^{\infty} c_{\mu} \int\limits_{\tau = -\frac{T}{2}}^{t} e^{j\mu\frac{2\pi}{T}\tau}\,d\tau \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Ergebnisse und Stammfunktion einsetzen ...}}}\\ \!\!&=\,\, c_0\,\left(t+\frac{T}{2}\right) + \sum\limits_{ \scriptsize{ \begin{array}{c}\mu=-\infty,\\ \mu \ne 0\end{array}}}^{\infty} c_{\mu} \left[ \frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}\tau}\right]_{-\frac{T}{2}}^{t} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Grenzen einsetzen ...}}}\\ \!\!&=\,\, c_0\,\left(t+\frac{T}{2}\right) + \sum\limits_{ \scriptsize{\begin{array}{c}\mu=-\infty,\\ \mu \ne 0\end{array}}}^{\infty} c_{\mu} \frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t} - \sum\limits_{ \scriptsize{\begin{array}{c}\mu=-\infty,\\ \mu \ne 0\end{array}}}^{\infty} c_{\mu} \frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}}\,\underbrace{e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}\frac{T}{2}}}_{=(-1)^{\mu}} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Umsortieren der einzelnen Terme ...}}}\\ \!\!&=\,\, \underbrace{c_0\,\left(t+\frac{T}{2}\right) - \sum\limits_{ \scriptsize{ \begin{array}{c}\mu=-\infty,\\ \mu \ne 0\end{array}} }^{\infty} c_{\mu} \frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}}\,(-1)^{\mu}}_{=\,c_{1\,0}} + \sum\limits_{ \scriptsize{ \begin{array}{c}\mu=-\infty,\\ \mu \ne 0\end{array} }}^{\infty} \underbrace{c_{\mu}\,\frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}}}_{=\,c_{1\,\mu}}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}. \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale können folgende Umformungen vorgenommen werden:

\begin{equation*}\begin{aligned} v_1(n) \!\!&=\,\,\sum\limits_{\kappa = 0}^{n}\, v(\kappa) \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Vertauschen der Summationsreihenfolge ...}}}\\ \!\!&=\,\, v(n) + v(n-1) + ... + v(n-n) \,\,=\,\,\sum\limits_{\kappa = 0}^{n}\, v(n-\kappa) \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der IDFT für verschobene Signale ...}}}\\ \!\!&=\,\,\sum\limits_{\kappa = 0}^{n}\, \frac{1}{M}\,\sum\limits_{\mu=0}^{M-1}\,V_M(\mu)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}\kappa}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Vertauschen der Reihenfolge der Summen ...}}}\\ \!\!&=\,\,\frac{1}{M}\,\sum\limits_{\mu=0}^{M-1}\,V_M(\mu)\,\,e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n}\,\sum\limits_{\kappa = 0}^{n}e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}\kappa} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufspalten der Summe ...}}}\\ \!\!&=\,\,\frac{1}{M}\,\Bigg[V_M(0)\underbrace{e^{j0\frac{2\pi}{M}n}}_{=\,1}\,\sum\limits_{\kappa = 0}^{n}\underbrace{e^{-j0\frac{2\pi}{M}\kappa}}_{=\,1} + \,\sum\limits_{\scriptsize{\begin{array}{c}\mu=0 \\ \mu\ne 0\end{array}}}^{M-1}\,V_M(\mu)\,\,e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n}\,\sum\limits_{\kappa = 0}^{n}e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}\kappa}\Bigg]\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Vereinfachungen und endliche Reihe einsetzen ...}}}\\ \!\!&=\,\,\frac{1}{M}\,\Bigg[V_M(0)\cdot(n+1) \,+ \sum\limits_{\mu=0,\mu\ne 0}^{M-1}\,V_M(\mu)\,\,e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n}\,\frac{1-e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}(n+1)}}{1-e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}}}\Bigg] \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{letzten Bruch aufteilen und vereinfachen ...}}}\\ \!\!&=\,\,\frac{1}{M}\,\Bigg[V_M(0)\cdot(n+1) \,+ \sum\limits_{\mu=0,\mu\ne 0}^{M-1}\,\frac{V_M(\mu)}{1-e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}}}\, e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n} \,- \sum\limits_{\mu=0,\mu\ne 0}^{M-1}\,V_M(\mu)\,\frac{e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}}}{1-e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}}}\Bigg] \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Summanden neu sortieren ...}}}\\ \!\!&=\,\,\frac{1}{M}\,\Bigg[\underbrace{V_M(0)\cdot(n+1) \,- \sum\limits_{\mu=0,\mu\ne 0}^{M-1}\,V_M(\mu)\,\frac{e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}}}{1-e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}}}}_{=\,V_{1\,M}(0)}\,+ \sum\limits_{\mu=0,\mu\ne 0}^{M-1}\,\underbrace{\frac{V_M(\mu)}{1-e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}}}}_{=\,V_{1\,M}(\mu)}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n} \Bigg]. \end{aligned}\end{equation*}

Allgemein ergibt sich daraus folgende Definition der Integration und Summation:

Definition der Integration und Summation:
Für kontinuierliche Signale ist die Integration mit \begin{equation}\begin{aligned} \int\limits_{\tau = -\frac{T}{2}}^{t}\!\! v(t)\,d\tau \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, \left\{\begin{array}{ll} c_0\,\left(t+\frac{T}{2}\right) - \sum\limits_{ \scriptsize{ \begin{array}{c}\nu=-\infty,\\ \nu \ne 0\end{array}}}^{\infty} c_{\nu} \frac{1}{j\nu\frac{2\pi}{T}}\,(-1)^{\nu}, & \text{für}\,\,\mu=0, \\ c_{\mu}\,\frac{1}{j\mu\frac{2\pi}{T}}, &\text{sonst}\end{array} \right. \end{aligned}\end{equation} definiert.
Bei diskreten Signalen entspricht dies der Summation, welche durch \begin{equation}\begin{aligned} \sum\limits_{\kappa = 0}^{n} v(\kappa) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,\begin{cases} V_M(0)\cdot (n+1) \,- \sum\limits_{\scriptsize{\begin{array}{c}\nu=0 \\ \nu\ne 0\end{array}}}^{M-1}\,V_M(\nu)\,\frac{e^{-j\nu\frac{2\pi}{M}}}{1-e^{-j\nu\frac{2\pi}{M}}}, & \text{für}\,\,\mu=0, \\ V_M(\mu)\,\frac{1}{1-e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}}}, &\text{sonst}\end{cases} \end{aligned}\end{equation} beschrieben wird.

Anmerkungen

Vergleicht man die Differentiation und die Integration bzw. die Differenz- und die Summenbildung, so fällt auf, dass dies offenbar eine Umkehrung ist.

Auch wenn man die einzelnen Operationen im Signal- und Spektralbereich (Verschiebung versus Modulation) vergleicht, so fallen Symmetrien auf (natürlich immer unter Beachtung von Detailunterschieden). Diese haben (natürlich) mit der formalen Verwandtschaft der Analyse- und Synthese-Gleichungen zu tun.

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Gegeben sei folgende Differentialgleichung für die periodischen Signale \(c(t)\) und \(y(t)\) (gleiche Periodendauer): \begin{equation*}y(t) + a_1\,\frac{dy(t)}{dt} \,\,=\,\,b_0\,v(t) + b_1\,\frac{dv(t)}{dt}.\end{equation*} Wie lautet das Verhältnis der beiden Fourier-Reihenentwicklungen \(\frac{c_{y,\mu}}{c_{v,\mu}}\)?

Das Verhältnis lautet: \begin{equation*}\begin{aligned}\frac{c_{y,\,\mu}}{c_{v,\,\mu}} \,\,&=\,\, \frac{b_0+b_1 j\mu \frac{2\pi}{T}}{1+\alpha_1 j\mu \frac{2\pi}{T}}\\ \,\,&=\,\, \frac{b_0+b_1 j \omega_\mu}{1+\alpha_1 j \omega_\mu}\end{aligned}\end{equation*}

Symmetriebeziehungen zwischen Signal- und Spektralkomponenten

Eine Zerlegung der kontinuierlichen und diskreten Signale in Real- und Imaginärteile, sowie eine Zerlegung der zughörigen Spektraldarstellungen ergibt im Kontinuierlichen

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t) &=& v_{\text{re}}(t) + j\,v_{\text{im}}(t), \\ c_{\mu} &=& c_{\text{$\mu\,$re}} + j\, c_{\text{$\mu\,$im}}. \end{aligned}\end{equation*}

Analog dazu können die Signale und die Spektralzerlegungen in gerade und ungerade Anteile zerlegt werden. Eine gerade Funktion ist dabei gemäß

\begin{equation*}g(t) \,\,=\,\, g(-t)\end{equation*}

und eine ungerade gemäß

\begin{equation*}u(t) \,\,=\,\, -u(-t)\end{equation*}

definiert.

Es existiert eine eindeutige und umkehrbare Zerlegung in gerade und ungerade Anteile für beliebige Signale. Der gerade Anteil wird gemäß

\begin{equation*}v_{\text{ge}}(t) \,\,=\,\, \frac{1}{2}\Big[ v(t) + v(-t) \Big] \end{equation*}

bestimmt, der ungerade gemäß

\begin{equation*}v_{\text{un}}(t) \,\,=\,\, \frac{1}{2}\Big[ v(t) - v(-t) \Big]. \end{equation*}

Die Summe des geraden und des ungeraden Anteils ergibt wieder das Signal selbst:

\begin{equation*}v(t) \,\,=\,\, v_{\text{ge}}(t) + v_{\text{un}}(t). \end{equation*}

Diese Zerlegung kann genauso wie auf Signale auch auf die Spektralzerlegungen angewendet werden. Insgesamt bestehen folgende Zusammenhänge zwischen den geraden bzw. ungeraden Real- und Imaginärteilen des Signals und des Spektrums:

symmetrie_beziehungen
\( v(t) \)
\( = \)
\( v_{\text{re,ge}}(t) \)
\( + \)
\( v_{\text{re,un}}(t) \)
\( + \)
\( j\,v_{\text{im,ge}}(t) \)
\( + \)
\( j\,v_{\text{im,un}}(t) \)
\( c_\mu \)
\( = \)
\( c_{\mu\,{\text{re,ge}}} \)
\( + \)
\( c_{\mu\,{\text{re,un}}} \)
\( + \)
\( j\,c_{\mu\,{\text{im,ge}}} \)
\( + \)
\( j\,c_{\mu\,{\text{im,un}}} \)

Wendet man das Ganze auf diskrete Signale an, so folgt

\begin{equation*}\begin{aligned} v(n) &=& v_{\text{re}}(n) + j\,v_{\text{im}}(n), \\ V_M(\mu) &=& V_{\text{$M\,$re}}(\mu) + j\, V_{\text{$M\,$im}}(\mu). \end{aligned}\end{equation*}

Analog dazu können die Signale und die Spektralzerlegungen in gerade und ungerade Anteile zerlegt werden. Eine gerade Folge ist dabei gemäß

\begin{equation*}g(n) \,\,=\,\, g(-n)\end{equation*}

und eine ungerade gemäß

\begin{equation*}u(n) \,\,=\,\, -u(-n)\end{equation*}

definiert.

Es existiert eine eindeutige und umkehrbare Zerlegung in gerade und ungerade Anteile für beliebige Signale. Der gerade Anteil wird gemäß

\begin{equation*}v_{\text{ge}}(n) \,\,=\,\, \frac{1}{2}\Big[ v(n) + v(-n) \Big] \end{equation*}

bestimmt, der ungerade gemäß

\begin{equation*}v_{\text{un}}(n) \,\,=\,\, \frac{1}{2}\Big[ v(n) - v(-n) \Big]. \end{equation*}

Die Summe des geraden und des ungeraden Anteils ergibt wieder das Signal selbst:

\begin{equation*}v(n) \,\,=\,\, v_{\text{ge}}(n) + v_{\text{un}}(n). \end{equation*}

Diese Zerlegung kann genauso wie auf Signale auch auf die Spektralzerlegungen ngewendet werden. Insgesamt bestehen folgende Zusammenhänge zwischen den geraden bzw. ungeraden Real- und Imaginärteilen des Signals und des Spektrums:

symmetrie_beziehungen
\( v(n) \)
\( = \)
\( v_{\text{re,ge}}(n) \)
\( + \)
\( v_{\text{re,un}}(n) \)
\( + \)
\( j\,v_{\text{im,ge}}(n) \)
\( + \)
\( j\,v_{\text{im,un}}(n) \)
\( V_M(\mu)\)
\( = \)
\( V_{M\,{\text{re,ge}}}(\mu) \)
\( + \)
\( V_{M\,{\text{re,un}}}(\mu) \)
\( + \)
\( j\,V_{M\,{\text{im,ge}}}(\mu) \)
\( + \)
\( j\,V_{M\,{\text{im,un}}}(\mu) \)

Konsequenzen für reelle Signale

Es lassen sich Konsequenzen für den Spezialfall

\begin{equation*}v(...) \,\in\,\mathbb{R},\end{equation*}

d.h. \(v_{\text{im,ge}}(...) \,=\,v_{\text{im,un}}(...) \,=\,0\) ermitteln.

Da der Imaginärteil des Signals Null ist, ergibt sich für die Spektraldarstellungen von kontinuierlichen Signalen

\begin{equation*}c_{\text{$\mu\,$im,ge}}\,=\,c_{\text{$\mu\,$re,un}} \,=\,0.\end{equation*}

und diskreten Signalen

\begin{equation*}V_{\text{$M\,$im,ge}}(\mu)\,=\,V_{\text{$M\,$re,un}}(\mu) \,=\,0.\end{equation*}

Damit ergibt sich für die Spektraldarstellungen von reellen kontinuierlichen Signalen:

\begin{equation*}\begin{aligned} c_{\mu} &= c_{\text{$\mu\,$re,ge}} + j\,c_{\text{$\mu\,$im,un}}, \\ c_{\text{$\mu\,$re,ge}} &= \text{Re}\big\{c_{\mu}\big\}, \\ c_{\text{$\mu\,$im,un}} &= \text{Im}\big\{c_{\mu}\big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Analog dazu gilt für diskrete Signale:

\begin{equation*}\begin{aligned} V_M(\mu) &= V_{\text{$M\,$re,ge}}(\mu) + j\,V_{\text{$M\,$im,un}}(\mu), \\ \text{Re}\big\{V_M(\mu)\big\} &= V_{\text{$M\,$re,ge}}(\mu), \\ \text{Im}\big\{V_M(\mu)\big\} &= V_{\text{$M\,$im,un}}(\mu). \end{aligned}\end{equation*}

Die Umkehrung der "Frequenzrichtung" ist im Kontinuierlichen

\begin{equation*}\begin{aligned} c_{-\mu} &= \overbrace{c_{\text{$-\mu\,$re,ge}}}^{\scriptsize{\text{gerade}}} + j\, \overbrace{c_{\text{$-\mu\,$im,un}}}^{\scriptsize{\text{ungerade}}} \\ &=c_{\text{$\mu\,$re,ge}} - j\,c_{\text{$\mu\,$im,un}}\\ &=c_{\mu}^* \end{aligned}\end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*} V_M(-\mu) \,\,=\,\, \overbrace{V_{\text{$M\,$re,ge}(-\mu)}}^{\scriptsize{\textrm{gerade}}} + j\, \overbrace{V_{\text{$M\,$im,un}}(-\mu)}^{\scriptsize{\textrm{ungerade}}} \end{equation*}

beschrieben.

Daraus folgt, dass bei reellen Signalen nur die Hälfte des Spektrums bestimmt, gespeichert, verarbeitet, usw. werden muss. Die anderen Anteile können rekonstruiert werden (dies spart Speicher)!

Betrachtet man die Eigenschaften des Betrags der Spektralkomponenten für kontinuierliche Signale, so gilt

\begin{equation*} c_{\mu} \,\,=\,\, \big| c_{\mu} \big| \, e^{j\arg\{c_{\mu}\}} \end{equation*}

Für den Betrag gilt dabei

\begin{equation*} \big| c_{\mu} \big| \,\,=\,\, +\sqrt{c^2_{\text{$\mu\,$re}}+c^2_{\text{$\mu\,$im}}}\,. \end{equation*}

Setzt man die Besonderheiten von reellwertigen Signalen ein, so ergibt sich:

\begin{equation*} \big| c_{\mu} \big| \,\,=\,\, +\sqrt{ c^2_{\text{$\mu\,$re,ge}} + c^2_{\text{$\mu\,$im,un}}}\,. \end{equation*}

Durch das Quadrieren werden auch die ungeraden Anteile gerade.

Daraus lässt sich folgende Definition ableiten:

Eigenschaft des Betrags der Spektralkomponenten kontinuierlicher, reeller Signale:
Für kontinuierliche, reelle Signale ist das Betragsspektrum gerade in \(\mu\) \begin{equation}\big| c_{\mu} \big| \,\,=\,\, \big| c_{-\mu} \big|. \end{equation}

Analog zum Kontinuierlichen, kann das Prinzip auch auf diskrete Signale angewendet werden:

\begin{equation*} V_M(\mu) \,\,=\,\, \big| V_M(\mu) \big| \, e^{j\arg\{V_M(\mu)\}} \end{equation*}

Für den Betrag gilt dabei

\begin{equation*} \big| V_M(\mu) \big| \,\,=\,\, +\sqrt{V^2_{\text{$M\,$re}}(\mu) + V^2_{\text{$M\,$im}}(\mu)}\,. \end{equation*}

Setzt man die Besonderheiten von reellwertigen Signalen ein, so ergibt sich:

\begin{equation*} \big| V_M(\mu) \big| \,\,=\,\, +\sqrt{ V^2_{\text{$M\,$re,ge}}(\mu) + V^2_{\text{$M\,$im,un}}(\mu) }\,. \end{equation*}

Durch das Quadrieren werden auch hier die ungeraden Anteile gerade.

Daraus lässt sich, analog zum Kontinuierlichen, folgende Definition ableiten:

Eigenschaft des Betrags der Spektralkomponenten diskreter, reeller Signale:
Für diskrete, reelle Signale ist das Betragsspektrum gerade in \(\mu\) \begin{equation}\big| V_M(\mu) \big| \,\,=\,\, \big| V_M(-\mu) \big|.\end{equation}

Betrachtet man nun die Phasen der Sepktralkomponenten reeller Signale, so gilt im Kontinuierlichen

\begin{equation*}\begin{aligned} \arg\{ c_{\mu} \} &=\,\, \text{arctan}\left( \frac{c_{\text{$\mu\,$im}}}{c_{\text{$\mu\,$re}}}\right)\\ &=\,\, \text{arctan}\left( \frac{c_{\text{$\mu\,$im,un}}}{c_{\text{$\mu\,$re,ge}}}\right)\\ &=\,\, -\arg\{ c_{-\mu} \} \end{aligned}\end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*}\begin{aligned} \arg\big\{ V_M(\mu) \big\} &=\,\,\text{arctan}\left( \frac{V_{\text{$M\,$im}}(\mu)}{V_{\text{$M\,$re}}(\mu)}\right) \\ &=\,\,\text{arctan}\left( \frac{V_{\text{$M\,$im,un}}(\mu)}{V_{\text{$M\,$re,ge}}(\mu)}\right) \\ &=\,\, -\arg\big\{ V_M(-\mu) \big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Eigenschaft der Phase der Spektralkomponenten reeller Signale:
Die Phase des Spektrums eines rellen, diskreten oder kontinuierlichen Signals ist ungerade in \(\mu\).

Symmetriebeziehungen zwischen Signal- und Spektralkomponenten

Aufgrund der Symmetrien von reellen Signalen können die ursprünglichen Transformationsbeziehungen umgeformt werden. Dies ist zum Beispiel auch für die Diskrete Fourier-Transformation möglich (aber auch unüblich). Für die Fourier-Reihe ergibt sich für reelle Signale:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t) &= \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty}c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufspalten der Summe ...}}}\\ &= \sum\limits_{\mu=-\infty}^{-1}c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t} + c_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{\infty}c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Umkehren der Summationsreihenfolge der ersten Summe ...}}}\\ &= \sum\limits_{\mu=1}^{\infty}c_{-\mu}\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t} + c_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{\infty}c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Zusammenfassen der beiden Summen ...}}}\\ &= c_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{\infty}\Big[c_{-\mu}\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}+c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\Big]\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufspalten der e-Funktion in sin(…) und cos(…) ...}}}\\ &= c_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{\infty} \Big[\big(c_{\mu} + c_{-\mu} \big) \, \cos\Big(\mu\frac{2\pi}{T}t\Big) + j\,\big(c_{\mu}-c_{-\mu}\big)\,\sin\Big(\mu\frac{2\pi}{T}t\Big)\Big]\\ \end{aligned}\end{equation*}

Es werden folgende Abkürzungen unter Verwendung der Symmetrie eingeführt:

\begin{equation*}\begin{aligned} a_{\mu} &=& \,\,\,\,c_{\mu} + c_{-\mu} \,\,\,\,\,\,\,=\,\,\,\,\,\, c_{\mu} + c_{\mu}^* \,\,\,\,\,\,\,=\,\,\,\,\,\,\, 2\,\textrm{Re}\{c_{\mu}\} \,\in\,\mathbb{R}\\ b_{\mu} &=& j\, \big(c_{\mu} - c_{-\mu}\big) \,\,=\,\, j\,\big(c_{\mu} - c_{\mu}^*\big) \,\,=\,\, -2\,\textrm{Im}\{c_{\mu}\} \,\in\,\mathbb{R} \end{aligned}\end{equation*}

Damit ergibt sich

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t)\,\,=\,\, c_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{\infty} a_{\mu} \, \cos\Big(\mu\frac{2\pi}{T}t\Big) + \sum\limits_{\mu=1}^{\infty} b_{\mu}\,\sin\Big(\mu\frac{2\pi}{T}t\Big) \end{aligned}\end{equation*}

Dabei sind alle beteiligten Koeffizienten reell! Diese reellen Reihenkoeffizienten werden wie folgt bestimmt:

\begin{equation*}\begin{aligned} c_0 &= \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} v(t)\,dt, \leftarrow \text{Mittelwert des Signals}\\ a_\mu &=\,\, 2\,\textrm{Re}\{c_{\mu}\} \,\,=\,\,\frac{2}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} v(t)\,\cos\Big( \mu\frac{2\pi}{T}t\Big)dt, \\ b_\mu &= -2\,\textrm{Im}\{c_{\mu}\} \,\,=\,\,\frac{2}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} v(t)\,\sin\Big( \mu\frac{2\pi}{T}t\Big)dt. \end{aligned}\end{equation*}

Durch Umkehrung der bisherigen Gleichungen wird mit

\begin{equation*}c_\mu \,\,=\,\,\frac{1}{2} \big( a_{\mu} -j\, b_{\mu}\big),\quad c_{-\mu}\,\,=\,\,c_{\mu}^* \quad\textrm{f"ur}\,\,\mu\,\in\,\{1,\,...,\,\infty\}\end{equation*}

daraus wieder die komplexe Fourier-Reihe in einheitlicher, kompakter Schreibweise.

Für die Diskrete Fourier-Transformation kann dies auf nahezu gleiche Weise angewendet werden.

Fragen

Fragen: Antworten:

Gegeben sei eine periodische reelle Folge mit der Periodendauer 16. Wie viele Datenworte (Speicherstellen) benötigen Sie, wenn Sie das Spektrum ohne Redundanz speichern wollen?

Man benötigt 9 Speicherstellen.

Wie viele Datenworte benötigen Sie, wenn die oben genannte Folge zusätzlich auch gerade ist?

Man benötigt 5 Speicherstellen.

Gegeben sei eine Folge, die sich durch eine gewichtete Summe von Sinusfolgen (ohne Phasenterm) beschreiben lässt. Was können Sie über die DFT dieser Folge aussagen?

Die DFT dieser Folge besteht aus entsprechend gewichteten Impulsen bei den jeweiligen Frequenzen der Sinussignale.

Beispiele

Signalanalyse von realen Signalen

Ein Anwendungsbeispiel ist die Analyse von Sprachsignalen:
Ein Mikrofonsignal wird zunächst mit 16 kHz abgetastet. Dieses diskrete Signale wird dann in einzelne Blöcke der Länge \(M\,\,=\,\,512\) aufgeteilt. Die Aufteilung kann dabei auch überlappend sein, der Blockabstand \(R\) kann z. B. \(R\,\,=\,\,M/4\) betragen. Zusätzlich kann jeder Block mit einer sog. Fensterung versehen werden, damit die Randbereiche weniger ins Gewicht fallen als der Bereich in der Mitte des Blockes. Jeder einzelne Signalblock wird dann (gedanklich) periodisch fortgesetzt und es kann dann eine DFT dieses Signals bestimmt werden. Die so erhaltenen Spektralvektoren werden zu einer Matrix zusammenfasst. Man stellt oftmals das logarithmierte Betragsspektrum auf diese Weise dar. Solche Zeit-Frequenz-Darstellungen nennt man Spektrogramm.

Cosinus mit Gleichanteil

Gegeben sei folgendes Signal:

\begin{equation*}v(t) \,\,=\,\,\hat v_0 + \hat v_1\,\cos(\omega_1 t + \varphi).\end{equation*}

Die Periodendauer dieses Signals beträgt \(T\,\,=\,\,\frac{2\pi}{\omega_1}\), d.h. die Grundfrequenz kann mit

\begin{equation*}\omega_1\,\,=\,\,\frac{2\pi}{T}.\end{equation*}

Wendet man hierauf die Fourier-Reihenentwicklung an, so ergibt sich für den Koeffizienten \(c_0\) (Gleichanteil, Mittelwert):

\begin{equation*}c_0 \,\,=\,\,\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} v(t)\,dt \,\,=\,\,\frac{1}{T}\underbrace{\int\limits_{0}^{T}\hat v_0\,dt}_{=\,\hat v_0\,T} \,+\, \frac{1}{T}\underbrace{\int\limits_{0}^{T}\hat v_1\,\cos(\omega_1\,t+\varphi)\,dt}_{=\,0} \,\,=\,\,\hat v_0.\end{equation*}

Für den Koeffizienten \(c_1\) erhält man:

\begin{equation*}\begin{aligned} c_1 \,\,&=\,\,\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} v(t)\,e^{-j\overbrace{\frac{2\pi}{T}}^{=\omega_1}t}\,dt \,\,=\,\,\frac{\hat v_0}{T}\underbrace{\int\limits_{0}^{T}e^{-j\omega_1 t}\,dt}_{=\,0} \,+\, \frac{\hat v_1}{T}\int\limits_{0}^{T}\,\cos(\omega_1 t+\varphi)\,e^{-j\omega_1 t}\,dt\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Da über eine volle Periode der Schwingung integriert wird ...}}}\\ &= \frac{\hat v_1}{T}\int\limits_{0}^{T}\,\cos(\omega_1 t+\varphi)\,e^{-j\omega_1 t}\,dt \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen von \(\cos(x)\,\,=\,\, \frac{1}{2} \Bigg[e^{jx}+e^{-jx} \Bigg]\) ergibt ...}}}\\ &= \frac{\hat v_1}{2T} \Bigg[\int\limits_{0}^{T}\,e^{j(\omega_1 t+\varphi)}\,e^{-j\omega_1 t}\,dt\,+\,\int\limits_{0}^{T}\,e^{-j(\omega_1 t+\varphi)}\,e^{-j\omega_1 t}\,dt\Bigg]\\ &= \frac{\hat v_1}{2T} \Bigg[\int\limits_{0}^{T}\,e^{j\varphi}\,dt\,+\,\int\limits_{0}^{T}\,e^{-j(2\omega_1 t+\varphi)}\,dt\Bigg] \\ &=\frac{\hat v_1}{2T} \Bigg[e^{j\varphi}\underbrace{\int\limits_{0}^{T}1\,dt}_{=\,T}\,+\,\underbrace{\int\limits_{0}^{T}\,e^{-j(2\omega_1 t+\varphi)}\,dt}_{=\,0}\Bigg]\,\,=\,\,\frac{\hat v_1}{2}\,e^{j\varphi}. \end{aligned}\end{equation*}

Eine gleichartige Rechnung liefert für den Koeffizienten \(c_{-1}\):

\begin{equation*} c_{-1}\,\,=\,\,\frac{\hat v_1}{2}\,e^{-j\varphi}\,\,=\,\,c_1^*. \end{equation*}

Für die Koeffizienten \(c_\mu\) mit \(\mu \,\ne\,-1,\,0,\,1\) wird stets über eine ganze Zahl von Perioden der sin- und cos-Schwingungen integriert. Hieraus ergibt sich

\begin{equation*} c_{\mu}\,\,=\,\,0,\quad\forall\,\mu\,\not\in\,\{-1,\,0,\,1\}. \end{equation*}

Daraus ergibt sich eine endliche Fourier-Reihe mit nur 3 Koeffizienten:

\begin{equation*} v(t)\,\,=\,\,c_{-1}\,e^{-j\frac{2\pi}{T}t}\,+\,c_0\,+\,c_1\,e^{j\frac{2\pi}{T}t}. \end{equation*}

Diese Fourier-Reihe ist in folgender Graphik dargestellt:

ExampleGCosGleichAnt
\( \text{Re}\{c_\mu\} \)
\( \text{Im}\{c_\mu\} \)

Setzt man die Ergebnisse für die drei Fourier-Reihenkoeffizienten ein, so ergibt sich:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t)\!\!&=\!\!c_0\,+\,c_{-1}\,e^{-j\frac{2\pi}{T}t}\,+\,c_1\,e^{j\frac{2\pi}{T}t} \\ \!\!&=\!\! \hat v_0 \,+\,\frac{\hat v_1}{2}\Big[e^{-j\varphi}\,e^{-j\frac{2\pi}{T}t}\,+\,e^{j\varphi}\,e^{j\frac{2\pi}{T}t} \Big] \\ \!\!&=\!\! \hat v_0 \,+\,\frac{\hat v_1}{2}\Big[e^{j(\omega_1 t+\varphi)}\,+\,e^{-j(\omega_1 t+\varphi)} \Big] \\ \!\!&=\!\! \hat v_0 \,+\,\hat v_1\,\cos(\omega_1 t+\varphi). \end{aligned}\end{equation*}

In derart einfachen Fällen ist das Ergebnis (mit etwas Übung) unmittelbar zu sehen. Die Integration gemäß der zuvor durchgeführten Herleitung ist dann nicht nötig (aber natürlich zulässig).

Modulierter Cosinus mit Gleichanteil

Gegeben sei folgendes Signal:

\begin{equation*}v(n) \,\,=\,\, \Big[\hat v_0 + \hat v_1\,\cos(\Omega_1 n)\Big]\,\cos(k \Omega_1 n)\end{equation*}

mit \(\Omega_1\,=\,\frac{2\pi}{K},\,\,K\,=\,20,\,\,k\,=\,5.\)

Da die Periode des ersten Cosinusterms ein ganzzahliges Vielfaches der Periode des zweiten st, bestimmt der erste Term die Gesamtperiode

\begin{equation*}M\,=\,K\,=\,20.\end{equation*}

Wendet man die diskrete Fourier-Transformation an, so ergibt sich für den Koeffizienten \(V_M(0)\) (Gleichanteil, Mittelwert):

\begin{equation*}\begin{aligned} V_{M}(0) \!\!&=\!\! \sum_{n=0}^{M-1} v(n)\,\overbrace{e^{-j 0 \frac{2\pi}{M} n}}^{=\,1} \,\,=\,\,\sum_{n=0}^{M-1} v(n) \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen des gegebenen Signals ...}}}\\ \!\!&=\!\! \hat v_0 \sum_{n=0}^{M-1} \cos(k \Omega_1 n) + \hat v_1 \sum_{n=0}^{M-1} \cos(\Omega_1 n)\,\cos(k \Omega_1 n) \end{aligned}\end{equation*}

Zunächst sollen im Folgenden immer wieder verwendete Rechenregeln aufgeführt werden:

... Exponentialfunktionen betreffend:

\begin{equation*}\begin{aligned} Ve^{jx} \!\!&=\,\, \cos(x) \,+\, j\sin(x)\\ e^{-jx} \!\!&=\,\, \cos(x) \,-\, j\sin(x) \,\,=\,\big[ e^{jx} \big]^* \\ e^{jx} \,+\, e^{-jx} \!\!&=\,\, 2\,\cos(x) \\ e^{jx} \,-\, e^{-jx} \!\!&=\,\, j\,2\,\sin(x) \\ \end{aligned}\end{equation*}

... Cosinusfunktionen betreffend:

\begin{equation*}\begin{aligned} \cos(x)\,\cos(y)\,\,=\,\,\frac{1}{2}\big[ \cos(x-y) \,+\,\cos(x+y)\big] \end{aligned}\end{equation*}

... Summen betreffend:

\begin{equation*}\begin{aligned} \sum\limits_{n=n_1}^{n_2}x^n\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^{n_2-n_1}x^{n_1}\,x^n\,\,=\,\,x^{n_1}\sum\limits_{n=0}^{N-1}x^n\,\,=\,\,x^{n_1}\,\frac{1-x^N}{1-x} \,\, \text{mit } n_2-n_1 = N-1. \end{aligned}\end{equation*}

Daraus ergibt sich für \(|x| \,<\, 1\):

\begin{equation*}\begin{aligned} \sum\limits_{n=n_1}^{\infty}x^n\,\,=\,\,x^{n_1}\frac{1}{1-x}. \end{aligned}\end{equation*}

Setzt man also die Bestimmung des Koeffizienten \(V_M(0)\) fort:

\begin{equation*}\begin{aligned} V_{M}(0) \!\!&=\,\, \hat v_0 \sum_{n=0}^{M-1} \cos(k \Omega_1 n) + \hat v_1 \sum_{n=0}^{M-1} \cos(\Omega_1 n)\,\cos(k \Omega_1 n)\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen von \(\cos(c) = \big[e^{jx}+e^{-jx}\big]\) ergibt ...}}}\\ \!\!&=\,\, \frac{\hat v_0}{2}\Bigg[ \sum_{n=0}^{M-1} e^{j k \Omega_1 n} + \sum_{n=0}^{M-1} e^{-j k \Omega_1 n} \Bigg] + \hat v_1 \sum_{n=0}^{M-1} \cos(\Omega_1 n)\,\cos(k \Omega_1 n)\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Formel für endliche geometrische Reihe ergibt ...}}}\\ \!\!&=\,\, \frac{\hat v_0}{2}\Bigg[ \frac{1-e^{j k \Omega_1 M}}{1-e^{j k \Omega_1}} + \frac{1-e^{-j k \Omega_1 M}}{1-e^{-j k \Omega_1}} \Bigg] + \hat v_1 \sum_{n=0}^{M-1} \cos(\Omega_1 n)\,\cos(k \Omega_1 n)\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen von\(\Omega_1\,=\,\frac{2\pi}{K}\,=\,\frac{2\pi}{M}\) ergibt ...}}}\\ \!\!&=\,\, \frac{\hat v_0}{2}\Bigg[ \underbrace{\frac{1-e^{j k \frac{2\pi}{M} M}}{1-e^{j k \frac{2\pi}{M}}}}_{=\,0} + \underbrace{\frac{1-e^{-j k \frac{2\pi}{M} M}}{1-e^{-j k \frac{2\pi}{M}}}}_{=\,0} \Bigg] + \hat v_1 \sum_{n=0}^{M-1} \cos(\Omega_1 n)\,\cos(k \Omega_1 n)\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen von \(\cos(x)\,\cos(y)\,\,=\,\,\frac{1}{2}\big[ \cos(x-y) \,+\,\cos(x+y)\big]\) ergibt ...}}}\\ \!\!&=\,\, \frac{\hat v_1}{2} \sum_{n=0}^{M-1} \cos\big((k+1)\Omega_1 n\big)\,+\,\frac{\hat v_1}{2} \sum_{n=0}^{M-1}\,\cos\big((k-1) \Omega_1 n\big)\\ \!\!&=\,\,0. \end{aligned}\end{equation*}

Bei der Bestimmung der übrigen Koeffizienten kann nun genau so vorgegangen werden. Alternativ bietet sich aber ein Umformen der Cos-Terme in Exponentialterme an. Sollte dies vollständig gelingen, so können die einzelnen Spektralanteile durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden.
Die Umformung der Eingangsfolge ergibt:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(n) \!\!&=\!\! \Big[\hat v_0 \,+\, \hat v_1\,\cos(\Omega_1 n)\Big]\,\cos(k \Omega_1 n)\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Auflösen des Ausdrucks in Klammern ...}}}\\ \!\!&=\,\, \hat v_0\,\cos(k \Omega_1 n) \,+\, \hat v_1\,\cos(\Omega_1 n)\,\cos(k \Omega_1 n)\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen von \(\cos(x)\,\cos(y)\,\,=\,\,\frac{1}{2}\big[ \cos(x-y) \,+\,\cos(x+y)\big]\) ergibt ...}}}\\ \!\!&=\,\, \hat v_0\,\cos(k \Omega_1 n) \,+\, \frac{\hat v_1}{2}\,\cos\big((k+1)\Omega_1 n\big) \,+\,\frac{\hat v_1}{2}\,\cos\big((k+1)\Omega_1 n\big)\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen von \(\cos(x)\,=\,\frac{1}{2}\big[e^{jx}+e^{-jx} \big] \) ergibt ...}}}\\ \!\!&=\,\, \frac{\hat v_0}{2}\,\Big[e^{j k \Omega_1 n} + e^{-j k \Omega_1 n}\big] \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \leftarrow \text{Anteile bei } V_M(k) \text{und } V_{M}(-k) = V_{M}(M-k) \\ \!\!&+\,\, \frac{\hat v_1}{4}\,\Big[e^{j (k+1) \Omega_1 n} + e^{-j\,(k+1)\,\Omega_1 n}\big]\,\,\, \leftarrow \text{Anteile bei } V_M(k+1) \text{und } V_{M}(-k-1) = V_{M}(M-k-1)\\ \!\!&+\,\, \frac{\hat v_1}{4}\,\Big[e^{j (k-1) \Omega_1 n} + e^{-j\,(k-1)\,\Omega_1 n}\big]\,\,\, \leftarrow \text{Anteile bei } V_M(k-1) \text{und } V_{M}(-k+1) = V_{M}(M-k+1) \end{aligned}\end{equation*}

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:

\begin{equation*}\begin{aligned} V_{M}(k)\!\!&=\,\,V_{M}(M-k)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\,\frac{\hat v_0}{2} \\ V_{M}(k+1)\!\!&=\,\,V_{M}(M-k-1)\,\,=\,\,\frac{\hat v_1}{4} \\ V_{M}(k-1)\!\!&=\,\,V_{M}(M-k+1)\,\,=\,\,\frac{\hat v_1}{4} \\ V_{M}(\mu)\!\!&=\,\,0,\quad\forall\,\,\mu\,\not\in\,\{k-1,\,k,\,k+1,\,M-k-1,\,M-k,\,M-k+1\}. \end{aligned}\end{equation*}

Das Betragsspektrum ist in folgender Graphik dargestellt. Das Basisspektrum des Cosinus mit Gleichanteil nach rechts und links verschoben

ExampleBetragsSpecModCos
\( V_M(\mu) \)
\( k-1 \)
\( k \)
\( M-k \)
\( \mu \)
\( \scriptsize{V_M(k-1)} \)
\( \scriptsize{V_M(k+1)} \)
\( \scriptsize{V_M(k+1)} \)

Impulsfolgen

Gegeben sei folgendes Signal:

\begin{equation*}v(n) \,\,=\,\, \sum\limits_{\lambda = -\infty}^{\infty} \gamma_0(n-\lambda M),\end{equation*}

d.h ein \(M\)-periodischer Impuls-Kamm.

Es ergibt sich die graphische Darstellung:

impulskamm_diskret
\( v(n) \)
\( 0\)
\( -1\)
\( -2\)
\(1\)
\(2\)
\( M\)
\( 2\,M\)
\(n\)

Die Periodendauer des Signals beträgt \(M\). Innerhalb einer Periode gibt es nur einen von Null verschiedenen Wert im Signal.

Um die Spektraldarstellung zu bestimmen geht man folgendermaßen vor:

\begin{equation*}\begin{aligned} V_M(\mu)\,\,&=\,\, \sum\limits_{n=0}^{M-1} v(n)\, e^{-j\mu \frac{2 \pi}{M}n}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen des Impulskamms. Da nur ein Impuls innerhalb der Summationsgrenzen vorkommt, kann dies wie folgt vereinfacht werden ...}}}\\ &=\,\, \sum\limits_{n=0}^{M-1}\gamma_0(n)\, e^{-j\mu \frac{2 \pi}{M}n}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Durch die Ausblendeigenschaft des Impulses bleibt nur ein einziger Exponentialterm übrig ...}}}\\ &=\,\, e^{-j\mu \frac{2 \pi}{M}0}\,\,=\,\,1 \,\, \forall \, \mu \end{aligned}\end{equation*}

spec_impulskamm_diskret
\( V_M(\mu) \)
\( 0\)
\( -1\)
\( -2\)
\(1\)
\(2\)
\( M\)
\( 2\,M\)
\(\mu\)
\( \xleftarrow{\qquad} \)
\( \xleftarrow{\qquad} \)
\( \xleftarrow{\qquad} \)
\( \xleftarrow{\qquad} \)
\( \xleftarrow{\qquad} \)
\( \xleftarrow{\qquad} \)
Periodische Wiederholung
\( \xleftarrow{} \)
\( \xleftarrow{} \)
Periodische Wiederholung

Betrachtet man nun das kontinuierliche Äquivalent zum zuvor behandelten diskreten Impulskamm

\begin{equation*}v(t) \,\,=\,\, \sum\limits_{\lambda = -\infty}^{\infty} \delta_0(n-\lambda T),\end{equation*}

d.h ein periodischer (Dirac-) Impuls-Kamm mit der Periodendauer \(T\).

Graphisch ergibt sich folgende Signaldarstellung:

impulskamm_kontinuierlich
\( v(t) \)
\( 0\)
\( T\)
\( 2\,T\)
\( 3\,T\)
\(t\)
\( \xleftarrow{} \)
Gewicht \(T\)

Die Periodendauer des Signals beträgt \(T\). Innerhalb einer Periode gibt es nur einen Dirac-Impuls im Signal.

Bei der Bestimmung der Spektraldarstellung wird wie folgt verfahren:

\begin{equation*}\begin{aligned} c_\mu \,\,&=\,\, \frac{1}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} v(t)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}dt \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen des Impulskamms ...}}}\\ &=\,\, \frac{1}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} T \sum\limits_{\lambda = -\infty}^{\infty} \delta_0(t-\lambda\, T)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}dt\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Nur ein Dirac-Impuls liegt innerhalb der Integrationsgrenzen ...}}}\\ &=\,\, \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \delta_0(t)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}dt\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Verwenden der Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses ...}}}\\ &=\,\,\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \delta_0/t)\,\underbrace{e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}0}}_{=\,\,0}dt\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Verwenden der Flächeneigenschaft des Dirac-Impulses ...}}}\\ &\equiv \,\, 1\,\,\forall\, \mu. \end{aligned}\end{equation*}

Visualisiert man dieses Ergebnis, so erhält man:

spektrum_impulskamm_kontinuierlich
\( c_\mu \)
\( 1\)
\( 1\)
\( 2\)
\( 3\)
\( -1\)
\( -2\)
\( -3\)
\(\mu\)

Durch Vergleich der Eingangssignale und der Reihenentwicklungen ergeben sich folgende Zusammenhänge ...

... im Kontinuierlichen: \(\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\,\, =\,\, T\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty} \delta_0(t-\lambda T)\).

... im Diskreten: \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{M}\sum\limits_{\mu=-0}^{M-1} e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n}\,\,=\,\, \sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty} \gamma_0(n-\lambda M)\).