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Signale and Systeme – Fourier-Transformationen

Inhalt

Fourier-Transformation
Definition und Begriffsklärung
Periodizitäten
Fehlerbetrachtung, Bessel-Ungleichung, Parseval'sche Gleichung und Orthogonalität
Existenzbedingungen
Eigenschaften und Sätze
Beispiele

Fourier-Transformation

Definition und Begriffsklärung

Die inverse Fourier-Transformation ist folgendermaßen definiert:

Definition der inversen Fourier-Transformation:
Kontinuierlich: \begin{equation} v(t) \,\,=\,\, \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{\omega \,=\, -\infty}^{\infty} V(j\omega)e^{j \omega t} d\omega \end{equation}
Diskret: \begin{equation} v(n) \,\,=\,\, \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{\Omega \,=\, -\pi}^{\pi} V(e^{j\Omega})e^{j \Omega n} d\Omega \end{equation}

Die inverse Fourier-Transformation sind demnach "unendlich dichte" Überlagerungen von harmonischen Exponentialfunktionen. Die Transformationsgleichungen stellen Verallgemeinerungen der Fourier-Reihe bzw. der Fourier-Transformation dar, wobei

nun "nicht-abzählbar unendlich" viele Frequenzen im Frequenzband \( \omega \in \mathbb{R} \) bzw. \( \Omega \in [-\pi,\pi], \Omega \in \mathbb{R} \) vorkommen.

Anmerkungen

Die Größen \(V(j\omega)\) bzw. \(V(e^{j\Omega})\) sind analog zu den bisherigen Überlegungen als "komplexe Amplituden" der harmonischen Exponentialfunktionen zu sehen. Sie müssen "geeignet gewä,hlt" werden. für die Bezeichnung der Funktionen \(V(j\omega)\) bzw. \(V(e^{j\Omega})\) gilt:

Man betrachte zunächst z.B. die inverse Fourier-Transformation für diskrete Signale und achte dabei auf die Dimensionen der einzelnen Komponenten, so erhält man

\( \underbrace{v(n)} \,\,=\,\, \underbrace{\frac{1}{2 \pi}} \int\limits_{\Omega \,=\, -\pi}^{\pi} \underbrace{V(e^{j\Omega})}\underbrace{e^{j \Omega n}} \underbrace{d\Omega} \)
\( \xleftarrow{} \)
... mit der Dimension einer Frequenz.
\( \xleftarrow{\qquad} \)
... dimensionslos.
\( \xleftarrow{\qquad \qquad} \)
... gesucht!
\( \xleftarrow{\qquad \qquad \qquad} \)
... dimensionslos.
\( \xleftarrow{\qquad \qquad \qquad \qquad} \)
... mit der Dimension eines Signals.

Basierend auf diesen Überlegungen kann die Dimension von \(V(j\omega)\) bzw. \(V(e^{j\Omega})\) als Amplitude/Frequenz angegeben werden. Die Größen \(V(j\omega)\) bzw. \(V(e^{j\Omega})\) werden daher auch als Amplitudendichte bezeichnet. Diese kann mittels der Fourier-Transformation bestimmt werden.

Definition der Amplitudendichte:
Kontinuierlich: \begin{equation} V(j \omega) \,\,=\,\, \int\limits_{\omega \,=\, -\infty}^{\infty} v(t)e^{-j \omega t} dt \end{equation}
Diskret: \begin{equation} V(e^{j \Omega}) \,\,=\,\, \sum\limits_{n \,=\, -\infty}^{\infty} v(n)e^{-j \Omega n}\end{equation}

Bezeichnungen

Die Verteilungen der Exponentialanteile über den Frequenzen \(\omega\) bzw. \(\Omega\) wird als Spektrum bezeichnet. Dieses wird mittels der Fourier-Transformation der Signale \(v(...)\) bestimmt. Die Bestimmung der Spektralanteile wird auch als Spektralanalyse bezeichnet. Häfig wird auch die Kurznotation verwendet, diese lautet für kontinuierliche Signale:

\begin{equation} \begin{aligned} V(j\omega) &=\,\, \mathcal{F}\{v(t)\} \text{ bzw.} \\ V(j\omega) & \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ \,\, v(t), \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} v(t) &=\,\, \mathcal{F}^{-1}\{V(j\omega)\} \text{ bzw.} \\ v(t) & \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\, V(j\omega). \end{aligned} \end{equation}

Für diskrete Signale gilt:

\begin{equation} \begin{aligned} V(e^{j\Omega}) &=\,\, \mathcal{F}\{v(n)\} \text{ bzw.} \\ V(e^{j\Omega}) & \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ \,\, v(n), \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} v(n) &=\,\, \mathcal{F}^{-1}\{V(e^{j\Omega})\} \text{ bzw.} \\ v(n) & \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\, V(e^{j\Omega}). \end{aligned} \end{equation}

Periodizitäten

Offensichtliche Entsprechungen

Die Fourier-Transformation für kontinuierliche Signale entspricht offensichtlich den Fourier-Reihenkoeffizienten:

\begin{equation*} V(j\omega)\,\,=\!\! \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! v(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \quad \quad \longleftrightarrow \quad \quad c_{\mu}\,\,=\,\,\frac{1}{T}\int\limits_{t=t_0}^{t_0+T} v(t)\,e^{-j\mu \frac{2\pi}{T}t} \, dt. \end{equation*}

Dieses gilt jedoch nur für \(T\rightarrow\infty \), d.h. für unendlich lange Perioden. Damit ist die Transformation für nicht-periodische Signale \(v(t)\) geeignet. Der Frequenzabstand \(2\pi / T\) geht hier gegen 0, d.h. die Frequenzen \(\omega\) sind unendlich dicht beieinander.

Ebenso entspricht für \(M\rightarrow\infty \), d.h. für unendlich lange Perioden, die Fourier-Transformation für diskrete Signale den DFT-Koeffizienten

\begin{equation*} V(e^{j\Omega})\,\,=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v(n)\,e^{-j\Omega n} \quad \quad \longleftrightarrow \quad \quad V_M(\mu)\,\,=\,\,\sum\limits_{n=0}^{M-1} v(n)\,e^{-j\mu \frac{2\pi}{M} n}. \end{equation*}

Damit ist die Transformation für nicht-periodische Signale \(v(n)\) geeignet. Der Frequenzabstand \(2\pi / M\) geht auch hier gegen 0, d.h. dass die Frequenzen \(\Omega\) unendlich dicht beieinander sind.

Periodizitäten des Spektrums diskreter Signale

Ersetzt man \(\Omega\) durch \(\Omega + \lambda 2 \pi \) in der Definition der Fourier-Transformation für diskrete Signale. so ergibt sich:

\begin{equation*} \begin{aligned} V(e^{j(\Omega+\lambda 2 \pi)}) &= \,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v(n) e^{-j(\Omega+\lambda 2 \pi)n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufteilen des Exponentialterms in zwei Komponenten ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v(n) e^{-j\Omega n} \underbrace{e^{-j\lambda 2 \pi}}_{=1 \,\forall\, n,\,\lambda \, \in \,\mathbb{Z}}\\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzten der Vereinfachung ...}}}\\[1mm] &= \,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v(n) e^{-j \Omega n} \,\,=\,\, V(e^{j\Omega}). \end{aligned} \end{equation*}

D.h. die Spektren diskreter Signale sind \(2 \pi\)-periodisch bzw. \(M\)-periodisch (falls die Signale zusätzlich noch periodisch \(\bigl[\)mit Periode \(M \bigr]\) sind).

Symmetrien zwischen Zeit- und Frequenzbereich

Es können auch periodische Funktionen mit Variablen \(\neq t\) in Fourier-Reihendarstellung gebracht werden - das gilt auch für \(V(e^{j\Omega})\). Dies kann als \(2 \pi\)-periodische Funktion über der kontinuierlichen Variable \(\Omega\) aufgefasst werden, d.h.

\begin{equation*} \mu\,\frac{2\pi}{T} \,\longrightarrow\,\mu\,\frac{2\pi}{2\pi}\,=\,\mu. \end{equation*}

Damit können folgende Reihenkoeffizienten berechnet werden:

\begin{equation*} c_{\mu} \,\,=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\Omega=\Omega_0}^{\Omega_0+2\pi} V(e^{j\Omega})\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{2\pi}\Omega}\,d\Omega \,\,=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\Omega=\Omega_0}^{\Omega_0+2\pi} V(e^{j\Omega})\,e^{-j\mu\Omega}\,d\Omega. \end{equation*}

Dabei entspricht der zweite Term der Fourier-Reihenentwicklung für kontinuierliche Signale. Des Weiteren ergibt sich für \( n=-\mu \) und \(\Omega_0=-\pi\):

\begin{equation*} c_{-n} \,\,=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\Omega=-\pi}^{\pi} V(e^{j\Omega})\,e^{j\Omega n}\,d\Omega \,\,=\,\,v(n). \end{equation*}

Das heißt, dass die Signalwerte \(v(-n)\) den Fourier-Reihenkoeffizienten des periodischen Spektrums \( V(e^{j\Omega})\) entsprechen!

Die zuvor aufgezeigte Symmetrie der Betrachtungen im Zeit- und Frequenzbereich gilt sehr allgemein. Hier lässt sie sich insbesondere in folgendem Zuordnungsschema darstellen:

Signal Spektrum
\(v(t)\): kontinuierlich, nicht periodisch nicht periodisch, kontinuierlich: \(V(j\omega)\)
\(v(t)\): kontinuierlich, periodisch nicht periodisch, diskret: \(c_{\mu}\)
\(v(n)\): diskret, nicht periodisch periodisch, kontinuierlich: \(V(e^{j\Omega})\)
\(v(n)\): diskret, periodisch periodisch, diskret: \(V(j\omega)\)

Fehlerbetrachtung, Bessel-Ungleichung, Parseval'sche Gleichung und Orthogonalität

Frage

Warum ist in der "verallgemeinerten Summen-Darstellung" der Signale \(v(t)\) bzw. \(v(n)\) (inverse Fourier-Transformation) gerade der Ausdruck \( V(j\omega)\) bzw. \(V(e^{j\Omega})\) gemäß der Fourier-Transformation einzusetzen?

Die Antwort ist hier ählich wie bei der Fourier-Reihenentwicklung. Zunächst definiert man im Kontinuierlichen eine das Signal approximierende Funktion \(g(t)\) gemäß

\begin{equation*} g(t)\,\,=\,\,\frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\omega_g}^{\omega_g}V(j\omega) \,e^{j\omega t}\,d\omega \end{equation*}

Dieses stellt eine "Summe" von Exponentialanteilen in einem begrenzten Frequenzband (\(<\infty\)) dar. Anschließend wird \(v(t)\) durch \(g(t)\) nach dem Kriterium "kleinster, mittlerer, quadratischer Fehler" approximiert:

\begin{equation*} \epsilon\,\,=\,\,\int\limits_{-\infty}^{\infty} \big|v(t) - g(t) \big|^2 dt \end{equation*}

Im Diskreten lautet die das Signal approximierende Funktion

\begin{equation*} g(n)\,\,=\,\,\frac{1}{2\pi}\int\limits_{\Omega=-\Omega_g}^{\Omega_g}V(e^{j\Omega})\,e^{j\Omega n}\,d\Omega, \end{equation*}

diese stellt ebenso eine "Summe" von Exponentialanteilen in einem begrenzten Frequenzband (\(<\infty\)) dar. Auch hier wird anschließend \(v(n)\) durch \(g(n)\) nach dem Kriterium "kleinster, mittlerer, quadratischer Fehler" approximiert:

\begin{equation*} \epsilon\,\,=\,\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \big|v(n) - g(n) \big|^2. \end{equation*}

Die Definition des Signals g(...) liefert zusammen mit dem Optimierungskriterium gerade die Fourier-Transformation für die frei wählbaren Funktionen \(V(...)\). Dies geht nicht mehr einfach nur durch Ableiten nach \(V(...)\) und Nullsetzen der Ableitung wie bei den diskreten freien Parametern \(c_{\mu}\) bzw. \(V_{M}(\mu)\)! Hier wird ein sog. Variationsansatz notwendig. Das Ergebnis gilt dabei für jede Grenzfrequenz \(w_g \le \infty\) bzw. \(\Omega_g \le \pi\) und liefert dabei den minimalen Fehler \(\epsilon_{\text{min}}\)!

Fehlerbetrachtung

Ähnlich wie bei der Herleitung der Fourier-Reihe und der Diskreten Fourier-Transformation ergeben sich einige interessante Zusammenhänge zwischen "Zeit"-Signaleigenschaften und Spektren aus der Betrachtung des kleinsten, mittleren, quadratischen Fehlers. Im Kontinuierlichen gilt für die Gesamtenergie des Signals:

\begin{equation} w_v(\infty) \,\,=\,\,\int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\big| v(t) \big|^2 \, dt. \end{equation}

Analog gilt für die Gesamtenergie des approximierenden, bandbegrenzten Signals:

\begin{equation} \begin{aligned} w_g(\infty) \,\,=&\,\,\int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\big| g(t) \big|^2 \, dt \nonumber \\[1mm] \,\,=&\,\,\frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega\,=\,-\omega_g}^{\omega_g}\big| V(j\omega) \big|^2 \, d\omega. \end{aligned} \end{equation}

Ebenso gilt im Diskreten für die Gesamtenergie des Signals:

\begin{equation} w_v(\infty) \,\,=\,\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\big| v(n) \big|^2. \end{equation}

Die Gesamtenergie des approximierenden, bandbegrenzten Signals lautet:

\begin{equation} \begin{aligned} w_g(\infty) \,\,=&\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\big| g(n) \big|^2 \nonumber \\[1mm] =&\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\Omega=-\Omega_g}^{\Omega_g}\big| V(e^{j\Omega}) \big|^2 \, d\Omega. \end{aligned} \end{equation}

Bessel'sche Ungleichung

Gemäß des Optimierungskriteriums gilt im Kontinuierlichen und im Diskreten:

\begin{equation*} \epsilon_{\min}\,\,=\,\,w_v(\infty) - w_g(\infty) \,\,\ge\,\, 0 \end{equation*}

Dabei kommt die Nichtnegativitätsbedingung durch das mittlere quadratische Fehlerkriterium zustande. Hieraus ergibt sich die Bessel'sche Ungleichung der Fourier-Transformation

Bessel'sche Ungleichung:
Kontinuierlich: \begin{equation} \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\!\big| v(t) \big|^2 \, dt \,\ge\,\frac{1}{2\pi} \int\limits_{\omega\,=\,-\omega_g}^{\omega_g}\!\!\big| V(j\omega) \big|^2 \, d\omega. \end{equation}
Diskret: \begin{equation} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\big| v(n) \big|^2 \,\ge\,\frac{1}{2\pi} \int\limits_{\Omega\,=\,-\Omega_g}^{\Omega_g}\!\!\big| V(e^{j\Omega}) \big|^2 \, d\Omega. \end{equation}

Parseval'sche Gleichung

Bildet man die Grenzübergange \( \omega_g \rightarrow \infty\) bzw. \(\Omega_g \rightarrow \pi \), so erhält man die Parseval'sche Gleichung der Fourier-Transformation.

Parseval'sche Gleichung:
Kontinuierlich: \begin{equation} w_g(\infty) \,\,=\,\,\frac{1}{2\pi}\!\!\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\!\! \big| V(j\omega)\big|^2 \, d\omega \,\,=\,\,w_v(\infty). \end{equation}
Diskret: \begin{equation} w_g(\infty) \,\,=\,\, \frac{1}{2\pi}\!\!\int\limits_{\Omega=-\pi}^{\pi}\!\! \big| V(e^{j\Omega})\big|^2 \, d\Omega \,\,=\,\,w_v(\infty). \end{equation}

Daraus folgt im Kontinuierlichen

Für \(\omega_g \rightarrow \infty\) ist \(\epsilon_{\min}\,\,=\,\, 0\).

D.h. die bandbegrenzte Approximation durch \(g(t)\) wird zur fehlerfreien Identität bei Wegfall der Bandbegrenzung. Nun ergibt sich für die Bestimmung der Signale aus den Fourier-Spektren:

\begin{equation} v(t)\,\,=\,\,\frac{1}{2\pi} \!\!\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\!\! V(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega. \end{equation}

Dieses gilt fast überall - mit Ausnahmen an Unstetigkeitsstellen. Allerdings tragen diskrete Punkte auf der t-Achse nichts zum Fehlerintegral bei.

Analog dazu gilt im Diskreten zunächst,

Für \(\Omega_g \rightarrow \pi\) ist \(\epsilon_{\min}\,\,=\,\, 0\).

D.h. auch hier wird die bandbegrenzte Approximation durch \(g(n)\) zur fehlerfreien Identität bei Wegfall der Bandbegrenzung. Für die Bestimmung der Signale ergibt sich nun:

\begin{equation} v(n)\,\,=\,\,\frac{1}{2\pi} \!\!\int\limits_{\Omega=-\pi}^{\pi}\!\! V(e^{j\Omega})\,e^{j\Omega n}\,d\Omega. \end{equation}

Dieses gilt exakt überall - bei Folgen gibt es keine Unstetigkeitsstellen.

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

In welche "Schwierigkeiten" geraten Sie, wenn Sie das Signal \(v(t)\,\,=\,\,1+\text{sin}(\omega_0t)\) Fourier-transformieren wollen? Was können Sie stattdessen tun, wenn Sie Informationen über das Spektrum dieses Signals erhalten wollen?

Das Signal \(v(t)\) nimmt nur positive Werte an, sodass die Lösung des Integrals den Wert \(\infty\) annehmen würde. Zur Informationsgewinnung kann nun zunächst der Signalteil \(\text{sin}(\omega_0t)\) betrachtet werden. Die Fourier-Transformierte des konstanten Wertes \(1\) ist die Delta-Distribution.

Welche spektralen Eigenschaften hat ein diskretes Signal, welche hat ein periodisches, kontinuierliches Signal?

Das Spektrum eines diskreten Signals ist kontinuierlich und periodisch. Ein kontinuierliches Signal besitzt ein kontinuierliches, nicht-periodisches Spektrum.

Was sind die Auswirkungen der Parseval'schen Beziehungen für Optimierungen, welche das Fehlerquadrat minimieren?

Über die Parseval'schen Beziehungen lässt sich die Rücktransformierte der Fourier-Transformation bestimmen.

Existenzbedingungen

Die Herleitung der Existenzbedingung erfolgt im Folgenden zunächst für kontinuierliche und im Anschluss daran für diskrete Signale.

Die Berechnung von \(V(j\omega)\) beinhaltet Integrale über unendlich ausgedehnte Funktionen. Es ist nicht selbstverständlich, dass diese Integrale exisitieren (im Sinne endlich großer Funktionswerte für beliebige Werte von \(\omega\)). Fordert man endliche Funktionswerte, muss das Folgende gelten:

\begin{equation*} \big|V(j\omega)\,\,\big| \,\, =\,\,\Bigg|\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, v(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \,\,\Bigg| \,\,\le\,\, M\,\,<\,\,\infty.\end{equation*}

Den Betrag des Integrals kann man nun wie folgt abschätzen:

\begin{equation*} \begin{aligned} \Bigg|\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, v(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \,\,\Bigg| \,\, &\le\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, \big|v(t)\big|\,\overbrace{\big|e^{-j\omega t}\big|}^{=\,1}\,dt \\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! \big|v(t)\big|\,dt. \end{aligned} \end{equation*}

Somit gilt nun

\begin{equation*} \big|V(j\omega)\big| \,\,\le\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, \big|v(t)\big|\,dt. \end{equation*}

Die bisherigen Überlegungen können wie folgt zusammengefasst werden. Wenn gilt,

\begin{equation*} \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! \big|v(t)\big|\,dt\,\le\,M_1\,<\,\infty, \end{equation*}

d.h. \(v(t)\) absolut integrierbar, dann existiert auch die zugeh&oum;rige Fourier-Transformation. Diese Bedingung ist hinreichend, aber nicht notwendig! Da gemäß der Herleitung lediglich

\begin{equation*}\big|V(j\omega)\big|\,\,\le\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, \big|v(t)\big|\,dt \end{equation*}

gilt, kann das Spektrum Werte kleiner als \(\infty\) annehmen, selbst wenn die zuvor genannte Bedingung verletzt ist.

Analog dazu beinhaltet im Diskreten die Berechnung von \(V(e^{j\Omega})\) Integrale über unendlich ausgedehnte Folgen. Auch hier ist es nicht selbstverständlich, dass diese Integrale exisitieren (im Sinne endlich großer Funktionswerte für beliebige Werte von \(\Omega\)). Fordert man endliche Funktionswerte, so muss gelten:

\begin{equation*} \big|V(e^{j\Omega})\big| \,\, =\,\,\Bigg|\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v(n)\,e^{-j\Omega n}\,\,\Bigg| \le\,\, M\,\,<\,\,\infty.\end{equation*}

Den Betrag der Summe kann nun wie folgt abgeschätzt werden:

\begin{equation*} \begin{aligned} \Bigg|\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v(n)\,e^{-j\Omega n}\Bigg| \,\, \le&\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \big|v(n)\big|\,\overbrace{\big|e^{-j\Omega n}\big|}^{=\,1} \\[1mm] =&\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \big|v(n)\big|. \end{aligned} \end{equation*}

Darauf folgt:

\begin{equation*} \big|V(e^{j\Omega})\big| \,\,\le\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \big|v(n)\big|. \end{equation*}

Zusammenfassend folgt nun, wenn \(v(n)\) absolut summierbar ist, d.h.

\begin{equation*} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\,\, \big|v(n)\big|\,\le\,M_1\,<\,\infty, \end{equation*}

existiert auch die zugehörige Fourier-Transformation. Auch diese Bedingung ist hinreichend, aber nicht notwendig! Da gemäß der Herleitung lediglich

\begin{equation*}\big|V(e^{j\Omega})\big| \,\,\le\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \big|v(n)\big| \end{equation*}

gilt, kann das Spektrum Werte kleiner als \(\infty\) annehmen, selbst wenn die zuvor genannte Bedingung verletzt ist.

Eigenschaften und Sätze

Die Fourier-Transformation weist einige Eigenschaften auf, die im Folgenden näher erläutert werden.

Linearität

Seien im Kontinuierlichen

\begin{equation*} V_{1,2}(j\omega) \,=\,\mathcal{F}\Big\{ v_{1,2}(t) \Big\} \end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*} V_{1,2}(e^{j\Omega}) \,=\,\mathcal{F}\Big\{ v_{1,2}(n) \Big\} \end{equation*}

als die Fourier-Transformierten zweier Signale gegeben. Dann lässt sich f&uum;r die Transformation eines aus den beiden Signalen \(v_1(...)\) und \(v_2(...)\) zusammengesetzten Signals folgender Zusammenhang feststellen:

Linearität der Fourier-Transformation:
Kontinuierlich: \begin{equation} \mathcal{F}\Big\{ \alpha_1\,v_1(t) + \alpha_2\,v_2(t) \Big\} \qquad\,\,=\,\, \alpha_1\,V_1(j\omega) + \alpha_2\,V_2(j\omega) \end{equation}
Diskret: \begin{equation} \mathcal{F}\Big\{ \alpha_1\,v_1(n) + \alpha_2\,v_2(n) \Big\} \qquad \,\,=\,\, \alpha_1\,V_1(e^{j\Omega})+\alpha_2\,V_2(e^{j\Omega}) \end{equation}

Somit wird deutlich, dass die Fourier-Transformation sowohl im Kontinuierlichen als auch im Diskreten eine lineare Operation ist!

Modulation

Im Kontinuierlichen sei

\begin{equation*} V(j\omega) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(t) \big\} \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird eine modulierte Signalvariante gemäß

\begin{equation*}v_1(t) \,\,=\,\,v(t)\,e^{j\omega_0 t} \end{equation*}

definiert. Gesucht ist die zugehörige Fourier-Transformation (in Abhängigkeit von \(V_1(j\omega)\):

\begin{equation*} \begin{aligned} V_1(j\omega)\,\, &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, v_1(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der modulierten Signalvariante ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, v_1(t)\,e^{-j(\omega-\omega_0 t}\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition der Fourier-Transformation ...}}}\\[1mm] &=\,\, V\big(j(\omega-\omega_0)\big) \end{aligned} \end{equation*}

Analog dazu sei im Diskreten

\begin{equation*} V(e^{j\Omega}) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(n) \big\} \end{equation*}

gegeben. Die modulierte Folgenvariante sei definiert als

\begin{equation*} v_1(n) \,\,=\,\,v(n)\,e^{j\Omega_0 n}. \end{equation*}

Gesucht ist nun die zugehörige Fourier-Transformation (in Abhängigkeit von \(V(e^{j\Omega})\):

\begin{equation*} \begin{aligned} V_1(e^{j\Omega})\,\, &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v_1(n)\,e^{-j\Omega n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der modulierten Folgenvariante ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v_1(n)\,e^{-j(\Omega-\Omega_0) n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition der Fourier-Transformation ...}}}\\[1mm] &=\,\, V_1\big(e^{j(\Omega-\Omega_0)})\big) \end{aligned} \end{equation*}

Daraus lässt sich schließen, dass eine Multiplikation mit einem komplexen Drehfaktor im Zeitbereich eine Verschiebung im Spektralbereich bewirkt.

Modulation der Fourier-Transformation:
Kontinuierlich: \begin{equation} \mathcal{F}\Big\{v(t)\,e^{j\omega_0 t}\Big\} \,\,=\,\,V\big(j(\omega-\omega_0)\big) \end{equation}
Diskret: \begin{equation} \mathcal{F}\Big\{v(n)\,e^{j\Omega_0 n}\Big\} \,\,=\,\,V\big(e^{j(\Omega-\Omega_0)}\big) \end{equation}

Verschiebung

Sei im Kontinuierlichen

\begin{equation*} V(j\omega) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(t) \big\} \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird eine verschobene Signalvariante gemäß

\begin{equation*} v_1(t) \,\,=\,\,v(t-t_0) \end{equation*}

definiert. Gesucht ist nun die Fourier-Transformation (in Abhängigkeit von \(V(j\omega)\)):

\begin{equation*} \begin{aligned} V_1(j\omega)\,\, &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, v_1(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen ergibt ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, v(t-t_0)\,e^{-j\omega t}\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Erweitern des Terms mit 1 in Form von \(e^{-j\omega(t_0-t_0)}\) und Aufteilen des Terms ...}}}\\[1mm] &=\,\, e^{-j\omega t_0} \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, v(t-t_0)\,e^{-j\omega (t-t_0)}\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Substitution von \(\tau\,=\, t-t_0\) und \(d\tau\,=\,dt\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, e^{-j\omega t_0} \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}\,\, v(\tau)\,e^{-j\omega \tau}\,d\tau \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition der Fourier-Transformation ...}}}\\[1mm] &=\,\, e^{-j\omega t_0} V(j\omega) \end{aligned} \end{equation*}

Analog sei für diskrete Signale

\begin{equation*} V(e^{j\Omega}) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(n) \big\} \end{equation*}

gegeben. Zierzu wird eine verschobene Folgenvariante gemäß

\begin{equation*} v_1(n) \,\,=\,\,v(n-n_0) \end{equation*}

definiert. Gesucht ist nun die zugehörige Fourier-Transformation (in Abhängigkeit von \(V(e^{j\omega})\)):

\begin{equation*} \begin{aligned} V_1(e^{j\Omega})\,\, &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v_1(n)\,e^{-j\Omega n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen ergibt ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v(n-n_0)\,e^{-j\Omega n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Erweitern des Terms mit 1 in Form von \(e^{-j\Omega(n_0-n_0)}\) und Aufteilen des Terms ...}}}\\[1mm] &=\,\, e^{-j\Omega n_0} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v(n-n_0)\,e^{-j\Omega (n-n_0)} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Substitution von \(\kappa\,=\, n-n_0\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, e^{-j\Omega n_0} \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty} v(\kappa)\,e^{-j\Omega \kappa}\\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition der Fourier-Transformation ...}}}\\[1mm] &=\,\, e^{-j\Omega n_0} V(e^{j\Omega}) \end{aligned} \end{equation*}

Zusammenfassend ergibt sich demnach:

Verschiebung der Fourier-Transformation:
Kontinuierlich: \begin{equation} \mathcal{F}\Big\{v(t-t_0)\Big\} \,\,=\,\, e^{-j\omega t_0}\,V\big(j\omega\big) \end{equation}
Diskret: \begin{equation} \mathcal{F}\Big\{v(n-n_0)\Big\} \,\,=\,\, e^{-j\Omega n_0}\,V\big(e^{j\Omega}\big) \end{equation}

Zum Verschiebungssatz der Fourier-Transformation gibt es im Folgenden einige Anmerkungen:

Ähnlichkeitssatz bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation

Gegeben sei

\begin{equation*} V(j\omega) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(t) \big\}. \end{equation*}

Hierzu wird eine gespreizte bzw. gestauchte Signalvariante gemäß

\begin{equation*} v_1(t) \,\,=\,\,v(at) \end{equation*}

definiert. Gesucht ist nun die zugehörige Fourier-Transformation (in Abhängigkeit von \(V(j\omega)\)):

\begin{equation*} \begin{aligned} V_1(j\omega)\,\, &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! v(at)\,e^{-j\omega t}\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Umformen des Exponentialterms ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\!\! v(at)\,e^{-j\frac{\omega}{a} at}\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Substitution von \(x\,=\,at\) und \(\frac{1}{a}dx\,=\,dt\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{x=-\infty}^{\infty}\!\! v(x)\,e^{-j\frac{\omega}{a} x}\,\frac{1}{|a|} \, dx \nonumber \,\,=\,\, \frac{1}{|a|}\,V\Big(j\frac{\omega}{a}\Big) \end{aligned} \end{equation*}

Für negative \(a\) müssen zusätzlich noch die Integrationsgrenzen (und damit das Vorzeichen des Integrals) getauscht werden. Es ergibt sich zusammenfassend nun der Ähnlichkeitssatz bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation

Ähnlichkeitssatz bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation:
\begin{equation} \mathcal{F}\big\{ v(at) \big\} \,\,=\,\, \frac{1}{|a|}\,V\Big(j\frac{\omega}{a}\Big) \end{equation}

Hierbei gilt nun

Ähnliche Überlegungen können auch für Fourier-Reihen durchgeführt werden.

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Was passiert im Spektralbereich, wenn Sie statt des Signals \(v(t)\) das Signal \(v(2t)\) transformieren?

Die Fourier-Transformierte des Signals \(v(t)\) sei \(\mathcal{F}\big\{ v(t) \big\} \,= \, V(j\omega)\). Aus dem Ähnlichkeitssatz der Fourier-Transformation ergibt sich für die Fourier-Transformierte des Signals \(v(2t)\) nun \(\mathcal{F}\big\{ v(2t) \big\} \,=\, \frac{1}{2}\,V\Big(j\frac{\omega}{2}\Big)\). D.h. aus der Stauchung des Signals um den Faktor \(2\) resultiert eine Streckung des Spektrums.

Wozu könnten bei Sprach- und Musiksignalen solche zeitlichen Stauchungen oder Streckungen nützlich sein?

Durch die zeitlichen Stauchungen und Streckungen werden die Frequenzen verändert. Der Frequenzbereiches beschreibt beispielsweise im Sprachsignal die Stimmhöhe mit der gesprochen wird.

Warum kann man durch zeitliche Streckung oder Stauchung allein keine Männerstimme in eine Frauenstimme verwandeln? Was könnte noch notwendig sein

Für die Umwandlung einer Männerstimme in eine Frauenstimme genügt es nicht, die Stimmhöhe durch Frequenzänderung zu beeinflussen. Zusätzlich muss die Klangfarbe, abhängig von der Resonanz, die von der Größe des Schädels abhängt, verändert werden.

Symmetriesatz bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation

Im Kontinuierlichen seien sowohl

\begin{equation*} V(j\omega) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(t) \big\}. \end{equation*}

als auch

\begin{equation*} v_1(t) \,\,=\,\,V(jt) \end{equation*}

gegeben. Gesucht ist nun die zugehörige Fourier-Transformation (in Abhängigkeit von \(v(t)\)):

\begin{equation*} \begin{aligned} V_1(j\omega)\,\, &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, v_1(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Signaldefinition und Umformen ...}}}\\[1mm] &=\,\, 2\pi\, \underbrace{\frac{1}{2\pi}\int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, V(jt)\,e^{j(-\omega)t}\,dt}_{v(-\omega)} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Definition der inversen Fourier-Transformation ...}}}\\[1mm] &=\,\, 2\pi\,v(-\omega) \end{aligned} \end{equation*}

Zusammenfassend ergibt sich demnach als Definition des Symmetriesatzes bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation:

Symmetriesatz bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation:
\begin{equation} \mathcal{F}\big\{ V(jt) \big\} \,\,=\,\, 2\pi\,v(-\omega) \end{equation}

Das heißt, dass die Transformation und die zugehörige inverse Transformation bis auf den Vorfaktor \(2\pi\) und eine Vorzeichenumkehr in der Variablen übereinstimmen. Dieser Zusammenhang ist nützlich bei der Berechnung konkreter Transformationen.

Symmetriebeziehungen zwischen Signal- und Spektralkomponenten

Eine Zerlegung der Spektren in Real- und Imaginärteile, sowie in gerade und ungerade Anteile ergibt im Kontinuierlichen

\begin{equation*} \begin{aligned} V(j\omega) &=\,\, V_{\text{re}}(j\omega) + j\,V_{\text{im}}(j\omega), \\[1mm] V_{\text{ge}}(j\omega) &=\,\, \frac{1}{2}\Big[ V(j\omega) + V(-j\omega)\Big]\\[1mm] &=\,\, V_{\text{ge}}(-j\omega),\\[1mm] V_{\text{un}}(j\omega) &=\,\, \frac{1}{2}\Big[ V(j\omega) - V(-j\omega)\Big] \\[1mm] &=\,\, -V_{\text{un}}(-j\omega). \end{aligned} \end{equation*}

Analog zur Fourier-Reihe können die folgenden Symmetrie-Schemata bestimmt werden.

\(v(t)\)
\(=\)
\(v_{\text{re,ge}}(t)\)
\(+\)
\(v_{\text{re,un}}(t)\)
\(+\)
\(j \, v_{\text{im,ge}}(t)\)
\(+\)
\(j \, v_{\text{im,un}}(t)\)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\bullet \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \circ \)
\(V(j\omega)\)
\(=\)
\(V_{\text{re,ge}}(j\omega)\)
\(+\)
\(V_{\text{re,un}}(j\omega)\)
\(+\)
\(j\,V_{\text{im,ge}}(j\omega)\)
\(+\)
\(j\,V_{\text{im,un}}(j\omega)\)

Ebenso ergibt die Zerlegung in Real- und Imaginärteile, sowie in gerade und ungerade Anteile im Diskreten

\begin{equation*} \begin{aligned} V(e^{j\Omega}) &=\,\, V_{\text{re}}(e^{j\Omega}) + j\,V_{\text{im}}(e^{j\Omega}), \\[1mm] V_{\text{ge}}(e^{j\Omega}) &=\,\, \frac{1}{2}\Big[ V(e^{j\Omega}) + V(e^{-j\Omega})\Big]\\[1mm] &=\,\, V_{\text{ge}}(e^{-j\Omega}),\\[1mm] V_{\text{un}}(e^{j\Omega}) &=\,\, \frac{1}{2}\Big[ V(e^{j\Omega}) - V(e^{-j\Omega})\Big] \\[1mm] &=\,\, -V_{\text{un}}(e^{-j\Omega}). \end{aligned} \end{equation*}

Analog zur Diskreten Fourier-Transformation können die folgenden Symmetrie-Schemata bestimmt werden.

\(v(n)\)
\(=\)
\(v_{\text{re,ge}}(n)\)
\(+\)
\(v_{\text{re,un}}(n)\)
\(+\)
\(j \, v_{\text{im,ge}}(n)\)
\(+\)
\(j \, v_{\text{im,un}}(n)\)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\bullet \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \circ \)
\(V(e^{j\Omega})\)
\(=\)
\(V_{\text{re,ge}}(e^{j\Omega})\)
\(+\)
\(V_{\text{re,un}}(e^{j\Omega})\)
\(+\)
\(j\,V_{\text{im,ge}}(e^{j\Omega})\)
\(+\)
\(j\,V_{\text{im,un}}(e^{j\Omega})\)

Es ergeben sich Konsequenzen für den Spezialfall

\begin{equation*} v(...) \,\in\,\mathbb{R}, \end{equation*}

d.h. \(v_{\text{im,ge}}(...) \,=\,v_{\text{im,un}}(...) \,=\,0\).

Da der Imaginärteil des Signals Null ist, ergibt sich im Kontinuierlichen für die Spektraldarstellungen:

\begin{equation*} V_{\text{im,ge}}(j\omega)\,=\,V_{\text{re,un}}(j\omega) \,=\,0. \end{equation*}

Dadurch ergeben sich für die Spektraldarstellungen von reellen kontinuierlichen Signalen:

\begin{equation*} \begin{aligned} V(j\omega) &=\,\, V_{\text{re,ge}}(j\omega) + j\,V_{\text{im,un}}(j\omega), \\[1mm] V_{\text{re,ge}}(j\omega) &=\,\, \text{Re}\big\{V(j\omega)\big\}, \\[1mm] V_{\text{im,un}}(j\omega) &=\,\, \text{Im}\big\{V(j\omega)\big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Analog dazu ergibt sich im Diskreten:

\begin{equation*} V_{\text{im,ge}}(e^{j\Omega})\,=\,V_{\text{re,un}}(e^{j\Omega}) \,=\,0, \end{equation*}

wodurch sich für die Spektraldarstellungen von reellen diskreten Signalen

\begin{equation*} \begin{aligned} V(e^{j\Omega}) &=\,\, V_{\text{re,ge}}(e^{j\Omega}) + j\,V_{\text{im,un}}(e^{j\Omega}), \\[1mm] V_{\text{re,ge}}(e^{j\Omega}) &=\,\, \text{Re}\big\{V(e^{j\Omega})\big\}, \\[1mm] V_{\text{im,un}}(e^{j\Omega}) &=\,\, \text{Im}\big\{V(e^{j\Omega})\big\}. \end{aligned} \end{equation*}

ergibt.

Betrachtet man nun die Umkehrung in "Frequenzrichtung" für kontinuierliche Signale, so ergibt sich

\begin{equation*} \begin{aligned} V(-j\omega) &=\,\, \overbrace{V_{\text{re,ge}}(-j\omega)}^{\scriptsize{\text{gerade}}} + j\, \overbrace{V_{\text{im,un}}(-j\omega)}^{\scriptsize{\text{ungerade}}} \\[1mm] &=\,\, V_{\text{re,ge}}(j\omega) - j\,V_{\text{im,un}}(j\omega) \\[1mm] &=\,\, V^*(j\omega). \end{aligned} \end{equation*}

und für diskrete Signale:

\begin{equation*} \begin{aligned} V(e^{-j\Omega}) &=\,\, \overbrace{V_{\text{re,ge}}(e^{-j\Omega})}^{\scriptsize{\text{gerade}}} + j\, \overbrace{V_{\text{im,un}}(e^{-j\Omega})}^{\scriptsize{\text{ungerade}}} \\[1mm] &=\,\, V_{\text{re,ge}}(e^{j\Omega}) - j\,V_{\text{im,un}}(e^{j\Omega}) \\[1mm] &=\,\, V^*(e^{j\Omega}). \end{aligned} \end{equation*}

Daraus lässt sich schließen, dass die Spektren reeller Signale hermite-symmetrisch mit einem geraden Realteil und einem ungeraden Imaginärteil sind. Zudem kann - wie bei der Fourier-Reihe bzw. bei der Diskreten Fourier-Transformation - gezeigt werden, dass das Betragsspektrum \( \big|V(...)\big|\) eine gerade Funktion in \(\omega\) bzw. \(\Omega\) ist und dass das Phasenspektrum \(\text{arg}\big\{V(...)\big\}\) eine ungerade Funktion in \(\omega\) bzw. \(\Omega\) ist.

Weiterhin können aus den Symmetriebeziehungen (aber auch aus den Transformationsgleichungen) weitere nützliche Beziehungen hergeleitet werden. Diese Beziehungen gelten allgemein für komplexe Signale

\begin{equation*}v(...) \,\in\,\mathbb{C}. \end{equation*}

Hierbei gilt nun für kontinuierliche Signale

\begin{equation*} \begin{aligned} v(-t) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V(-j\omega),\\[1mm] v^*(t) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V^*(-j\omega), \\[1mm] v^*(-t) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V^*(j\omega) \end{aligned} \end{equation*}

und für diskrete Signale

\begin{equation*} \begin{aligned} v(-n) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V(e^{-j\Omega}),\\[1mm] v^*(n) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V^*(e^{-j\Omega}), \\[1mm] v^*(-n) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V^*(e^{j\Omega}). \end{aligned} \end{equation*}

Differentiation und Differenzbildung

Für kontinuierliche Signale sei

\begin{equation*} V(j\omega) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(t) \big\} \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird die Ableitung gemäß

\begin{equation*} v_1(t) \,\,=\,\,\dot{v}(t)\,\,=\,\,\frac{d}{dt}v(t) \end{equation*}

definiert. Gesucht ist nun die zugehörige Fourier-Transformation (in Abhänigkeit von \(V(j\omega)\)):

\begin{equation*} \begin{aligned} v_1(t) &=\,\, \frac{d}{dt}\,\frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\,\, V(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega \\[1mm] &=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\,\, \big[V(j\omega)\,j\omega\big]\,e^{j\omega t}\,d\omega \\[1mm] &=\,\, \mathcal{F}^{-1}\Big\{V(j\omega)\,j\omega \Big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Analog hierzu sei für diskrete Signale

\begin{equation*} V(e^{j\Omega}) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(n) \big\} \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird die Signaldifferenz gemäß

\begin{equation*}v_1(n) \,\,=\,\,v(n) - v(n-1) \end{equation*}

definiert. Gesucht ist nun die zugehörige Fourier-Transformation (in Abhänigkeit von \(V(e^{j\Omega})\)):

\begin{equation*} \begin{aligned} V_1(e^{j\Omega}) &=\,\, \mathcal{F}\big\{ v(n) \big\} - \mathcal{F}\big\{ v(n-1) \big\} \\[1mm] &=\,\, \mathcal{F}\big\{ v(n) \big\} - e^{-j\Omega}\,\mathcal{F}\big\{ v(n) \big\} \\[1mm] &=\,\, V(e^{j\Omega})\,\big[1-e^{-j\Omega} \big]. \end{aligned} \end{equation*}

Hieraus ergibt sich zusammenfassend die Definition der Differentation und Differenzbildung der Fourier-Transformation.

Differentiation und Differenzbildung der Fourier-Transformation:
Kontinuierlich: \begin{equation} \frac{d}{dt}\, v(t) \,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V(j\omega)\,j\omega \end{equation}
Diskret: \begin{equation} v(n)-v(n-1) \,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V(e^{j\Omega})\, \big[1-e^{-j\Omega}\big] \end{equation}

Für die Differenzbildung ergibt sich zunächst keine direkte Ähnlichkeit zur Differentiation. Man kann aber folgende Umformung anwenden:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(n)-v(n-1) \,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, & V(e^{j\Omega})\, \big[1-e^{-j\Omega}\big] \\[1mm] &= \,\,V(e^{j\Omega})\,e^{-j\frac{\Omega}{2}}\,\big[ e^{j\frac{\Omega}{2}} - e^{-j\frac{\Omega}{2}} \big]\\[1mm] &= \,\,V(e^{j\Omega})\,e^{-j\frac{\Omega}{2}}\,\underbrace{\big[ e^{j\frac{\Omega}{2}} - e^{-j\frac{\Omega}{2}} \big]}_{2 j \sin(\frac{\Omega}{2})} \\[1mm] &= \,\,V(e^{j\Omega})\,2 j \sin\Big(\frac{\Omega}{2}\Big)\,e^{-j\frac{\Omega}{2}}. \end{aligned} \end{equation*}

Gilt nun außerdem \(\Omega \ll 1 \), d.h. man betrachtet sehr niedrige Frequenzen, dann kann im Diskreten folgende Näherung angewendet werden:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(n)-v(n-1) \,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, & V(e^{j\Omega})\,2 j \sin\Big(\frac{\Omega}{2}\Big)\,e^{-j\frac{\Omega}{2}} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Näherungen \(\sin(x)\approx x \) und \(e^{jx}\approx 1 \) für \(x \ll 1\) ...}}}\\[1mm] & \approx\,\,V(e^{j\Omega})\,2 j\,\frac{\Omega}{2}\,1 \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Vereinfacht liefert ...}}}\\[1mm] & \approx\,\,V(e^{j\Omega})\,j\Omega. \end{aligned} \end{equation*}

Das heißt, dass für niedrige Frequenzen die Differenzbildung eine Näherung der Differentation ist!

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Welche Eigenschaft gilt im Spektralbereich, wenn Sie bei einem reellwertigen Signal die Zeitachse umdrehen (\( v(-t) \in \mathbb{R}\))?

Aus den Symmetriebeziehungen zwischen Signal- und Spektralkomponenten lässt sich ableiten, dass durch die Umkehr der Zeitachse das komplex konjugierte Spektrum des Signals entsteht. Reelle Signale sind hermite-symmetrisch mit einem geraden Realteil und einem ungeraden Imaginärteil.

Kennen Sie Anwendungsfälle, für welche das o.g. Verhalten wichtig ist?

Durch das oben beschriebene Verhalten resultiert eine Phasenumkehr. In der Tontechnik beispielsweise wird dieses Verhalten ausgenutzt, um falsch gepolte Tonsignale in ihrer Phase zu korrigieren.

Was bewirkt das (zeitliche) Ableiten eines Signals im Fourier-Bereich?

Aus dem Satz der Differentiation und Differenzenbildung der Fourier-Transformation ergibt sich \( \frac{d}{dt}\, v(t) \,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V(j\omega)\,j\omega \). Aus der Ableitung im Zeitbereich ergibt sich demnach eine Multiplikation des Spektrums mit dem Faktor \(j\omega\).

Differentiation und Differenzbildung

Für kontinuierliche Signale sei

\begin{equation*} V(j\omega) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(t) \big\} \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird die spektrale Ableitung gemäß

\begin{equation*} V_1(j\omega) \,\,=\,\,\frac{d}{d\omega}V(j\omega) \end{equation*}

definiert. Gesucht ist nun die zugehörige inverse Fourier-Transformation (in Abhänigkeit von \(v(t)\)):

\begin{equation*} \begin{aligned} V_1(j\omega) &=\,\, \frac{d}{d\omega}\,\int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, v(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\,\, \big[v(t)\,(-jt)\big]\,e^{-j\omega t}\,dt \\[1mm] &=\,\, \mathcal{F}\big\{v(t)\,(-jt) \big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Analog hierzu sei für diskrete Signale

\begin{equation*} V(e^{j\Omega}) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(n) \big\} \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird die spektrale Ableitung gemäß

\begin{equation*} V_1(e^{j\Omega}) \,\,=\,\,\frac{d}{d\Omega}\,V(e^{j\Omega}) \end{equation*}

definiert. Gesucht ist nun die zugehörige inverse Fourier-Transformation (in Abhänigkeit von \(v(n)\)):

\begin{equation*} \begin{aligned} V_1(e^{j\Omega}) &=\,\, \frac{d}{d\Omega}\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\,\, v(n)\,e^{-j\Omega n} \\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\,\, \big[v(n)\,(-jn)\big]\,e^{-j\Omega n} \\[1mm] &=\,\, \mathcal{F}\big\{v(n)\,(-jn) \big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Hieraus ergibt sich zusammenfassend die Definition der Differentationen im Spektrum.

Differentiation im Spektrum der Fourier-Transformation:
Kontinuierlich: \begin{equation} \frac{d}{d\omega}\, V(j\omega) \,\, \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ\,\, v(t)(-jt) \end{equation}
Diskret: \begin{equation} \frac{d}{d\Omega}\, V(e^{j\Omega}) \,\, \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ\,\, v(n)(-jn) \end{equation}

Hier ist nun die Symmetrie zwischen kontinuierlichen und diskreten Signalen offensichtlich. Für Fourier-Reihen und diskrete Fourier-Transformationen lassen sich spektrale Differenzwerte \(\Delta c_{\mu} = c_{\mu} - c_{\mu-1} \) bzw. \(\Delta V_M(\mu) = V_M(\mu) - V_M(\mu-1) \) betrachten und ähnliche Ergebnisse herleiten. Diese Zusammenhänge sind aber weniger wichtig.

Integration und Summation

Für kontinuierliche Signale sei

\begin{equation*} V(j\omega) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(t) \big\} \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird eine Integration gemäß

\begin{equation*} v_1(t) \,\,=\int\limits_{\tau=-\infty}^{t}v(\tau)\,d\tau \end{equation*}

definiert (Bauelement "Integrierer"). Gesucht ist nun die zugehörige Fourier-Transformation (in Abhängigkeit von \(V(j\omega)\). Dabei wird als bekannt vorausgesetzt, dass die Integration die "Umkehrung" der Differentiation" ist, d.h.

\begin{equation*} \frac{d}{dt}\,v_1(t) \,\,=\,\, \frac{d}{dt}\,\int\limits_{\tau=-\infty}^{t}v(\tau)\,d\tau\,\,=\,\,v(t). \end{equation*}

Daraus ergibt sich:

\(\frac{d}{dt}v_1(t)\)
\(=\)
\(v(t).\)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\((j\omega)V(j\omega)\)
\(=\)
\(V(j\omega)\)

Analog dazu sei für diskrete Signale

\begin{equation*} V(e^{j\Omega}) \,=\,\mathcal{F}\big\{ v(n) \big\} \end{equation*}

gegeben. Hierzu wird eine Summation gemäß

\begin{equation*} v_1(n) \,\,=\,\,\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n}v(\kappa) \end{equation*}

definiert (Bauelement "Akkumulator"). Gesucht ist nun die zugehörige Fourier-Transformation (in Abhängigkeit von \( V(e^{j\Omega})\). Dabei wird als bekannt vorausgesetzt, dass die Summation die "Umkehrung" der Differenzbildung" ist, d.h.

\begin{equation*} v_1(n)-v_1(n\,-\,1) =\,\,\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n}\,\,v(\kappa)- \,\,\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n-1}\,\,v(\kappa) =v(n).\ \end{equation*}

Daraus ergibt sich:

\(v_1(n)\,-\,v_1(n-1)\)
\(=\)
\(v(n).\)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \)
\(V_1(e^{j\Omega})\,-\,e^{-j\Omega}V(e^{j\Omega})\)
\(=\)
\(V(e^{j\Omega})\)

Hieraus ergibt sich zusammenfassend die Definition der Integration und Summation in der Fourier-Transformation.

Differentiation im Spektrum der Fourier-Transformation:
Kontinuierlich: \begin{equation} \mathcal{F}\bigg\{\,\int\limits_{\tau=-\infty}^{t}v(\tau)\,d\tau \bigg\} \,\,= \,\,\frac{V(j\omega)}{j\omega}. \end{equation}
Diskret: \begin{equation} \mathcal{F}\bigg\{\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n}v(\kappa)\bigg\} \,\,= \,\,\frac{V(e^{j\Omega})}{1-e^{-j\Omega}}. \end{equation}

Gilt nun außerdem \(\Omega \ll 1 \), d.h. man betrachtet sehr niedrige Frequenzen, dann kann im Diskreten folgende Näherung angewendet werden:

\begin{equation*} \begin{aligned} v_1(n) = \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n}v(\kappa) \,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, & \frac{V(e^{j\Omega})}{1-e^{j\Omega}} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Umformen analog zur Differentiation ...}}}\\[1mm] &=\,\,\frac{V(e^{j\Omega})}{2 j \sin(\frac{\Omega}{2})}\,e^{j\frac{\Omega}{2}} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Näherungen \(\sin(x)\approx x \) und \(e^{jx}\approx 1 \) für \(x \ll 1\) ...}}}\\[1mm] & \approx\,\,\frac{V(e^{j\Omega})}{j\Omega}. \end{aligned} \end{equation*}

Das heißt, dass für niedrige Frequenzen die Summation eine Näherung der Integration ist (nach der "Rechteck-Regel")!

Bei den bisherigen Ergebnissen ergibt sich im Kontinuierlichen ein Problem, wenn

\begin{equation*} V_1(j\omega)\Big|_{\omega \rightarrow 0} \,\,=\,\,\frac{V(0)}{0}. \end{equation*}

Daraus ergibt sich die Mindestanforderung

\begin{equation*} V(0)\,\,=\,\,0. \end{equation*}

Dieser Wert bestimmt sich gemäß

\begin{equation*} \begin{aligned} V(0) &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} v(t)\,e^{-j\,0\,t}\,dt \\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} v(t)\,dt \\[1mm] &=\,\, v_1(\infty). \end{aligned} \end{equation*}

Da \(v_1(t)\) transformiert werden soll, muss auch die Existenzbedingungen für das zugehörige Spektrum \(V_1(j\omega)\) gelten, d.h. \(|v_1(t)|\) muss "integrierbar" sein. Damit muss \(|v_1(t)|\) auch für \(t \,\rightarrow\, \infty\) auf 0 abfallen. Damit gilt dann auch

\begin{equation*} V(0)\,\,=\,\,0. \end{equation*}

Analog dazu ergibt sich bei den bisherigen Ergebnissen auch im Diskreten ein Problem, wenn

\begin{equation*} V_1(e^{\Omega})\Big|_{\Omega \rightarrow 0} \,\,= \,\,\frac{V(e^{0})}{1-1}\,\,=\,\,\frac{V(1)}{0}. \end{equation*}

Daraus ergibt sich die Mindestanforderung

\begin{equation*} V(1)\,\,=\,\,0. \end{equation*}

Dieser Wert bestimmt sich gemäß

\begin{equation*} \begin{aligned} V(1) &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v(n)\,e^{-j\,0\,n} \\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} v(n) \\[1mm] &= v_1(\infty). \end{aligned} \end{equation*}

Da \(v_1(n)\) transformiert werden soll, muss auch hier die Existenzbedingungen für das zugehörige Spektrum \(V_1(e^{j\Omega})\) gelten, d.h. \(|v_1(n)|\) muss "summierbar" sein. Damit muss \(|v_1(n)|\) auch für \(n \,\rightarrow\, \infty\) auf 0 abfallen. Somit gilt dann auch

\begin{equation*} V(1)\,\,=\,\,0. \end{equation*}

Faltung und Faltungssätze

Die lineare Faltung zweier Signale liefert das Faltungsprodukt. Dieses ist für kontinuierliche Signale wie folgt definiert:

\begin{equation} f(t) \,\,=\int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}\,\, v_1(\tau)\,v_2(t-\tau)\,d\tau. \end{equation}

Das Faltungsergebnis hängt somit von \(t\) ab. Für diskrete Signale ist das Faltungsprodukt definiert als

\begin{equation} f(n) \,\,=\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty}\,\, v_1(\kappa)\,v_2(n-\kappa). \end{equation}

Es wird deutlich, dass das Faltungsergebnis hier von \(n\) abhängt.

Der Faltung und den damit verbundenen Faltungssätzen kommt eine große Bedeutung zu. So sind kontinuierliche und diskrete "Filter" wichtige Werkzeuge in der Elektro- und Informationstechnik. Sie werden z.B. zur Unterdrückung von ungewünschten bzw. störenden Signalanteilen, zur Anhebung von zu kleinen bzw. zur Absenkung von zu großen Spektralanteilen oder zur Klang-Färbung von Audiosignalen eingesetzt. Eine Filterung (mit linearen Systemen) wird als lineare Filterung bezeichnet.

Im Folgenden werden wir uns mit den Faltungssätzen beschäftigen. Für kontinuierliche Signale beschreiben diese den Zusammenhang:

\begin{equation*} F(j\omega) = \mathcal{F}\big\{f(t)\big\} \,\, \Longleftrightarrow\,\, V_{1,2}(j\omega) = \mathcal{F}\big\{v_{1,2}(t)\big\}. \end{equation*}

Das heißt die Faltungssätze beschreiben die zur Faltung äquivalente Operation im Spektrum.

Für kontinuierliche Signale gilt weiterhin:

\begin{equation*} \begin{aligned} F(j\omega) &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Faltungsdefinition ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}\,\, v_1(\tau)\,v_2(t-\tau)\,e^{-j\omega t}\,d\tau\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einfügen von \(1\,=\,e^{jx}e^{-jx}\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}\,\, v_1(\tau)\,e^{-j\omega\tau}\,v_2(t-\tau)\,e^{-j\omega (t-\tau)}\,d\tau\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Substituieren von \(x\,=\,t-\tau, dx\,=\,dt\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}\,\, v_1(\tau)\,e^{-j\omega\tau}\,d\tau \int\limits_{x=-\infty}^{\infty}\!\!v_2(x)\,e^{-j\omega x}\,dx \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Fourier-Transformation ...}}}\\[1mm] &=\,\, V_1(j\omega)\,V_2(j\omega). \end{aligned} \end{equation*}

Analog dazu beschreiben die Faltungssätze für diskrete Signale den Zusammenhang:

\begin{equation*} F(e^{j\Omega}) = \mathcal{F}\big\{f(n)\big\} \,\, \Longleftrightarrow\,\, V_{1,2}(e^{j\Omega}) = \mathcal{F}\big\{v_{1,2}(n)\big\}. \end{equation*}

Es gilt zudem:

\begin{equation*} \begin{aligned} F(e^{j\Omega}) &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f(n)\,e^{-j\Omega n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Faltungsdefinition ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty}\,\, v_1(\kappa)\,v_2(n-\kappa)\,e^{-j\Omega n}. \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einfügen von \(1\,=\,e^{jx}e^{-jx}\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty}\,\, v_1(\kappa)\,e^{-j\Omega\kappa}\,v_2(n-\kappa)\,e^{-j\Omega (n-\kappa)} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Substituieren von \(k\,=\,n-\kappa\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\,\,v_1(\kappa)\,e^{-j\Omega\kappa} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\,\,v_2(k)\,e^{-j\Omega k} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Fourier-Transformation ...}}}\\[1mm] &=\,\, V_1(e^{j\Omega})\,V_2(e^{j\Omega}). \end{aligned} \end{equation*}

Setzt man nun die übliche Kurzschreibweise \(f(...) = v_1(...)\,\ast\,v_2(...) \) ein, kann die Faltung zusammengefasst werden und es ergibt sich der erste Faltungssatz.

Differentiation im Spektrum der Fourier-Transformation:
Eine Faltung im "Zeit"-Bereich entspricht einer Multiplikation im "Frequenz"-Bereich.
Kontinuierlich: \begin{equation} \mathcal{F}\big\{v_1(t)\,\ast\,v_2(t)\big\} \,=\, V_{1}(j\omega)\,V_{2}(j\omega) \end{equation}
Diskret: \begin{equation} \mathcal{F}\big\{v_1(n)\,\ast\,v_2(n)\big\} \,=\, V_{1}(e^{j\Omega})\,V_{2}(e^{j\Omega}) \end{equation}

Die Definition der Faltung gilt (natürlich) nicht nur für "Zeit"-Funktionen \(f(t)\) bzw. \(v_{1,2}(t)\). Es können auch andere Funktionen kontinuierlicher Variablen miteinander gefaltet werden - z.B. zwei Spektralfunktionen \(V_1(j\omega)\) und \(V_2(j\omega)\). Dies wird im Folgenden behandelt.

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Was kommt heraus, wenn Sie zwei Rechteckfolgen \begin{equation*} \begin{aligned} v(n) \begin{cases} 1, &\text{falls } 0 \le n < 5 \\[1mm] 0, &\text{sonst.} \end{cases} \end{aligned} \end{equation*} miteinander falten \(\big(v(n) \ast v(n)\big)\)?

Die Faltung zweier Rechteckfolgen ergibt eine Dreieckfunktion \begin{equation*} \begin{aligned} y(n) \begin{cases} n+1 , &\text{falls } 0 \le n \le 4 \\[1mm] 9-n , &\text{falls } 5 \le n \le 8 \\[1mm] 0, &\text{sonst.} \end{cases} \end{aligned} \end{equation*}

Welche Frequenzbereichsoperation entspricht einer Zeitbereichsfaltungsoperation?

Die äquivalente Frequenzbereichsoperation ist die Multiplikation.

Was müsste für diskrete Folgen gelten (zumindest für eine), damit eine diskrete Faltung einfach (mit wenigen Operationen) zu realisieren ist?

Eine der beiden Folgen muss endlich sein.

Faltung und Faltungssätze (im Spektrum)

Nun sei eine Faltung der Spektren zweier kontinuierlicher Signale

\begin{equation*} V_1(j\omega)\,=\,\mathcal{F}\big\{v_1(t)\big\},\,\, V_2(j\omega)\,=\,\mathcal{F}\big\{v_2(t)\big\} \end{equation*}

gegeben:

\begin{equation*} C(j\omega) \,\,=\int\limits_{\eta=-\infty}^{\infty} V_1\big(j\eta\big)\,V_2\big(j(\omega-\eta)\big)\,d\eta\,\,=\,\,V_1(j\omega)\,\ast\,V_2(j\omega). \end{equation*}

Gesucht ist nun, wie die Rücktransformierte \(c(t)\,=\,\mathcal{F}^{-1}\big\{C(j\omega)\big\}\) des Faltungsergebnisses von den kontinuierlichen Signalen \(v_1(t)\) und \(v_2(t)\) abhängt:

\begin{equation*} \begin{aligned} c(t) &=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty} C\big(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Faltungsdefinition und Erweitern mit \(1\,=\,e^{j\omega t}e^{-j\omega t}\)...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\int\limits_{\eta=-\infty}^{\infty} V_1\big(j\eta)\,e^{j\eta t}\,V_2\big(j(\omega-\eta)\big)\,e^{j(\omega-\eta) t}\,d\eta\,d\omega. \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Substituieren von \(x\,=\,\omega-\eta, \, d\omega\,=\,dx\)...}}}\\[1mm] &=\,\, 2\pi \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\eta=-\infty}^{\infty} V_1\big(j\eta)\,e^{j\eta t}\,d\eta \int\limits_{x=-\infty}^{\infty} \,V_2\big(jx)\big)\,e^{jxt}\,dx \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Fourier-Transformation ...}}}\\[1mm] &=\,\, 2\pi v_1(t)v_2(t). \end{aligned} \end{equation*}

Zusammenfassend ergibt sich der zweite Faltungssatz

\begin{equation*} \mathcal{F}^{-1}\big\{ V_{1}(j\omega)\,\ast \,V_{2}(j\omega) \big\} \,\,=\,\, 2\pi\,v_1(t)\,v_2(t). \end{equation*}

Dieser besagt, dass eine Faltung im "Frequenz-Bereich" einer Multiplikation (mit einer zusätzlichen Gewichtung) im "Zeitbereich" entspricht.

Abschließend sei nun noch eine Faltung der Spektren zweier diskreter Signale

\begin{equation*} V_1(e^{j\Omega})\,=\,\mathcal{F}\big\{v_1(n)\big\},\,\, V_2(e^{j\Omega})\,=\,\mathcal{F}\big\{v_2(n)\big\} \end{equation*}

gegeben:

\begin{equation*} C(e^{j\Omega}) \,\,=\int\limits_{\eta=0}^{2\pi} V_1\big(e^{j\eta}\big) \,V_2\big(e^{j(\Omega-\eta})\big)\,d\eta\,\,=\,\,V_1(e^{j\omega})\,\circledast\,V_2(e^{j\omega}). \end{equation*}

Dabei wird ein Integral über ein beliebiges Intervall der Länge \(2\pi\) verwendet. Das zuvor beschriebene Integral bezeichnet eine "zyklische Faltung". Gesucht ist nun, wie die Rücktransformierte \(c(n)\,=\,\mathcal{F}^{-1}\big\{C(e^{j\Omega})\big\}\) des Faltungsergebnisses von den diskreten Signalen \(v_1(n)\) und \(v_2(n)\) abhängt. Zu beachten ist hierbei, dass die Spektren diskreter Signale, also sowohl \(V_1(e^{j\omega})\) und \(V_2(e^{j\omega})\), als auch \(C(e^{j\omega})\) stets \(2\pi\)-periodisch sind! Man berechnet nun auf ähnliche Weise wie bei der Faltung der Spektren von kontinuierlichen Signalen die Rücktransformierte des zyklischen Faltungsprodukts und erhält

\begin{equation*} \mathcal{F}^{-1}\big\{ V_{1}(e^{j\Omega})\, \circledast\,V_{2}(e^{j\Omega}) \big\} \,\,=\,\, 2\pi\,v_1(n)\,v_2(n). \end{equation*}

Der Übersichtlichkeit halber wird hier erneut die Definition des zweiten Faltungssatzes abgebildet.

Faltung im Spektrum der Fourier-Transformation:
Eine Faltung im "Frequenz"-Bereich entspricht einer Multiplikation im "Zeit"-Bereich.
Kontinuierlich: \begin{equation} \mathcal{F}^{-1}\big\{ V_{1}(j\omega)\,\ast \,V_{2}(j\omega) \big\} \,\,=\,\, 2\pi\,v_1(t)\,v_2(t) \end{equation}
Diskret: \begin{equation} \mathcal{F}^{-1}\big\{ V_{1}(e^{j\Omega})\,\circledast \,V_{2}(e^{j\Omega}) \big\} \,\,=\,\, 2\pi\,v_1(n)\,v_2(n) \end{equation}

Es werden im Folgenden einige Ergänzungen zur zyklischen Faltung gemacht

Beispiele

Impulse

Für kontinuierliche Signale sei

\begin{equation*} v(t) \,=\,\delta_0(t) \end{equation*}

gegeben. Gesucht ist die zugehörige Fourier-Transformation:

\begin{equation*} \begin{aligned} \delta_0(t)\,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, \Delta_0(j\omega)\,\, &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\delta_0(t)\,e^{-j\omega t}\, dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Ausnutzen der Ausblendeigenschaft ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\delta_0(t)\,e^{-j\omega 0}\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Ausnutzen der Flächeneigenschaft ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}\delta_0(t)\,dt \\[1mm] &\equiv 1\,\forall\,\omega. \end{aligned} \end{equation*}

Analog sei für diskrete Signale

\begin{equation*} v(n) \,=\,\gamma_0(n) \end{equation*}

gegeben. Gesucht ist die zugehörige Fourier-Transformation:

\begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_0(n) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,\Gamma_0(e^{j\Omega})\,\, &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\gamma_0(n)\,e^{-j\Omega n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Ausnutzen der Ausblendeigenschaft ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\gamma_0(n)\,e^{-j\Omega 0} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Ausnutzen der Flächeneigenschaft ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\gamma_0(n) \\[1mm] &\equiv 1\,\forall\,\Omega. \end{aligned} \end{equation*}

Als Verallgemeinerung wird ein Impuls in allgemeiner Lage betrachtet. Die Betrachtung geschieht zunächst im Kontinuierlichen. Es sei

\begin{equation*} v(t) \,=\,\delta_0(t-t_0) \end{equation*}

gegeben. Für die zugehörige Fourier-Transformation ergibt sich:

\begin{equation*} \delta_0(t-t_0) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, e^{-j\omega t_0}. \end{equation*}

Für die Herleitung kann der Verschiebungssatz angewendet werden. Es gilt offenbar:

\begin{equation*} \Big|\mathcal{F}\big\{\delta_0(t-t_0)\big\}\Big| \,\,=\,\,1 \end{equation*}

Analog hierzu betrachtet man im Folgenden einen Impuls in allgemeiner Lage im Diskreten.Es sei

\begin{equation*} v(n) \,=\,\gamma_0(n-n_0) \end{equation*}

gegeben. Über den Verschiebungssatz ergibt sich für die zugehörige Fourier-Transformation:

\begin{equation*} \gamma_0(n-n_0) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, e^{-j\Omega n_0}. \end{equation*}

Offenbar gilt hier auch:

\begin{equation*} \Big|\mathcal{F}\big\{\gamma_0(n-n_0)\big\}\Big| \,\,=\,\,1 \end{equation*}

Allgemein enthält ein Impuls Komponenten bei allen Frequenzen mit identischer Stärke. In Analogie zur Optik ("weißes Licht" weist alle Farben in gleicher Intensität auf) spricht man von einem "weißen Signal".

Als weitere Verallgemeinerung wird nun die Summe von zwei verschobenen Impulsen betrachtet. Auch hier wird zunächst mit der Betrachtung im Kontinuierlichen begonnen. Es sei

\begin{equation*} v(t) \,\,=\,\,\delta_0(t-t_0)+\delta_0(t+t_0) \end{equation*}

gegeben. Mit Hilfe des Überlagerungssatzes ergibt sich für die zugehörige Fourier-Transformation:

\begin{equation*} \begin{aligned} \delta_0(t-t_0)+\delta_0(t+t_0) \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, & e^{-j\omega t_0} + e^{j\omega t_0} \\[1mm] &=\,\,2\,\cos(\omega t_0). \end{aligned} \end{equation*}

Die Differenz zweier verschobener Impulse bestimmt sich dazu analog:

\begin{equation*} \Big|\mathcal{F}\big\{\delta_0(t-t_0)-\delta_0(t+t_0)\big\}\Big| \,\,=\,\,-2j\sin(\omega t_0) \end{equation*}

Betrachten wir nun die Summe von zwei verschobenen Impulsen im Diskreten. Es sei

\begin{equation*} v(n) \,\,=\,\,\gamma_0(n-n_0)+\gamma_0(n+n_0) \end{equation*}

gegeben. Auch hier ergibt sich mit Hilfe des Überlagerungssatzes für die zugehörige Fourier-Transformation:

\begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_0(n-n_0)+\gamma_0(n+n_0) \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, & e^{-j\Omega n_0} + e^{j\Omega n_0} \\[1mm] &=\,\,2\,\cos(\Omega n_0). \end{aligned} \end{equation*}

Die Differenz zweier verschobener Impulse kann nun analog hierzu bestimmt werden:

\begin{equation*} \Big|\mathcal{F}\big\{\gamma_0(n-n_0)-\gamma_0(n+n_0)\big\}\Big| \,\,=\,\,-2j\sin(\Omega n_0) \end{equation*}

Nun werden die kontinuierlichen Zeit-Frequenz-Zusammenhänge umgekehrt. Gegeben sei ein impulsförmiges Spektrum

\begin{equation*} V(j\omega) \,\,=\,\,\delta_0(\omega), \end{equation*}

dessen Anteile nur bei \(\omega \,=\, 0\) liegen. Hierzu ist nun das zugehörige Zeitsignal \(v(t) \,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V(j\omega) \) gesucht. Einsetzen in die Fourier-Transformationsgleichung ergibt:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(t) &=\,\, \frac{1}{2\pi}\!\!\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\delta_0(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Ausnutzen der Ausblendeigenschaft ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{1}{2\pi}\!\!\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\delta_0(\omega)\,e^{j 0 t}\,d\omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Ausnutzen der Flächeneigenschaft ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{1}{2\pi}\!\!\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\delta_0(\omega)\,d\omega \,\,\,\equiv\,\,\,\frac{1}{2\pi}\,\forall\,t. \end{aligned} \end{equation*}

Zusammenfassen ergibt sich

\begin{equation*} \mathcal{F}^{-1} \big\{ \delta_0(\omega) \big\} \,\,=\,\,\frac{1}{2\pi}. \end{equation*}

Durch Anwenden des Modulationssatzes ergibt sich die folgende Verallgemeinerung:

\begin{equation*} \mathcal{F}^{-1} \big\{ \delta_0(\omega-\omega_0) \big\} \,\,= \,\,\frac{1}{2\pi}\,e^{j\omega_0 t} \,\,=\,\, \frac{1}{2\pi}\,\big[ \cos(\omega_0 t)+j\,\sin(\omega_0 t)\big]. \end{equation*}

Analog zu den Betrachtungen im Zeitbereich gibt es folgende Impulssummen im Spektralbereich:

\begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{F}^{-1} \Big\{ 2\pi\,\delta_0(\omega-\omega_0) \Big\} &= e^{j\omega_0 t},\\[1mm] \mathcal{F}^{-1} \Big\{ \pi\,\delta_0(\omega-\omega_0) + \pi\,\delta_0(\omega+\omega_0) \Big\} &= \,\,\,\,\,\frac{1}{2} \,e^{j\omega_0 t}+\frac{1}{2}\,e^{-j\omega_0 t}\,\,=\,\,\cos(\omega_0 t), \\[1mm] \mathcal{F}^{-1} \Big\{ -j\pi\,\delta_0(\omega-\omega_0) + j\pi\,\delta_0(\omega+\omega_0) \Big\} &= -\frac{j}{2} \,e^{j\omega_0 t}+\frac{j}{2}\,e^{-j\omega_0 t}\,\,=\,\,\sin(\omega_0 t). \end{aligned} \end{equation*}

Es sei anzumerken, dass die gerade beschriebenen Signale den Existenzbedingungen für Fourier-Transformationen widersprechen. Die Integrale

\begin{equation*} \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} \big|e^{j\omega_0 t}\big|\,dt,\,\,\int\limits_{t=-\infty}^{\infty} \big|\cos(\omega_0 t)\big|\,dt \text{ und } \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} \big|\sin(\omega_0 t)\big|\,dt \end{equation*}

sind nicht angebbar, sie streben gegen \(\infty\)! Tatsächlich liefern die angegebenen Transformationspaare ja auch keine Transformierten mit endlichen Werten: \(\delta_0(x)\) ist \(\infty\) hoch. D.h. für diese Signale existieren Tranformierte nur durch Zulassen einer "verallgemeinerten Funktionen-Klasse" (der Distribution \(\delta_0(...)\)). Für die zuvor genannten Signale lassen sich (fast triviale!) Fourier-Reihen sehr einfach angeben:

\begin{equation*} \begin{aligned} 1\,=\,v(t) &\,\longrightarrow\, v(t) \,=\,c_0\,e^{j 0 t}\quad\text{mit}\,\,c_0 = 1,\,c_{\mu}=0\,\,\forall\,\mu\ne 0,\\[1mm] e^{j\omega_0 t}\,=\,v(t) &\,\longrightarrow\, v(t) \,=\,c_1\,e^{j \omega_0 t}\quad\text{mit}\, \,c_1 = 1,\,c_{\mu}=0\,\,\forall\,\mu\ne 1,\\[1mm] \cos(\omega_0 t)\,=\,v(t) &\,\longrightarrow\, v(t) \,=\,c_1\,e^{j \omega_0 t} + c_{-1}\,e^{-j \omega_0 t} \quad\textrm{mit}\,\,c_1 = c_{-1} =\frac{1}{2},\,c_{\mu}=0\,\,\forall\,|\mu|\ne 1, \\[1mm] \sin(\omega_0 t)\,=\,v(t) &\,\longrightarrow\, v(t) \,=\,c_1\,e^{j \omega_0 t} + c_{-1}\,e^{-j \omega_0 t} \quad\textrm{mit}\,\,c_1 = -c_{-1} =\frac{1}{2j},\,c_{\mu}=0\,\,\forall\,|\mu|\ne 1. \end{aligned} \end{equation*}

Offenbar entsprechen die Fourier-Koeffizienten , die in der vorherigen Folien aufgeführt waren, bis auf einen Faktor \(2\pi\) den Gewichten der Dirac-Anteile der Fourier-Transformation. Hier werden die „Linien“ mit den Werten \(c_{\mu}\) lediglich dargestellt durch Impulse mit den Gewichten \(2\pi c_{\mu}\).

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Erklären Sie den Unterschied zwischen einer linearen und einer zyklischen Faltung.

Bei der zyklischen Faltung wird im Gegensatz zur linearen Faltung das Signal periodisch fortgesetzt. Dieses ergibt sich aus der zyklischen Verschiebung der Folge. Die lineare Faltung eines kontinuierlichen Zeitsignals entspricht einer Multiplikation im Frequenzbereich. Eine einfache Multiplikation im Spektrum eines diskreten Signals resultiert jedoch im Diskreten aus einer zyklischen Faltung.

Wie kann das Fourier-Spektrum eines Sinus- oder Cosinus-Signals beschrieben werden?

Das Fourier-Spektrum eines Sinus- oder Cosinus-Signals besteht aus einem gewichteten Dirac-Stoß bei der Frequenz des Sinus-/Cosinus-Signals und einem gewichteten Dirac-Stoß bei der negativen Frequenz. Dabei gilt: \begin{equation*} \begin{aligned} \text{sin}(\omega_0 t) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, j\pi \big[\delta_0(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0) \big] \\[1mm] \text{cos}(\omega_0 t) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, \pi \big[\delta_0(\omega + \omega_0) + \delta(\omega - \omega_0) \big] \end{aligned} \end{equation*}

Welche Frequenzen regt ein Dirac-Stoß an (wie sieht das Fourierspektrum eines Dirac-Stoßes aus)?

Ein Dirac-Stoß regt alle Frequenzen gleichmäßig an. Das Fourierspektrum eines Dirac-Stoßes ist 1: \begin{equation*} \delta_0(t) \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, 1. \end{equation*}

Allgemeine periodische kontinuierliche Signale

Kontinuierliche Signale mit der Eigenschaft

\begin{equation*} v(t+\lambda T) \,\,=\,\,v(t),\,\,\lambda\, \in\,\mathbb{Z},\,\,T\,\in\,\mathbb{R}^+ \end{equation*}

sind bekanntlich darstellbar mit Hilfe von Fourier-Reihen:

\begin{equation*} v(t) \,\,=\,\,\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}. \end{equation*}

Die darin enthaltenen Exponentialfunktionen können gemäß den Überlegungen der vergangenen Folien gemäß

\begin{equation*} \mathcal{F}\Big\{e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\Big\}\,\,= \,\,2\pi\,\delta_0(\omega-\mu\frac{2\pi}{T}) \end{equation*}

transformiert werden. Mit dem &UUml;berlagerungssatz folgt damit:

\begin{equation*} \mathcal{F}\Big\{v(t)\Big\}\,\,=\,\,2\pi\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} c_{\mu}\,\delta_0(\omega-\mu\frac{2\pi}{T}). \end{equation*}

Das Fourierspektrum entspricht lediglich einer anderen Interpretation des Linienspektrums, welches aus der Fourier-Reihe hervorgegangen ist.

fourier_trans_vs_reihe
\( \big|c_{\mu}\big| \)
Länge \(=\, \big|c_{\mu}\big| \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( \mu \)
\( - \)
\( - \)
\( \big|\mathcal{F}\big\{v(t)\big\}\big| \)
Länge symbolisiert Gewicht \(2\pi \big|c_{\mu}\big| \)
\( -\frac{2\pi}{T} \)
\( 0 \)
\( \frac{2\pi}{T} \)
\( \omega \)
\( - \)
\( - \)

Harmonische Exponentialfolge

Eine plausible Überlegung - in Anlehnung an die zuvor betrachteten kontinuierlichen Signale - würde zu folgendem Transformationspaar führen:

\begin{equation*} \mathcal{F}\Big\{ e^{j\Omega_0 n} \Big\} \,\,\overset{?}{=}\,\,2\pi\,\delta_0(\Omega-\Omega_0). \end{equation*}

Allerdings ist nun ebenfalls bekannt, dass die Spektren diskreter Signale stets periodisch mit der Periode \(2\pi\) sind, d.h. das Spektrum einer diskreten harmonischen Exponentialfolge lautet

\begin{equation*} \mathcal{F}\Big\{ e^{j\Omega_0 n} \Big\} \,\,= \,\,\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}2\pi\,\delta_0(\Omega-\Omega_0+\lambda 2 \pi).\end{equation*}

FSHarmExp
\( \mathcal{F}\big\{e^{j\Omega_0 n}\big\} \)
\( 2\pi \)
\( 2\pi \)
\( 2\pi \)
\( 2\pi \)
\( -4\pi \)
\( \Omega_0 - 4\pi \)
\( -2\pi \)
\( \Omega_0 - 2\pi \)
\( 0 \)
\( \Omega_0 \)
\( 2\pi \)
\( \Omega_0 + 2\pi \)
\( 4\pi \)
\( \Omega \)

Entsprechend folgt für die Cosinus-Folge:

\begin{equation*} \mathcal{F}\Big\{ \cos(\Omega_0 n) \Big\} \,\,= \,\,\pi\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\delta_0(\Omega-\Omega_0+\lambda 2 \pi) +\delta_0(\Omega+\Omega_0+\lambda 2 \pi).\end{equation*}

und für die Sinus-Folge:

\begin{equation*} \mathcal{F}\Big\{ \sin(\Omega_0 n) \Big\} \,\,= \,\,-j\pi\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\delta_0(\Omega-\Omega_0+\lambda 2 \pi) -\delta_0(\Omega+\Omega_0+\lambda 2 \pi).\end{equation*}

Die beiden Linien bei \(\Omega_0\) (für Exponentialfolgen) bzw. bei \(\pm \Omega_0\) (für Sinus- und Cosinusfolgen) werden stets periodisch fortgesetzt (mit Periode \(2\pi\))!

Periodische Folgen

Analog zur Verwendung der Fourier-Reihe bei kontinuierlichen periodischen Signalen kann für diskrete periodische Signale

\begin{equation*} v(n)\,\,=\,\,v(n+\lambda M)\,\, \,\,\text{mit}\,\,\lambda\,\in\,\mathbb{Z},\,M\,\in\,\mathbb{N} \end{equation*}

das Ergebnis einer zugehörigen Diskreten Fourier-Transformation

\begin{equation*} v(n)\,\,=\,\,\frac{1}{M} \sum\limits_{\mu=0}^{M-1}V_M(\mu)\,e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n} \end{equation*}

verwendet werden. Durch Einsetzen der Fourier-Transformation von harmonischen Exponentialfolgen ergibt sich:

\begin{equation*} \mathcal{F}\big\{ v(n) \big\} \,\,=\,\, \frac{2\pi}{M}\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\sum\limits_{\mu=0}^{M-1}V_M(\mu) \,\delta_0\Big(\Omega-\mu\frac{2\pi}{M}+\lambda 2 \pi\Big).\end{equation*}

Periodische Impulskämme

Sei für kontinuierliche Signale

\begin{equation*} v(t) \,\,=\,\, T\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\delta_0(t-\lambda T) \end{equation*}

gegeben. Hierzu ist die zugehörige Fourier-Transformation bekannt. Für die Koeffizientenberechnung ergiebt sich dabei:

\begin{equation*} c_{\mu} \,\,=\,\,1,\,\,\,\forall\,\mu. \end{equation*}

Das heißt es gilt folgende Reihenentwicklung:

\begin{equation*} \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty}e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t} \,\,= \,\, T\!\!\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\delta_0(t-\lambda T). \end{equation*}

Wendet man nun auf diese Darstellung die Fourier-Transformation an, so ergibt sich:

\begin{equation*} \begin{aligned} & \mathcal{F}\Bigg\{T\,\,\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\delta_0(t-\lambda T)\Bigg\} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der zuvor gewonnenen Erkenntnisse ...}}}\\[1mm] & \qquad =\,\,\,\mathcal{F}\Bigg\{\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty}e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t}\Bigg\} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Zugehörige Fourier-Transformation einsetzen ...}}}\\[1mm] & \qquad =\,\,\,2\pi\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty}\delta_0\Big(\omega-\mu\frac{2\pi}{T}\Big). \end{aligned} \end{equation*}

Offenbar ist die Fourier-Transformation eines Impulskamms wieder ein Impulskamm! Dieser Zusammenhang spielt eine wichtige Rolle bei der Beschreibung der Signalabtastung (AD-Wandlung).

ImpKammKont
\( v(t) \)
\( -2T \)
\( -T \)
\( 0 \)
\( T \)
\( 2T \)
\( t \)
\( T \)
\( c_{\mu} \)
\( 1 \)
\( -2 \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( \mu \)
\( V(j\omega) \)
\( -\frac{2\pi}{T} \)
\( 0 \)
\( \frac{2\pi}{T} \)
\( \omega \)
\( - \)
\( - \)
\( 2\pi \)

Betrachten wir nun analog dazu diskrete Signale, so sei zunächst

\begin{equation*} v(n) \,\,=\,\, \sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\gamma_0(n-\lambda M) \end{equation*}

gegeben. Hierzu ist die zugehörige Diskrete Fourier-Transformation bekannt. Für die Koeffizientenberechnung ergiebt sich dabei:

\begin{equation*} V_M(\mu) \,\,=\,\,1,\,\,\,\forall\,\mu. \end{equation*}

Das heißt es gilt folgender Zusammenhang:

\begin{equation*} \frac{1}{M}\sum\limits_{\mu=0}^{M-1}e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n} \,\,= \sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\gamma_0(n-\lambda M). \end{equation*}

Wendet man nun auf diese Darstellung die Fourier-Transformation an, so ergibt sich:

\begin{equation*} \begin{aligned} & \mathcal{F}\Bigg\{\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\gamma_0(n-\lambda M)\Bigg\} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der zuvor gewonnenen Erkenntnisse ...}}}\\[1mm] & \qquad=\,\,\,\mathcal{F}\Bigg\{\frac{1}{M}\sum\limits_{\mu=0}^{M-1}e^{j\mu\frac{2\pi}{M}n}\Bigg\} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Zugehörige Fourier-Transformation einsetzen ...}}}\\[1mm] & \qquad=\,\,\,2\pi\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\sum\limits_{\mu=0}^{M-1}\delta_0\Big(\Omega-\mu\frac{2\pi}{M}-\lambda 2\pi\Big) \\[1mm] & \qquad=\,\,\,2\pi\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty}\delta_0\Big(\Omega-\mu\frac{2\pi}{M}\Big). \end{aligned} \end{equation*}

ImpKammDisk
\( v(n) \)
\( 0 \)
\( n \)
\( 1 \)
\( V_{M}(\mu) \)
\( -2M \)
\( -M \)
\( 0 \)
\( M \)
\( 2M \)
\( 1 \)
\( \mu \)
\( V(e^{j\Omega}) \)
\( -\frac{2\pi}{M} \)
\( 0 \)
\( \frac{2\pi}{M} \)
\( \Omega \)
\( - \)
\( - \)
\( 2\pi \)
\( -4\pi \)
\( -2\pi \)
\( 2\pi \)
\( 4\pi \)