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Signale and Systeme – Signale

Inhalt

Elementarsignale
Einleitung
Sprung
Impuls
Rampe und Verallgemeinerung
Harmonische Exponentielle
Allgemeine komplexe Exponentielle
Enthaltene Sonderfälle und Teilsignale
Bedeutung der Elementarsignale
Reaktion linearer Systeme auf Elementarsignale
Reaktion auf Impulse und Sprünge
Reaktion linearer, verschiebungsinvarianter Systeme auf Exponentielle
Signalzerlegung in Elementarsignale
Zerlegung in Impulsanteile
Zerlegung in Sprunganteile

Elementarsignale

Einleitung

Das Ziel der Einführung von sogenannten Elementarsignalen ist die Darstellung bzw. Zerlegung allgemeiner Signale mit Hilfe von Teilsignalen bestimmter (sinnvoller) Grundformen, die für eine möglichst große Signalklasse passen.

Der Begriff "Elementarsignal" soll hier (zunächst) für vereinfachende Repräsentationen realer Signalereignisse stehen.

Beispiele:
Verhalten im Dauerbetrieb: Konstante (bzw. als Verallgemeinerung: Schwingungen)
Verhalten bei plötzlichen Änderungen: Kurzer Stoß, plötzlicher Sprung oder Anstieg.

Sprung

Definition

Der Sprung wird im Kontinuierlichen als Sprungfunktion \(\delta_{-1}(t) \) bezeichnet.

Definition der Sprungfunktion:
\begin{equation} \delta_{-1}(t) \,\,=\,\, \begin{cases} 1, & \text{für}\,\, t > 0, \\[1mm] \frac{1}{2}, & \text{für}\,\, t \,\,=\,\, 0, \\[1mm] 0, & \text{für}\,\, t < 0. \end{cases} \end{equation}

Die Sprungfunktion hat folgenden Verlauf:

SprungKont
\( \delta_{-1}(t) \)
\( 1 \)
\( \frac{1}{2} \)
\( 0 \)
\( t \)

Im Diskreten wird der Sprung als Sprungfolge \(\gamma_{-1}(n)\) bezeichnet.

Definition der Sprungfolge:
\begin{equation} \gamma_{-1}(n) \,\,=\,\, \begin{cases} 1, & \text{für}\,\, n \geq 0, \\[1mm] 0, & \text{für}\,\, n < 0. \end{cases} \end{equation}

Die Sprungfolge hat folgenden Verlauf:

SprungDis
\( \gamma_ {-1}(n) \)
\( 1 \)
\( \frac{1}{2} \)
\( 0 \)
\( n \)

Anmerkungen

"Physikalische", reale Größen springen nicht, während Zahlenfolgen sehr wohl von Wert zu Wert Änderungen aufweisen. Man kann daher \( \delta_{-1}(t) \) auch als Idealisierung eines realistischen, schnellen Übergangs verstehen.

Beispiele:
SprungKont2
\( R_ {\epsilon}(t) \)
\( 1 \)
\( \frac{1}{2} \)
\( 0 \)
\( -\frac{\epsilon}{2} \)
\( \frac{\epsilon}{2} \)
\( t \)
\( \lim\limits_{\epsilon \to 0}R_{\epsilon}(t) \,\,=\,\, \delta_{-1}(t) \)

Auch andere "realistischere" Übergänge sind hier denkbar. Die Definition von oben besitzt Punktsymmetrie bezüglich \( (0,\frac{1}{2}) \). Dies kann in manchen Fällen hilfreich sein.

Alternativ kann folgende Definition verwendet werden:

Alternative Definition der Sprungfunktion:
\begin{equation} \delta_{-1} \,\,=\,\, \begin{cases} 1, & \text{für } t \geq 0, \\[1mm] 0, & \text{für } t < 0 \end{cases} \end{equation}

Diese besagt, dass der Übergang nur in \( t < 0 \) stattfindet. Praktisch spielen die Unterschiede in den Definitionen jedoch keine Rolle. Für die Nachbildung von realen Signalen sind beide Definitionen gleichwertig

Impuls

Definition

Der Impuls wird im Kontinuierlichen als "Dirac"-Stoß \( \delta_0(t) \) bezeichnet.

Definition des "Dirac"-Stoßes:
\begin{equation} \delta_0(t) \,\,=\,\, \begin{cases} \rightarrow \infty, & \text{für } t \,\,=\,\, 0, \\[1mm] 0, & \text{für } t \neq 0 \end{cases} \end{equation}

Der "Dirac"-Stoß ist keine gewöhnliche Funktion (Distributionen-Theorie) und hat den folgenden Verlauf:

ImpulsKont
\( \delta_{0}(t) \)
\( 0 \)
\( t \)

Im Diskreten wird der Impuls als "Einheits-Impuls" \( \gamma_0(n) \) bezeichnet.

Definition des "Einheits-Impuls":
\begin{equation} \gamma_0(n) \,\,=\,\, \begin{cases} 1, & \text{für } n \,\,=\,\, 0, \\ 0, & \text{für } n \neq 0 \end{cases} \end{equation}

Der "Einheits-Impuls" ist eine einfache Folge von unendlich vielen Nullen und einer Eins und hat den folgenden Verlauf:

ImpulsDis
\( \gamma_ {0}(n) \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( n \)

Anmerkungen zum (kontinuierlichen) "Dirac"-Impuls

Die Herleitung des "Dirac"-Impulses kann beispielsweise mittels des Grenzwertübergangs

\begin{equation*} \lim\limits_{\epsilon \to \infty} r_{\epsilon}(t) \,\,=\,\, \delta_0(t) \end{equation*}

von folgender Funktion erfolgen:

ImpulsKont2
\( r_ {\epsilon}(t) \)
\( \frac{1}{\epsilon} \)
\( 0 \)
\( -\frac{\epsilon}{2} \)
\( \frac{\epsilon}{2} \)
\( t \)

Hierbei tritt die sog. Flächeneigenschaft

\begin{equation*} \int\limits_{t \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} \delta_0(t) \mathrm{d}t \,\,=\,\,1 \end{equation*}

des Dirac-Impulses hervor:

\begin{equation*} \int\limits_{t\,\,=\,\,-\infty}^{\infty} r_{\epsilon}(t)\mathrm{d}t \,\,=\,\, \epsilon \frac{1}{\epsilon} \,\,=\,\,1 \end{equation*}

Es gilt die folgende Ableitungsbeziehung:

\begin{equation*} r_{\epsilon}(t) \,\,=\,\, \frac{d}{dt} R_{\epsilon}(t). \end{equation*}

Im Grenzübergang gilt:

\begin{equation} \delta_0(t) \,\,=\,\, \text{D}[\delta_{-1}(t)]. \end{equation}

Wobei \( \text{D} \) für die "Derivierte", also eine verallgemeinerte Ableitung steht. Umgekehrt gilt aber eine "normale" Integration:

\begin{equation} \delta_{-1}(t) \,\,=\,\, \int\limits_{\tau \,\,=\,\, -\infty}^t \delta_0(\tau)\mathrm{d}\tau. \end{equation}

Anmerkungen zur (diskreten) Impulsfolge

Statt der Ableitung bzw. Derivation wird im Diskreten eine Differenzbildung angewendet:

\begin{equation} \gamma_{-1}(n) - \gamma_{-1}(n-1) \,\,=\,\, \gamma_0(n). \end{equation}

ImpulsDiffDis
\( \gamma_{-1}(n) \)
\( 1 \)
\( -2 \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( 4 \)
\( n \)
\( \gamma_{-1}(n-1) \)
\( 1 \)
\( -2 \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( 4 \)
\( n \)

Die Impulsfolge resultiert demnach aus der Differenz zweier benachbarter Sprungfolgen. Umgekehrt wird statt der Integration eine Summation angewendet:

\begin{equation} \gamma_{-1}(n) \,\,=\,\, \sum\limits_{\kappa \,\,=\,\, -\infty}^n \gamma_0(\kappa). \end{equation}

Durch Summation entsteht aus der Impulsfolge die Sprungfolge.

Auch hier gilt die (Flächen-)Summeneigenschaft:

\begin{equation} \sum\limits_{n \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} \gamma_0(n) \,\,=\,\, 1. \end{equation}

Ausblendeigenschaft des Impulses

Die Ausblendeigenschaft des Impulses ist im Kontinuierlichen wie folgt definiert:

Ausblendeigenschaft (Kontinuierlich):
\begin{equation} v(t) \underbrace{\delta_0(t-\tau)}_{\begin{matrix} =\,\, 0, \text{ außer} \\ \text{in } t \,\,=\,\, \tau \end{matrix}} \,\,=\,\, v(\tau)\delta_0(t-\tau) \end{equation}
\begin{equation} \int\limits_{t \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} v(t)\delta_0(t-\tau) \mathrm{d}t \,\,=\,\, v(\tau)\end{equation}

Im Diskreten lautet die Ausblendeigenschaft des Impulses:

Ausblendeigenschaft (Diskret):
\begin{equation} v(n) \underbrace{\gamma_0(n-\kappa)}_{\begin{matrix} =\,\, 0, \text{ außer} \\ \text{in } n \,\,=\,\, \kappa \end{matrix}} \,\,=\,\, v(\kappa)\gamma_0(n-\kappa) \label{AusblendDiskret}\end{equation}
\begin{equation} \sum\limits_{n \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} v(n)\gamma_0(n-\kappa) \,\,=\,\, v(\kappa) \end{equation}

Die Ausblendeigenschaft ist nützlich für die Beschreibung der Signalabtastung (z.B. in A/D-Umsetzern).

Rampe und Verallgemeinerung

Logische Erweiterung der Integrationsbeziehungen

Wendet man die bisher gefundenen Integrations- bzw. Summationsbeziehungen, welche im Kontinuierlichen

\begin{equation*} \delta_{-1}(t) \,\,=\,\, \int\limits_{\tau \,\,=\,\, - \infty}^t \delta_0(\tau) \mathrm{d}\tau \end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*} \gamma_{-1}(n) \,\,=\,\, \sum\limits_{\kappa \,\,=\,\, - \infty}^n \gamma_0(\kappa) \end{equation*}

lauten und den Impuls und den Sprung verbinden, nochmals an, so kann man Rampenfunktionen bzw. -folgen erzeugen. Diese lauten im Kontinuierlichen

\begin{equation*} \int\limits_{\tau \,\,=\,\, - \infty}^t \delta_{-1}(\tau) \mathrm{d}\tau \,\,=\,\, t\delta_{-1}(t) \,\,=\,\, \delta_{-2}(t) \end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*} \sum\limits_{\kappa \,\,=\,\, -\infty}^n \gamma_{-1}(\kappa) \,\,=\,\, n\gamma{-1}(n) \,\,=\,\, \gamma_{-2}(n). \end{equation*}

Rampenfunktion und -folge

Aus den zuvor beschriebenen Integrationsbeziehungen ergibt sich die Rampenfunktion, deren Verlauf sich im Kontinuierlichen wie folgt gestaltet:

RampeKont
\( \delta_{-1}(t) \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( t \)
\( \delta_{-2}(t) \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( t \)

Im Diskreten hat die Rampenfunktion folgenden Verlauf:

RampeDis
\( \gamma_{-1}(t) \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( n \)
\( \gamma_{-2}(t) \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( n \)

Anmerkungen

Die Integration bzw. Summation kann mehrfach angewendet werden, dies führt dann auf weitere Funktions- bzw Folgenfamilien. Im Rahmen dieser Vorlesung werden diese Funktionen bzw. Folgen aber nicht weiter betrachtet.

Die Rampenfunktion bzw. -folge spielt in der Regelungstechnik eine zentrale Rolle

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Was erhält man, wenn man folgendes Integral löst?:
\( y(t) \,\,=\,\, \int\limits_{\tau \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} v(\tau)\delta_0(t-t_0-\tau) \mathrm{d}\tau \)

\( v(t-t_0) \)

Was stellt dieses "System" dar?

Das "System" bzw. die Funktion \( v(t-t_0) \) stellt eine zeitliche Verzögerung des Signals \(v(t) \) um \( t_0 \) dar.

Welche Form besitzen die Graphen der Funktion \( \delta_{-3}(t) \) bzw. der Folge \( \gamma_{-3}(n) \)?

Die Form der Funktion bzw. des Graphen ist quadratisch.

Harmonische Exponentielle

Definition

Definition der harmonischen Exponentiellen:
Kontinuierlich: \( v(t) \,\,=\,\, Ve^{j \omega t}, \text{ mit } V \in \mathbb{C}, \omega \in \mathbb{R} \) mit komplexer Amplitude
\( V \,\,=\,\, |V|e^{j\varphi}, \text{ mit } \varphi \in \mathbb{R} \)
Diskret: \( v(n) \,\,=\,\, Ve^{j \Omega t}, \text{ mit } V \in \mathbb{C}, \Omega \in \mathbb{R} \)

Diskussion

Der Wert für das Argument 0 (Startwert) lautet im Kontinuierlichen

\begin{equation*} v(0) \,\,=\,\, V \underbrace{e^{j\omega 0}}_{=\,\, 1} \,\,=\,\, V \,\,=\,\, |V|e^{j\varphi} \end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*} v(0) \,\,=\,\, V \underbrace{e^{j\Omega 0}}_{=\,\,1} \,\,=\,\, V \,\,=\,\, |V|e^{j\varphi}. \end{equation*}

Beides entspricht einem Punkt in der komplexen Ebene im Abstand \( |V| \) vom Nullpunkt (Zeiger zum Punkt \( v(0) \) mit dem Winkel \( \varphi \) gegen die reelle Achse).

HarmExp
\( \text{Im}\{v(...)\} \)
\( v(0) \,\,=\,\, V \)
\( \text{Re}\{v(...)\} \)
\( \varphi \)
\( |V| \)

Für beliebige Argumente lautet der Wert im Kontinuierlichen

\begin{equation*} v(t_1) \,\,=\,\, V e^{j\omega t_1} \,\,=\,\, |V|e^{j(\varphi+\omega t_1)} \end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*} v(n_1) \,\,=\,\, V e^{j\Omega n_1} \,\,=\,\, |V|e^{j(\varphi+\Omega n_1)}. \end{equation*}

Dieses führt zu folgendem Funktions-/Folgenverlauf:

HarmExp2
\( \text{Im}\{v(...)\} \)
\( v(0) \,\,=\,\, V \)
\( \text{Re}\{v(...)\} \)
\( \varphi \)
\( v(t_1),v(n_1) \)
\( \omega t_1, \Omega n_1 \)

Der Zeiger \( v(0) \,\,=\,\, V \) wird mit gleicher Länge um den Winkel \(\omega t_1 \) bzw. \( \Omega t_1 \) (mit der Nebenbedingung \( t_1 \in \mathbb{R} \) bzw. \( n_1 \in \mathbb{Z} \) weitergedreht.

Im Kontinuierlichen beschreibt der Funktionsverlauf

\begin{equation*} v(t) \,\,=\,\, V e^{j \omega t} \end{equation*}

kontinuierliche Kreise mit dem Radius \( |V| \) in der komplexen Ebene. Im Diskreten beschreibt der Folgenverlauf

\begin{equation*} v(n) \,\,=\,\, V e^{j \Omega n} \end{equation*}

diskrete Punkte auf einem Kreis mit Radius \(|V|\) in der komplexen Ebene.

HarmExp3
\( \text{Im}\{v(t)\} \)
\( v(0) = V \)
\( v(t) \)
\( \text{Re}\{v(t)\} \)
\( \varphi \)
\( \omega t \)
\( \text{Im}\{v(n)\} \)
\( v(0) = V \)
\( v(1) \)
\( v(2) \)
\( v(3) \)
\( v(4) \)
\( v(5) \)
\( \text{Re}\{v(n)\} \)
\( \varphi \)
\( \Omega \)

Die harmonische Exponentielle wird im Hinblick auf ihre Periodizität untersucht. Im Kontinuerlichen wird der Kreis mit wachsendem \(t\) immer vollständig durchlaufen. Die periodische Wiederholung geschieht, wenn gilt \( \omega t = 2 \pi \):

\begin{equation*} \begin{aligned} v(t + \lambda T) \,\, &= \,\, V e^{j(\omega t+ \lambda 2 \pi)} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufteilen des Exponentialterms in zwei Komponenten ...}}}\\[1mm] &= \,\, V e^{j \omega t} \underbrace{e^{j \lambda 2 \pi}}_{=\,\,1 \forall \lambda} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Definition der harmonischen Exponentiellen ...}}}\\[1mm] &=\,\, v(t). \end{aligned} \end{equation*}

Daraus ergibt sich die Periode: \( T \,\,=\,\, \frac{2 \pi}{\omega}. \)

Im Diskreten wird der Kreis mit wachsendem \(n\) immer wieder durchlaufen, aber nicht immer in den selben Punkten! Eine Wiederholung ist nach einem Umlauf möglich, nach mehreren Umläufen oder auch nie (siehe Übung).

Allgemeine komplexe Exponentielle

Definition

Definition der allgemeinen komplexen Exponentiellen:
Kontinuierlich: Diskret:
\( v(t) \,\,=\,\, Ve^{st}, \text{ mit } V \in \mathbb{C}, s \in \mathbb{C} \) \( v(n) \,\,=\,\, Vz^{n}, \text{ mit } V \in \mathbb{C}, z \in \mathbb{C} \)
...beide mit komplexer Amplitude \( V \,\,=\,\, |V|e^{j\varphi}, \text{ mit } \varphi \in \mathbb{R} \)
...und \( s \,\,=\,\, \sigma + j\omega, \text{ mit } \sigma , \omega \in \mathbb{R} \) ...und \( z \,\,=\,\, \rho e^{j \Omega}, \text{ mit } \rho , \Omega \in \mathbb{R} \)

Diskussion

Der Wert für das Argument 0 (Startwert) lautet im Kontinuierlichen

\begin{equation*} v(0) \,\,=\,\, V \underbrace{e^{s 0}}_{=\,\,1} \,\,=\,\, V \,\,=\,\, |V|e^{j\varphi} \end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*} v(0) \,\,=\,\, V \underbrace{z^{0}}_{=\,\,1} \,\,=\,\, V \,\,=\,\, |V|e^{j\varphi} \end{equation*}

Beides entspricht - wie im vorigen Abschnitt über harmonische Exponentielle - einem Punkt in der komplexen Ebene im Abstand \( |V| \) vom Nullpunkt mit dem Winkel \( \varphi \) gegen die reelle Achse.

Der Funktionsverlauf entspricht im Kontinuierlichen

\begin{equation*} \begin{aligned} v(t) \,\, &= \,\, V e^{s t} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufteilen des Exponentialterms in zwei Komponenten und der komplexen Amplitude in Betrags- und Phasenterm ...}}}\\ &= \,\, |V|e^{j\varphi}e^{\sigma t}e^{j \omega t} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Zusammenfassen zweier Exponentialterme ...}}}\\ &= \,\, \underbrace{|V|e^{j(\phi + \omega t)}}_{\begin{matrix}\text{Harmonische}\\ \text{(kontinuierliche)}\\ \text{Exponentielle}\end{matrix}} \underbrace{e^{\sigma t}}_{\begin{matrix}\text{Zusätzliche}\\\text{Funktion}\end{matrix}} \end{aligned} \end{equation*}

Im Diskreten entspricht der Folgenverlauf

\begin{equation*} \begin{aligned} v(n) \,\, &= \,\, V z^{n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufteilen des Terms \(z^n\) in zwei Komponenten und der komplexen Amplitude in Betrags- und Phasenterm ...}}}\\ &= \,\, |V|e^{j\varphi}\rho^{n}e^{j \Omega n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{Zusammenfassen zweier Exponentialterme ...}}}\\ &= \,\, \underbrace{|V|e^{j(\phi + \Omega n)}}_{\begin{matrix}\text{Harmonische}\\ \text{(diskrete)}\\ \text{Exponentielle}\end{matrix}} \underbrace{\rho^{n}}_{\begin{matrix}\text{Zusätzliche} \\ \text{Folge}\end{matrix}} \end{aligned} \end{equation*}

ZusFunk
\( e^{\sigma t} \)
\( e^{\sigma t} \)
\( ( \sigma > 0) \)
\( ( \sigma < 0) \)
\( t \)
\( t \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( \rho^{n} \)
\( \rho^{n} \)
\( ( \rho > 1) \)
\( ( \rho < 1) \)
\( n \)
\( n \)
\( 0 \)
\( 0 \)

Es gibt Sonderfälle bei den zusätzlichen Funktionen. Gilt \( \sigma \,\,=\,\, 0 \) wird im Kontinuierlichen aus den Zusatzfunktionen:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(t) \,\, &= \,\, V e^{s t} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufteilen des Exponentialterms in zwei Komponenten ...}}}\\[1mm] &= \,\, V e^{\sigma t} e^{j \omega t} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Bedingung \( \sigma \,=\, 0 \) ...}}}\\[1mm] &=\,\, V e^0 e^{j \omega t} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Definition \( e^0 \,=\,1 \)...}}}\\[1mm] &=\,\, V e^{j \omega t}. \end{aligned} \end{equation*}

Gilt \( \rho \,\,=\,\, 1 \) wird im Diskreten aus den Zusatzfolgen:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(n) \,\, &= \,\, V z^{n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufteilen des Terms zn in zwei Komponenten ...}}}\\[1mm] &= \,\, V \rho^n e^{j \Omega n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Bedingung \( \rho \,=\, 1 \) ...}}}\\[1mm] &=\,\, V 1^n e^{j \Omega n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Definition \(1^n\,=\,1\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, V e^{j \,(\varphi + \Omega n )}. \end{aligned} \end{equation*}

Somit wird die allgemeine komplexe Exponentielle zur harmonischen Exponentiellen.

Die Kombination der harmonischen Exponentiellen und der Zusatzfunktion führt auf eine "Spiralfunktion":

KombKont
\( \text{Im}\{...\} \)
\( \text{Re}\{...\} \)
\( f(0) \)
\( t \)
\( \begin{matrix}\text{Harmonische}\\\text{Exponentielle} \end{matrix} \)
\( t \)
\( e^{\sigma t} \)
\( ( \sigma > 0 ) \)
\( t \)
\( e^{\sigma t} \)
\( ( \sigma > 0 ) \)
\( \text{"Zusatzfunktion"} \)
\( ( \sigma > 0 ) \)
\( \text{Im}\{v(t)\} \)
\( t \)
\( v(0) \)
\( \text{Re}\{v(t)\} \)
\( ( \sigma < 0 ) \)
\( \text{Im}\{v(t)\} \)
\( t \)
\( v(0) \)
\( \text{Re}\{v(t)\} \)
\( \begin{matrix}\text{Resultierende}\\\text{komplexe Exponentielle} \end{matrix} \)

Im Diskreten gilt etwas Ähnliches:

KombDis
\( t \)
\( \text{Im}\{v(t)\} \)
\( v(0) \)
\( ( \sigma > 0 ) \)
\( \text{Re}\{v(t)\} \)
\( t \)
\( \text{Im}\{v(t)\} \)
\( v(0) \)
\( ( \sigma < 0 ) \)
\( \text{Re}\{v(t)\} \)
\( t \)
\( \text{Im}\{v(n)\} \)
\( v(0) \)
\( v(1) \)
\( v(2) \)
\( v(3) \)
\( ( \rho > 1 ) \)
\( \text{Re}\{v(n)\} \)
\( t \)
\( \text{Im}\{v(n)\} \)
\( v(0) \)
\( v(1) \)
\( v(2) \)
\( v(3) \)
\( ( \rho < 1 ) \)
\( \text{Re}\{v(n)\} \)

Enthaltene Sonderfälle und Teilsignale

Allgemeiner Ansatz

Der allgemeine Ansatz der komplexen Exponentiellen ist wie im vorherigen Abschnitt beschrieben im Kontinuierlichen

\begin{equation*} \begin{aligned} v(t) \,\, &=\,\, V e^{s t}, &\text{ mit } V \in \mathbb{C}, s \in \mathbb{C} \\[1mm] s \,\, &=\,\, \sigma + j \omega, &\text{ mit } \sigma, \omega \in \mathbb{R} \end{aligned} \end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*} \begin{aligned} v(n) \,\, &=\,\, V z^n, &\text{ mit } V \in \mathbb{C}, z \in \mathbb{C} \\[1mm] z \,\, &=\,\, \rho \, e^{j \Omega}, &\text{ mit } \rho, \omega \in \mathbb{R} \end{aligned} \end{equation*}

Im Folgenden werden vier Sonderfälle der allgemeinen komplexen Exponentiellen erläutert.

Sonderfall 1

Der erste Sonderfall tritt im Kontinuierlichen ein, falls \(\sigma \,\,=\,\, 0\):

\begin{equation*} \begin{aligned} \sigma \,\,=\,\, 0, &\Rightarrow s \,\,=\,\, j \omega \\ &\Rightarrow v(t) \,\,=\,\, V e^{j \omega t} \end{aligned} \end{equation*}

In diesem Sonderfall wird die allgemeine komplexe Exponentielle zu der harmonischen Exponentiellen. In diesem Fall sind reelle harmonische Schwingungen (Sinus-Funktion bzw. Folgen) enthalten. Diese lauten

\begin{equation*}\begin{aligned} \text{Re}\{V\,e^{j\,\omega \,t}\} &=\,\, |V|\,\text{cos}(\omega\,t\,+\,\varphi) \\[1mm] \text{Im}\{V\,e^{j\,\omega \,t}\} &=\,\, |V|\,\text{sin}(\omega\,t\,+\,\varphi) \end{aligned} \end{equation*}

Analog dazu tritt der Sonderfall im Diskreten in Erscheinung, falls \(\rho \,\,=\,\, 1\):

\begin{equation*} \begin{aligned} \rho \,\,=\,\, 1, &\Rightarrow z \,\,=\,\, e^{j\, \Omega} \\ &\Rightarrow v(n) \,\,=\,\, V e^{j\,\Omega \,n} \end{aligned} \end{equation*}

Die enthaltenen reellen harmonischen Schwingungen lautet in diesem Fall

\begin{equation*}\begin{aligned} \text{Re}\{V\,e^{j\,\Omega \,n}\} &=\,\, |V|\,\text{cos}(\Omega\,n\,+\,\varphi) \\[1mm] \text{Im}\{V\,e^{j\,\Omega \,n}\} &=\,\, |V|\,\text{sin}(\Omega\,n\,+\,\varphi). \end{aligned} \end{equation*}

Sonderfall 2

Der zweite Sonderfall tritt im Kontinuierlichen ein, wenn \(\sigma \neq 0\)

\begin{equation*} \begin{aligned} \sigma \neq 0, &\Rightarrow s \,\,=\,\, \sigma \,+\, j \omega \\ &\Rightarrow v(t) \,\,=\,\, V e^{\sigma t} e^{j \omega t}. \end{aligned} \end{equation*}

Dieser Fall beschreibt reelle, exponentiell wachsende bzw. gedämpfte Sinus-Schwingungen. Diese äußern sich im Kontinuerlichen durch

\begin{equation*}\begin{aligned} \text{Re}\{V\,e^{s\,t}\} &=\,\, |V|\,e^{\sigma\,t}\,\text{cos}(\omega\,t\,+\,\varphi) \\[1mm] \text{Im}\{V\,e^{s\,t}\} &=\,\, |V|\,e^{\sigma\,t}\,\text{sin}(\omega\,t\,+\,\varphi) \end{aligned} \end{equation*}

Im Diskreten tritt er analog dazu in Erscheinung, wenn \(\rho \neq 0\) gilt:

\begin{equation*} \begin{aligned} \rho \neq 0, &\Rightarrow z \,\,=\,\, \rho \, e^{j\, \Omega} \\ &\Rightarrow v(n) \,\,=\,\, V \rho^n e^{j\,\Omega \,n}. \end{aligned} \end{equation*}

Die exponentiell wachsenden bzw. gedämpften Sinus-Schwingungen lautet nun

\begin{equation*}\begin{aligned} \text{Re}\{V\,\rho^n\,e^{j\,\Omega \,n}\} &=\,\, |V|\,\text{cos}(\Omega\,n\,+\,\varphi) \\[1mm] \text{Im}\{V\,\rho^n\,e^{j\,\Omega \,n}\} &=\,\, |V|\,\rho^n\,\text{sin}(\Omega\,n\,+\,\varphi) \end{aligned} \end{equation*}

Folgende Abbildung zeigt ein Signalbeispiel zu diesem betrachteten Sonderfall.

SinExp
\( \text{Re}\{v(t)\} \)
\( \text{Re}\{v(t)\} \)
\( \text{Re}\{v(n)\} \)
\( \text{Re}\{v(n)\} \)
\( ( \sigma > 0) \)
\( ( \sigma < 0) \)
\( ( \rho > 1) \)
\( ( \rho < 1) \)
\( t \)
\( t \)
\( n \)
\( n \)

Sonderfall 3

Der dritte Sonderfall lautet im Kontinuierlichen

\begin{equation*} \begin{aligned} V \,\,=\,\, |V|,\,\sigma\neq 0,\omega \,\,=\,\, 0 \\[1mm] \Rightarrow v(t) \,\,=\,\, |V|e^{\sigma\,t} \end{aligned} \end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*} \begin{aligned} V \,\,=\,\, |V|,\,\rho\neq 1,\Omega \,\,=\,\, 0 \\[1mm] \Rightarrow v(n) \,\,=\,\, |V|\rho^{n} \end{aligned} \end{equation*}

Es wird eine reelle, wachsende/gedämpfte Exponentialfunktion bzw. -folge beschrieben.

ZusFunk
\( e^{\sigma t} \)
\( e^{\sigma t} \)
\( ( \sigma > 0) \)
\( ( \sigma < 0) \)
\( t \)
\( t \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( \rho^{n} \)
\( \rho^{n} \)
\( ( \rho > 1) \)
\( ( \rho < 1) \)
\( n \)
\( n \)
\( 0 \)
\( 0 \)

Sonderfall 4

Der vierte Sonderfall lautet im Kontinuierlichen

\begin{equation*} \begin{aligned} V \,\,=\,\, |V|,\,\sigma \,\,=\,\, 0,\,\omega \,\,=\,\, 0 \\[1mm] \Rightarrow v(t) \,\,=\,\, |V| \end{aligned} \end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*} \begin{aligned} V \,\,=\,\, |V|,\,\rho \,\,=\,\, 1,\,\Omega \,\,=\,\, 0 \\[1mm] \Rightarrow v(n) \,\,=\,\, |V| \end{aligned} \end{equation*}

Es ergibt sich ein konstantes Signal (Gleichstrom, Schwingung der Frequenz \(\omega,\,\Omega \,\,=\,\, 0\)).

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Wie kann man zwei komplexe Schwingungen so kombinieren, dass eine reelle Schwingung bzw. eine rein imaginäre Schwingung entsteht?

Gegeben seien zwei komplexe Schwingungen \(v_i(t)\,=\,\big|V_i\big|e^{\sigma_i}e^{j(\omega_i t + \varphi_i)}, i \in \{1,2\}\).
Seien \(\big|V_1\big|\,=\,\big|V_2\big|\), \(\sigma_1\,=\,\sigma_2\), \(\omega_1\,=\,-\omega_2\) und \(\varphi_1\,=\,-\varphi_2\), so ergibt sich durch Addieren der beiden komplexen Signale eine rein reelle Schwingung und durch Subtrahieren der beiden komplexen Signale eine rein imaginäre Schwingung.

Wie würden Sie ein System "bauen", welches zumindest kurzzeitig eine reelle, sich verstärkende Schwingung erzeugt?

Durch Addition zweier komplexer Signale mit gleicher Amplitude, sowie entgegengesetzter Phase und Frequenz. Zudem muss \(\sigma_1\,=\,\sigma_2 > 0\) sein.

Nennen Sie ein Beispiel für reale Systeme, die näherungsweise abklingende Schwingungen erzeugen!

In der Realität werden Schwingungen nahezu immer (durch z.B. Reibung) gedämpft. Beispiele für solche abklingende Schwingungen erzeugende Systeme sind beispielsweise Federpendel, Musikinstrumente oder ein elektrischer Schwingkreis.

Bedeutung der Elementarsignale

Bemerkungen

Alle vorgestellten Elementarsignale eignen sich als Bauelemente, aus denen sich weitgehend beliebige Signale zusammensetzen lassen und zwar auf einfache Weise durch lineare Überlagerung (= Addition).

Lineare Systeme sind eine wichtige Systemklasse, denn.

Der Übergang zu allgemeinen komplexen Elementarsignalen ist aus folgenden Gründen sinnvoll:

Die Lösung ist:

Reaktion linearer Systeme auf Elementarsignale

Reaktionen auf Impulse und Sprünge

Allgemeines

Die Reaktion eines Systems auf einen Impuls \( \delta_0(t) \) bzw. \( \gamma_0(n) \) wird als Impulsantwort bezeichnet.

Definition der Impulsantwort:
Diskret: \begin{equation} h_0(t) \,\,=\,\, S\{\delta_0(t)\} \end{equation}
Kontinuierlich: \begin{equation} h_0(n) \,\,=\,\, S\{\gamma_0(n)\} \end{equation}

Die Reaktion eines Systems auf einen Sprung \( \delta_{-1}(t) \) bzw. \( \gamma_{-1}(n) \) wird als Sprungantwort bezeichnet

Definition der Sprungantwort:
Diskret: \begin{equation} h_{-1}(t) \,\,=\,\, S\{\delta_{-1}(t)\} \end{equation}
Kontinuierlich: \begin{equation} h_{-1}(n) \,\,=\,\, S\{\gamma_{-1}(n)\} \end{equation}

Beide Systemantworten sind im Falle von Linearität des Systems relativ leicht zu berechnen bzw. zu messen (Details findet man hierzu -z.B.- im Abschnitt "Lineare Systeme".

Reaktionen linearer, verschiebungsinvarianter Systeme auf Exponentielle

Herleitung

Sei mit

\begin{equation*} \boldsymbol{y}(...) \,\,=\,\, s\{\boldsymbol{v}(...)\} \end{equation*}

ein lineares, verschiebungsinvariantes System bzw. ein Operator gegeben. Um möglichst allgemein zu bleiben, wird hier ein System mit vektoriellem Ein- und Ausgang verwendet. Zudem wird zunächst die Herleitung für den kontinuierlichen Fall betrachtet. Bei Anregung mit einer allgemeinen Exponentiellen gilt nun

\begin{equation*} \boldsymbol{y}(t) \,\,=\,\, S\big\{\boldsymbol{V}e^{s\,t}\big\} \end{equation*}

Eine Verschiebung der Eingangssignalvektoren um \(t_0\) bewirkt

\begin{equation*} \boldsymbol{v}(t-t_0) \,\,=\,\, \boldsymbol{V}e^{s(t-t_0)}\,\,=\,\, \boldsymbol{V}e^{s\,t}e^{-s\,t_0} \end{equation*}

Die Systemreaktion darauf lautet

\begin{equation*} \tilde{\boldsymbol{y}}(t) \,\,=\,\, S\big\{\boldsymbol{V}e^{s(t-t_0)}\big\}\,\,=\,\, S\big\{\boldsymbol{V}e^{s\,t} \underbrace{e^{-s\,t_0}}_{\begin{matrix}\text{Konstant}\\\text{bezüglich t!}\end{matrix}}\big\} \end{equation*}

Aufgrund der vorausgesetzten Linearität darf ein konstanter Faktor vor den Operator gezogen werden. Das ergibt

\begin{equation*} \tilde{\boldsymbol{y}}(t) \,\,=\,\, e^{-s\,t_0}\, \underbrace{S\big\{\boldsymbol{V}e^{s(t)}\big\}}_{\,\,=\,\,\, \boldsymbol{y}(t)} \,\,=\,\, e^{-s\,t_0}\boldsymbol{y}(t) \end{equation*}

Wegen der geforderten Verschiebungsinvarianz muss allerdings auch gelten

\begin{equation*} \tilde{\boldsymbol{y}}(t) \,\,=\,\, S\big\{\boldsymbol{v}(t-t_0)\big\}\,\,=\,\, \boldsymbol{y}(t-t_0) \end{equation*}

Bringt man die Linearitäts- und die Verschiebungsinvarianzanforderungen zusammen, so ergibt sich

\begin{equation*} e^{-s\,t_0}\boldsymbol{y}(t) \,\,=\,\, \boldsymbol{y}(t-t_0) \end{equation*}

Diese Bedingungen sind nur zu erfüllen, wenn \(y(t)\) selbst exponentiell ist!

Analog zur Herleitung im Kontinuierlichen gilt im Diskreten bei Anregung mit einer allgemeinen Exponentiellen

\( \boldsymbol{y}(n) \,\,=\,\, S\big\{\boldsymbol{V}z^{n}\big\} \)

Eine Verschiebung um \(n_0\) bewirkt

\( \boldsymbol{v}(n-n_0) \,\,=\,\, \boldsymbol{V}z^{n-n_0}\,\,=\,\, \boldsymbol{V}z^{n}z^{-n_0} \)

Die Systemreaktion darauf lautet

\( \tilde{\boldsymbol{y}}(n) \,\,=\,\, S\big\{\boldsymbol{V}z^{n-n_0}\big\}\,\,=\,\, S\big\{\boldsymbol{V}z^{n} \underbrace{z^{-n_0}}_{\begin{matrix}\text{Konstant}\\\text{bezüglich n!}\end{matrix}}\big\} \)

Durch das ziehen eines konstanten Faktors vor den Operator aufgrund der Linearität ergibt sich

\( \tilde{\boldsymbol{y}}(n) \,\,=\,\, z^{-n_0}\, \underbrace{S\big\{\boldsymbol{V}z^{n}\big\}}_{\,\,=\,\,\boldsymbol{y}(n)} \,\,=\,\, z^{-n_0}\boldsymbol{y}(n) \)

Aufgrund der Verschiebungsinvarianz ergibt sich nun

\( \tilde{\boldsymbol{y}}(n) \,\,=\,\, S\big\{\boldsymbol{v}(n-n_0)\big\}\,\,=\,\, \boldsymbol{y}(n-n_0) \)

Es folgt bei Zusammenbringen der Linearitäts- und Verschiebungsinvarianzforderungen

\( z^{-n_0}\boldsymbol{y}(n) \,\,=\,\, \boldsymbol{v}(n-n_0) \)

Diese Bedingungen sind auch hier nur zu erfüllen, wenn \( y(n) \) selbst exponentiell ist.

Fazit

Exponentielle Erregungen werden durch lineare, verschiebungsinvariante Systeme am Ausgang reproduziert, d.h. die Signalform (Schwingungsfrequenz, Dämpfungsverhalten) bleibt erhalten, es ändert sich lediglich die komplexe Amplitude. Diese (komplexwertige) Amplitudenänderung lässt sich formal beschreiben durch:

\begin{equation} \underbrace{\boldsymbol{Y}}_{\begin{matrix}\text{Vektor}\\\text{der}\\\text{Länge R}\end{matrix}} \,\,=\,\, \underbrace{\boldsymbol{H}}_{\begin{matrix}\text{Matrix}\\\text{mit}\\\text{R Zeilen}\\\text{und}\\\text{L Spalten}\end{matrix}} \underbrace{\boldsymbol{V}}_{\begin{matrix}\text{Vektor}\\\text{der}\\\text{Länge L}\end{matrix}}. \end{equation}

Anmerkungen

Im Folgenden gibt es einige Anmerkungen zu der Reaktion linearer, verschiebungsinvarianter Systeme auf Exponentielle.

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Wie würden Sie den Frequenzgang eines Systems ausmessen?

Durch Anregung des Systems mit einem Dirac-Stoß bzw. einem Einheits-Impuls. Somit lässt sich der Frequenzgang des Systems am Ausgang direkt ablesen.

Was muss für den Betrag des Frequenzgangs eines Systems gelten, welches das Eingangssignal lediglich um einige Zeit verzögert?

Der Frequenzgang des Systems hat einen konstanten Betrag \(|\boldsymbol{H}(j\omega)|\,\, = \,\,1\) bzw. \(|\boldsymbol{H}(e^{j\Omega})|\,\,=\,\,1 \)

Was muss für die Phase des Frequenzgangs des o.g. Systems gelten?

Wird das System um \(t_0\) bzw. \(n_0\) verzögert, so gilt für die Phase des Frequenzgangs des Systems \(-\omega t_0\) bzw \(-\Omega n_0\).

Signalzerlegung in Elementarsignale

Zerlegung in Impulsanteile

Zerlegung für diskrete Signale

Eine beliebige Signalfolge \(v(n)\) kann in eine Summe gewichteter Impulsfolgen (Linearkombination) gemäß

\begin{equation} v(n) \,\,=\,\, \sum\limits_{\kappa\,\,=\,\,-\infty}^{\infty} v(\kappa)\gamma_0(n-\kappa) \end{equation}

zerlegt werden. Dabei ist \(\gamma_0(n-\kappa)\) eine unendlich lange Impulsfolge mit lauter Nullen und einer Eins an der Stelle \(n\,\,=\,\,\kappa.\)

ZerlegungImp
\( v(-1)\gamma_0(n+1) \)
\( v(0)\gamma_0(n) \)
\( v(1)\gamma_0(n-1) \)
\( v(n) \)
\( v(-1) \)
\( v(0) \)
\( v(1) \)

Beweis für die diskrete Zerlegung

Basierend auf der sogenannten Ausblendeigenschaft der Impulsfolge (vgl.\eqref{AusblendDiskret} ), kann das Produkt aus Signal \(v(\kappa)\) und verschobener Impulsfolge \(\gamma_0(n-\kappa)\) wie folgt umgeformt werden:

\begin{equation*} v(\kappa)\gamma_0(n-\kappa) \,\,=\,\, v(n)\gamma_0(n-\kappa) \end{equation*}.

Summiert man nun über alle \(\kappa\), so kann durch die Ausblendeigenschaft das Signal vor die Summe gezogen werden:

\begin{equation*} \sum\limits_{\kappa \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} v(\kappa)\gamma_0(n-\kappa) \,\,=\,\, \sum\limits_{\kappa \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} v(n)\gamma_0(n-\kappa) \,\,=\,\, v(n)\sum\limits_{\kappa \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} \gamma_0(n-\kappa) \end{equation*}.

Verwendet man schließlich noch, dass die Summe über alle Elemente der Impulsfolge Eins ist (vgl. bisherige Folien), so ergibt sich die zuvor beschriebene Zerlegungsgleichung:

\begin{equation*} \sum\limits_{\kappa \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} v(\kappa)\gamma_0(n-\kappa) \,\,=\,\, v(n)\underbrace{\sum\limits_{\kappa \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} \gamma_0(n-\kappa)}_{\,\,=\,\,1} \,\,=\,\, v(n) \end{equation*}.

Zerlegung für kontinuierliche Signale

Ein beliebiges Signal \(v(t)\) kann in eine verallgemeinerte Summe (Integration) gewichteter Impulsfunktionen \(\delta_0(t-\tau)\) (Linearkombination) zerlegt werden:

\begin{equation*} v(t) \,\,=\,\, \int\limits_{\tau\,\,=\,\,\infty}^{\infty} v(\tau)\delta_0(t-\tau)\mathrm{d}\tau \end{equation*}.

Der Beweis hierzu erfolgt analog zur diskreten Herleitung. Man startet mit der Ausblendeigenschaft und setzt diese in das Integral über das Produkt aus Signal und verschobenem Dirac-Stoß ein:

\begin{equation*} \int\limits_{\tau\,\,=\,\,\infty}^{\infty} v(\tau)\delta_0(t-\tau)\mathrm{d}\tau \,\,=\,\, \int\limits_{\tau\,\,=\,\,\infty}^{\infty} v(t)\delta_0(t-\tau)\mathrm{d}\tau \,\,=\,\, v(t) \int\limits_{\tau\,\,=\,\,\infty}^{\infty} \delta_0(t-\tau)\mathrm{d}\tau \end{equation*}.

Auch hier kann die Flächenfunktion der Dirac-Funktion eingesetzt werden:

\begin{equation*} \int\limits_{\tau\,\,=\,\,\infty}^{\infty} v(\tau)\delta_0(t-\tau)\mathrm{d}\tau = v(t) \underbrace{\int\limits_{\tau\,\,=\,\,\infty}^{\infty} \delta_0(t-\tau)\mathrm{d}\tau}_{\,\,=\,\,1} \,\,=\,\, v(t) \end{equation*}.

Zerlegung in Sprunganteile

Zerlegung für diskrete Signale

Eine beliebige Signalfolge \(v(n)\) kann in eine Summe gewichteter Sprungfolgen (Linearkombination) gemäß

\begin{equation*} v(n) \,\,=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty} \underbrace{\Delta v(\kappa) \gamma_{-1}(n-\kappa)}_{\begin{matrix}\text{Sprungfolge mit}\\\text{Sprung um } \Delta v(\kappa) \\ \text{an der Stelle } n\,\,=\,\,\kappa \end{matrix}} + \underbrace{v(-\infty)}_{\begin{matrix}\text{Startwert}\\\text{(ganz "links")} \end{matrix}} \underbrace{\gamma_{-1}\big(n-(-\infty)\big)}_{\begin{matrix}\text{Sprung bei}\\ n\,\,=\,\,-\infty \end{matrix}} \end{equation*}

zerlegt werden. Die Gewichte sind dabei als Signaländerungen

\begin{equation*} \Delta v(\kappa) \,\,=\,\, v(\kappa) - v(\kappa - 1) \end{equation*}

definiert. Im Folgenden ist dieses noch einmal veranschaulicht:

ZerlegungSprung
\( v(n) \)
\( \Delta v(n) \)
\( \Delta v(-1) \gamma(n+1) \)
\( \Delta v(0) \gamma_{-1}(n) \)
\( \Delta v(1)\gamma_{-1}(n-1) \)
\( \Delta v(n) \)
\( -5 \)
\( -4 \)
\( -3 \)
\( -2 \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( n \)
\( -5 \)
\( -4 \)
\( -3 \)
\( -2 \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( n \)
\( -5 \)
\( -4 \)
\( -3 \)
\( -2 \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( n \)
\( -5 \)
\( -4 \)
\( -3 \)
\( -2 \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( n \)
\( -5 \)
\( -4 \)
\( -3 \)
\( -2 \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( n \)
\( -5 \)
\( -4 \)
\( -3 \)
\( -2 \)
\( -1 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( n \)
Umwandlung des Signals in Signaldifferenzen
Summation aller gewichteter Teilfolgen

Zerlegung für kontinuierliche Signale

Ein beliebiges Signal \(v(t)\) kann in eine verallgemeinerte Summe (Integration) gewichteter Sprungfunktionen \( \delta_{-1}(t-\tau) \) (Linearkombination) zerlegt werden:

\begin{equation*} v(t) \,\,=\,\, \int\limits_{\tau\,\,=\,\,-\infty}^{\infty} \dot{v}(\tau)\delta_{-1}(t-\tau)\mathrm{d}\tau + v(-\infty)\delta_{-1}\big(t-(-\infty)\big) \end{equation*}

mit

\begin{equation*} \dot{v}(\tau) \,\,=\,\, \frac{\mathrm{d}v(\tau)}{\mathrm{d}\tau} \,\, \big(\text{bzw. } \dot{v}(\tau) \,\,=\,\, D[v(\tau)] \text{ bei Unstetigkeit}\big). \end{equation*}

Auch die oben beschriebene Zerlegung lässt sich zumindest als Näherung anschaulich deuten (siehe hierzu Übung). Zudem wurde hier offenbar schon mehrfach beobachtet:

Die diskreten Varianten sind dabei nicht a priori als Näherung der Kontinuierlichen zu verstehen (numerische Integration). Sie können aber manchmal so verwendet werden.

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Wie sieht die Zerlegung einer Sprungfolge in Impulse aus?

\( \gamma_{-1}(n)\,\,=\,\,\sum\limits_{\kappa\,\,=\,\,-\infty}^{\infty} \gamma_0(n-\kappa) \)

Wie kann man einen Impuls in Sprungfolgen zerlegen?

\( \gamma_{0}(n)\,\,=\,\,\sum\limits_{\kappa\,\,=\,\,-\infty}^{\infty} \Delta v(\kappa)\gamma_{-1}(n-\kappa) \) mit
\( \Delta v(\kappa) \,\,=\,\, \begin{cases} 1, & \text{falls } \kappa \,\,=\,\, 0 \\[1mm] -1, & \text{falls } \kappa \,\,=\,\, 1 \\[1mm] 0, & \text{sonst } \end{cases} \)

Wozu kann man Spektralanalysen verwenden?

Die Spektralanalyse bezeichnet die Bestimmung der Spektralanteile bzw. -werte und kann somit z.B. in der Musik zur Analyse von Klängen, aber auch im Alltag beim Radio und Fernseher. Die Signale müssen zuerst in ihre Einzelkomponenten zerlegt werden, bevor diese gesendet werden können.

Zerlegung in Exponentialanteile

Der Zerlegung in Exponentielle liegt der gleiche Gedanke wie in den vorherigen beiden Zerlegungen zugrunde: Man stellt \(v(...)\) als gewichtete Summe bzw. als verallgemeinerte Summation (Integration) dar, mit Gewichten, die aus \(V(...)\) zu berechnen sind. Die Komponenten bzw. Gewichtsterme bei ihrer Frequenz \(\omega\) bzw. \(\Omega\) (bzw. den allgemeineren Variablen \(s\) bzw. \(z\)) nennt man Spektrallinie mit ihren Spektralwerten. Die Bestimmung der Spektralanteile bzw. -werte nennt man Spektralanalyse. Das Zusammensetzen der gewichteten Spektralanteile zu einem Gesamtsignal \(v(...)\) wird Spektralsynthese genannt.

Mathematisch ist der Spektralbegriff weiter gefasst: Man kann anstelle von Exponentialfunktionen auch andere, für eine Anwendung geeignete, Basisfunktionen verwenden. Für viele Fälle eignen sich Exponentialanteile aber besonders gut: Sie sind sogenannte Eigenfunktionen von linearen, zeitinvarianten Systemen.