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Signale and Systeme – Modulation

Inhalt

Grundlagen
Komplexe Modulation
Andere Modulationsverfahren
Lineare Modulationsverfahren
Zweiseitenband-Modulation
Einseitenband-Modulation
Amplituden-Modulation
Zweiseitenband-Demodulation
Einseitenband-Demodulation
AM-Demodulation
Puls-Amplituden-Demodulation
Abtasttheorem
Nichtlineare Modulation
Übertragungsstörungen
Störabstand
Digitalisierung
Quantisierung
Puls-Code-Modulation bzw. Analog-Digital-Umsetzung
Linearität bzw. Nichtlinearität
Störverhalten der Puls-Code-Modulation
Realisierungsmoeglichkeiten für Analog-Digital- bzw. Digital-Analog-Wandlungen
Prinzipien für Analog-Digital-Wandlungen
Prinzipien für Digital-Analog-Wandlungen
Quantisierungsfehler
Zusammenfassung
Winkelmodulation
Allgemeines
Phasen- und Frequenzmodulation
Systemeigenschaften
Einfluss von Störungen
Winkeldemodulation
FM-Spektren und FM-Bandbreite

Grundlagen

Komplexe Modulation

Modulation

Aus dem Vorlesungsteil über die Fourier-Transformation sind die Modulationssätze bekannt. Folgende Korrespondenzen wurden für kontinuierliche Signale gefunden:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\, V(j\omega), \\ y_{\text{c}}(t) \,=\,v(t)\,e^{j\omega_{\text{T}}t} & \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\, V\big(j(\omega-\omega_{\text{T}})\big). \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale findet man:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(n) &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\, V(e^{j\Omega}), \\ y_{\text{c}}(n) \,=\,v(n)\,e^{j\Omega_{\text{T}}n} &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, V\big(e^{j(\Omega-\Omega_{\text{T}})}\big). \end{aligned}\end{equation*}

Eine Multiplikation mit einer harmonischen Exponentiellen bewirkt eine spektrale Verschiebung um die Trägerfrequenz \(\omega_{\text{T}}\) bzw. \(\Omega_{\text{T}}\). Dies wird als Modulation bezeichnet.
Der Zweck dieser Operation ist die Anpassung des Signalspektrums an den Frequenzbereich des zu nutzenden Übertragungs-, Speicher- oder Verarbeitungsmediums!

Demodulation

Will man das Signal \(v(\dots)\) bzw. das Spektrum \(V(\dots)\) aus dem modulierten Signal \(y_{\text{c}}(\dots)\) bzw. Spektrum \(Y_{\text{c}}(\dots)\) wiedergewinnen, so ist eine erneute Multiplikation mit einer harmonischen Exponentiellen notwendig. Da dieser zweite Modulationsterm mit dem ersten "synchron" sein muss, wird diese Maßnahme auch als Synchron-Demodulation bezeichnet. Für kontinuierliche Signale gilt:

\begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{c}}(t)\,e^{-j\omega_{\text{T}}t} \,\,=\,\, v(t)\, e^{j(\omega_{\text{T}}-\omega_{\text{T}})t} \,\,=\,\, v(t). \end{aligned}\end{equation*}

Im Frequenzbereich entspricht dies ...

\begin{equation*}\begin{aligned} Y_{\text{c}}\big(j(\omega+\omega_{\text{T}})\big)\,\,=\,\, V\big(j(\omega-\omega_{\text{T}}+ \omega_{\text{T}})\big) \,\,=\,\, V(j\omega). \end{aligned}\end{equation*}

Für diskrete Signale gilt analog:

\begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{c}}(n)\,e^{-j\Omega_{\text{T}}n} \,\,=\,\, v(n)\,e^{j(\Omega_{\text{T}} -\Omega_{\text{T}})n} \,\,=\,\, v(n). \end{aligned}\end{equation*}

Im Frequenzbereich entspricht dies ...

\begin{equation*}\begin{aligned} Y_{\text{c}}(e^{j(\Omega+\Omega_{\text{T}})}) \,\,=\,\, V(e^{j(\Omega-\Omega_{\text{T}}+ \Omega_{\text{T}})}) \,\,=\,\, V(e^{j\Omega}). \end{aligned}\end{equation*}

Komplexe Modulation

Neben den bisher beschriebenen Modulationsverfahren existieren auch andere Varianten. Hier wird dann eine Anpassung des Signals nicht nur bezüglich der Frequenz vorgenommen. Es steht vor allem eine Verringerung der Fehleranfälligkeit im Vordergrund.

Die bisher beschriebene Modulation ist im Sinne der Definition dieser Vorlesung eine lineare Modulation.
... Aber sie (wie auch alle im Folgenden beschriebenen Modulationsverfahren) ist nicht verschiebungsinvariant!

Lineare Modulationsverfahren

Zweiseitenband-Modulation (ZSB-Modulation)

Verwendung von reellen Trägersignalen

Verwendet man anstelle von einer harmonischen Exponentiellen einen Cosinus-Modulationsterm, so entstehen folgende Signale:

Kontinuierliche Zweiseitenband-Modulation:

\(y_{\text{z}}(t) \) \(\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\) \(Y_{\text{z}}(j\omega)\)
\(=\,\, v(t)\,\cos(\omega_{\text{T}}t)\,\,=\,\,v(t)\,\frac{1}{2} \,\Big[e^{j\omega_{\text{T}}t}+e^{-j\omega_{\text{T}}t}\Big] \) \(=\,\,\frac{1}{2}\,\Big[V\big(j(\omega-\omega_{\text{T}})\big) + V\big(j(\omega+\omega_{\text{T}})\big)\Big].\)

Diskrete Zweiseitenband-Modulation:

\(y_{\text{z}}(n) \) \(\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\) \(Y_{\text{z}}(e^{j\Omega})\)
\(=\,\, v(n)\,\cos(\Omega_{\text{T}}n)\,\,=\,\,v(n)\,\frac{1}{2} \,\Big[e^{j\Omega_{\text{T}}n}+e^{-j\Omega_{\text{T}}n}\Big] \) \(=\,\,\frac{1}{2}\,\Big[V\big(j(\Omega-\Omega_{\text{T}})\big) + V\big(j(\Omega+\Omega_{\text{T}})\big)\Big].\)

Graphische Veranschaulichung

In folgender Graphik sind die Auswrikungen eines Cosinus-Modulationsterms auf das Ursprungssignal dargestellt




zweiseitenband_modulation_01_mit_kleinem_fehler
\(V(j\omega)\)
\(Y_{\text{C}}(j\omega)\)
\(Y_{\text{Z}}(j\omega)\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega_{\text{T}}\)
\(-\omega_{\text{T}}\)
\(\omega_{\text{T}}\)
\(\Omega_{\text{T}}\)
\(\Omega_{\text{T}}\)
\(-\Omega_{\text{T}}\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\pi\)
\(\pi\)
\(\pi\)
\(-\pi\)
\(-\pi\)
\(-\pi\)
\(Y(e^{j\Omega})\)
\(Y_{\text{C}}(e^{j\Omega})\)
\(Y_{\text{Z}}(e^{j\Omega})\)
Periodische Fortsetzung außerhalb des Bereichs \(\big[ -\pi,\,\pi\big]\)!
Im Diagramm ist eine Kleinigkeit "unglücklich"/"falsch" dargestellt ... welche?


Nachteile der Zweiseitenband-Modulation

Die Übertragung oder auch die Speicherung beider Seitenbänder würde Redundanz bedeuten. Dies ist nachteilig, insbesondere bei Frequenz-Multiplex-Übertragungen, da man hier möglichst viele Nutzer (z.B. Rundfunksender oder Telefon-Benutzer) über einen begrenzten Frequenzbereich übertragen will.
Soll die sog. Frequenzeffizienz erhöht werden, so kann man z.B. eine Einseitenband-Modulation verwenden.

Einseitenband-Modulation (ESB-Modulation)

Graphische Veranschaulichung

Bei der Einseitenband-Modulation vermeidet man die Redundanz der Zweiseitenband-Modulation, indem man nur die oberen oder die unteren Seitenbänder moduliert. Dabei bleiben die Symmetrien von reellwertigen Signalen erhalten.


einseitenband_modulation_01
\(V(j\omega)\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega_{\text{T}}\)
\(-\omega_{\text{T}}\)
\(-\Omega_{\text{T}}\)
\(\Omega_{\text{T}}\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(-\pi\)
\(-\pi\)
\(\pi\)
\(\pi\)
\(V(e^{j\Omega})\)
\(V_{\text{e}}(e^{j\Omega})\)
\(V_{\text{e}}(j\omega)\)
Periodische Fortsetzung außerhalb des Bereichs \(\big[ -\pi,\,\pi\big]\)!


Prinzipielle Realisierung

Die Einseitenband-Modulation kann durch eine Zweiseitenband-Modulation mit einer anschließenden idealen Bandpassfilterung realisiert werden.


einseitenband_modulation_realisierung_01
\(V_{\text{Z}}(j\omega)\)
\(H_{\text{BP}}(j\omega)\)
\(Y_{\text{e}}(j\omega)\)
\(V(e^{j\Omega})\)
\(V_{\text{Z}}(e^{j\Omega})\)
\(H_{\text{BP}}(e^{j\Omega})\)
\(Y_{\text{e}}(e^{j\Omega})\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(V(j\omega)\)
Periodische Fortsetzung ...


Die rechte Seite der obigen Graphik stellt dei Einseitenband-Modulation unter Verwendung der oberen Seitenbänder für kontinuierliche Signale dar! Die linke Seite bezieht sich analog dazu auf dirkete Signale.

Amplituden-Modulation (AM)

Zweiseiten-Modulation mit Träger

Eine Amplituden-Modulation kann als Zweiseiten-Modulation mit einer Trägerschwingung interpretiert werden. Sie wird für kontinuierliche Signale gemäß

\begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{a}}(t) &=& \big[1+m\,v(t)\big]\,\cos(\omega_{\text{T}}t) \,\, =\,\,\cos(\omega_{\text{T}}t) + m\,\underbrace{v(t)\,\cos(\omega_{\text{T}}t)} _{=\,y_{\text{z}}(t)} \,\,=\,\,\cos(\omega_{\text{T}}t) + m\,y_{\text{z}}t) \end{aligned}\end{equation*}

berechnet. Entsprechend gilt für diskrete Signale

\begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{a}}(n) &=& \big[1+m\,v(n)\big]\,\cos(\Omega_{\text{T}}n) \,\,=\,\, \cos(\Omega_{\text{T}}n) + m\,\underbrace{v(n)\,\cos(\Omega_{\text{T}}n)} _{=\,y_{\text{z}}}. \end{aligned}\end{equation*}


amplituden_modulation_01
\(V(j\omega)\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega_{\text{T}}\)
\(-\omega_{\text{T}}\)
\(-\Omega_{\text{T}}\)
\(\Omega_{\text{T}}\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(-\pi\)
\(-\pi\)
\(\pi\)
\(\pi\)
\(V(e^{j\Omega})\)
\(V_{\text{a}}(e^{j\Omega})\)
\(V_{\text{a}}(j\omega)\)
Periodische Fortsetzung außerhalb des Bereichs \(\big[ -\pi,\,\pi\big]\)!



Es ist zu beachten, dass bei dieser Modulationsart die Trägerschwingung zusätzlich auftritt, d.h. sie ist auch zu übertragen bzw. zu verarbeiten. Eine Amplituden-Modulation weist die gleiche (schlechte) Bandbreiteneffizienz wie eine Zweiseitenband-Modulation auf. Zusätzlich hat sie außerdem noch eine schlechtere Energie-Effizienz. Dennoch ist die Amplituden-Modulation ein klassisches, weit verbreitetes Übertragungsverfahren im Rundfunk (insbesondere im KW-, MW- und LW-Bereich). Der Grund dafür liegt in der einfachen Demodulation (es lassen sich billige Empfänger in großer Stückzahl herstellen). Dazu später mehr.

Zweiseitenband-Demodulation (ZSB-Demodulation)

Ansatz

Für die Demodulation eines ZSB-modulierten Signals wird wieder mit einem Trägersignal multipliziert. Die Frequenz ist dabei die gleiche, die auch für den Träger verwendet wurde. Man spricht dann von einer Synchron-Demodulation:

Kontinuierliche Zweiseitenband-Demodulation:

\begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{z}}(t)\,\cos(\omega_{\text{T}}t) \,\,&=\,\, v(t)\,\cos^2(\omega_{\text{T}}t)\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... cos-Theorem und Aufteilung in Exponentialterme einsetzen ...}}}\\ &=\,\, v(t)\,\frac{1}{2}\,\Big[1 + \cos(2\omega_{\text{T}}t) \Big] \,\,=\,\, v(t)\,\Big[\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\,e^{j2\omega_{\text{T}}t}+\frac{1}{4}\, e^{-j2\omega_{\text{T}}t}\Big] ,\\ &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\, \frac{1}{2}V(j\omega) + \frac{1}{4}\, V\big(j(\omega-2\omega_{\text{T}})\big) + \frac{1}{4}\,V\big(j(\omega+2\omega_{\text{T}})\big). \end{aligned}\end{equation*}

Anschließend ist eine Tiefpassfilterung notwendig, welche die Signalkomponenten bei \(\omega-\omega_{\text{t}}\) bzw. \(\omega+2\omega_{\text{t}}\) unterdrückt.

Diskrete Zweiseitenband-Demodulation:

\begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{z}}(n)\,\cos(\Omega_{\text{T}}n) \,\,&=\,\, v(n)\,\cos^2(\Omega_{\text{T}}n)\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... cos-Theorem und Aufteilung in Exponentialterme einsetzen ...}}}\\ &=\,\, v(n)\,\frac{1}{2}\,\Big[1 + \cos(2\Omega_{\text{T}}n) \Big] \,\,=\,\, v(n)\, \Big[\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\,e^{j2\Omega_{\text{T}}n}+\frac{1}{4} \,e^{-j2\Omega_{\text{T}}n}\Big] ,\\ &\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,\frac{1}{2}V(e^{j\Omega}) + \frac{1}{4} \,V\big(e^{j(\Omega-2\Omega_{\text{T}})}\big) + \frac{1}{4}\,V\big(e^{j(\Omega+2\Omega_{\text{T}})}\big). \end{aligned}\end{equation*}

Anschließend ist eine Tiefpassfilterung notwendig, welche die Signalkomponenten bei \(\Omega-\Omega_{\text{t}}\) bzw. \(\Omega+2\Omega_{\text{t}}\) unterdrückt.
Am Ausgang des Tiefpassfilters liegt dann (vorausgesetzt die (einseitige) Bandbreites des Signals \(v(\dots)\) ist kleiner als die Trägerfrequenz) das gewichtetet Eingangssignal \(\frac{1}{2}v(\dots)\) vor!

Folgende Graphik noch um Lösungsskizze ergänzen


zweiseitenband_modulation_demodulation_aufgabe_01
Spektrum von \(v(t)\)
Spektrum eines geeigneten Tiefpassfilters
Spektrum des Ausgangssignals
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega\)
Spektrum von \(v(t)\,\cos(\omega_{\text{T}}t)\)
\(\omega_{\text{T}}\)
\(2\omega_{\text{T}}\)
\(\omega_{\text{T}}\)
\(2\omega_{\text{T}}\)
\(2\omega_{\text{T}}\)
\(\omega_{\text{T}}\)
\(\omega_{\text{T}}\)
\(2\omega_{\text{T}}\)
\(-\omega_{\text{T}}\)
\(-\omega_{\text{T}} \)
\(-\omega_{\text{T}}\)
\(-\omega_{\text{T}}\)
\(-2\omega_{\text{T}}\)
\(-2\omega_{\text{T}}\)
\(-2\omega_{\text{T}}\)
\(\omega\)
Spektrum von \(v(t)\,\cos(\omega_{\text{T}}t)\cos(\omega_{\text{T}}t)\)



Die Modulationen auf der Sende- und auf der Empfangsseite arbeiten (im Allgemeinen) mit Trägersignalen, die nicht gleichzeitig / am selben Ort erzeugt wurden. Nimmt man auf der Empfangsseite Trägerfrequenzfehler bzw. Trägerphasenfehler an, dann verwendet man für die kontinuierliche Demodulation das Modulationssignal

\begin{equation*}\begin{aligned} \cos\big( (\omega_{\text{T}} + \Delta\omega)t+\varphi\big) \end{aligned}\end{equation*}

bzw. für diskrete Signale

\begin{equation*}\begin{aligned} \cos\big( (\Omega_{\text{T}} + \Delta\Omega)t+\varphi\big). \end{aligned}\end{equation*}

Dabei ist \(\Delta\Omega\) die Trägerfrequenz und \(\phi\) der Trägerphasenfehler.
Auf eine entsprechende Herleitung im Diskreten wird im Folgenden verzichtet, da diese völlig analog zu den kontinuierlichen Überlegungen verläuft.

Schwierigkeiten bei der Demodulation

Im Kontinuierlichen ergibt sich für eine Demodulation mit einem fehlerbehafteten Trägersignal:

\begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{z}}(t)\,\cos\big((\omega_{\text{T}}+\Delta\omega)t+\varphi\big) \,\,&=\,\, v(t)\,\cos(\omega_{\text{T}}t)\,\cos\big((\omega_{\text{T}}+\Delta\omega)t+\varphi\big)\\ \,\,&=\,\, v(t)\,\frac{1}{2}\,\Big[\cos\big((2\,\omega_{\text{T}}+\Delta\omega)t +\varphi\big )+\cos\big(\Delta\omega t+\varphi\big ) \Big]. \end{aligned}\end{equation*}

Durch eine geeignete Tiefpassfilterung kann der Signalanteil rund um \(2\,\omega_{\text{T}}+\Delta\omega \) entfernt werden. Damit erhält man für das demodulierte, tiefpassgefilterte Signal:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t)\,\frac{1}{2}\,\cos\big(\Delta\omega t+\varphi\big ). \end{aligned}\end{equation*}

Im Spektrum entspricht dies zwei verschobenen Teilspektren, die sich nicht zu \(\frac{1}{2}V(j\omega)\) überlagern! Dies führt zu starken Verzerrungen.

zweiseitenband_demodulation_03
Spektrum von \(v(t)\)
Spektrum von \(v(t)\,\frac{1}{2}\, \cos(\Delta\omega t+\varphi)\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\Delta\omega\)
\(-\Delta\omega\)



Nimmt man an, dass es keine Trägerfrequenzfehler gäbe (dies ist mit einigem Aufwand verbunden), d.h. \(\Delta\omega\,\,=\,\,0\), so bleiben noch Phasenfehler übrig:

\begin{equation*}\begin{aligned} v(t)\,\frac{1}{2}\,\cos\big(\varphi\big). \end{aligned}\end{equation*}

Diese sind aber unkritisch, solange \(\varphi \ll \frac{\pi}{2}\) bleibt. In diesem Fall gilt \(\cos\big(\varphi\big)\,\,\approx\,\, 1\). Es ist daher keine perfekte, aber eine gute Phasensynchronisation notwendig.

Einseitenband-Demodulation (ESB-Demodulation)

Ansatz

Die Demodulation eines einseitenband-modulierten Signals geschieht analog zur Demodulation eines zweiseitenband-modulierten Signals, d.h. mittels Multiplikation mit einem cosinus-Träger entsprechender Frequenz und anschließender Tiefpassfilterung:

\begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{e}}(t)\,\cos\big((\omega_{\text{T}}+\Delta\omega)\,t+\varphi\big ). \end{aligned}\end{equation*}

Es werden dabei Frequenz- und Phasenfehler angenommen!

Ist der Frequenzversatz klein und positiv, so sind Frequenzfehler bei der Einseitenband-Demodulation unkritischer als bei der Zweiseitenband-Demodulation.

Phasenfehler bewirken lediglich einen zusätzlichen Phasenterm im Ausgangsspektrum und sind i.A. vollkommen unkritisch.

einseitenband_demodulation_01_03
Spektrum von \(v(t)\)
Spektrum von \(y_{\text{e}}(t)\)
Spektrum des demodulierten Signals (tiefpassgefiltert)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega\)

AM-Demodulation

Ansatz

Grundsätzlich ist eine Amplituden-Modulation eine Zweiseitenband-Modulation mit Träger, d.h. man benötigt eine Synchron-Demodulation wie bei der Zweiseitenband-Demodulation. Allerdings kann hier ein viel einfacherer Ansatz angewendet werden:

Man kann ein amplituden-moduliertes Signal zunächst gleichrichten und dann tiefpassfiltern (mit einem sehr einfachen Tiefpassfilter, zur Unterdrückung des Trägers [im einfachsten Fall: Diode und einfaches RC-Glied]).

Beispiel: \(v(t)\,\,=\,\,\cos\big(\omega_{\text{v}}\,t\big)\) mit \(\omega_{\text{v}}\ll \omega_{\text{T}}\)

AMDemod
\(y_a(t)\)
\(y_z(t)\)
\(\leftarrow \text{ Einhüllende } v(t)\cdot m\)


Auf eine entsprechende Erläuterung im Diskreten wird verzichtet, da diese völlig analog zu den kontinuierlichen Überlegungen verläuft.

Bei einer Amplituden-Modulation steckt die (Nutz-Signal-) Information in der momentanen Amplitude des Trägers. Bei einer Puls-Amplituden-Modulation steckt die Information in den Momentangewichten der Trägerimpulse. Als "Trägersignal" wird hier eine Impulsfolge

\begin{equation*}\begin{aligned} p(t) \,\,=\,\, T_{\text{A}}\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta_0(t-nT_{\text{A}}) \end{aligned}\end{equation*}

verwendet. Wie aus dem Transformationsteil der Vorlesung bekannt ist, gilt für das zugehörige Spektrum:

\begin{equation*}\begin{aligned} P(j\omega) \,\,=\,\, 2\pi\,\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty}\delta_0\left(\omega- \mu\frac{2\pi}{T_{\text{A}}}\right). \end{aligned}\end{equation*}

Zur Modulation wird das Nutzsignal \(v_0(t)\) mit der Trägerimpulsfolge multipliziert:

\begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{p}}(t) \,\,&=\,\, v_0(t)\,p(t) \,\,=\,\,T_{\text{A}}\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}v_0(t)\,\delta_0(t-nT_{\text{A}})\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion ...}}}\\ \,\,&=\,\, T_{\text{A}}\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}v_0(nT_{\text{A}}) \,\delta_0(t-nT_{\text{A}}). \end{aligned}\end{equation*}

Bezeichnet man das abgetastete Signal \(v_0(nT_{\text{A}})\) als \(v(n)\), d.h. es gilt

\begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{p}}(t) \,\,&=\,\, T_{\text{A}}\,\sum\limits_{n=-\infty} ^{\infty}v_0(nT_{\text{A}})\,\delta_0(t-nT_{\text{A}})\\ \,\,&=\,\, T_{\text{A}}\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}v(n)\,\delta_0(t-nT_{\text{A}}), \end{aligned}\end{equation*}

so ergibt sich der erste Schritt einer Analog-Digital-Wandlung (AD-Wandlung). \(v(n)\) ist dabei als Folge von Abtastwerten, d.h. eine Zahlenfolge / diskretes Signal, zu verstehen.

Die Multiplikation mit der Trägerimpulsfolge \(p(t)\) entspricht einer Faltung im Spektralbereich mit \(P(j\omega)\), welche wiederum eine Impulsfolge ist, d.h. es gilt für das Spektrum des puls-amplituden-modulierten Signals:

\begin{equation*}\begin{aligned} Y_{\text{p}}(j\omega) \,\,=\,\, T_{\text{A}}\,\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} V_0\left(j(\omega-\mu\frac{2\pi}{T_{\text{A}}})\right). \end{aligned}\end{equation*}

Picture1
\(v_0(t)\)
\(p(t)\)
\(y_p(t)\)
\(t\)
\(t\)
\(t\)
\(\cdot\)
\(=\)
\(*\)
\(=\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(V_0(j\omega)\)
\(P(j\omega)\)
\(Y_p(j\omega)\)
\(-\frac{4\pi}{T_A}\)
\(-\frac{2\pi}{T_A}\)
\(\frac{2\pi}{T_A}\)
\(\frac{4\pi}{T_A}\)
\(-\frac{4\pi}{T_A}\)
\(-\frac{2\pi}{T_A}\)
\(\frac{4\pi}{T_A}\)
\(\frac{2\pi}{T_A}\)
\(\downarrow\) Fourier-Transformation \(\downarrow\)
\(2\pi\)



Offenbar bewirkt die Abtastung (mit der idealen Dirac-Impulsfolge) eine periodische Wiederholung des Spektrums mit der Periode

\begin{equation*}\begin{aligned} \omega_p \,\,=\,\,\frac{2\pi}{T_{\text{A}}} \,\,=\,\, 2\pi\,f_{\text{A}}\,\,=\,\,\omega_{\text{A}}, \end{aligned}\end{equation*}

also mit Abtastfrequenz \(f_{\text{A}}\).

Aufgrund der Periodizität kann auch ein Zusammenhang mit der Fourier-Transformation der Folge \(v(n)\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,V(e^{j\Omega})\) hergestellt werden. Hierbei gilt

\begin{equation*}\begin{aligned} V(e^{j\Omega})\,\,=\,\,Y_{\text{p}}(j\omega) \qquad \text{mit} \qquad \Omega \,\,=\,\,\omega\,T_{\text{A}} \,\,=\,\,\frac{\omega}{f_{\text{A}}} \,\,=\,\,\frac{2\pi\,f}{f_{\text{A}}}. \end{aligned}\end{equation*}

Puls-Amplituden-Demodulation

Demodulationsprinzip

Gemäß der vorherigen graphischen Veranschaulichung kann man die Puls-Amplituden-Modulation als Zweiseitenband-Modulation auffassen, allerdings mit unendlich vielen parallelen Trägern bei \(\omega_{\text{T}} \,=\,\mu\,\omega_{\text{A}},\,\,\mu\,\in\,\mathbb{Z}\). Es stellen sich daher die Fragen:

Beides wird nicht gebraucht. Die Demodulation kann auf einfache Weise durch ideale Tiefpassfilterung, wenn \(\omega_{\text{A}} \,=\,2\omega_{\text{g}}\) oder durch einfache Tiefpassfilterung (Filter mit endlicher Steilheit), wenn \(\omega_{\text{A}} \,> \,2\omega_{\text{g}}\) ist, durchgeführt werden.

pam2
\( V_0(j\omega) \)
Tiefpass mit entsprechender Grenzfrequenz
\( \xleftarrow{\quad} \)
\(0 \)
\( \omega_{\text{g}} \)
\( \omega_{\text{A}} \)
\( 2\omega_{\text{A}}\)
\( -\omega_{\text{g}} \)
\( -\omega_{\text{A}}\)
\( -2\omega_{\text{A}} \)
\(\omega \)


Interpretation der Tiefpass-Demodulation im Zeitbereich

Das Signal \(y_{\text{p}}\) besteht aus einer Folge von gewichteten Dirac-Impulsen im Abstand \(T_{\text{A}}\). Nach der Tiefpassfilterung erhält man daraus eine Folge von gewichteten Tiefpassimpulsantworten. Für ein ideales Tiefpassfilter mit Grenzfrequenz \(\omega_{\text{1}} \,=\,\omega_{\text{A}}/ 2\) ergibt sich die Impulsantwort

\begin{equation*}\begin{aligned} h_0(t) \,\,=\,\,\frac{\omega_{\text{A}}}{2\pi}\,\frac{\sin(\frac{\omega_{\text{A}}} {2}t)}{\frac{\omega_{\text{A}}}{2}t}, \end{aligned}\end{equation*}

mit äquidistanten Nulldurchgängen in

\begin{equation*}\begin{aligned} t \,\,=\,\,\nu\,\frac{2\pi}{\omega_{\text{A}}}\,\,=\,\,\nu\,T_{\text{A}}. \end{aligned}\end{equation*}

Dies ist in folgender Graphik dargestellt:

imp_ant_id_tp_01
\( h_0(t) \)
\( \xleftarrow{\,\,\,\,} \)
\( \frac{\omega_{\text{A}}} {2\pi}=\frac{1}{T_{\text{A}}} \)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\( T_{\text{A}} \)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\( 2\, T_{\text{A}}\)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\( 3\,T_{\text{A}} \)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(4\,T_{\text{A}}\)
\(t\)


Durch Überlagerung (Gewichtung und Verschiebung) solcher Funktionen erhält man schließlich den kontinuierlichen Verlauf des demodulierten Signals.

Aufgabe:

Bitte versuchen Sie das demodulierte Signal für folgendes Eingangssignal zu zeichnen:

beispiel_ausgangssignal_pam_01
\( y_{\text{p}}(t) \)
\( -\frac{1}{3} \)
\( 1 \)
\( -\frac{1}{3} \)
\( T_{\text{A}} \)
\( t \)


Zum Anzeigen oder Verbergen der Lösung bitte den Button rechts betätigen.

Durch Anklicken der Graphik kann diese in einem neuen Fenster in voller Auflösung betrachtet werden.
Das rote Signal ist das demodulierte Signal. Es entsteht durch die Überlagerung der bei den jeweiligen Peaks platzierten si-Funktionen.
Die Überlagerung der \(\frac{\sin(x)}{x}\)-Verläufe führt auf einen kontinuierlichen Signalverlauf. Zu den Abtastzeitpunkten sind nahezu alle Funktionswerte der Überlagerung Null, bis auf einen. Die Abtastwerte bleiben damit unverändert, es wird lediglich dazwischen interpoliert – und zwar ideal! Daraus folgt, dass \(v_0(t)\) bzw. \(V_0(j\omega)\) eindeutig und ideal wiedergewonnen werden können – die Abtastwerte beschreiben das Signal vollständig

Abtasttheorem

Konsequenz aus den bisherigen Überlegungen

Die Tiefpass-Demodulation ist offenbar nur dann möglich, wenn \(\omega_{\text{A}}-\omega_{\text{g}}\geq \omega_{\text{g}}\) gilt.

Bei Verletzung dieses "Abtasttheorems“" ergeben sich (siehe Graphiken zuvor) spektralem Überlappungen (diese werden „Alias-Anteile“ bzw. „Aliasing“ genannt), eine Wiedergewinnung von

\begin{equation*} V_0(j\omega)\,\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,\,v_0(t) \end{equation*}

ist dann nicht möglich.

Nichtlineare Modulation

Übertragungsstörungen

Grundlegende Überlegungen

Auf dem Übertragungskanal (bzw. bei der Speicherung oder der Verarbeitung mit reale Geräten) kommen zum Nutzsignal Störungen hinzu. Diesen können

Diese Störungen verändern bzw. verfälschen die Signalamplitude, welche aber bei linearer Modulation gerade die Information über das zu übertragende Signal \(v(t)\) trägt (AM, PAM).

Kanalstörungen gehen unmittelbar in Störungen des demodulierten Signals über, der "Störabstand" am Ausgang ist daher (höchstens) so groß wie der auf dem Kanal.

Störabstand

Definition des Störabstands:
Der "Störabstand" wird auch als Signal-zu-Geräusch-Verhältnis bzw. im Englischen als signal-to-noise ratio (SNR) bezeichnet. Er ist definiert über das Verhältnis von
\(S\) (= Nutzsignalleistung) zu
\(N\) (= Störleistung)
als logarithmisches Maß: \begin{equation} \frac{SNR}{\textrm{dB}} \,\,=\,\,10\,\log_{10} \left\{ \frac{S}{N}\right\}. \end{equation} Sie kann als unendlich dichte Überlagerung von allgemeinen Exponentialfunktionen angesehen werden.

Beispiele:

Gute Telefonverbindung: \(SNR\,\,\approx\,\,40\,\textrm{dB}\quad \longrightarrow\quad S \,\,\approx\,\,10^4\,N. \)
Gute Rundfunkverbindung: \(SNR\,\,\approx\,\,60\,\textrm{dB}\quad \longrightarrow\quad S \,\,\approx\,\,10^6\,N.\)

Vorsicht: die oben genannten Zahlen stellen Leistungsverhältnisse dar – für die entsprechenden Amplitudenverhältnisse gilt dann \(\sqrt{S} \,\, \approx\,\,10^{2\,...\,3}\,\sqrt{N}\).

Anmerkungen:

Bei linearer Modulation gilt für den Störabstand am Ausgang \(SNR_{\text{Ausgang}}\,\,\le\,\,SNR_{\text{Kanal}}\). Hierbei hat man den Nachteil, dass mit wachsender Länge der Übertragungsstrecke (bzw. bei mehrfacher Verarbeitung) der Rauschanteil zumeist proportional zur Länge wächst (sog. Fehlerakkumulation).
Sowohl die Abhängigkeit vom Kanal-SNR als auch von der Länge der Übertragungsstrecke kann durch nichtlineare Modulation vermieden werden. Der Nachteil (Preis) dabei ist die erhöhte Bandbreite (im Vergleich zu Zweiseitenband-Modulation oder Amplituden-Modulation).

Im Folgenden werden nun nichtlineare Techniken besprochen:

Digitalisierung

Quantisierung

Grundidee

Ein System mit dem unten skizzierten Zusammenhang \(v_{\text{Q}} \,=\, f(v)\) erlaubt das Vermeiden der Störungsakkumulation.

quantisierung_01
\( v_{\text{Q}} \)
\( v \)
\( Q\)
\( 3\,Q\)
\( Q/2\)
\(5 Q/2\)
\( v_{\text{Q}}(t) \)
\( t \)
\( n\,T_{\text{A}}\)
\( v(t) \)
\( t \)
\( n\,T_{\text{A}}\)
Bezeichnung:
"Quantisierungs-
kennlinie"


\(v_Q(t)\) hat nur noch diskrete Werte, während \(v(t)\) alle Werte kontinuierlich annehmen kann. Man nennt das: \(v(t)\) wird quantisiert und ist dann als \(v_Q(t)\) wertdiskret.

Vor- und Nachteile der Wertdiskretisierung

Beispiel: Für das Signal \(v_{\text{Q}}(t)= 7/2\,Q\) für \(t\,\in\,(t_1,\,t_2)\) darf eine Störung mit \(|n(t)|\,<\,Q/2\) hinzukommen und man würde (weil nur diskrete Werte \(v_{\text{Q}}\,= iQ+Q/2\) erlaubt sind!) richtig "entscheiden" können, so dass wieder \(v_{\text{Q}}(t)+n(t)\,= iQ+Q/2\) (also für das Beispiel hier wieder \(v_{\text{Q}}(t)+n(t)\,= 7/2\,Q\) gilt).

Technische Nutzung: Eine "Entscheider"-Elektronik (repeater) kann für Signale \(v_{\text{Q}}(t)+n(t)\), die mit hinreichend kleinen Abstand quantisiert wurden, die Störung \(n(t)\) wieder beseitigen,d.h. \(v_{\text{Q}}\) wieder fehlerfrei regenerieren!

Dennoch hat eine Quantisierung auch Nachteile: Man hat stets

\begin{equation*}\begin{aligned} v_{\text{Q}}(t)&\ne& v(t),\\ v_{\text{Q}}(t)&=& v(t) + \Delta v(t). \end{aligned}\end{equation*}

Es entstehen also Quantisierungsfehler. In den bisherigen Beispielen galt hierbei

\begin{equation*}\begin{aligned} \Delta v(t) \,\,\in\,\,\left[ -\frac{Q}{2},\,\frac{Q}{2}\right). \end{aligned}\end{equation*}

Zusammenfassend kann man erwähnen, dass Bei richtig eingestellter Quantisierung ein unvermeidbarer Fehler entsteht, der allerdings nur einmalig auftritt. Außerdem hängt das SNR nur von der Quantisierung ab, nicht mehr von der Kanallänge.

Diese Idee lässt sich natürlich mit einer Puls-Amplituden -Modulation (PAM) bzw. einer Abtastung verbinden und damit auf zeitdiskrete Signale anwenden:

\begin{equation*}\begin{aligned} &v_{\text{p}}(t) \,\,=\,\,T_{\text{A}}\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\underbrace{v(n)} _{=v_0(nT_{\text{A}})}\,\delta_0(t-nT_{\text{A}})\\ &\Downarrow\\ &\text{Quantisierung}\\ &\Downarrow\\ &\text{Zeit- und wertdiskrete Werte: }v(n)\,\,\Rightarrow\,\, v_{\text{Q}}(n) \end{aligned}\end{equation*}

Zeit- und Wertdiskretheit zusammen wird als "digital" bezeichnet!

Es gibt auch andere Quantisierungskennlinien, diese werden z.B. in der Vorlesung "Digitale Signalverarbeitung" behandelt.

Puls-Code-Modulation bzw. Analog-Digital-Umsetzung

Grundidee

Da das Signal \(v_{\text{Q}}(t)\) nur bestimmt Werte (hier \(iQ+Q/2,\,i\,\in\,\mathbb{Z}\)) annimmt, kann man die Elemente dieser Werte-Folge nun auch durch die ganzen Zahlen \(i\) darstellen bzw. codieren. Eine Zahl \(i\) besteht aus Ziffern (englisch: digits), die z.B. dezimal sein können und – technisch oft – binär gewählt sind ("binary digits = bits").

In der Praxis besteht eine Zahl aus endlich vielen Ziffern (z.B. für eine Übertragung oder eine weitere Verarbeitung). Die Anzahl der Ziffern (insbesondere auch der Bits) heißt Wortlänge \(w\).

Eine Binärzahl mit \(w\) Bits hat \(2^{w}\) mögliche Werte. Die zuvor skizzierte Quantisierungskennlinie wäre dann (für symmetrische Signale \(v(\dots)\)) sinnvollerweise wie rechts dargestellt auszulegen.

quantisierung_02
\( i \)
\( v \)
\( 2^{w-1}\)
\( 1\)
\( 0\)
\( -1\)
\( -2\)
\( -(2^{w-1})\)
\( -Q\)
\( -2Q\)
\(2^{w-1}\,Q\)
\(-(2^{w-1}\,Q)\)
\( D\,=\,2^w\,Q \)


Konsequenzen der Quantisierung

Durch die Quantisierung ergibt sich stets ein begrenzter Aussteuerungsbereich \(D\), d.h. \(v(t)\) darf nicht beliebig groß werden (wie aber in allen "analogen Geräten" auch). Zu große Signale verursachen Übersteuerungen.

Diese Übersteuerung kann man durch Erweiterung des Aussteuerungsbereichs \(D\) reduzieren. Die Folge davon wäre aber (bei unveränderter Wortlänge \(w\)) eine Vergrößerung des Quantisierungsfehlers \(Q\). Will man also sowohl Übersteuerungen als auch Quantisierungseffekte verringern, so muss man sowohl \(D\) als auch \(w\) erhöhen.

Bezeichnungen

Es gilt:

\begin{equation*}\begin{aligned} & \boldsymbol{\text{Abtastung (=PAM) + Quantisierung + Codierung (binär)}}\\ & \boldsymbol{=\,\,\text{Analog-Digital-Umsetzung (ADU)}} \end{aligned}\end{equation*}

Die Verwendung dieser digitalen Darstellung der Abtastwerte wird in der Übertragungstechnik als Puls-Code-Modulation bezeichnet. Dabei wird ein Bitstrom aus \(w\) Bits/Wert, d.h. mit einer Bitrate von \(f_{\text{B}}\,=\,\omega_ {\text{A}}\) übertragen. Die \(w\) Bits müssen nicht einer unmittelbaren Nummerierung von \(-2^{w-1}\) bis \(2^{w-1}-1\) entsprechen

Linearität bzw. Nichtlinearität

Bezeichnungen

Die durch die bisherigen Überlegungen beschriebenen Quantisierungssysteme (stets "Treppenkurven") sind immer nicht-linear, d.h. das Überlagerungsprinzip gilt hier nicht. Man spricht (trotzdem) von linearer Quantisierung, linearer Puls-Code-Modulation (PCM) bzw. linearer Analog-Digital-Umsetzung (ADU), wenn man durch die Kennlinie eine Gerade legen kann. Dies ist offenbar gleichbedeutend mit: \(Q\,=\,\text{const.}\). Nicht-lineare Quantisierungen, Puls-Code-Modulationen bzw. Analog-Digital-Umsetzungen verwenden dann offenbar eine gekrümmte Kennlinie, d.h. es gilt \(Q\,=\,Q(v)\).

Störverhalten der Puls-Code-Modulation

Konsequenzen aus der Quantisierung

Die Übertragung der einzelnen Bits \(\in\,\{ 0,\,1\}\) kann z.B. durch Spannungen \(\in\,\{ -5\,\textrm{V},\,5\,\textrm{V}\}\) geschehen. Nun sind StÖrungsspannungen von bis zu \(\pm (5-\epsilon)\,\textrm{V}\) (= (halbe PCM-Signal-Amplitude des Bitstroms) zulässig und führen nicht zu Fehlern beim "Entscheiden". Dies bewirkt eine drastische Erhöhung der Störungsfestigkeit auf dem Kanal. Der Preis dafür ist eine im Vergleich zur Puls-Amplituden-Modulation um das \(\omega\)-fache höhere Bandbreite.

Realisierungsmoeglichkeiten für Analog-Digital- bzw. Digital-Analog-Wandlungen

Grundlegendes

Die Wortlänge \(\omega\) ist eine wichtige Größe bei Analog-Digital- bzw. Digital-Analog-Wandlungen:
Sie beeinflusst maßgeblich die Qualität (je mehr Bits, je genauer). Aber auch der Aufwand steigt mit größer werdender Wortlänge (bzw. die Bandbreite \(f_{\text{B}}\) bei Übertragungen wird größer, bzw. es erhöht sich der Schaltungsaufwand).

Möglichkeiten der AD- bzw. DA-Wandlung

Im Prinzip muss bei der AD-Wandlung ein Vergleich mit allen erlaubten Werten \(iQ+Q/2\) (Referenzwerten) durchgeführt werden. Dies kann ...

... gleichzeitig geschehen. Dann sind \(2^{\omega}\) Referenzen und \(2^{\omega}\) Komparatoren parallel notwendig.
... Alternativ kann dies auch sukzessiv geschehen. Dann braucht man eine "hochlaufende" Referenz und einen
\(\quad\)Komparator. Dieses Wandlungsprinzip ist langsamer, aber auch billiger, da weniger Bauteile benötigt werden.

Alternativ können auch Mischformen aus beiden Wandlungsprinzipien verwendet werden. Diese werden in der Vorlesung "Digitale Signalverarbeitung" (DSV) behandelt.

Prinzipien für Analog-Digital-Wandlungen

Der Komparator als Grundbaustein

Ein Komparator kann durch folgende Kennlinie beschrieben werden:

\begin{equation*}\begin{aligned} y(...)\,\,=\,\, \begin{cases} 1, & \textrm{falls}\,\, v_1(...)\,\le\,v_2(...), \\ 0, & \textrm{sonst}. \end{cases}. \end{aligned}\end{equation*}

Er wird im folgenden durch dieses Symbol dargestellt:

komparator_01
\( v_1(\dots)\)
\( v_2(\dots)\)
\( K \)
\( y(\dots)\)

Parallel-Wandler

Wie bereits beschrieben benötigt man hier \(2^w-1\) (exakte) Referenzen und \(2^w-1\) Komparatoren.

parallelwandler_01
\( (2^{w-1}-1)\,Q\)
\(Q\)
\(0\)
\(v(n)\)
\( K \)
\( K \)
\( K \)
\( K \)
\( K \)
Umcodierung (Logik)
\(i(n)\)
\(-Q\)
\(- (2^{w-1}-1)\,Q\)
(binär)
Detektion der "obersten" 1
\(2^w-1\) Vergleichsergebnisse
\(\downarrow\)

Serieller (Zähl-) Wandler


saegezahn_generator_01
\(s(t)\)
\(-D/2\)
\(T_{\text{A}}\)
\(D/2\)
\(t\)
\(\downarrow\)
impuls_generator_01
\(2^w\) Imp.
\(T_{\text{A}}\)
\(t\)
\(f_{\text{imp}}\,=\, 2^w\,f_{\text{A}}\)
\(\downarrow\)
serieller_wandler_01
\(f_{\text{imp}}\)
UND-Gatter
Zähler
\(K\)
\(s(t)\)
\(v(n)\)
Sägezahn-
generator
Impuls-
generator
\(i(n)\)
\(d(t)\)


puls_dauer_modulation_01
\(d(t)\)
\(t\)
\(T_{\text{A}}\)
\(T_{\text{k}}\)
\(\uparrow\)

Die Pulsdauer beträgt dabei

\begin{equation*}\begin{aligned} d(t)\,=\, \begin{cases} 1, & \textrm{solange}\,v(n)>s(t), \\ 0, & \textrm{sonst} \end{cases} \end{aligned}\end{equation*}

und die Rechtecklänge

\begin{equation*}\begin{aligned} T_{\text{K}}(n) \,=\,\big[ D/2+v(n) \big]\,T_{\text{A}}/D. \end{aligned}\end{equation*}

Der Zähler zählt die "1"-Impulse nach dem Und-Gatter. Die Anzahl ist proportional zu \(T_{\text{K}}\) bzw. zu \(v(n)\). Daraus entsteht dann \(i(n)\).

Prinzipien für Digital-Analog-Wandlungen

Grundidee

Man interpretiert die Binärzahl \(i(n)\) (als unmittelbar "durchnummerierte" Dualzahl) gemäß

\begin{equation*}\begin{aligned} i \,\, = \,\, \pm \sum\limits_{\nu=0}^{w-2} \xi_{\nu}\,2^{\nu} \qquad \textrm{ganzzahlig, mit}\,|i| \,\le\,2^{w-1}-1. \end{aligned}\end{equation*}

Häufig wird in der Signalverarbeitung auch eine normierte Darstellung (Normierung \(\hat i = i / 2^{w-1}\)) gemäß

\begin{equation*}\begin{aligned} \hat i \,\, = \,\, \pm \sum\limits_{\nu=0}^{w-2} \xi_{\nu}\,2^{-w+1+\nu} \end{aligned}\end{equation*}

verwendet. Dabei sind:

\(\xi_0, \, ...,\, \xi_{w-2} \): Bits \(\in \{0,1\}\) mit Wertigkeit 1 bzw. \(2^{-w+1} \) (in der normierten Darstellung),
\(\xi_{w-1}\qquad \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\): das Vorzeichenbit (most significant bit).

Die \(w\) Bits müssen nun einen "Analogwert" \(v_{\text{Q}}(n)\) (z.B. eine Spannung) erzeugen, der (idealisiert) als Impuls (in quantisierter Form) ausgegeben wird:

\begin{equation*}\begin{aligned} i(n) \,\,\Longrightarrow\,\,v_{\text{Q}}(n)\,\delta_0(t-nT_{\text{A}}). \end{aligned}\end{equation*}

Mögliche Anordnung

Schalter, die durch Bits „gesetzt“ werden:

da_wandler_prinzip_01
\(u\)
\(U_0\)
\(-U_0\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(R_0\)
\(R_1\)
\(R_{w-4}\)
\(R_{w-3}\)
\(R_{w-2}\)
\(R\)
\(\xi_{0}\)
\(\xi_{1}\)
\(\xi_{w-4}\)
\(\xi_{w-3}\)
\(\xi_{w-2}\)
\(\xi_{w-1}\,\,\leftarrow\,\,\text{Vorzeichenbit}\)


Analyse für \(\xi_{\mu} \,=\,1,\,\,\xi_{\nu}\,=\,0\,\,\, \forall\,\nu\,\ne\,\mu\):

\begin{equation*}\begin{aligned} u\,=\,u_{\mu}\,=\,\pm \frac{U_0}{R_{\mu}\,G_{\Sigma}}\,\sim\,\frac{1}{R_{\mu}}, \end{aligned}\end{equation*}

mit

\begin{equation*}\begin{aligned} G_{\Sigma}\,=\,\sum\limits_{\nu=0}^{w-2} \frac{1}{R_{\nu}}. \end{aligned}\end{equation*}

Wegen der Linearität gilt insgesamt:

\begin{equation*}\begin{aligned} u \,=\, \pm \frac{U_0}{G_{\Sigma}}\,\sum\limits_{\nu=0}^{w-2}\xi_{\nu}\, \frac{1}{R_{\nu}} \,=\,v_{\text{Q}}. \end{aligned}\end{equation*}

Daraus ergibt sich die Forderung (bei Vernachlässigung des Offsets):

\begin{equation*}\begin{aligned} R_{\nu}\,G_{\Sigma} \,=\,2^{-\nu}, \,\,\nu\,\in\,\{0,\,...,\,w-2\}. \end{aligned}\end{equation*}

Hierbei ist es schwierig, die geforderten Widerstandswerte gut zu treffen (vor allem, aufgrund des großen Bereichs).

Schaltungsanalyse

Das Nachvollziehen des Verhalten für ein einzeln gesetztes Bit und für den allgemeinen Fall findet in der Vorlesung an der Tafel statt. Es wird davon ausgegangen, dass das Vorzeichenbit entsprechend gesetzt wurde.

da_wandler_prinzip_02
\(u\)
\(U_0\)
\(R\)
\(R_0\)
\(R_1\)
\(R_\mu\)
\(R_{w-3} \)
\(R_{w-2}\)
\(\xi_0\)
\(\xi_1\)
\(\xi_\mu\)
\(\xi_{w-3}\)
\(\xi_{w-2}\)

Quantisierungsfehler

Modellierung von Quantisierungsfehlern

Die Quantisierung geschieht während der Analog-Digital-Wandlung. Messbar wird dieser Fehler, aber erst, nachdem wieder digital-analog gewandelt wurde. Bei Verwendung der Kennlinien der bisherigen Überlegungen wurde eine (vernünftige) Zuordnung

\begin{equation*}\begin{aligned} v_{\text{Q}} \,\,=\,\, iQ+\frac{Q}{2}, \end{aligned}\end{equation*}

d.h. die Mitte des Intervalls, aus dem \(v\) kommt, gewählt. Für die Fehlerbeschränkung gilt damit

\begin{equation*}\begin{aligned} \big|\Delta v(n)\big| \,\,\le\,\,\frac{Q}{2}. \end{aligned}\end{equation*}

Andere Kennlinien/Zuordnungen liefern gleiche oder größere Grenzen (Details in der Vorlesung "Digitale Signalverarbeitung"). Für eine exakte Modellierung müsste man die ADU bzw. PCM durch ein nichtlineares System beschreiben. Bereits die Analyse für ein Sinus-Signal gestaltet sich schon nicht mehr trivial. Als Ausweg verwendet man eine Modellierung durch ein additives Signal (exakt), welches unabhängig vom Signal (Modellannahme) und zufällig (Modellannahme) sein soll. Beispiele für solche Signale werden im nächsten Hauptabschnitt ("Stochastische Signale") behandelt.

Zusammenfassung

Partnerarbeit

Bitte arbeiten Sie für die folgende Aufgabe mit einem Partner zusammen und legen Sie gemeinsam die für Sie fünf wichtigsten Punkte bei der Digitalisierung fest. Begründen Sie Ihre Auswahl:

Fragen: Antworten:

Punkt 1

Zunächst wird das analoge Signal \(v_0(t)\) abgetastet, sodass es diskret wird: \begin{equation*} v(n)\,=\,v_0(n\,T_{\text{A}}). \end{equation*}

Punkt 2

Das durch die Abtastung entstandene Signal \(v(n)\) ist zeitdiskret, aber noch wertkontinuierlich. Es muss also zu Nummern quantisiert werden.

Punkt 3

Pro Nummer entseht eine endliche Ziffernzahl \(w\), die sogenannte Wortlänge oder auch Anzahl an Bits.

Punkt 4

\(w\) Ziffern ermöglichen \(2^w\) Nummern. Bei der einfachsten Quantisiserung, der linearen Quantisierung, findet die Aufteilung des Aussteuerungsbereichs \(D\) in gleichmäßige Intervalle \(Q\,=\,\frac{D}{2^w}\) statt.

Punkt 5

Bei der Quantisierung entstehen immer Fehler, da alle Werte von \(v(n)\) innerhalb eines Intervalls zur selben Nummer zugeordnet werden. Das ist wichtig im Hinterkopf zu behalten.

Winkelmodulation

Allgemeines

Vergleich zwischen Amplituden- und Winkelmodulation

Unter Winkelmodulation ist die kontinuierliche Modulation eines Sinusträgers zu verstehen:

\( c_{\text{T}}(t) \,\,=\,\, \hat c_{\text{T}}\,\cos\big( \omega_{\text{T}}(t)t+\varphi_{\text{T}}(t)\big) \,\,=\,\, \hat c_{\text{T}} \,\cos\big(\Phi_{\text{T}}(t)\big).\)
\( \xleftarrow{} \)
Träger-Winkel-Momentanphase
\( \xleftarrow{} \)
Träger- phase
\( \xleftarrow{} \)
Träger- frequenz
\( \xleftarrow{} \)
Träger- amplitude
\( \xleftarrow{} \)
Träger (carrier)

Bei linearen Modulationen (z.B. Zweiseitenbandmodulation oder Amplitudenmodulation) wird die Information mittels der Amplitude umgesetzt:

\begin{equation*}\begin{aligned} \textrm{Information}\,\,v(t)\,\,\Longrightarrow\,\, \hat c_{\text{T}}(t). \end{aligned}\end{equation*}

Eine Alternative ist die Amplitude konstant zu lassen, d.h. \(\hat c_{\text{T}}(t)\,=\,\textrm{const.}\,=\,1,\,\,\forall\, t\) und die Information mittels des momentanen Trägerwinkels \(\Phi_{\text{T}}(t)\) zu übertragen. Für das Trägersignal gilt dann bei \(c_{\text{T}}(t) \,\,=\,\, \cos\big(\Phi_{\text{T}}(t)\big) \) für die Momentan-Phase

\begin{equation*}\begin{aligned} \Phi_{\text{T}}(t)\,\,\ne\,\,\omega_{\text{T}}t+\varphi_{\text{T}},\,\, \textrm{mit}\,\,\omega_{\text{T}},\,\varphi_{\text{T}}\,=\,\textrm{const}. \end{aligned}\end{equation*}

bzw. für die Momentan-Frequenz

\begin{equation*}\begin{aligned} \Omega_{\text{T}}(t) \,\,=\,\,\frac{d \Phi_{\text{T}}(t)}{dt}\,\,\ne\, \,\omega_{\text{T}}\,\,=\,\,\textrm{const}. \end{aligned}\end{equation*}

Phasen- und Frequenzmodulation

Definitionen

Definition der Phasenmodulation:
Die anschaulichste Art der Winkelmodulation ist die Phasenmodulation (PM). Für sie gilt: \begin{equation} \Phi_{\text{T}}(t)\,\,=\,\,\omega_{\text{T}}t+k\,2\pi\,v(t). \end{equation} Durch Differenzieren ergibt sich daraus für die Momentan-Frequenz \begin{equation} \Omega_{\text{T}}(t)\,\,=\,\,\omega_{\text{T}}+k\,2\pi\,\frac{d v(t)}{dt}. \end{equation}
Definition der Frequenzmodulation:
Die gängigste Art der Winkelmodulation ist die Frequenzmodulation (FM). Für sie gilt: \begin{equation} \Omega_{\text{T}}(t)\,\,=\,\,\omega_{\text{T}}+k\,2\pi\,v(t). \end{equation} Durch Integrieren erhält man daraus für die Momentan-Phase \begin{equation} \Phi_{\text{T}}(t)\,\,=\,\,\omega_{\text{T}}t+k\,2\pi\int\limits_{\tau = -\infty}^{t}v(\tau)\,d\tau. \end{equation}

Systemeigenschaften

Grundlegende Eigenschaften

Im Sinne der Wirkung bestehen zwischen Frequenz- bzw. Phasenmodulation auf der einen Seite und den bisher vorgestellten Modulationsarten keine Unterschiede.

Es bestehen keine Unterschiede in den "Sytsemcharakteristiken" gemäß der vorherigen Abschnitte dieser Vorlesung:

Des Weiteren gibt es aus zwei Gründen - Zeitvarianz und Nichtlinearität - keine Reproduktion von Sinus- bzw. harmonischen Signalen gleicher Frequenz (nicht wie bei LTI-Systemen).

Die offensichtlich gemeinsame Eigenschft von PM und FM ist die konstante Amplitude. Dadurch entstehen zwei Vorteile und zwar die konstante Aussteuerung des Sendesignals und eineverbesserte Störfestigkeit.

Einfluss von Störungen

Amplituden-, Phasen- und Frequenzfehler

Bei der Übertragung von Signalen über reale Kanäle entstehen zum einen zeitvariante Amplitudenfehler, zum anderen aber auch Verschiebungen der Träger-Nulldurchgänge.

Amplitudenfehler sind bei Winkelmodulation unkritisch: \(\hat{c}_{\text{T}}\) ist "eigentlich konstant für alle Zeiten \(t\) “. Wird eine schwankende Amplitude empfangen, so kann diese Verfälschung (weitgehend) eliminiert werden durch einen sog. Begrenzer-Verstärker mit anschließendem Bandpassfilter:


begrenzer_verstaerker_mit_bandpass_01
\(c_{\text{aus}}(t)\)
\(c_{\text{E}}(t)\)
\(-1\)
\(1\)
\(-\epsilon\)
\(\epsilon\)
Bandpassfilter
Begrenzer-Vertstärker
\(c_{\text{E}}(t) \,=\, c_{\text{T}}(t) \, \big(1+a(t)\big)\\ \qquad\quad+ n(t)\)
\(\approx\,c_{\text{T}}(t)\)
\(c_{\text{aus}}(t) \,\approx\, \textrm{sign}\big(c_{\text{E}}(t)\big)\)
\(\uparrow\)
\(\uparrow\)
Nichtlinearität




\(n(t)\) und \(a(t)\) sind dabei Amplitudenfehler.

Verbleibende Fehler entstehen durch Nulldurchgangsverschiebungen von \(c_{\text{aus}}(t)\) gegenüber denen von \(c_{\text{T}}(t)\). Dies wirkt sich als Phasen- und Frequenzänderungen aus, was zu einer Verfälschung der zu übertragenden Information führt. Solche Verfälschungen sind allerdings bei hinreichend großer Trägerfrequenz \(\omega_{\text{T}}\) relativ klein, solange die Störungen eine gewisse Grenze nicht übersteigen. Vorteile gegenüber linearer Modulation: Besserer Störabstand bis zur sog. FM-Schwelle (siehe folgende Graphik).

fm_am_snr_01
\(\frac{SNR_{\text{aus}}}{\textrm{dB}}\)
FM
AM, Inf. steckt in \(\hat{c}_{\text{T}}(t)\)
\(\Rightarrow\,\,SNR_{\text{aus}} \,\le\, SNR_{\text{Kanal}} \)
\(\frac{SNR_{\text{Kanal}}}{\textrm{dB}}\)
\(\uparrow\)
FM-Schwelle




Winkeldemodulation

Allgemeines

Bei der Winkeldemodulation gilt folgendes Grundprnzip:
Es muss die Information \(v(t)\) aus dem Argument eines Sinus-Signals wiedergewonnen werden.

Dabei wird nachstehender theoretische Ansatz verfolgt:
Zunächst Differenzieren von \(c_{\text{T}}(t)\) und anschließend linear demodulieren, aber auch mittels der Einhüllenden-Demodulation, die bei der Amplitudendemodulation verwendet wurde.

Zur praktischen Realisiserung verwendet man ein näherungsweise differenzierendes Filter mit einem Frequenzgang

\begin{equation*}\begin{aligned} H_{\text{diff}}(j\omega) \,\,\approx\,\,j\omega. \end{aligned}\end{equation*}

Dies muss zumindest im Bereich \(\omega \,\approx\,\omega_{\text{T}}\) gelten.

Phasendemodulation

Als ungestörtes Empfangssignal erhält man

\begin{equation*}\begin{aligned} c_{\text{T}}(t) \,\,=\,\,\cos\big( \underbrace{\omega_{\text{T}}t +k\,2\pi\,v(t)}_{\Phi_{\text{T}}(t)}\big). \end{aligned}\end{equation*}

Durch Differenzieren ergibt sich

\begin{equation*}\begin{aligned} \frac{d}{dt} c_{\text{T}}(t) \,\,=\,\,-\left[\omega_{\text{T}} + k\,2\pi\,\frac{dv(t)}{dt} \right]\, \sin\big( \Phi_{\text{T}}(t)\big). \end{aligned}\end{equation*}

Dabei handelt es sich um ein AM-Signal, allerdings mit variierender Trägerfrequenz!

Eine Einhüllenden-Demodulation liefert

\begin{equation*}\begin{aligned} \big[\omega_{\text{T}} + k\,2\pi\,\dot v(t) \big]. \end{aligned}\end{equation*}

Hieraus ergibt sich durch Entfernen des Gleichanteils, Gewichtung und Integration schließlich \(v(t)\).

Es ensteht so folgendes gesamt-Blockschaltbild:


fm_demodulation_01
\(v(t)\)
Phasen-demodulation
Kanal
Begrenzerverstärker und Bandpassfilter
Differenzierer
\(j\omega\)
Einhullenden-demodulation
\(\hat{v}(t)\)
Integrierer
\(\frac{1}{j\omega}\)
\(y(t)\,\approx\, v(t)\)
\(\omega_{\text{T}}\)
\(c(t)\)




Frequenzdemodulation

Als ungestörtes Empfangssignal erhält man

\begin{equation*}\begin{aligned} c_{\text{T}}(t) \,\,=\,\,\cos\big( \underbrace{\omega\_{\text{T}}t+ k\,2\pi\,\int_{\tau=-\infty}^{t}\!\!\!\!\!\!\!v(\tau)\,d\tau}_{\Phi_{\text{T}}(t)}\big). \end{aligned}\end{equation*}

Durch Differenzieren ergibt sich

\begin{equation*}\begin{aligned} \frac{d}{dt} c_{\text{T}}(t) \,\,=\,\,-\left[\omega_{\text{T}} + k\,2\pi\,v(t) \right]\, \sin\big( \Phi_{\text{T}}(t)\big). \end{aligned}\end{equation*}

Eine Einhüllenden-Demodulation liefert darauf wieder \(v(t)\).

Es ensteht folgendes gesamt-Blockschaltbild:


fm_demodulation_01
\(v(t)\)
Integrierer
\(\frac{1}{j\omega}\)
Phasen-demodulation
Kanal
Begrenzerverstärker und Bandpassfilter
Differenzierer
\(j\omega\)
Einhullenden-demodulation
\(y(t)\,\approx\, v(t)\)
\(\omega_{\text{T}}\)
\(c(t)\)
Beides zusammen liefert die Frequenzmodulation!
\( \xleftarrow{\qquad} \)
\( \xleftarrow{\qquad} \)




FM-Spektren und FM-Bandbreite

Allgemeines

Die Berechnung des Spektrums im Falle allgemeiner Signale ist nicht direkt möglich. Deshalb betrachten wir zunächst den einfachen Fall einer Sinus-Träger-Frequenzmodulation mit einem Sinus-Signal als zu übertragende "Information":

Wir gehen dabei von folgendem Signal aus:

\begin{equation*}\begin{aligned} c_{\text{T}}(t) \,\,=\,\,\cos\big( \omega_{\text{T}}t+k\,2\pi\!\!\int \limits_{-\infty}^{t}\!\underbrace{v(\tau)}_{\hat v\,\cos(\omega_1 t)}\!\!\!\!\!d\tau\big) \,\,=\,\,\textrm{Re}\Big\{ \underbrace{e^{j\omega_{\text{T}}t}\,e^{jk2\pi\,\frac{\hat v} {\omega_1}\,\sin(\omega_1 t)}}_{\tilde c(t)\,e^{j\omega_{\text{T}}t}}\Big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Eine genauere Betrachtung erlaubt es dabei, eine Vorstellung von den spektralen Effekten, die bei Winkelmodulationen auftreten, zu erhalten. Nach Elimination des Drehterms kann man zur "üblichen" Zeiger-Darstellung übergehen:

\begin{equation*}\begin{aligned} \tilde c(t) \,\,=\,\,e^{jk2\pi\,\frac{\hat v}{\omega_1}\,\sin(\omega_1 t)}. \end{aligned}\end{equation*}

Offensichtlich gilt für die Zeigeranalyse \(\tilde c(t+\lambda\,2\pi/\omega_1) \,=\,\tilde c(t)\), d.h. es entsteht ein periodisches Signal mit der Periodendauer \(2\pi/\omega_1 = T_1 \) (also der gleichen Periode wie \(v(t)\)). Anschaulich kann dies als pendelnder Zeiger interpretiert werden, dessen maximaler Winkel-Ausschlag als

\begin{equation*}\begin{aligned} \eta \,\,=\,\, k\,2\pi\,\frac{\hat v}{\omega_1} \end{aligned}\end{equation*}
pendelnder_zeiger_01
\(\eta\)
\(\tilde c(0) \)
\(\tilde c(T_1/4) \)
\(\tilde c(3T_1/4) \)
\(\tilde c(t) \,\,=\,\,e^{jk2\pi\,\frac{\hat v}{\omega_1}\,\sin(\omega_1 t)}\)

Bekanntlich kann man periodische Signale durch Fourier-Reihen darstellen – das gilt natürlich auch für diesen pendelnden Zeiger \(\tilde c(t)\). Man findet die Fourier-Reihen-Koeffizienten am einfachsten mit Hilfe der Potenz-Reihe für \(e^x\). Die dabei entstehenden Terme kann man in geeigneter Weise mit sog. "Besselfunktionen" \(J_\mu(\eta)\) zusammenfassen:

\begin{equation*}\begin{aligned} \tilde c(t) &=\,\, e^{j\eta\,\sin(\omega_1 t)} \\ &=\,\, \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} J_{\mu}(\eta)\,e^{j\mu\omega_1 t}. \end{aligned}\end{equation*}

Die Reihenkoeffizienten bei \(\mu\,\omega_1\) hängen vom Modulationsgrad \(eta\) ab, mit

\begin{equation*}\begin{aligned} \eta\,\,\sim\,\,\frac{\hat v}{f_1}. \end{aligned}\end{equation*}

Im Folgenden sind die Bessel-Funktionen graphisch dargestellt:

BesselFunctions

Insgesamt gilt damit für das modulierte Signal:

\begin{equation*}\begin{aligned} c_{\text{T}}(t) \,\,=\,\,\textrm{Re}\left\{ \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} e^{j[(\omega_{\text{T}}+\mu\omega_1)t]}\,J_{\mu}(\eta) \right\}, \end{aligned}\end{equation*}

wobei für die Besselfunktionen

\begin{equation*}\begin{aligned} J_{-\mu}(\eta) \,\,=\,\, (-1)^{\mu}\,J_{\mu}(\eta) \end{aligned}\end{equation*}

beachtet werden kann. Als Konsequenz ergibt sich damit für die Frequenzmodulation eines Sinus-Signals ein unendlich breites Spektrum (mit jeweils monofrequenten Anteilen) mit Komponenten bei \(\pm\big[\omega_{\text{T}},\,\omega_{\text{T}} \pm \omega_1,\,\omega_{\text{T}} \pm 2\omega_1,\,... \big] \). Da die Besselfunktionen aber mit zunehmendem \(\mu\) kleiner werden, konzentriert sich das Spektrum um \(\omega_{\text{T}}\).

Allgemeines "FM-Spektrum":

Wegen der Nichtlinearität der Winkelmodulation kann man das modulierte Signalspektrum nicht direkt angeben, anschaulich gilt aber:
Man erhält eine unendliche Verbreiterung des zur Trägerfrequenz \(\omega_{\text{T}}\) verschobenen Spektrums.

Zur Bandbreitenschätzung lässt sich das theoretisch unendlich breite Spektrum nach Carson durch die Breite des Bandes abschätzen, das bei Sinus-Signal-Modulation 99 % der Energie von \(c_{\text{T}}(t)\) enthält:

\begin{equation*}\begin{aligned} \sum\limits_{\mu=-\mu_{\max}}^{\mu_{\max}} J^2_{\mu}(\eta) \,\,=\,\,0,99. \end{aligned}\end{equation*}

Dies führt auf

\begin{equation*}\begin{aligned} \mu_{\max} \,\,=\,\,\eta + 2. \end{aligned}\end{equation*}

Jeweils rechts und links von \(\pm \omega_{\text{T}}\) sind \(2\mu_{max}\) Linien im Abstand von \(\omega_1\) zu berücksichtigen. Daraus ergibt sich ein Bandbreitenbedarf eines Signals (bzw.Teilnehmers) von \(\omega_{\text{B}} \,=\,2\,(\eta+2)\,\omega_1\)

Nach näherer Betrachtung der Carson-Bandbreite ergeben sich folgende Interpretationsmölichkeiten:

FM wird (u.a.) im UKW-Rundfunk angewandt, als Trägerfrequenzen werden etwa \(f_{\text{T}}\,=\,100\) MHz verwendet, als Frequenzhub wird \(\Delta f\,=\, 75\) kHz verwendet. Die dort übertragenen Frequenzbänder (Musik, Sprache) belegen etwa den Bereich von 30 Hz bis 15 kHz. Gemäß der Abschätzung ergibt sich eine Bandbreite von

\begin{equation*}\begin{aligned} f_{\text{B}} \,\,=\,\,2\,(\eta +2) \,f_1 \,\,=\,\, 2\,\left(\frac{\Delta f}{f_1}+2\right)f_1. \end{aligned}\end{equation*}

Für die beiden Grenzen (30 Hz bzw. 15 kHz) ergeben sich dabei Bandbreiten von ca. 150 kHz (für Signalanteile mit 30 Hz) bzw. 210 kHz (für Signalanteile mit 15 kHz).