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Signale and Systeme – Lineare Systeme

Inhalt

Reaktionen auf Elementarsignale
Allgemeine Eingangs-/Ausgangsbeschreibungen
Reaktionen auf beliebige Signale
Allgemeines
Beschreibung mit Hilfe der Impulsantwort
Beschreibung mit Hilfe der Übertragungsfunktion
Beschreibung mit Hilfe des Frequenzganges
Zusammenhänge zwischen den einzelnen Systembeschreibungen - Teil 1
Zusammenhänge zwischen den Systemkenngrößen
Zusammenhang zwischen Impuls- und Sprungantwort
Zusammenhänge zwischen den einzelnen Systembeschreibungen - Teil 2
Zusammenhang zwischen Impulsantwort und Übertragungsfunktion
Zusammenhänge zwischen den einzelnen Systembeschreibungen - Teil 3
Zusammenhang zwischen Sprungantwort und Übertragungsfunktion
Zusammenhang zwischen Sprungantwort und Frequenzgang
Zusammenhänge zwischen den einzelnen Systembeschreibungen - Zusammenfassung
Stabilität linearer Systeme
BIBO (bounded input – boundes output) - Stabilität
Besondere Symmetrien bei reellwertigen Systemen
Definition (Wiederholung)
Symmetrien des Frequenzgangs
Eigenschaften der Übertragungsfunktion
Gebrochen-rationale Übertragungsfunktionen
Systembeschreibung durch Differential- und Differenzengleichungen
Darstellungen gebrochen-rationaler Funktionen
Stabilität
Pol-Nullstellen-Diagramme
Sonderfälle: Spiegelbildliche Nullstellenpaare
Sonderfälle: Spiegelbildliche Pol-Nullstellen-Paare
Sonderfälle: Minimal-, maximal- und gemischtphasige Systeme
Frequenzselektive Filter
Einschwingvorgänge
Rechenaufgaben

Reaktionen auf Elementarsignale

Allgemeine Eingangs-/Ausgangsbeschreibungen

Im Kontinuierlichen sei das folgende System

SystemKont
\(S\)
\( v(t) \)
\( y(t) \)

gegeben. Durch die Übertragung des Eingangssignals \(v(t)\) über das System \(S\) entsteht das Ausgangssignal \(y(t)\). Im Folgenden sind einige allgemeine Eingangs- und Ausgangsbeziehungen für Elementarsignale als Eingangssignale aufgelistet:

Eingangssignal Ausgangssignal
\begin{equation*} \begin{aligned} v(t) &=\,\, V\,\delta_0(t-\tau) \\[1mm] v(t) &=\,\, V\,\delta_{-1}(t-\tau) \\[1mm] v(t) &=\,\, V\,e^{j\omega_0 t} \\[1mm] v(t) &=\,\, V\,e^{s_0t} \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} y(t) \,\,=\,\, \,\,\,\, V\,h_0(t,\tau) &=\,\, V\,h_0(t-\tau) \\[1mm] y(t) \,\,=\,\, V\,h_{-1}(t,\tau) &=\,\, V\,h_{-1}(t-\tau) \\[1mm] y(t) &=\,\, V\,H(j\omega_0)\,e^{j\omega_0 t} \\[1mm] y(t) &=\,\, V\,H(s_0)\,e^{s_0t} \\[1mm] &\,\uparrow \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{bei Verschiebungsinvarianz}}} \end{aligned} \end{equation*}

Dabei bezeichnet \(h_0(t)\) die Impulsantwort, \(h_{-1}(t)\) die Sprungantwort, \(H(j\omega)\) der Frequenzgang und \(H(s)\) die Übertragungsfunktion. Im Diskreten sei analog dazu das System

SystemDisk
\(S\)
\( v(n) \)
\( y(n) \)

gegeben. Durch die Übertragung des Eingangssignals \(v(n)\) über das System \(S\) entsteht das Ausgangssignal \(y(n)\). Im Folgenden sind auch für diesen Fall einige allgemeine Eingangs- und Ausgangsbeziehungen für Elementarsignale als Eingangssignale aufgelistet:

Eingangssignal Ausgangssignal
\begin{equation*} \begin{aligned} v(n) &=\,\, V\,\gamma_0(t-\tau) \\[1mm] v(n) &=\,\, V\,\gamma_{-1}(t-\tau) \\[1mm] v(n) &=\,\, V\,e^{j\Omega_0 n} \\[1mm] v(n) &=\,\, V\,(z_{0})^{n} \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} y(n) \,\,=\,\, \,\,\,\, V\,h_0(n,\kappa) &=\,\, V\,h_0(n-\kappa) \\[1mm] y(n) \,\,=\,\, V\,h_{-1}(n,\kappa) &=\,\, V\,h_{-1}(n-\kappa) \\[1mm] y(n) &=\,\, V\,H(j\Omega_0)\,e^{j\Omega_0 n} \\[1mm] y(n) &=\,\, V\,H(z_0)\,(z_0)^{n} \\[1mm] &\,\uparrow \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{bei Verschiebungsinvarianz}}} \end{aligned} \end{equation*}

Dabei bezeichnet \(h_0(n)\) die Impulsantwort, \(h_{-1}(n)\) die Sprungantwort, \(H(e^{j\Omega})\) der Frequenzgang und \(H(z)\) die Übertragungsfunktion.

Es sei angemerkt, dass Exponentialsignale durch lineare, zeitinvariante Systeme (bzw. allgemeiner "lineare, verschiebungsinvariante Systeme") reproduziert werden. Es ändert sich lediglich der Betrag und die Phase.

Reaktionen auf beliebige Signale

Allgemeines

Signalzerlegung

Allgemeine Signale \(v(...)\) lassen sich darstellen als Linearkombination (= Summen) von Elementarsignalen. Da der Überlagerungssatz für lineare Systeme gilt, kann die Reaktion auf eine Summe einzelner Signale durch die Summe der Einzelreaktionen bestimmt werden. Mit Hilfe der Impulsantworten \(h_0(t)\) bzw. \(h_0(n)\) können solche Reaktionen auf beliebige Signale relativ einfach berechnet werden.

Bemerkungen

Die Übertragungsfunktionen \(H(s)\) bzw. \(H(z)\) stammen im Allgemeinen aus dem Ergebnis einer theoretischen Analyse. \(H(j\omega)\) bzw. \(H(e^{j\Omega})\) können entweder aus \(H(s)\) bzw. \(H(z)\) berechnet werden oder messtechnisch erfasst werden. Hierzu beobachtet/misst man das Eingangs- und das Ausgangsspektrum eines Systems und bestimmt dann \(H(...)\,=\,Y(...)/V(...)\). \(h_0(...), h_{-1}(...)\) können entweder aus den Frequenzgängen oder Übertragungsfunktionen bestimmt werden oder können wieder messtechnisch erfasst werden. Hierzu gibt es zahlreiche Messmethoden (Details hierzu z.B. in der Vorlesung "Signale und Systeme – Teil 2").

Beschreibung mit Hilfe der Impulsantwort

Überlagerungssatz für Impulsfunktionen bzw. -folgen

Aufgrund der Linearität kann der Überlagerungssatz angewendet werden. Für kontinuierliche Signale und Systeme gilt:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(t) &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}v(\tau)\,\delta_0(t-\tau)\,d\tau \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Systemantwort auf gewichtete Impulse ...}}}\\[1mm] y(t) &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}v(\tau)\,h_0(t,\tau)\,d\tau \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Verschiebungsinvarianz ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}v(\tau)\,h_0(t-\tau)\,d\tau \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition einer kontinuierlichen Faltung ...}}}\\[1mm] &=\,\, v(t)\,\ast\,h_0(t). \end{aligned} \end{equation*}

Analog hierzu gilt für diskrete Signale und Systeme:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(n) &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty}v(\kappa)\,\gamma_0(n-\kappa) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Systemantwort auf gewichtete Impulse ...}}}\\[1mm] y(n) &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty}v(\kappa)\,h_0(n,\kappa) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Verschiebungsinvarianz ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty}v(\kappa)\,h_0(n-\kappa) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition einer diskreten Faltung ...}}}\\[1mm] &=\,\, v(n)\,\ast\,h_0(n). \end{aligned} \end{equation*}

Zusammenfassend lässt sich schließen, dass lineare, verschiebungsinvariante Systeme das Eingangssignal mit der Impulsantwort falten.

Überlagerungssatz für Sprungfunktionen bzw. -folgen

Aufgrund der Linearität kann der Überlagerungssatz angewendet werden. Man vergleiche hierbei die Überlegungen aus dem Abschnitt "Zerlegung in Elementarsignale". Für kontinuierliche Signale und Systeme gilt:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(t) &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}\frac{d\,v(\tau)}{d\tau}\,\delta_{-1}(t-\tau)\,d\tau + v(-\infty)\,\delta_{-1}(t-(-\infty)) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Systemantwort auf gewichtete Sprungfunktionen ...}}}\\[1mm] y(t) &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}\dot{v}(\tau)\,h_{-1}(t,\tau)\,d\tau + v(-\infty)\,h_{-1}(t,-\infty) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Verschiebungsinvarianz ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}\dot{v}(\tau)\,h_{-1}(t-\tau)\,d\tau + v(-\infty)\,h_{-1}(\infty) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition einer kontinuierlichen Faltung einsetzen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \dot{v}(t)\,\ast\,h_{-1}(t) + v(-\infty)\,h_{-1}(\infty). \end{aligned} \end{equation*}

Analog hierzu ergibt sich für diskrete Signale und Systeme durch die Zerlegung gemäß des Abschnitts "Zerlegung in Elementarsignale":

\begin{equation*} \begin{aligned} v(n) &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty}\overbrace{v(\kappa)-v(\kappa-1)}^{\Delta v(\kappa)} \,\gamma_{-1}(n-\kappa) + v(-\infty)\,\gamma_{-1}(n-(-\infty)) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Systemantwort auf gewichtete Sprungfunktionen ...}}}\\[1mm] y(n) &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty}\Delta v(\kappa)\,h_{-1}(n,\kappa) + v(-\infty)\,h_{-1}(n,-\infty) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Verschiebungsinvarianz ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty}\Delta v(\kappa)\,h_{-1}(n-\kappa) + v(-\infty)\,h_{-1}(\infty) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition einer kontinuierlichen Faltung einsetzen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \Delta v(n)\,\ast\,h_{-1}(n) + v(-\infty)\,h_{-1}(\infty). \end{aligned} \end{equation*}

Offenbar ist die Faltung die zentrale Operation von linearen, verschiebungsinvarianten (LTI) Systemen. LTI-Systeme (linear time-invariant systems) werden oft kurz auch nur lineare Filter genannt. Unter linearer Filterung versteht man daher auch die lineare Faltung!

Beschreibung mit Hilfe der Übertragungsfunktion

Überlagerungssatz von allgemeinen Exponentialfunktionen

Setzt man – wie bereits zuvor – Zeit- bzw. Verschiebungsinvarianz voraus, so kann man aufgrund des Überlagerungssatzes und der Eigenschaft, dass Exponentialfunktionen Eigenfunktionen von linearen, verschiebungsinvarianten Systemen sind, für kontinuierliche Signale und Systeme herleiten:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(t) &=\,\, \frac{1}{2\pi j}\!\!\!\!\!\int\limits_{ \begin{matrix} s=\sigma+j\omega,\\ \omega = -\infty\end{matrix}}^{\infty} \!\!\!\!\! V(s)\,e^{st}\,ds \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Reaktion auf \(V e^{st}\) ist \(H(s)Ve^{st}\) ...}}}\\[1mm] y(t) &=\,\, \frac{1}{2\pi j}\!\!\!\!\!\int\limits_{ \begin{matrix} s=\sigma+j\omega,\\ \omega = -\infty\end{matrix}}^{\infty} \!\!\!\!\! H(s)\,V(s)\,e^{st}\,ds \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition der Rücktransformation beachten ...}}}\\[1mm] &=\,\, \mathcal{L}^{-1}\Big\{ V(s)\,H(s)\Big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Analog kann man für diskrete Signale herleiten:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(n) &=\,\, \frac{1}{2\pi j}\oint V(z)\,z^{n}\,\frac{dz}{z} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Reaktion auf \(V z^{n}\) ist \(H(z)Vz^{n}\) ...}}}\\[1mm] y(n) &=\,\, \frac{1}{2\pi j}\oint H(z)\,V(z)\,z^{n}\,\frac{dz}{z} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition der Rücktransformation beachten ...}}}\\[1mm] &=\,\, \mathcal{Z}^{-1}\Big\{ V(z)\,H(z)\Big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Beschreibung mit Hilfe des Frequenzganges

Überlagerungssatz von harmonischen Exponentialfunktionen

Analog zu den Überlegungen für allgemeine Exponentialfunktionen findet man für harmonische Exponentialfunktionen (= Eigenfunktionen von LTI-Systemen) für kontinuierliche Signale und Systeme:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(t) &=\,\, \frac{1}{2\pi}\,\, \int\limits_{\omega = -\infty}^{\infty} \,\, V(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Reaktion auf \(V e^{j\omega t}\) ist \(H(j\omega)Ve^{j\omega t}\) ...}}}\\[1mm] y(t) &=\,\, \frac{1}{2\pi}\,\, \int\limits_{\omega = -\infty}^{\infty} \,\, H(j\omega)\,V(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition der Rücktransformation beachten ...}}}\\[1mm] &=\,\, \mathcal{F}^{-1}\Big\{ V(j\omega)\,H(j\omega)\Big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Fordert man zusätzlich von den Eingangssignalen, dass diese periodisch sein sollen, so kann man mit Hilfe des Frequenzgangs und der Fourier-Reihenentwicklung folgenden Zusammenhang finden:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(t) &=\,\, \sum\limits_{\mu = -\infty}^{\infty} \,\, c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T} t} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Reaktion auf \(V e^{j\mu \frac{2\pi}{T}t}\) ist \(H(j\mu \frac{2\pi}{T})Ve^{j\mu \frac{2\pi}{T}t}\) ...}}}\\[1mm] y(t) &=\,\, \sum\limits_{\mu = -\infty}^{\infty} \!\! H\left(j\mu\frac{2\pi}{T}\right)\,c_{\mu}\,e^{j\mu\frac{2\pi}{T} t} \end{aligned} \end{equation*}

Dabei ist die letztgenannte Summe die Reihenentwicklung für \(y(t)\) mit \(c_{\mu}^{(y)} = c_{\mu}\,H(j\mu\frac{2\pi}{T})\). Für diskrete Signale und Systeme gilt analog dazu:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(n) &=\,\, \frac{1}{2\pi}\,\, \int\limits_{\Omega = -\pi}^{\pi} \,\, V(e^{j\Omega})\,e^{j\Omega n}\,d\Omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Reaktion auf \(V e^{j\Omega n}\) ist \(H(e^{j\Omega n})Ve^{j\Omega n}\) ...}}}\\[1mm] y(n) &=\,\, \frac{1}{2\pi}\,\, \int\limits_{\Omega = -\pi}^{\pi} \,\, H(e^{j\Omega})\,V(e^{j\Omega})\,e^{j\Omega n}\,d\Omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition der Rücktransformation beachten ...}}}\\[1mm] &=\,\, \mathcal{F}^{-1}\Big\{ V(e^{j\Omega})\,H(e^{j\Omega})\Big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Fordert man auch hier zusätzlich von den Eingangssignalen, dass diese periodisch sein sollen, so kann man mit Hilfe des Frequenzgangs und der Fourier-Transformation folgenden Zusammenhang finden:

\begin{equation*} \begin{aligned} v(n) &=\,\, \frac{1}{M}\,\,\sum\limits_{\mu=0}^{M-1} \,\, V_M(\mu)\,e^{j\Omega n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Reaktion auf \(V e^{j\mu \frac{2\pi}{M} n}\) ist \(H(e^{j\mu \frac{2\pi}{M}})Ve^{j\mu \frac{2\pi}{M}n}\) ...}}}\\[1mm] y(n) &=\,\, \frac{1}{M}\,\,\sum\limits_{\mu=0}^{M-1} \,\, H\left(e^{j\mu\frac{2\pi}{M}}\right)\,V_M(\mu)\,e^{j\Omega n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition der Rücktransformation beachten ...}}}\\[1mm] &=\,\, \text{IDFT}\Big\{ V_M(\mu)\,H(e^{j\mu\frac{2\pi}{M}})\Big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Damit die harmonischen Exponentialfunktionen auch Eigenfunktionen von Systemen sind, müssen diese – wie auch zuvor – sowohl linear als auch verschiebungsinvariant sein!

Bemerkungen

Vergleicht man die Fourier-Reihenentwicklung des Systemeingangs mit der des Systemausgangs, so erhält man im Kontinuierlichen

\begin{equation*} H\left(j\mu\frac{2\pi}{T} \right) \,\,=\,\,\frac{c_{\mu}^{(y)}}{c_{\mu}}. \end{equation*}

Das gleiche gilt ganz allgemein. Wenn als Eingangssignal \(v(t) = V\,e^{j\omega_0 t} \) an einem linearen, verschiebungsinvarianten System anliegt, dann erhält man am Ausgang des Systems

\begin{equation*} y(t) \,\,=\,\, \underbrace{H(j\omega)\,V}_{Y} \,e^{j\omega_0 t}\,\,=\,\,Y\,e^{j\omega_0 t} \end{equation*}

Das heißt, es gilt stets \(H(j\omega)\,=\,Y\,/\,V \) mit den komplexen Amplituden \(V\) und \(Y\). Weiterhin gelten natürlich auch folgende Beziehungen

\begin{equation*} \begin{aligned} v(t) &=\,\, \mathcal{L}^{-1}\big\{V(s)\big\}, \\[1mm] y(t) &=\,\, \mathcal{L}^{-1}\big\{Y(s)\big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Auch damit erhält man dann

\begin{equation*} H(s)\,\,=\,\,\frac{Y(s)}{V(s)}\,\,= \,\,\frac{\mathcal{L}\big\{y(t)\big\}}{\mathcal{L}\big\{v(t)\big\}}. \end{equation*}

Ähnliches gilt im Diskreten. Vergleicht man die inverse Diskrete Fourier-Transformation des Systemeingangs mit der des Systemausgangs, so erhält man

\begin{equation*} H\left(e^{j\mu\frac{2\pi}{M}} \right) \,\,=\,\,\frac{Y_M(\mu)}{V_M(\mu)}. \end{equation*}

Das gleiche gilt ganz allgemein. Wenn als Eingangssignal \(v(n) = V\,e^{j\Omega_0 n} \) an einem linearen, verschiebungsinvarianten System anliegt, dann erhält man am Ausgang des Systems

\begin{equation*} y(n) \,\,=\,\, \underbrace{H(e^{j\Omega})\,V}_{Y} \,e^{j\Omega_0 n}\,\,=\,\,Y\,e^{j\Omega_0 n} \end{equation*}

Das Heißt, es gilt stets \(H(e^{j\Omega_0})\,=\,Y\,/\,V \) mit den komplexen Amplituden \(V\) und \(Y\). Weiterhin gelten natürlich auch folgende Beziehungen

\begin{equation*} \begin{aligned} v(n) &=\,\, \mathcal{Z}^{-1}\big\{V(z)\big\}, \\[1mm] y(n) &=\,\, \mathcal{Z}^{-1}\big\{Y(z)\big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Auch damit erhält man dann

\begin{equation*} H(z)\,\,=\,\,\frac{Y(z)}{V(z)}\,\,= \,\,\frac{\mathcal{Z}\big\{y(n)\big\}}{\mathcal{Z}\big\{v(n)\big\}}. \end{equation*}

Zusammenhänge zwischen den einzelnen Systembeschreibungen - Teil 1

Übersicht über die Zusammenhänge für kontinuierliche Systeme

ZusammenhangKont
\(H(j\omega)\,=\,?\)
\(H(s)\,=\,?\)
\( h_{-1}(t) \)
\( h_{-1}(t)\,=\, ? \)
\( h_{-1}(t)\,=\, ? \)
\( h_{-1}(t)\,=\, ? \)
\(H(j\omega),\)
\(H(s)\)
Frequenz- gang, Über- tragungs- funktion
\( h_{0}(t)\,=\,? \)
\( h_{0}(t)\,=\,? \)
\( h_{0}(t)\,=\,? \)
\( h_{0}(t) \)
\(H(j\omega)\,=\,?\)
\(H(s)\,=\,?\)

Übersicht über die Zusammenhänge für diskrete Systeme

ZusammenhangDisk
\(H(e^{j\Omega})\,=\,?\)
\(H(z)\,=\,?\)
\( h_{-1}(n) \)
\( h_{-1}(n)\,=\, ? \)
\( h_{-1}(n)\,=\, ? \)
\( h_{-1}(n)\,=\, ? \)
\(H(e^{j\Omega}),\)
\(H(z)\)
\( h_{0}(n)\,=\,? \)
\( h_{0}(n)\,=\,? \)
\( h_{0}(n)\,=\,? \)
\( h_{0}(n) \)
\(H(e^{j\Omega})\,=\,?\)
\(H(z)\,=\,?\)

Zusammenhänge zwischen den Systemkenngrößen

Zusammenhang zwischen Impuls- und Sprungantwort

Allgemeines

Offenbar kann das Ausgangssignal \(y(...)\) aus dem Eingangssignal \(v(...)\) mit Hilfe jeder der zuvor genannten Systemkenngrößen bestimmt werden. Als Schlussfolgerung ergibt sich, dass die einzelnen Systemkenngrößen nicht unabhängig voneinander sein können. Es müsste möglich sein, die einzelnen Kenngrößen ineinander zu überführen.

Herleitung

Bei den Überlegungen des Abschnitts "Elementarsignale" wurde die Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion eingeführt. Für kontinuierliche Signale gilt

\begin{equation*} v(t) \,\,= \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}\,\, v(\tau)\,\delta_{0}(t-\tau)\,d\tau \end{equation*}

Dieser Zusammenhang gilt natürlich auch für die Sprungfunktion, d.h. \(v(t)\,=\,\delta_{-1}(t)\). In diesem Fall gilt

\begin{equation*} \begin{aligned} \delta_{-1}(t) &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty}\,\, \delta_{-1}(\tau)\,\delta_{0}(t-\tau)\,d\tau \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Sprungfunktion ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{\tau=0}^{\infty}\,\,1\,\,\delta_{0}(t-\tau)\,d\tau \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Substituieren von \(x\,=\,t-\tau\) und \(-dx \,=\, d\tau\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{x=t}^{-\infty}\,\,\delta_{0}(x)\,(-dx) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Substituieren von \(x\,=\,\tau\) und Vertauschen der Integrationsgrenzen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{t}\,\,\delta_{0}(\tau)\,d\tau \end{aligned} \end{equation*}

Folgende Abbildung dient zur Veranschaulichung der zuvor genannten Beziehung:

IntegrationsbspKont1
\(\delta_{-1}(\tau)\)
\(\delta_{0}(t-\tau)\)
\(\tau\)
\(1\)
\(1\)
\(t\)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\( \xleftarrow{\qquad} \)
\(\delta_{-1}(t)\)
\(1\)
\(t\)

Als Ergebnis erhält man somit:

\begin{equation*} \delta_{-1}(t) \,\,=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{t}\,\delta_{0}(\tau)\,d\tau \end{equation*}

Für die Systemantwort darauf ergibt sich

\begin{equation*} \begin{aligned} S\Big\{\delta_{-1}(t)\Big\} &=\,\, S\left\{\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{t}\,\,\delta_{0}(\tau)\,d\tau \right\} \\[1mm] S\Big\{\delta_{-1}(t)\Big\} &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{t}\,\, S\Big\{ \delta_{0}(\tau)\Big\}\,d\tau \\[1mm] h_{-1}(t) &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{t}\,\, h_{0}(\tau)\,d\tau. \end{aligned} \end{equation*}

Zusammengefasst kann man erkennen, dass für lineare, verschiebungsinvariante Systeme, die Sprungantwort durch Integration aus der Impulsantwort berechnet werden kann. Es gilt

\begin{equation*} \begin{aligned} h_{-1}(t) &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{t}\,\, h_{0}(\tau)\,d\tau. \\[1mm] \uparrow &\qquad\qquad\qquad\uparrow \\[1mm] \qquad\scriptsize{\color{grey}{\text{Sprungantwort}}}&\qquad\qquad\scriptsize{\color{grey}{\text{Impulsantwort}}} \end{aligned} \end{equation*}

Auch die "Umkehrung" des zuvor gefundenen Zusammenhangs ist möglich. So haben wir bereits gezeigt, dass die (verallgemeinerte) Ableitung des Sprungs der Dirac-Stoß ist, d.h. es gilt:

\begin{equation*} \delta_0(t)\,\,=\,\, D\Big\{ \delta_{-1}(t) \Big\}. \end{equation*}

Bestimmt man hierzu die Systemfunktion, so ergibt sich:

\begin{equation*} \begin{aligned} S\Big\{\delta_0(t)\Big\} &=\,\, S\Big\{D\big\{ \delta_{-1}(t) \big\} \Big\} \\[1mm] S\Big\{\delta_0(t)\Big\} &=\,\, D\Big\{S\big\{ \delta_{-1}(t) \big\} \Big\} \\[1mm] h_0(t) &=\,\, D \Big\{h_{-1}(t)\Big\}. \end{aligned} \end{equation*}

Bei Stetigkeit von \(h_{-1}(t)\) gilt schließlich:

\begin{equation*} \begin{aligned} h_0(t) &=\,\, \frac{d\,h_{-1}(t)}{dt}. \\[1mm] \uparrow &\qquad\uparrow \\[1mm] \qquad\scriptsize{\color{grey}{\text{Impulsantwort}}}&\qquad\scriptsize{\color{grey}{\text{Sprungantwort}}} \end{aligned} \end{equation*}

Analog dazu erfolgt die Herleitung im Diskreten. Bei den Überlegungen des Abschnitts "Elementarsignale" wurde die Ausblendeigenschaft der Impulsfolge eingeführt. Für diskrete Signale gilt somit

\begin{equation*} v(n) \,\,= \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty} \,\,v(\kappa)\,\gamma_{0}(n-\kappa) \end{equation*}

Dieser Zusammenhang gilt natürlich auch für die Sprungfunktion, d.h. \(v(t)\,=\,\delta_{-1}(t)\). In diesem Fall gilt

\begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_{-1}(n) &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty} \,\,\gamma_{-1}(\kappa)\,\gamma_{0}(n-\kappa) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Sprungfunktion ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{\kappa=0}^{\infty} 1\,\gamma_{0}(n-\kappa) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Ändern der Summationsvariable ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n} \,\,\gamma_{0}(\kappa) \end{aligned} \end{equation*}

Folgende Abbildung dient zur Veranschaulichung der zuvor genannten Beziehung:

IntegrationsbspDisk1
\(\gamma_{-1}(\kappa)\)
\(\gamma_{0}(n-\kappa)\)
\(\kappa\)
\(1\)
\(n\)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(\gamma_{-1}(n)\)
\(1\)
\(n\)

Als Ergebnis erhält man

\begin{equation*} \gamma_{-1}(n) \,\,=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n} \,\,\gamma_{0}(\kappa) \end{equation*}

Für die Systemantwort darauf ergibt sich

\begin{equation*} \begin{aligned} S\Big\{\gamma_{-1}(n)\Big\} &=\,\, S\left\{\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n} \,\,\gamma_{0}(\kappa)\right\} \\[1mm] S\Big\{\gamma_{-1}(n)\Big\} &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n} S\Big\{\gamma_{0}(\kappa)\Big\} \\[1mm] h_{-1}(n) &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n} h_{0}(\kappa). \end{aligned} \end{equation*}

Zusammengefasst kann man erkennen, dass für lineare, verschiebungsinvariante Systeme, die Sprungantwort durch Summation aus der Impulsantwort berechnet werden kann. Es gilt

\begin{equation*} \begin{aligned} h_{-1}(n) &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n} h_{0}(\kappa). \\[1mm] \uparrow &\qquad\qquad\qquad\uparrow \\[1mm] \qquad\scriptsize{\color{grey}{\text{Sprungantwort}}}&\qquad\qquad\scriptsize{\color{grey}{\text{Impulsantwort}}} \end{aligned} \end{equation*}

Auch die "Umkehrung" des zuvor gefundenen Zusammenhangs ist möglich. Holen wir zunächst folgenden Zusammenhang erneut hervor:

\begin{equation*} \gamma_0(n) \,\,=\,\, \gamma_{-1}(n) - \gamma_{-1}(n-1). \end{equation*}

Bestimmt man hierzu wieder die Systemantworten, so erhält man:

\begin{equation*} \begin{aligned} S\big\{\gamma_0(n)\big\} &=\,\, S\big\{\gamma_{-1}(n)\big\} - S\big\{\gamma_{-1}(n-1)\big\} \\[1mm] h_0(n) &=\,\, h_{-1}(n) - h_{-1}(n-1) \end{aligned} \end{equation*}

D.h. die Impulsantwort geht aus der Differenz zweier um einen "Takt" verschobenen Sprungantworten hervor. Wieder ist also die Differenzbildung die Umkehrung der Summation für diskrete Signale bzw. Systeme.

Zusammenhänge zwischen den einzelnen Systembeschreibungen - Teil 2

Übersicht über die Zusammenhänge für kontinuierliche Systeme

ZusammenhangKont2
\(H(j\omega)\,=\,?\)
\(H(s)\,=\,?\)
\( h_{-1}(t) \)
\( h_{-1}(t)\,=\, ? \)
\( h_{-1}(t)\,=\, ? \)
\( \scriptsize{h_{-1}(t)=\int\limits_{\tau=-\infty}^{t}h_{0}(\tau)d\tau} \)
\(H(j\omega),\)
\(H(s)\)
Frequenz- gang, Über- tragungs- funktion
\(h_0(t)=\frac{d h_{-1}(t)}{dt}\)
\( h_{0}(t)\,=\,? \)
\( h_{0}(t)\,=\,? \)
\( h_{0}(t) \)
\(H(j\omega)\,=\,?\)
\(H(s)\,=\,?\)

Übersicht über die Zusammenhänge für diskrete Systeme

ZusammenhangDisk2
\(H(e^{j\Omega})\,=\,?\)
\(H(z)\,=\,?\)
\( h_{-1}(n) \)
\( h_{-1}(n)\,=\, ? \)
\( h_{-1}(n)\,=\, ? \)
\(\scriptsize{h_{-1}(n)=\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n}h_{0}(\kappa)}\)
\(H(e^{j\Omega}),\)
\(H(z)\)
\(h_0(n) = h_{-1}(n)\)
\(- h_{-1}(n-1)\)
\( h_{0}(n)\,=\,? \)
\( h_{0}(n)\,=\,? \)
\( h_{0}(n) \)
\(H(e^{j\Omega})\,=\,?\)
\(H(z)\,=\,?\)

Zusammenhang zwischen Impulsantwort und Übertragungsfunktion

Herleitung

Für kontinuierliche Signale bzw. Systeme haben wir bei den Überlegungen zur Laplace-Transformation folgende Beziehungen gefunden (Faltungssätze):

\begin{equation*} \begin{aligned} y(t) &=\,\, v(t) \,\ast\, h_0(t), \\[1mm] Y(s) &=\,\, V(s) \, H(s). \end{aligned} \end{equation*}

Des Weiteren gelten die folgenden Transformationen

\begin{equation*} \begin{aligned} V(s) &=\,\, \mathcal{L}\big\{v(t)\big\}, \\[1mm] Y(s) &=\,\, \mathcal{L}\big\{y(t)\big\}, \end{aligned} \end{equation*}

woraus sich Folgendes für den Zusammenhang zwischen Impulsantwort und Übertragungsfunktion ergibt:

\begin{equation} \begin{aligned} H(s) &=\,\, \mathcal{L}\big\{h_0(t)\big\}, \\[1mm] h_0(t) &=\,\, \mathcal{L}^{-1}\big\{H(s)\big\}. \end{aligned} \end{equation}

Aus den Überlegungen zur Fourier-Transformation ergaben sich folgende Beziehungen:

\begin{equation*} \begin{aligned} y(t) &=\,\, v(t) \,\ast\, h_0(t), \\[1mm] Y(j\omega) &=\,\, V(j\omega) \, H(j\omega). \end{aligned} \end{equation*}

Weiterhin gelten folgende Transformationen:

\begin{equation*} \begin{aligned} V(j\omega) &=\,\, \mathcal{F}\big\{v(t)\big\}, \\[1mm] Y(j\omega) &=\,\, \mathcal{F}\big\{y(t)\big\}, \end{aligned} \end{equation*}

Daraus ergibt sich:

\begin{equation} \begin{aligned} H(j\omega) &=\,\, \mathcal{F}\big\{h_0(t)\big\}, \\[1mm] h_0(t) &=\,\, \mathcal{F}^{-1}\big\{H(j\omega)\big\}. \end{aligned} \end{equation}

Analog hierzu haben wir für diskrete Signale bzw. Systeme bei den Überlegungen zur Z-Transformation folgende Beziehungen gefunden (Faltungssätze):

\begin{equation*} \begin{aligned} y(n) &=\,\, v(n) \,\ast\, h_0(n), \\[1mm] Y(z) &=\,\, V(z) \, H(z). \end{aligned} \end{equation*}

Des Weiteren gelten die folgenden Transformationen

\begin{equation*} \begin{aligned} V(z) &=\,\, \mathcal{Z}\big\{v(n)\big\}, \\[1mm] Y(z) &=\,\, \mathcal{Z}\big\{y(n)\big\}, \end{aligned} \end{equation*}

woraus sich Folgendes für den Zusammenhang zwischen Impulsantwort und Übertragungsfunktion ergibt:

\begin{equation} \begin{aligned} H(z) &=\,\, \mathcal{Z}\big\{h_0(n)\big\}, \\[1mm] h_0(n) &=\,\, \mathcal{Z}^{-1}\big\{H(z)\big\}. \end{aligned} \end{equation}

Auch hier folgten aus den Überlegungen zur Fourier-Transformation folgende Beziehungen:

\begin{equation*} \begin{aligned} y(n) &=\,\, v(n) \,\ast\, h_0(n), \\[1mm] Y(e^{j\Omega}) &=\,\, V(e^{j\Omega}) \, H(e^{j\Omega}). \end{aligned} \end{equation*}

Zudem gelten die folgenden Transformationen

\begin{equation*} \begin{aligned} V(e^{j\Omega}) &=\,\, \mathcal{F}\big\{v(n)\big\}, \\[1mm] Y(e^{j\Omega}) &=\,\, \mathcal{F}\big\{y(n)\big\}, \end{aligned} \end{equation*}

woraus sich Folgendes für den Zusammenhang zwischen Impulsantwort und Übertragungsfunktion ergibt:

\begin{equation} \begin{aligned} H(e^{j\Omega}) &=\,\, \mathcal{F}\big\{h_0(n)\big\}, \\[1mm] h_0(n) &=\,\, \mathcal{F}^{-1}\big\{H(e^{j\Omega})\big\}. \end{aligned} \end{equation}

Zusammenhänge zwischen den einzelnen Systembeschreibungen - Teil 3

Übersicht über die Zusammenhänge für kontinuierliche Systeme

ZusammenhangKont3
\(H(j\omega)\,=\,?\)
\(H(s)\,=\,?\)
\( h_{-1}(t) \)
\( h_{-1}(t)\,=\, ? \)
\( h_{-1}(t)\,=\, ? \)
\( \scriptsize{h_{-1}(t)=\int\limits_{\tau=-\infty}^{t}h_{0}(\tau)d\tau} \)
\(H(j\omega),\)
\(H(s)\)
Frequenz- gang, Über- tragungs- funktion
\(h_0(t)=\frac{d h_{-1}(t)}{dt}\)
\(\scriptsize{h_0(t)=\mathcal{F}^{-1}\big\{H(j\omega)\big\}}\)
\(\scriptsize{h_0(t)=\mathcal{L}^{-1}\big\{H(s)\big\}}\)
\( h_{0}(t) \)
\(H(j\omega) = \mathcal{F}\big\{h_0(t)\big\} \)
\(H(s) = \mathcal{L}\big\{h_0(t)\big\} \)

Übersicht über die Zusammenhänge für diskrete Systeme

ZusammenhangDisk3
\(H(e^{j\Omega})\,=\,?\)
\(H(z)\,=\,?\)
\( h_{-1}(n) \)
\( h_{-1}(n)\,=\, ? \)
\( h_{-1}(n)\,=\, ? \)
\(\scriptsize{h_{-1}(n)=\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n}h_{0}(\kappa)}\)
\(H(e^{j\Omega}),\)
\(H(z)\)
\(h_0(n) = h_{-1}(n)\)
\(- h_{-1}(n-1)\)
\( \scriptsize{h_0(n) = \mathcal{F}^{-1}\big\{H(e^{j\Omega})\big\}} \)
\( \scriptsize{h_0(n) = \mathcal{Z}^{-1}\big\{H(z)\big\}} \)
\( h_{0}(n) \)
\(H(e^{j\Omega}) = \mathcal{F}\big\{h_0(n)\big\} \)
\(H(z) = \mathcal{Z}\big\{h_0(n)\big\} \)

Zusammenhang zwischen Sprungantwort und Übertragungsfunktion

Herleitung

Für kontinuierliche Signale und Systeme haben wir bei den Überlegungen zur Laplace-Transformation folgende Beziehungen gefunden (Integration):

\begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{L}\big\{ v(t) \big\} &=\,\, V(s), \\[1mm] \mathcal{L}\Bigg\{\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{t} v(\tau)\,d\tau \Bigg\} &=\,\, \frac{1}{s}\,V(s). \end{aligned} \end{equation*}

Da die Impuls- und die Sprungantwort über eine solche Integrationsbeziehung

\begin{equation*} h_{-1}(t) \,\,=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{t}\!\!h_{0}(\tau)\,d\tau \end{equation*}

verknüpft sind, gilt:

\begin{equation}\frac{1}{s}\,H(s) \,\,=\,\, \mathcal{L}\big\{h_{-1}(t)\big\}. \end{equation}

Analog dazu haben wir für diskrete Signale und Systeme bei den Überlegungen zur Z-Transformation folgende Beziehungen gefunden (Integration):

\begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{Z}\big\{ v(n) \big\} &=\,\, V(z), \\[1mm] \mathcal{Z}\Bigg\{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{n} v(\kappa) \Bigg\} &=\,\, \frac{V(z)}{1-z^{-1}}. \end{aligned} \end{equation*}

Da die Impuls- und die Sprungantwort über eine solche Integrationsbeziehung

\begin{equation*} h_{-1}(t) \,\,=\,\, h_{-1}(n) \,\,=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n} h_{0}(\kappa) \end{equation*}

verknüpft sind, gilt:

\begin{equation}\frac{1}{1-z^{-1}}\,H(z)\,\,=\,\,\mathcal{Z}\big\{h_{-1}(n)\big\}.\end{equation}

Zusammenhang zwischen Sprungantwort und Frequenzgang

Kontinuierliche Signale und Systeme

Für die Fourier-Transformierte der Sprungfunktion haben wir folgendes Ergebnis erhalten (vgl. Ende des Abschnitts "Laplace- und z-Transformation"):

\begin{equation*} \mathcal{F}\Big\{\delta_{-1}(t)\Big\} \,=\, \pi\,\delta_0(\omega)+\frac{1}{j\omega}. \end{equation*}

Transformiert man dieses Ergebnis zurück in den "Zeit"-Bereich, so erhält man:

\begin{equation*} \delta_{-1}(t) \,=\, \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\bigg[\pi\,\delta_0(\omega)+\frac{1}{j\omega}\bigg]\,e^{j\omega t}\,d\omega \end{equation*}

Bestimmt man dafür die Sprungantwort eines linearen, verschiebungsinvarianten Systems, so erhält man:

\begin{equation*} \begin{aligned} S\Big\{\delta_{-1}(t)\Big\} &=\,\, S\left\{\,\frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty} \bigg[\pi\,\delta_0(\omega)+\frac{1}{j\omega}\bigg]\,e^{j\omega t}\,d\omega\right\}\\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Vertauschen von Integration und Systemantwort ...}}}\\[1mm] S\Big\{\delta_{-1}(t)\Big\} &=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty} \bigg[\pi\,\delta_0(\omega)+\frac{1}{j\omega}\bigg]\,S\Big\{\,e^{j\omega t}\Big\}\,d\omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der einzelnen Systemantworten ...}}}\\[1mm] h_{-1}(t) &=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty} \bigg[\pi\,\delta_0(\omega)+\frac{1}{j\omega}\bigg]\,H(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufspalten der Summe im Integral ...}}}\\[1mm] h_{-1}(t) &=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\pi\,\delta_0(\omega)\,H(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega + \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\frac{H(j\omega)}{j\omega}\,e^{j\omega t}\,d\omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Ausblendeigenschaft des Dirac-Stoßes verwenden ...}}}\\[1mm] h_{-1}(t) &=\,\, \frac{1}{2\pi}\,\pi H(0)\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\delta_0(\omega)\,\overbrace{e^{j 0 t}}^{=1}\,d\omega + \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty}\frac{H(j\omega)}{j\omega}\,e^{j\omega t}\,d\omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Flächeneigenschaft und Transformationsdefinition verwenden ...}}}\\[1mm] h_{-1}(t) &=\,\, \frac{H(0)}{2} + \mathcal{F}^{-1}\left\{\frac{H(j\omega)}{j\omega}\right\}. \end{aligned} \end{equation*}

Als Ergebnis erhält man schließlich durch Anwendung der Fourier-Transformation:

\begin{equation*} \begin{aligned} h_{-1}(t) &=\,\, \frac{H(0)}{2} + \mathcal{F}^{-1}\left\{\frac{H(j\omega)}{j\omega}\right\} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Beide Seiten Fourier-Transformieren ...}}}\\[1mm] \mathcal{F}\Big\{ h_{-1}(t) - \frac{H(0)}{2} \Big\} &=\,\,\mathcal{F}\Bigg\{ \mathcal{F}^{-1}\left\{\frac{H(j\omega)}{j\omega}\right\}\Bigg\} \\[1mm] \end{aligned} \end{equation*}

\begin{equation} \mathcal{F}\Big\{ h_{-1}(t) - \frac{H(0)}{2} \Big\} \,\,=\,\,\frac{H(j\omega)}{j\omega}. \end{equation}

Dabei ist der Frequenzgang bei der Frequenz \(0\) das Integral über die Impulsantwort:

\begin{equation*}H(0)=\int\limits_{t=-\infty}^{\infty}h_0(t)\,dt \end{equation*}

Diskrete Signale und Systeme

Eine analoge Herleitung kann für diskrete Systeme durchgeführt werden. Wir starten zunächst mit der Fourier-Transformierten der Sprungfolge (vgl. wieder Ende des Abschnitts "Laplace- und z-Transformation"):

\begin{equation*} \mathcal{F}\Big\{ \gamma_{-1}(n) \Big\} \,\,=\,\, \pi\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty} \delta_0(\Omega-\lambda\,2\pi) + \frac{1}{2j}\,\cot\left(\frac{\Omega}{2}\right)+\frac{1}{2}. \end{equation*}

Den rechten Teil dieser Gleichung formen wir zunächst noch ein wenig um:

\begin{equation*} \begin{aligned} &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der cot-Definition ...}}}\\[1mm] \frac{1}{2j}\,\cot\left(\frac{\Omega}{2}\right)+\frac{1}{2} &=\,\, \frac{1}{2j}\,\frac{\cos(\Omega/2)}{\sin(\Omega/2)} + \frac{1}{2} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Umwandeln der cos- und sin-Terme ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{1}{2j}\,\frac{\frac{1}{2}(e^{j\frac{\Omega}{2}}+e^{-j\frac{\Omega}{2}})}{\frac{1}{2j}(e^{j\frac{\Omega}{2}}-e^{-j\frac{\Omega}{2}})} + \frac{1}{2} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Ausklammern von \(e^{j\frac{\Omega}{2}}\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{1}{2}\,\frac{1+e^{-j\Omega}}{1-e^{-j\Omega}} + \frac{1}{2} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Gemeinsamer Nenner ...}}}\\[1mm] &=\,\,\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,e^{-j\Omega} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\,e^{-j\Omega}}{1-e^{-j\Omega}} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Vereinfachen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{1}{1-e^{-j\Omega}} \end{aligned} \end{equation*}

Durch die Umformung ergibt sich nun

\begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{F}\Big\{ \gamma_{-1}(n) \Big\} &=\,\,\pi\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\delta_0(\Omega-\lambda\,2\pi)+\frac{1}{2j} \cot\left(\frac{\Omega}{2}\right)+\frac{1}{2} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der zuvor erhaltenen Ergebnisse ...}}}\\[1mm] &=\,\,\pi\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}\!\delta_0(\Omega-\lambda\,2\pi) + \frac{1}{1-e^{-j\Omega}}. \end{aligned} \end{equation*}

Nach einer Fourier-Rücktransformation erält man:

\begin{equation*} \gamma_{-1}(n) \,\,=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\Omega=-\pi}^{\pi} \bigg[\pi\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty} \delta_0(\Omega-\lambda\,2\pi) + \frac{1}{1-e^{-j\Omega}}\bigg]\,e^{j\Omega n}\,d\Omega. \end{equation*}

Nach einer zum kontinuierlichen Fall sehr ähnlichen Umformung (Systemantwort und dann Umformen) kommt man zu folgendem Zusammenhang:

\begin{equation} \frac{1}{1-e^{-j\Omega}} \,H(e^{j\Omega}) \,\,=\,\, \mathcal{F}\Big\{ h_{-1}(n) - \frac{H(e^{j0})}{2} \Big\}. \end{equation}

Bemerkungen

Die Terme \(H(0)\) bzw. \(H(e^{j0})\,=\,H(1)\) beschreiben die Fähigkeit eines Systems zur Übertragung von konstanten Signalanteilen ( = Komponenten bei der Frequenz \(\omega\,=\,0\) bzw. \(\Omega\,=\,0\)). Im Kontinuierlichen gilt:

\begin{equation*} \begin{aligned} H(0) &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} h_0(t)\,\overbrace{e^{j0t}}^{=1}\,dt \\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} h_0(t)\,dt \\[1mm] &=\,\, h_{-1}(\infty). \end{aligned} \end{equation*}

Im Diskreten gilt analog:

\begin{equation*} \begin{aligned} H(e^{j0}) &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} h_0(n)\,\overbrace{e^{j0n}}^{=1} \\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} h_0(n) \\[1mm] &=\,\, h_{-1}(\infty). \end{aligned} \end{equation*}

Zusammenhänge zwischen den einzelnen Systembeschreibungen - Zusammenfassung

Übersicht über die Zusammenhänge für kontinuierliche Systeme

ZusammenhangKontZsm
\(H(j\omega) = j\omega\,\mathcal{F}\Big\{ h_{-1}(t) - \frac{h_{-1}(\infty)}{2} \Big\} \)
\(H(s) = s\,\mathcal{L}\big\{h_{-1}(t)\big\} \)
\( h_{-1}(t) \)
\( h_{-1}(t) = \frac{H(0)}{2} + \mathcal{F}^{-1}\left\{\frac{H(j\omega)}{j\omega}\right\} \)
\( h_{-1}(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{H(s)}{s}\right\} \)
\( \scriptsize{h_{-1}(t)=\int\limits_{\tau=-\infty}^{t}h_{0}(\tau)d\tau} \)
\(H(j\omega),\)
\(H(s)\)
Frequenz- gang, Über- tragungs- funktion
\(h_0(t)=\frac{d h_{-1}(t)}{dt}\)
\(\scriptsize{h_0(t)=\mathcal{F}^{-1}\big\{H(j\omega)\big\}}\)
\(\scriptsize{h_0(t)=\mathcal{L}^{-1}\big\{H(s)\big\}}\)
\( h_{0}(t) \)
\(H(j\omega) = \mathcal{F}\big\{h_0(t)\big\} \)
\(H(s) = \mathcal{L}\big\{h_0(t)\big\} \)

Übersicht über die Zusammenhänge für diskrete Systeme

ZusammenhangDiskZsm
\(H(e^{j\Omega}) = (1-e^{-j\Omega}) \mathcal{F}\left\{ h_{-1}(n) - \frac{h_{-1}(\infty)}{2} \right\} \)
\(H(z) = (1-z^{-1})\,\mathcal{Z}\big\{h_{-1}(n)\big\} \)
\( h_{-1}(n) \)
\( h_{-1}(n) = \frac{H(e^{j0})}{2} + \mathcal{F}^{-1}\left\{\frac{H(e^{j\Omega})}{1-e^{-j\Omega}}\right\} \)
\( h_{-1}(n) = \mathcal{Z}^{-1}\left\{ \frac{H(z)}{1-z^{-1}}\right\} \)
\(\scriptsize{h_{-1}(n)=\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n}h_{0}(\kappa)}\)
\(H(e^{j\Omega}),\)
\(H(z)\)
\(h_0(n) = h_{-1}(n)\)
\(- h_{-1}(n-1)\)
\( \scriptsize{h_0(n) = \mathcal{F}^{-1}\big\{H(e^{j\Omega})\big\}} \)
\( \scriptsize{h_0(n) = \mathcal{Z}^{-1}\big\{H(z)\big\}} \)
\( h_{0}(n) \)
\(H(e^{j\Omega}) = \mathcal{F}\big\{h_0(n)\big\} \)
\(H(z) = \mathcal{Z}\big\{h_0(n)\big\} \)

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Auf welche Weise stehen die Impuls- und die Sprungantwort eines linearen, verschiebungsinvarianten Systems in Verbindung?.

Über die Integrationsbeziehung \begin{equation*} h_{-1}(t) \,=\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{t} h_{0}(\tau)\,d\tau \end{equation*} bzw. \begin{equation*} h_{-1}(n) \,=\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{n} h_{0}(\kappa) \end{equation*}

Wie stehen die Fourier-Transformation der Sprungantwort und der Frequenzgang eines linearen, verschiebungsinvarianten Systems in Verbindung?

Über die Beziehung \begin{equation*} \mathcal{F}\Big\{h_{-1}(t)-\frac{H(0)}{2} \Big\} \,=\, \frac{H(j\omega)}{j\omega} \end{equation*} bzw. \begin{equation*} \frac{1}{1-e^{-j\Omega}}\,H(e^{j\Omega}) \,=\, \mathcal{F}\Big\{h_{-1}(n)-\frac{H(e^{j0})}{2}\Big\}.\end{equation*}

Wie kann man die Impulsantwort eines Systems messen bzw. schätzen?

Durch Anregung des Systems mit einem Dirac-Stoß bzw. einem Einheits-Impuls.

Beispiel

Beispielaufgabe:
Gegeben sei folgende Impulsantwort \begin{equation*} h_{0}(n) \,\,=\,\,\gamma_0(n) + a\,\gamma_0(n-4) \end{equation*}
  • Zeichnen Sie die Impulsantwort!
  • Bestimmen Sie...
    • ... die Sprungantwort und skizzieren Sie diese!
    • ... den Frequenzgang!
    • ... die Übertragungsfunktion!
  • Bestimmen Sie die Nullstellen der Übertragungsfunktion für \(a\,=\,1\) und für \(a\,=\,-1\)!
  • Skizzieren Sie den Frequenzgang für \(a\,=\,1\)!
Zum Anzeigen oder Verbergen der Lösung bitte den Button rechts betätigen.

In der folgenden Abbildung ist die Impulsantwort skizziert:


bsp_aufgabe_01
\(h_0(n)\)
\(n\)


Anzumerken ist hierbei, dass \(a\,=\,-1\) gewählt wurde. Die Sprungantwort ergibt sich aus dem Zusammenhang zwischen Impuls- und Sprungantwort und lautet

\begin{equation*} \begin{aligned} h_{-1}(n) &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^n h_0(\kappa) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Impulsantwort ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^n \big(\gamma_0(\kappa)\,+\,a\,\gamma_0(\kappa-4)\big) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufteilen in zwei Summenterme ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^n \gamma_0(\kappa)\, + \sum\limits_{\kappa=-\infty}^n \,a\,\gamma_0(\kappa-4)\\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition der Sprungfolge ...}}}\\[1mm] &=\,\, \gamma_{-1}(n) \,+\, a\,\gamma_{-1}(n-4). \end{aligned} \end{equation*}

und ist in der folgenden Abbildung dargestellt:


bsp_aufgabe_02
\(h_{-1}(n)\)
\(n\)


Der Frequenzgang ist die Fourier-Transformierte der Impulsantwort und lautet:

\begin{equation*} \begin{aligned} H(e^{j\Omega}) &=\,\, \mathcal{F}\big\{h_0(n)\big\} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Impulsantwort ...}}}\\[1mm] &=\,\, \mathcal{F}\big\{\gamma_0(n) + a\,\gamma_0(n-4)\big\} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Linearität: \(a_1 v_1(n)+a_2 v_2(n) \circ \!\! -\!\! \bullet a_1 V_1(e^{j\Omega}) + a_2 V_2(e^{j\Omega})\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, \mathcal{F}\big\{\gamma_0(n)\big\} + a \mathcal{F}\big\{\gamma_0(n-4)\big\}\\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Zeitverschiebung: \(v(n-n_0) \circ \!\! -\!\! \bullet V(e^{j\Omega}) e^{-j\Omega n_0}\) und Transformation \(\gamma_0(n) \circ \!\! -\!\! \bullet 1\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, 1 + a e^{-j 4 \Omega}. \end{aligned} \end{equation*}

Die Übertragungsfunktion ist die z-Transformierte der Impulsantwort und lautet:

\begin{equation*} \begin{aligned} H(z) &=\,\, \mathcal{Z}\big\{h_0(n)\big\} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der Impulsantwort ...}}}\\[1mm] &=\,\, \mathcal{Z}\big\{\gamma_0(n) + a\,\gamma_0(n-4)\big\} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Linearität: \(a_1 v_1(n)+a_2 v_2(n) \circ \!\! -\!\! \bullet a_1 V_1(z) + a_2 V_2(z)\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, \mathcal{Z}\big\{\gamma_0(n)\big\} + a \mathcal{Z}\big\{\gamma_0(n-4)\big\}\\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Zeitverschiebung: \(v(n-n_0) \circ \!\! -\!\! \bullet z^{-n_0} V(e^{j\Omega})\) und Transformation \(\gamma_0(n) \circ \!\! -\!\! \bullet 1\) ...}}}\\[1mm] &=\,\, 1 + a z^{-4}. \end{aligned} \end{equation*}

Für \(a=1\) lautet die Übertragungsfunktion wie folgt:

\begin{equation*} \begin{aligned} H(z) &=\,\, 1 + z^{-4} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Umformen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{z^4}{z^4} + \frac{1}{z^4} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Umformen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{z^4 + 1}{z^4} \end{aligned} \end{equation*}

D.h. die Nullstellen liegen bei \(z^4 + 1 = 0\) also \(z_{0,1} = i\) und \(z_{0,2} = -i\). Die Übertragungsfunktion lautet für \(a = -1\):

\begin{equation*} \begin{aligned} H(z) &=\,\, 1 - z^{-4} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Umformen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{z^4}{z^4} - \frac{1}{z^4} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Umformen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{z^4 - 1}{z^4} \end{aligned} \end{equation*}

D.h. die Nullstellen liegen bei \(z^4 - 1 = 0\) also \(z_{0,1} = 1\) und \(z_{0,2} = -1\). Die folgende Abbildung zeigt den Frequenzgang für \(a=1\):


bsp_aufgabe_02
\(\pi\)
\(-\pi\)
\(0\)
\(|H(j\omega)|\) in dB



Stabilität linearer Systeme

BIBO (bounded input – bounded output) - Stabilität

Herleitung

Im Grundlagenabschnitt wurde bereits die sog. BIBO-Stabilität eingeführt. Jetzt sind die Berechnungsweisen für die Ausgangssignale aus den Eingangssignalen bekannt und es können konkrete Forderungen an die Systemparameter abgeleitet werden. Für ein beschränktes Eingangssignal \(|v(t)| \,\le\, M_1 \,<\,\infty \) muss dann für kontinuierliche Signale und Systeme gelten:

\begin{equation*} \begin{aligned} \big|y(t)\big| &=\,\, \left|\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty} v(\tau)\,h_0(t,\tau)\,d\tau \,\right| \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Abschätzung ...}}}\\[1mm] &\le\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty} \big|v(\tau)\,h_0(t,\tau)\big|\,d\tau \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Betragszerlegung für Produkte ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty} \big|v(\tau)\big|\,\big|h_0(t,\tau)\big|\,d\tau \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Abschätzung gemäß Annahme ...}}}\\[1mm] &\le\,\, M_1 \,\int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty} \big|h_0(t,\tau)\big|\,d\tau \\[1mm] &\le\,\, M_2 \,\,<\,\, \infty. \end{aligned} \end{equation*}

Eine hinreichende Bedingung sei hierbei:

\begin{equation*} \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty} \big|h_0(t,\tau)\big|\,d\tau \,\le\, M_3 \,<\,\infty \end{equation*}

Fordert man zusätzlich noch Verschiebungsinvarianz, dann ergibt sich

\begin{equation} \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} \big|h_0(t)\big|\,dt \,\le\, M_3 \,<\,\infty \end{equation}

Das heißt bei einem linearen System mit absolut integrierbarer Impulsantwort liegt BIBO-Stabilität vor!

Betrachten wir nun im Diskreten ein beschränktes Eingangssignal \(|v(n)| \,\le\, M_1 \,<\,\infty \), dann muss für diskrete Signale und Systeme gelten:

\begin{equation*} \begin{aligned} \big|y(n)\big| &=\,\, \left|\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty} v(\kappa)\,h_0(n,\kappa)\,\right| \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Abschätzung ...}}}\\[1mm] &\le\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty} \big|v(\kappa)\,h_0(n,\kappa)\big| \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Betragszerlegung für Produkte ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty} \big|v(\kappa)\big|\,\big|h_0(n,\kappa)\big|. \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Abschätzung gemäß Annahme ...}}}\\[1mm] &\le\,\, M_1 \,\sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty} \big|h_0(n,\kappa)\big|\\[1mm] &\le\,\, M_2 \,\,<\,\, \infty. \end{aligned} \end{equation*}

Eine hinreichende Bedingung sei hierbei:

\begin{equation*} \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty} \big|h_0(n,\kappa)\big| \,\le\, M_3 \,<\,\infty \end{equation*}

Fordert man zusätzlich noch Verschiebungsinvarianz, dann ergibt sich

\begin{equation} \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty} \big|h_0(n)\big| \,\le\, M_3 \,<\,\infty \end{equation}

Das heißt auch bei einem linearen System mit absolut summierbarer Impulsantwort liegt BIBO-Stabilität vor!

Bemerkungen

Man kann zeigen, dass diese Bedingungen auch notwendig sind. Systeme, welche die zuvor genannten Bedingungen nicht erfüllen, reagieren u.U. mit unbeschränkten Ausgängen auf beschränkte Eingangssignale und sind daher nicht stabil. Außerdem entpsrechen die genannten Bedingungen denen für die Existenz der Fourier-Transformation. Dort sind diese aber nur hinreichend. Darauf folgt, dass für ein BIBO-stabiles LTI-System stets die Fourier-Transformierte \(H(j\omega) = \mathcal{F}\big\{h_0(t)\big\} \) bzw. \(H(e^{j\Omega}) = \mathcal{F}\big\{h_0(n)\big\} \). Der Umkehrschluss ist allerdings nicht richtig! Auch wenn man für ein LTI-System den Frequenzgang \(H(j\omega) \) bzw. \(H(e^{j\omega})\) angeben kann, ist das System nicht notwendigerweise stabil! Für endliche lange, begrenzte Signale existieren stets Fourier-Transformierte, da diese Signale stets absolut integrierbar bzw. summierbar sind. Daraus folgt, dass Lineare Systeme mit endlich langer, beschränkter Impulsantwort sind stets stabil sind.

Besondere Symmetrien bei reellwertigen Systemen

Definition (Wiederholung)

Aus dem ersten Vorlesungsabschnitt ist bekannt, dass wenn für

\begin{equation*} \boldsymbol{v}(...) = \big[v_0(...),\,...,\,v_l(...),\,...,\,v_{L-1}(...) \big]^T \end{equation*}

mit

\begin{equation*} v_l(...) \, \in \, \mathbb{R} \quad \forall\,l,t,n \end{equation*}

stets auch für

\begin{equation*} \boldsymbol{y}(...) = \big[y_0(...),\,...,\,y_l(...),\,...,\,y_{R-1}(...) \big]^T \end{equation*}

gilt

\begin{equation*} y_r(...) \, \in \, \mathbb{R} \quad \forall\,r,t,n, \end{equation*}

dann spricht man von einem reellwertigen System, sonst von einem komplexwertigen System. Bringen wir nun unsere zuvor gewonnenen Kenntnisse über LTI-Systeme ein, so kann der Zusammenhang zwischen den Ein- und Ausgangssignalen der LTI-Systeme mittels einer Faltung beschrieben werden. Für kontinuierliche Signale gilt

\begin{equation} y(t) \,= \int\limits_{\tau=-\infty}^{\infty} h_0(\tau)\,v(t-\tau)\,dt \end{equation}

und für diskrete Signale

\begin{equation} y(n) \,= \sum\limits_{\kappa=-\infty}^{\infty} h_0(\kappa)\,v(n-\kappa) \end{equation}

Aus den Faltungszusammenhängen folgt nun unmittelbar: Wenn sowohl das Eingangssignal als auch das Ausgangssignal reellwertig ist, dann muss auch die Impulsantwort reellwertig sein. Aus dieser Eigenschaft können einige hilfreiche Eigenschaften des Frequenzgangs und der Übertragungsfunktion von reellwertigen LTI-Systemen hergeleitet werden!

Symmetrien des Frequenzgangs

Übertragung der Symmetrieeigenschaften von Signal-Spektrum-Paaren

Die für reelle Signale hergeleiteten Symmetrieüberlegungen können auf die Frequenzgänge von reellen Systemen übertragen werden. So gilt für kontinuierliche Systeme:

\begin{equation*} \begin{aligned} \text{Re}\Big\{ H(j\omega) \Big\} &=\,\, \text{Re}\Big\{ H(-j\omega) \Big\}, \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{gerade}}}\\[1mm] \text{Im}\Big\{ H(j\omega) \Big\} &=\,\, -\text{Im}\Big\{ H(-j\omega) \Big\}. \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{ungerade}}} \end{aligned} \end{equation*}

Damit ergibt sich für den Betrag und für die Phase

\begin{equation*} \begin{aligned} \Big| H(j\omega) \Big| &=\,\, \Big| H(-j\omega) \Big|, \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{gerade}}}\\[1mm] \text{arg}\Big\{ H(j\omega) \Big\} &=\,\, -\text{arg}\Big\{ H(-j\omega) \Big\}. \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{ungerade}}} \end{aligned} \end{equation*}

Analog gilt für diskrete Systeme:

\begin{equation*} \begin{aligned} \text{Re}\Big\{ H(e^{j\Omega}) \Big\} &=\,\, \text{Re}\Big\{ H(e^{-j\Omega}) \Big\}, \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{gerade}}}\\[1mm] \text{Im}\Big\{ H(e^{j\Omega}) \Big\} &=\,\, -\text{Im}\Big\{ H(e^{-j\Omega}) \Big\}. \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{ungerade}}} \end{aligned} \end{equation*}

Damit ergibt sich für den Betrag und für die Phase

\begin{equation*} \begin{aligned} \Big| H(e^{j\Omega}) \Big| &=\,\, \Big| H(e^{-j\Omega}) \Big|, \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{gerade}}}\\[1mm] \text{arg}\Big\{ H(e^{j\Omega}) \Big\} &=\,\, -\text{arg}\Big\{ H(e^{-j\Omega}) \Big\}. \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{ungerade}}} \end{aligned} \end{equation*}

Allgemein lässt sich schließen: Der Frequenzgang eines reellwertigen Systems ist hermite-symmetrisch!

Eigenschaften der Übertragungsfunktion

Allgemeines

Betrachtet man die Laplace-Transformation für reellwertige Impulsantworten, so ergibt sich für kontinuierliche Systeme

\begin{equation*} \begin{aligned} H(s) &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} h_0(t)\,e^{-st}\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Reellwertigkeit der Impulsantwort ...}}}\\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} h_0^*(t)\,e^{-st}\,dt. \end{aligned} \end{equation*}

Bestimmt man nun die Übertragungsfunktion mit der oben genannten Besonderheit für die konjugiert komplexe Variable, so erhält man

\begin{equation*} \begin{aligned} H(s^*) &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} h_0^*(t)\,\overbrace{e^{-s^*t}}^{=[e^{-st}]^*}\,dt \\[1mm] &=\,\, \int\limits_{t=-\infty}^{\infty} \Big[h_0(t)\,e^{-st}\Big]^*\,dt \\[1mm] &=\,\, \left[\,\,\int\limits_{t=-\infty}^{\infty} h_0(t)\,e^{-st}\,dt\,\right]^*. \end{aligned} \end{equation*}

Zusammenfassend erhält man damit für reellwertige, kontinuierliche Systeme:

\begin{equation} H(s^*) \,=\, H^*(s). \end{equation}

Somit folgt, dass für \(s \in \mathbb{R} \) für reellwertige Systeme gilt:

\begin{equation*} H(s)\big|_{s\in\mathbb{R}} \,\,\in\,\,\mathbb{R}. \end{equation*}

Analog hierzu ergibt sich für diskrete Systeme bei Betrachtung der z-Transformation für reellwertige Impulsantworten

\begin{equation*} \begin{aligned} H(z) &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} h_0(n) \, z^{-n} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Reellwertigkeit der Impulsantwort ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} h_0^*(n) \, z^{-n}. \end{aligned} \end{equation*}

Bestimmt man nun die Übertragungsfunktion mit der oben genannten Besonderheit für die konjugiert komplexe Variable, so erhält man

\begin{equation*} \begin{aligned} H(z^*) &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} h_0^*(n) \, \overbrace{(z^*)^{-n}}^{=[z^{-n}]^*} \\[1mm] &=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \Big[ h_0(n) \, z^{-n}\Big]^* \\[1mm] &=\,\, \left[\,\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} h_0(n) \, z^{-n}\,\right]^*. \end{aligned} \end{equation*}

Zusammenfassend erhält man damit für reellwertige, diskrete Systeme:

\begin{equation} H(z^*) \,=\, H^*(z). \end{equation}

Somit folgt, dass für \(z \in \mathbb{R} \) für reellwertige Systeme gilt:

\begin{equation*} H(z)\big|_{z\in\mathbb{R}} \,\,\in\,\,\mathbb{R}. \end{equation*}

Nullstellen reellwertiger Systeme

Aus den zuvor beschriebenen Ergebnissen folgt eine wichtige Eigenschaft reellwertiger Systeme. Sei für kontinuierliche Systeme

\begin{equation*} H(s_0)\,\,=\,\,0, \end{equation*}

d.h. \(s_0\) ist eine Nullstelle von \(H(s)\). Dann muss auch gelten

\begin{equation} H(s_0^*)\,\,=\,\,0^* \,\,=\,\,0. \end{equation}

Die "Nullstelle" bei \(s_0\) bedeutet, dass das Signal \(v(t) = V\,e^{s_0 t} \) vom System unterdrückt bzw. nicht übertragen wird, d.h. \(Y(s_0)\,=\,0\)! Analog hierzu gilt für diskrete Systeme, wenn

\begin{equation*} H(z_0)\,\,=\,\,0, \end{equation*}

d.h. \(z_0\) ist eine Nullstelle von \(H(z)\), dann muss auch gelten

\begin{equation} H(z_0^*)\,\,=\,\,0^* \,\,=\,\,0. \end{equation}

Die "Nullstelle" bei \(z_0\) bedeutet, dass das Signal \(v(n) = V\,z_0^{n} \) vom System unterdrückt bzw. nicht übertragen wird, d.h. \(Y(z_0)\,=\,0\)!

Polstellen reellwertiger Systeme

Analog zu den "Nullstellen"-Überlegungen erhält man für Polstellen ähnlichen Ergebnisse. Sei für kontinuierliche Systeme

\begin{equation*} H(s_{\infty})\,\,=\,\,\infty, \end{equation*}

d.h. \(s_{\infty}\) ist eine Polstelle von \(H(s)\). Dann muss auch gelten

\begin{equation} H(s_{\infty}^*)\,\,=\,\,\infty. \end{equation}

Für diskrete Systeme gilt nun, wenn

\begin{equation*} H(z_{\infty})\,\,=\,\,\infty, \end{equation*}

d.h. \(z_{\infty}\) ist eine Polstelle von \(H(z)\), dann muss auch gelten

\begin{equation} H(z_{\infty}^*)\,\,=\,\,\infty. \end{equation}

Zusammenfassung

Komplexe Nullstellen und Polstellen treten bei reellwertigen Systemen stets in konjugiert-komplexen Paaren auf (wenn sie denn komplex sind). Reelle Nullstellen \(s_0 \in \mathbb{R}\) bzw. \(z_0 \in \mathbb{R}\) und reelle Polstellen \(s_{\infty} \in \mathbb{R}\) bzw. \(z_{\infty} \in \mathbb{R}\) haben (natürlich) keine "konjugierten Gegenstücke".

PolNullReellerSysteme
\( \text{Im}\{s\} \)
\( \text{Re}\{s\} \)
\( \text{Im}\{z\} \)
\( \text{Re}\{z\} \)
Komplexe Polstelle
\( \xrightarrow{\,\,} \)
Komplexe Nullstelle
\( \xleftarrow{\qquad \,\,} \)
Reelle Polstelle
\( \xrightarrow{\,} \)
Reelle Nullstelle
\( \xleftarrow{\qquad \,} \)
Konjugiert komplexe Polstelle
\( \xleftarrow{\,\,} \)
Konjugiert komplexe Nullstelle
\( \xleftarrow{\qquad \,\,} \)
Einheitskreis
\( \xleftarrow{\,\,} \)
Komplexe Nullstelle
\( \xrightarrow{\,\,} \)
Komplexe Polstelle
\( \xleftarrow{\qquad \,\,} \)
Reelle Polstelle
\( \xrightarrow{\qquad \,} \)
Reelle Nullstelle
\( \xleftarrow{\qquad} \)
Konjugiert komplexe Nullstelle
\( \xleftarrow{\,\,} \)
Konjugiert komplexe Polstelle
\( \xleftarrow{\qquad \,\,} \)

Gebrochen-rationale Übertragungsfunktionen

Systembeschreibung durch Differential- und Differenzengleichung

Allgemeines

Bekannt ist die Form der Systembeschreibung mittels Differential- und Differenzengleichungen aus der Schaltungssynthese (siehe Grundlagen der Elektrotechnik). Elektrische Netzwerke aus konstanten, linearen (idealisierten) Bauelementen (R, L, C) sind

und sie werden beschrieben durch sog. lineare "Integro-Differentialgleichungen", die sich in eine lineare Differentialgleichung (DGL) k-ter Ordnung umformen lassen, wenn es nur eine Eingangsgröße \(v(t)\) und nur eine Ausgangsgröße \(y(t)\) gibt (sonst bleiben mehrere Differentialgleichungen bestehen). Unter einer "Integro-Differentialgleichung" versteht man eine Gleichung in der nicht nur die Funktion und deren Ableitungen, sondern auch noch Integrationen der Funktion auftauchen!

Folgende Abkürzungen werden im weiteren Verlauf verwendet:

Eingangssignal: Ausgangssignal:
\begin{equation*} \begin{aligned} \dot{v}(t) &=\,\, \frac{d}{dt}\,v(t), \\[1mm] \ddot{v}(t) &=\,\, \frac{d^2}{(dt)^2}\,v(t), \\[1mm] & \,\, \vdots \\[1mm] v^{(\mu)}(t) &=\,\, \frac{d^{\mu}}{(dt)^{\mu}}\,v(t) \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} \dot{y}(t) &=\,\, \frac{d}{dt}\,y(t), \\[1mm] \ddot{y}(t) &=\,\, \frac{d^2}{(dt)^2}\,y(t), \\[1mm] & \,\, \vdots \\[1mm] y^{(\nu)}(t) &=\,\, \frac{d^{\nu}}{(dt)^{\nu}}\,y(t) \end{aligned} \end{equation*}

Somit ergibt sich für eine Differentialgleichung k-ter Ordnung

\begin{equation*} \beta_k\,y^{(k)}(t) + \beta_{k-1}\,y^{(k-1)}(t) + \,...\,+\beta_0\,y(t) \,\,=\,\,\alpha_m\,v^{(m)}(t)+\alpha_{m-1}\,v^{(m-1)}(t)+\,...\, +\alpha_0\,v(t). \end{equation*}

Solche Differentialgleichungen gibt es in vielen Bereichen, z.B. auch für mechanische Systeme. Im Allgemeinen gilt dabei \(k \neq m\).

Beispiel

Als Beispiel schauen wir uns einen Reihenschwingkreis gemäß der folgenden Skizze genauer an. Dabei sind alle Größen dimensionsbehaftet.

reihenschwingkreis
\( R \)
\( L \)
\( C \)
\( u_R(\tau) \)
\( u_L(\tau) \)
\( u_C(\tau) \)
\( u_q(\tau) \)
\( i(\tau) \)

Dabei ist die...

Eine Schaltungsanalyse ergibt folgende Integro-Differentialgleichung:

\begin{equation*} \begin{aligned} u_{q}(\tau) &=\,\, \underbrace{u_R(\tau)}_{=\,R\,i(\tau)} + \underbrace{u_L(\tau)}_{=\,L\,\frac{d\,i(\tau)}{d\tau}} + \underbrace{u_C(\tau)}_{=\,\frac{1}{C}\int i(\tau)d\tau} \\[1mm] &=\,\, R\,i(\tau) + L\,\frac{d\,i(\tau)}{d\tau} + \frac{1}{C}\int i(\tau)d\tau \end{aligned} \end{equation*}

Nun werden die folgenden Normierungen eingeführt:

Aus einer Umformung der Integro-Differentialgleichung folgt:

\begin{equation*} \begin{aligned} u_{q}(\tau) &=\,\, R\,i(\tau) + L\,\frac{d\,i(\tau)}{d\tau} + \frac{1}{C}\int i(\tau)d\tau \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Umformen der Gleichung ...}}}\\[1mm] \frac{u_{q}(t\,RC)}{U_0} &=\,\, \frac{R\,i(t\,RC)}{U_0} + \frac{L\,\frac{d\,R/U_0\,i(t\,RC)}{dt}}{R^2C} + \int R/U_0\,i(t\,RC)\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der normierten Größen ...}}}\\[1mm] v(t) &=\,\, y(t) + \frac{L}{R^2C}\,\dot{y}(t) + \int y(t)\, dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Alle Größen einmal differenzieren ...}}}\\[1mm] \dot{v}(t) &=\,\, \frac{L}{R^2C}\,\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)+ y(t) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Normieren auf \(\beta_2 \,=\,1\) ...}}}\\[1mm] \underbrace{\frac{RC}{L/R}}_{=\,\alpha_1}\,\dot{v}(t) &=\,\, \underbrace{1}_{=\,\beta_2}\,\ddot{y}(t) + \underbrace{\frac{RC}{L/R}}_{=\,\beta_1}\,\dot{y}(t) + \underbrace{\frac{RC}{L/R}}_{=\,\beta_0}\,y(t). \end{aligned} \end{equation*}

Nun bleibt noch die Frage nach den Vorteilen, die durch diese Umformung entstehen. Diese werden in den folgenden Abschnitten genauer erlätert.

Umrechnung der Differentialgleichung in eine Übertragungsfunktion

Bei LTI-Systemen gilt, dass man bei Anregung des Systems mit \(v(t)\,=\,Ve^{st}\) am Ausgang \(y(t)\,=\, H(s)Ve^{st}\) erhält. Weiterhin gilt für die Ableitung von Exponentialfunktionen

\begin{equation*} \frac{d^{\nu}}{(dt)^{\nu}} e^{st} = s^{\nu}\,e^{st} \end{equation*}

Damit kann die Differentialgleichung wie folgt umgestellt werden

\begin{equation*} \begin{aligned} \beta_k\,y^{(k)}(t) + \beta_{k-1}\,y^{(k-1)}(t) + \,...\,+\beta_0\,y(t) &=\,\, \alpha_m\,v^{(m)}(t)+\,...\,+\alpha_0\,v(t) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Exponentialfunktionen einsetzen ...}}}\\[1mm] \beta_k\,H(s)\,V\,s^k\,e^{st} + \beta_{k-1}\,H(s)\,V\,s^{k-1}\,e^{st} + \,...\,+\beta_0\,H(s)\,V\,e^{st} &=\,\, \alpha_m\,V\,s^m\,e^{st}+\,...\,+\alpha_0\,V\,e^{st} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Gleiche Terme (\(Ve^{st})\) kürzen ...}}}\\[1mm] \beta_k\,H(s)\,s^k + \beta_{k-1}\,H(s)\,s^{k-1} + \,...\,+\beta_0\,H(s) &=\,\, \alpha_m\,s^m+\,...\,+\alpha_0 \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{In Summenschreibweise ...}}}\\[1mm] H(s)\,\sum\limits_{\mu=0}^{k} \beta_{\mu}\,s^{\mu} &=\,\, \sum\limits_{\nu=0}^{m} \alpha_{\nu}\,s^{\nu} \end{aligned} \end{equation*}

Nun wird die Differentialgleichung umgestellt:

\begin{equation*} \begin{aligned} H(s)\,\sum\limits_{\mu=0}^{k} \beta_{\mu}\,s^{\mu} &=\,\, \sum\limits_{\nu=0}^{m} \alpha_{\nu}\,s^{\nu} \\[1mm] H(s)&=\,\, \frac{\sum\limits_{\nu=0}^{m} \alpha_{\nu}\,s^{\nu}}{\sum\limits_{\mu=0}^{k} \beta_{\mu}\,s^{\mu}}. \end{aligned} \end{equation*}

Die Übertragungsfunktion ist gebrochen-rational! Diese Beschreibung gilt für zahlreiche praktisch relevante Systeme. Sie gilt aber z.B. nicht für Systeme mit verteilten "Bauelementen" wie z.B. "Widerstandbelägen" oder "Kapazitätsbelägen", die in der Leitungstheorie vorkommen.

Beispiel

Damit kann dann für das vorherige Beispiel die Übertragungsfunktion angegeben werden. Hieraus kann z.B. ein Pol-Nullstellen-Diagramm oder – ein entsprechendes Konvergenzgebiet vorausgesetzt – der Frequenzgang bestimmt werden.

schwingkreis

Aufgabe

Gegeben sei die folgende Schaltung:

aufgabe_01
\(u_R(\tau)\)
\(u_C(\tau)\)
\(i(\tau)\)
\(R\)
\(C\)
\(u_q(\tau)\)

Mit dem normierten Eingangssignal \(v(t)=\frac{u_q(t RC)}{U_0}\)

und dem normierten Ausgangssignal \(y(t)=\frac{u_c(t RC)}{U_0}\).

Zum Anzeigen oder Verbergen der Lösung bitte den Button unten links betätigen.

Durch eine Schaltungsanalyse ergibt sich folgende Integro-Differentialgleichung:

\begin{equation*} \begin{aligned} u_q(\tau) &=\,\, \underbrace{u_R(\tau)}_{=\,R\,i(\tau)} + \underbrace{u_C(\tau)}_{=\,\frac{1}{C}\int i(\tau)d\tau} \\[1mm] &=\,\, R\,i(\tau) + \frac{1}{C}\int i(\tau)d\tau. \\[1mm] \end{aligned} \end{equation*}

Mit der zeitlichen Normierung \(\tau = t RC \rightarrow t = \frac{\tau}{RC}\) und den in der Aufgabenstellung genannten normierten Eingangs- und Ausgangsgrößen kann die Differentialgleichung umgeformt werden zu:

\begin{equation*} \begin{aligned} u_q(\tau) &=\,\, R\,i(\tau) + \frac{1}{C}\int i(\tau)d\tau \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der zeitlichen Normierung und Division durch \(U_0\) ...}}}\\[1mm] \frac{u_q(t\, RC)}{U_0} &=\,\, \frac{R\,i(t\,RC)}{U_0} + \frac{R}{U_0} \, \int \,i(t\,RC)\,dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Einsetzen der normierten Größen ...}}}\\[1mm] v(t) &=\,\, y(t) + \int y(t) dt \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Alle Größen einmal differenzieren ...}}}\\[1mm] \dot{v}(t) &=\,\, \dot{y}(t)+ y(t) \end{aligned} \end{equation*}

Daraus ergibt sich über die Formel

\begin{equation*} H(s)\,\,=\,\, \frac{\sum\limits_{\nu=0}^{m} \alpha_{\nu}\,s^{\nu}}{\sum\limits_{\mu=0}^{k} \beta_{\mu}\,s^{\mu}}. \end{equation*}

und durch die Tatsache, dass hier \(\alpha_0 = \beta_0 = \beta_1 = 1\) gilt, folgende Übertragungsfunktion:

\begin{equation*} H(s)\,=\,\frac{1}{1+s} \end{equation*}

Aus der Übertragungsfunktion ergibt sich für \(s = j\omega\) der Frequenzgang

\begin{equation*} H(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}. \end{equation*}

Der Betragsfrequenzgang ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

aufgabe_schaltkreis
\(\omega\)
\(|H(j\omega)|\) in dB


Es wird ersichtlich, dass es sich hier um einen Tiefpass handelt.

Diskrete Systeme

Gebrochen-rationale Systeme sind ebenso wichtig für viele praktisch relevante diskrete LTI-Systeme. Ganz entsprechend gilt dort

\begin{equation*} H(z) \,=\, \frac{\sum\limits_{\nu=0}^{m} \alpha_{\nu}\,z^{\nu}}{\sum\limits_{\mu=0}^{k} \beta_{\mu}\,z^{\mu}}. \end{equation*}

Beachtet man, dass \(Y(z)\,=\,H(z)V(z)\) gilt, so kann man folgende Umformung vornehmen:

\begin{equation*} \beta_k\,z^k\,Y(z) + \beta_{k-1}\,z^{k-1}\,Y(z) + \,...\,+\beta_0\,Y(z) \,=\,\alpha_m\,z^m\,V(z)+\,...\,+\alpha_0\,V(z) \end{equation*}

Beachtet man hier den Verschiebungssatz und transformiert obige Gleichung in den Zeitbereich, so ergibt sich folgende sogenannte Differenzengleichung:

\begin{equation*} \begin{aligned} \beta_k\,y(n-k) + \beta_{k-1}\,y(n-k+1) + \,...\,+\beta_0\,y(n) &=\,\, \alpha_m\,v(n-m)+\,...\,+\alpha_0\,v(n) \\[1mm] \sum\limits_{\mu=0}^{k} \beta_{\mu}\, y(n-\mu) &=\,\, \sum\limits_{\nu=0}^{m} \alpha_{\nu}\, v(n-\nu). \end{aligned} \end{equation*}

Aus der gebrochen-rationalen Übertragungsfunktion können direkt die Koeffizienten der Differentialgleichung abgelesen werden (und umgekehrt).

Ein Beispiel für eine FIR-Struktur ist im Folgenden abgebildet. Dabei steht "FIR" für "finite impulse response".

\begin{equation*} y(n) \,\,=\,\,\alpha_0\,v(n) + \alpha_1\,v(n-1) + ... + \alpha_{N-1}\,v(n-N+1) \end{equation*}

firfilter
\( v(n) \)
\( a_0 \)
\( a_1 \)
\( a_{N-1} \)
\( z^{-1} \)
\( z^{-1} \)
\( z^{-1} \)
\( y(n) \)


Ein Beispiel für eine IIR-Struktur wird im Folgenden veranschaulicht. "IIR" steht dabei für "infinite impulse response".

\begin{equation*} y(n) \,\,=\,\,\alpha_0\,v(n) + \alpha_1\,v(n-1) + \alpha_2\,v(n-2) - \beta_1\,y(n-1) - \beta_2\,y(n-2) \end{equation*}

iirfilter
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(z^{-1}\)
\(\alpha_1\)
\(\alpha_0\)
\(\alpha_2\)
\(-\beta_1\)
\(-\beta_2\)
\(v(n)\)
\(y(n)\)

Darstellung gebrochen-rationaler Funktionen

Übersicht

uebersicht_01
\(\scriptsize{\text{Filterrealisierung}}\)
\(\scriptsize{\text{Umwandlung in}}\)
\(\scriptsize{\text{Differential- bzw. Differenzen-}}\)
\(\scriptsize{\text{gleichungen}}\)
\(\scriptsize{\text{Bestimmung}}\)
\(\scriptsize{\text{der Impulsantwort}}\)
\(\scriptsize{\text{Verständnis des}}\)
\(\scriptsize{\text{Frequenzverhaltens und}}\)
\(\scriptsize{\text{der Stabilität}}\)
Verhältnis zweier Polynome
Pol- bzw. Nullstellenprodukte
Partialbruchzerlegung
\(H(s) \,\,=\,\, \frac{\sum\limits_{\nu=0}^{m} \alpha_{\nu}\,s^{\nu}}{\sum\limits_{\mu=0}^{k} \beta_{\mu}\,s^{\mu}} \)
\(H(s) \,\,=\,\, \alpha_m\frac{\prod\limits_{\nu=1}^{m} (s-s_{0,\nu})}{\prod\limits_{\mu=1}^{k} (s-s_{\infty,\mu})}\)
\(H(s) \,\,=\,\, B_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{k} \frac{B_{\mu}}{s-s_{\infty,\mu}} \)

Darstellungsformen

Bisher haben wir gebrochen-rationale Übertragungsfunktionen als Quotient eines Zähler- und eines Nennerpolynoms dargestellt. Es galt für kontinuierliche Systeme:

\begin{equation*} H(s) \,\,=\,\, \frac{\sum\limits_{\nu=0}^{m} \alpha_{\nu}\, s^{\nu}}{\sum\limits_{\mu=0}^{k} \beta_{\mu}\,s^{\mu}} \,\,=\,\,\frac{Z(s)}{N(s)}. \end{equation*}

Polynome k-ten Grades besitzen k Nullstellen. Wir bezeichnen diese im Folgenden als

\begin{equation*} Z(s_{0,\nu}) = 0,\,\,\nu\,\in\{ 0,\,...,\,m \} \end{equation*}

für die Nullstellen und

\begin{equation*} N(s_{\infty,\mu}) = 0,\,\,\mu\,\in\{ 0,\,...,\,k \} \end{equation*}

für die Polstellen. Mit diesen Bezeichnungen können die Zähler- und Nennerpolynome faktorisiert werden, d.h. man kann beide Polynome in folgende Produktformen bringen. Es gilt dann

\begin{equation*} H(s) \,\,=\,\, \alpha_m\frac{\prod\limits_{\nu=1}^{m} (s-s_{0,\nu})}{\prod\limits_{\mu=1}^{k} (s-s_{\infty,\mu})}. \end{equation*}

Der Vorfaktor \(\alpha_m\) gilt dabei nur dann, wenn die Darstellung auf der vorherigen Seite so normiert wurde, dass gilt \(\beta_k\,=\,1\). Wie bei den entsprechenden Folien zur Laplace- Transformation unterscheiden wir im Folgenden noch zwischen "einfachen" und "mehrfachen" Null- bzw. Polstellen. Bezeichnet man die Vielfachheit der Pol- bzw. Nullstellen mit \(k_{\mu} \ge 1\) bzw. \(m_{\nu} \ge 1\), so gilt:

\begin{equation*} \sum\limits_{\mu=1}^{k_0} k_{\mu} = k \text{ bzw. } \sum\limits_{\nu=1}^{m_0} m_{\nu} = m \end{equation*}

Neben der Produktzerlegung kann auch – wieder wie im entsprechenden Abschnitt der Laplace-Transformation bereits eingeführt – eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. Sind nur einfache Polstellen vorhanden, d.h. es gilt \(k_{\mu}\,=\,1\) und \(k_0\,=\,k\), so ergibt sich:

\begin{equation*} H(s) \,\,=\,\, B_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{k} \frac{B_{\mu}}{s-s_{\infty,\mu}} \end{equation*}

mit den Koeffizienten

\begin{equation*} \begin{aligned} B_0 &=\,\,\lim_{s\,\rightarrow\,\infty} \Big[ H(s) \Big] \,\,=\,\, \frac{\alpha_k}{\beta_k} \,\,=\,\,\alpha_k, \\[1mm] B_\mu \,\,=\,\,\lim_{s\,\rightarrow\,s_{\infty,\mu}} \Big[ H(s)\,(s-s_{\infty,\mu}) \Big] \end{aligned} \end{equation*}

Voraussetzung für die Gültigkeit der Bestimmung von \(B_0\) ist, dass der Grad des Zählerpolynoms kleiner oder maximal gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist! Zu beachten ist außerdem, dass für diese Umstellung lediglich die Polstellen, nicht aber die Nullstellen bekannt sein müssen (die Information darin "wandert" in die Koeffizienten \(B_{\mu}\))! Sind auch mehrfache Polstellen vorhanden, so entsteht wieder die allgemeine Form der Partialbruchzerlegung, d.h. es gilt

\begin{equation*} H(s) \,\,=\,\, B_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} \frac{B_{\mu,\kappa}}{(s-s_{\infty,\mu})^{\kappa}} \end{equation*}

mit den Koeffizienten

\begin{equation*} B_{\mu,\kappa} \,\,=\,\,\lim_{s\,\rightarrow\,s_{\infty,\mu}} \bigg[ \frac{d^{k_{\mu}-\kappa}}{(d s)^{k_{\mu}-\kappa}}\Big[H(s)\,(s-s_{\infty,\mu})^{\kappa}\Big] \bigg] \,\frac{1}{(k_{\mu}-\kappa)!} \end{equation*}

Analog hierzu kann für diskrete Systeme die gebrochen-rationale Übertragungsfunktion als Quotient eines Zähler- und eines Nennerpolynoms dargestellt werden. Es galt

\begin{equation*} H(z) \,\,=\,\, \frac{\sum\limits_{\nu=0}^{m} \alpha_{\nu}\, z^{\nu}}{\sum\limits_{\mu=0}^{k} \beta_{\mu}\,z^{\mu}} \,\,=\,\,\frac{Z(z)}{N(z)}. \end{equation*}

Polynome k-ten Grades besitzen k Nullstellen. Wir bezeichnen diese im Folgenden als

\begin{equation*} Z(z_{0,\nu}) = 0,\,\,\nu\,\in\{ 0,\,...,\,m \} \end{equation*}

für die Nullstellen und

\begin{equation*} N(z_{\infty,\mu}) = 0,\,\,\mu\,\in\{ 0,\,...,\,k \} \end{equation*}

für die Polstellen. Auch hier können mit den Bezeichnungen die Zähler- und Nennerpolynome faktorisiert werden, d.h. man kann beide Polynome in folgende Produktformen bringen:

\begin{equation*} H(z) \,\,=\,\, \alpha_m\frac{\prod\limits_{\nu=1}^{m} (z-z_{0,\nu})}{\prod\limits_{\mu=1}^{k} (z-z_{\infty,\mu})}. \end{equation*}

Der Vorfaktor \(\alpha_m\) gilt dabei nur dann, wenn die Darstellung auf der vorherigen Seite so normiert wurde, dass gilt \(\beta_k\,=\,1\). Wie bei den Folien zur z-Transformation unterschieden wir im Folgenden noch zwischen "einfachen" und "mehrfachen" Null- bzw. Polstellen. Bezeichnet man die Vielfachheit der Pol- bzw. Nullstellen mit \(k_{\mu} \ge 1\) bzw. \(m_{\nu} \ge 1\), so gilt:

\begin{equation*} \sum\limits_{\mu=1}^{k_0} k_{\mu} = k \text{ bzw. } \sum\limits_{\nu=1}^{m_0} m_{\nu} = m \end{equation*}

Neben der Produktzerlegung kann auch – wieder wie im entsprechenden Abschnitt der z-Transformation bereits eingeführt – eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. Sind nur einfache Polstellen vorhanden, d.h. es gilt \(k_{\mu}\,=\,1\) und \(k_0\,=\,k\), so ergibt sich:

\begin{equation*} H(z) \,\,=\,\, B_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{k} \frac{B_{\mu}z}{z-z_{\infty,\mu}} \end{equation*}

mit den Koeffizienten

\begin{equation*} \begin{aligned} B_0 &=\,\,H(0) \,\,=\,\, \frac{\alpha_0}{\beta_0}, \\[1mm] B_\mu &=\,\,\lim_{z\,\rightarrow\,z_{\infty,\mu}} \Big[ \frac{H(z)}{z}\,(z-z_{\infty,\mu}) \Big] \end{aligned} \end{equation*}

Auch hier ist die Voraussetzung für die Gültigkeit der Bestimmung von \(B_0\), dass der Grad des Zählerpolynoms kleiner oder maximal gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist! Zu beachten ist außerdem, dass für diese Umstellung lediglich die Polstellen, nicht aber die Nullstellen bekannt sein müssen (die Information darin "wandert" in die Koeffizienten \(B_{\mu}\))! Sind auch mehrfache Polstellen vorhanden, so entsteht wieder die allgemeine Form der Partialbruchzerlegung, d.h. es gilt

\begin{equation*} H(z) \,\,=\,\, B_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} \frac{B_{\mu,\kappa}z}{(z-z_{\infty,\mu})^{\kappa}} \end{equation*}

mit den Koeffizienten

\begin{equation*} B_{\mu,\kappa} \,\,=\,\,\lim_{z\,\rightarrow\,z_{\infty,\mu}} \bigg[ \frac{d^{k_{\mu}-\kappa}}{(d z)^{k_{\mu}-\kappa}}\Big[\frac{H(z)}{z}\,(z-z_{\infty,\mu})^{\kappa}\Big] \bigg] \,\frac{1}{(k_{\mu}-\kappa)!} \end{equation*}

Zugehörige Impulsantworten

Zur Wiederholung sei erwähnt, dass für kontinuierliche Systeme gilt:

\begin{equation*} \mathcal{L}\Big\{ e^{s_{\infty}t}\,\delta_{-1}(t) \Big\} \,\,=\,\, \frac{1}{s-s_{\infty}} \text{für}\,\text{Re}\{s\}\,>\,\text{Re} \{ s_{\infty} \}. \end{equation*}

Wendet man dies auf die Partialbruchzerlegungen (zumindest jene mit einfachen Polstellen) an, so ergibt sich

\(H(s)\) \(=\) \(B_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{k} \frac{B_{\mu}}{s-s_{\infty,\mu}}\)
\( \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ \)
\(h_0(t)\) \(=\) \(B_0\,\delta_{0}(t) + \sum\limits_{\mu=1}^{k} B_{\mu} \,e^{s_{\infty,\mu}t}\,\delta_{-1}(t)\)

Die Impulsantwort setzt sich aus einem Dirac-Stoß und einer gewichteten Summe von geschalteten Exponentiellen zusammen. Die Impulsantwort ist kausal und klingt zeitlich ab, wenn alle Polstellen auf der "linken komplexen Halbebene" liegen! Bei mehrfachen Polstellen ergibt sich in allgemeiner Form

\(H(s)\) \(=\) \(B_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} \frac{B_{\mu,\kappa}}{(s-s_{\infty,\mu})^{\kappa}}\)
\( \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ \)
\(h_0(t)\) \(=\) \(B_0\,\delta_{0}(t) + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} B_{\mu,\kappa} \, e^{s_{\infty,\mu}t}\,\delta_{-\kappa}(t).\)

Nun betrachten wir diskrete Systeme. Zur Wiederholung sei erwähnt, dass

\begin{equation*} \mathcal{Z}\Big\{ z_{\infty}^n\,\gamma_{-1}(n) \Big\} \,\,=\,\, \frac{z}{z-z_{\infty}} \text{für}\,|z|\,>\,|z_{\infty}|. \end{equation*}

Wendet man dies auf die Partialbruchzerlegungen (zumindest jene mit einfachen Polstellen) an, so ergibt sich

\(H(z)\) \(=\) \(B_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{k} \frac{B_{\mu} z}{z-z_{\infty,\mu}}\)
\( \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ \)
\(h_0(n)\) \(=\) \(B_0\,\gamma_{0}(n) + \sum\limits_{\mu=1}^{k} B_{\mu} \,z_{\infty,\mu}^n\,\gamma_{-1}(n).\)

Die Impulsantwort setzt sich aus einem gewichtetem Impuls und einer gewichteten Summe von geschalteten Exponentiellen zusammen. Die Impulsantwort ist kausal und klingt zeitlich ab, wenn alle Polstellen innerhalb des "Einheitskreises" liegen! Bei mehrfachen Polstellen ergibt sich in allgemeiner Form

\(H(z)\) \(=\) \(B_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} \frac{B_{\mu,\kappa}\,z}{(z-z_{\infty,\mu})^{\kappa}} \)
\( \bullet \!\! - \!\!\! - \!\! \circ \)
\(h_0(n)\) \(=\) \(B_0\,\gamma_{0}(n) + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} B_{\mu} \,z_{\infty,\mu}^{n-\kappa+1}\,\left(\!\!\begin{array}{c}n\\ \kappa-1 \end{array}\!\!\right) \,\gamma_{-1}(n-\kappa+1).\)

Zusammenfassung

uebersicht_02
\(\scriptsize{\text{Filterrealisierung}}\)
\(\scriptsize{\text{Umwandlung in}}\)
\(\scriptsize{\text{Differential- bzw. Differenzen-}}\)
\(\scriptsize{\text{gleichungen}}\)
\(\scriptsize{\text{Bestimmung}}\)
\(\scriptsize{\text{der Impulsantwort}}\)
\(\scriptsize{\text{Verständnis des}}\)
\(\scriptsize{\text{Frequenzverhaltens und}}\)
\(\scriptsize{\text{der Stabilität}}\)
Verhältnis zweier Polynome
Pol- bzw. Nullstellenprodukte
Partialbruchzerlegung
\(H(s) \,\,=\,\, \frac{\sum\limits_{\nu=0}^{m} \alpha_{\nu}\,s^{\nu}}{\sum\limits_{\mu=0}^{k} \beta_{\mu}\,s^{\mu}} \)
\(H(s) \,\,=\,\, \alpha_m\frac{\prod\limits_{\nu=1}^{m} (s-s_{0,\nu})}{\prod\limits_{\mu=1}^{k} (s-s_{\infty,\mu})}\)
\(H(s) \,\,=\,\, B_0 + \sum\limits_{\mu=1}^{k} \frac{B_{\mu}}{s-s_{\infty,\mu}} \)

Stabilität

Erweiterung der Stabilitätsaussagen

In einem der vorherigen Abschnitte wurde bereits die allgemeine BIBO-Stabilität für lineare Systeme konkretisiert. Nun liegt eine detaillierte Beschreibung der kontinuierlichen Impulsantwort \(h_0(t)\) vor, damit kann die Stabilität für die hier behandelten Systeme noch weiter konkretisiert werden. Absolute Integrierbarkeit von \(h_0(t)\) erfordert ganz sicher, dass \(|h_0(t)|\) abklingt für \(t\,\rightarrow\,\infty\). D.h. es müssen alle Exponentialanteile in der allgemeinen Darstellung

\begin{equation*} h_0(t) \,\,=\,\, B_0\,\delta_{0}(t) + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0} \sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} B_{\mu,\kappa} \, e^{s_{\infty,\mu}t}\,\delta_{-\kappa}(t) \end{equation*}

abklingen. Das erfordert offensichtlich

\begin{equation*} \text{Re}\big\{ s_{\infty,\mu}\big\} < 0 \,\,\forall\,\mu \end{equation*}

Die Bedingung \(\text{Re}\big\{ s_{\infty,\mu}\big\} < 0 \,\forall\,\mu\) definiert absolute (oder "strikte") Konvergenz auch im Falle mehrfacher Pole trotz des dann auftretenden Faktors \(t^{\kappa}\) bei dem Exponentialterm. Hierbei ist zu beachten, dass jede Potenz von \(t\) langsamer wächst, als eine (sinkende) Exponentielle fällt.

Absolute Instabilität tritt ein, wenn \(\text{Re}\big\{ s_{\infty,\mu}\big\} > 0\) gilt. Man spricht daher von Grenzstabilität, falls gilt:

\begin{equation*} \text{Re}\big\{ s_{\infty,\mu}\big\} \le 0\,\,\forall\,\mu \end{equation*}

Grenzstabilität bedeutet offenbar, dass dieser Anteil (und damit \(h_0(t)\)) nicht abklingt, aber auch nicht anwächst: BIBO-Stabilität ist dann nicht gegeben, da keine absolute Integrierbarkeit mehr gilt. Dann ist allerdings Bedingung, dass

\begin{equation*} k_{\mu} = 1, \quad\text{wenn}\,\,\text{Re}\big\{ s_{\infty,\mu}\big\} = 0 \end{equation*}

Andernfalls stünden jetzt den (nicht abklingenden) Exponentialfunktionen Faktoren \(t^{\kappa}\) gegenüber, die wachsen und damit zu Instabilitäten führen würden. Man spricht statt von Grenzstabilität daher auch von bedingter Stabilität. Dafür gibt eine Erklärung: Für die Transformierten der Ausgangssignale gilt

\begin{equation*}Y(s) \,\,=\,\,V(s)\,H(s) \end{equation*}

Wenn das System bedingt-stabil ist, dann darf das Eingangsspektrum \(V(s)\) keinen Pol an dieser Stelle aufweisen, sonst würde \(Y(s)\) diesen Pol (mindestens) doppelt enthalten und damit zu Systemreaktionen gehören, die über alle Grenzen wachsen. Pole stabiler Systeme liegen bei strikter Stabilität in der offenen linken Halbebene

offenehalbebene
\(\text{Re}\{s\}\)
\(\text{Re}\{s\}<0\)
\(\text{Im}\{s\}\)

Pole stabiler Systeme liegen bei Grenzstabilität in der abgeschlossenen linken Halbebene.

offenehalbebene
\(\text{Re}\{s\}\)
\(\text{Re}\{s\} \le 0\)
\(\text{Im}\{s\}\)

Die bisherigen Überlegungen schließen auch Pole in \(s\,\rightarrow\,\infty \) aus! Sie würden auftreten, wenn die maximale Zählerpotenz größer als die maximale Nennerpotenz, d.h. \(m>k\), wäre:

\begin{equation*} H(s) \,\,=\,\, \frac{\alpha_m\,s^m + \alpha_{m-1}\,s^{m-1}\,+\,...\,+\alpha_0} {s^k + \beta_{k-1}\,s^{k-1}\,+\,...\,+\beta_0} \end{equation*}

Für sehr große Werte von \(s\) überwiegen die höchsten Potenzen, d.h. es gilt:

\begin{equation*} H(s)\Big|_{s\,\text{groß}} \,\propto\, \frac{s^m}{s^k}\,=\,s^{m-k} \end{equation*}

Für \(m>k\) gilt dann \(H(s)\rightarrow\infty \), d.h. es gibt zumindest einen Pol bei \(s\,\rightarrow\,\infty \). Die Bedeutung solcher Pole im "Zeit"-Bereich kann wieder durch eine Partialbruchdarstellung veranschaulicht werden. Diese würde zusätzliche Terme vor dem \(B_0\)-Glied gemäß

\begin{equation*} H(s) \,=\, \widetilde B_{m-k}\,s^{m-k}+\,...\,+B_0+\sum\limits_{\mu=1}^{k} B_{\mu}\, ... \end{equation*}

liefern. Transformiert man dies in den "Zeit"-Bereich, so erhält man die Impulsantwort

\begin{equation*} h_0(t) \,=\, \widetilde B_{m-k}\,\delta_{m-k}(t)+\,... \end{equation*}

und daraus die Sprungantwort

\begin{equation*} h_{-1}(t) \,=\, \widetilde B_{m-k}\,\delta_{m-k-1}(t)+\,... \,. \end{equation*}

Die Sprungantwort liefert einen unendlichen Wert an der Stelle \(t=0\), obwohl das Eingangssignal (der Sprung) begrenzt war. Dies widerspricht der Definition der BIBO-Stabilität.

Analog zu den kontinuierlichen Systemen, kann die Stabilität der diskreten Systeme konkretisiert werden, da auch hier eine detaillierte Beschreibung der Impulsantwort \(h_0(n)\) vorliegt. Absolute Summierbarkeit von \(h_0(n)\) erfordert ganz sicher, dass \(|h_0(n)|\) abklingt für \(n\,\rightarrow\,\infty\). D.h. es müssen alle Exponentialanteile in der allgemeinen Darstellung

\begin{equation*} h_0(n) \,\,=\,\, B_0\,\gamma_{0}(n) + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} B_{\mu} \,z_{\infty,\mu}^{n-\kappa+1}\,\left(\!\!\begin{array}{c}n\\ \kappa-1 \end{array}\!\!\right)\,\gamma_{-1}(n-\kappa+1) \end{equation*}

abklingen. Das erfordert offensichtlich

\begin{equation*} \big| z_{\infty,\mu}\big| < 1\quad\,\,\forall\,\mu. \end{equation*}

Die Bedingung \(\big| z_{\infty,\mu}\big| < 1\,\,\forall\,\mu \) definiert absolute (oder "strikte") Konvergenz auch im Falle mehrfacher Pole trotz des dann auftretenden Faktors \(n^{\kappa}\) bei dem Exponentialterm. Hierbei ist zu beachten, dass jede Potenz von \(n\) langsamer wächst, als eine (sinkende) Exponentielle fällt.

Absolute Instabilität tritt ein, wenn \(\big| z_{\infty,\mu}\big| > 1 \) gilt. Man spricht daher von Grenzstabilität, falls gilt:

\begin{equation*} \big| z_{\infty,\mu}\big| \le 1\quad\,\,\forall\,\mu. \end{equation*}

Grenzstabilität bedeutet auch hier, dass dieser Anteil (und damit \(h_0(n)\)) nicht abklingt, aber auch nicht anwächst: BIBO-Stabilität ist dann nicht gegeben, da keine absolute Summierbarkeit mehr gilt. Dann ist allerdings Bedingung, dass

\begin{equation*} \quad \big| z_{\infty,\mu} \Big| = 1 \end{equation*}

Andernfalls stünden jetzt den (nicht abklingenden) Exponentialfunktionen Faktoren \(n^{\kappa}\) gegenüber, die wachsen und damit zu Instabilitäten führen würden. Man spricht statt von Grenzstabilität daher auch von bedingter Stabilität. Dafür gibt eine Erklärung: Für die Transformierten der Ausgangssignale gilt

\begin{equation*}Y(z) \,\,=\,\,V(z)\,H(z) \end{equation*}

Wenn das System bedingt-stabil ist, dann darf das Eingangsspektrum \(V(z)\) keinen Pol an dieser Stelle aufweisen, sonst würde \(Y(z)\) diesen Pol (mindestens) doppelt enthalten und damit zu Systemreaktionen gehören, die über alle Grenzen wachsen. Pole stabiler Systeme liegen bei strikter Stabilität in dem offenen Einheitskreis

offenereinheitskreis
\(\text{Re}\{z\}\)
\(\text{Im}\{z\}\)
\( |z| < 1\)
\(1\)

Pole stabiler Systeme liegen bei Grenzstabilität in dem abgeschlossenen Einheitskreis.

offenereinheitskreis
\(\text{Re}\{z\}\)
\(\text{Im}\{z\}\)
\( |z| \le 1\)
\(1\)

Die bisherigen Überlegungen schließen auch Pole in \(z\,\rightarrow\,\infty \) aus! Sie würden auftreten, wenn die maximale Zählerpotenz größer als die maximale Nennerpotenz, d.h. \(m>k\), wäre:

\begin{equation*} H(z) \,\,=\,\, \frac{\alpha_m\,z^m + \alpha_{m-1}\,z^{m-1}\,+\,...\,+\alpha_0} {z^k + \beta_{k-1}\,z^{k-1}\,+\,...\,+\beta_0} \end{equation*}

Für sehr große Werte von \(z\) überwiegen die höchsten Potenzen, d.h. es gilt:

\begin{equation*} H(z)\Big|_{z\,\text{groß}} \,\propto\, \frac{z^m}{z^k}\,=\,z^{m-k} \end{equation*}

Für \(m>k\) gilt dann \(H(z)\rightarrow\infty \), d.h. es gibt zumindest einen Pol bei \(z\,\rightarrow\,\infty \). Die Bedeutung solcher Pole im "Zeit"-Bereich kann wieder durch eine Partialbruchdarstellung veranschaulicht werden. Diese würde zusätzliche Terme vor dem \(B_0\)-Glied gemäß

\begin{equation*} H(z) \,=\, \widetilde B_{m-k}\,z^{m-k}+\,...\,+B_0+\sum\limits_{\mu=1}^{k} B_{\mu}\, ... \end{equation*}

liefern. Die Rücktransformation ergibt

\begin{equation*} h_0(n) \,=\, \widetilde B_{m-k}\,\gamma_0\big(n+(m-k)\big)+\,... \,,\end{equation*}

d.h. es gibt Anteile vor \(n=0\), was einer angenommenen Kausalität wiederspräche.

Pol-Nullstellen-Diagramme

Grundlegendes

Gebrochen-rationale Übertragungsfunktionen lassen sich durch die Kenntnis aller Pol- und Nullstellen bis auf einen konstanten Faktor \(\alpha_m\) vollständig beschreiben. Es gilt für kontinuierliche Systeme

\begin{equation*} H(s) \,\,=\,\, \alpha_m\frac{\prod\limits_{\nu=1}^{m} (s-s_{0,\nu})} {\prod\limits_{\mu=1}^{k} (s-s_{\infty,\mu})}. \end{equation*}

Eine graphische Darstellung der Lagen der Pol- und der Nullstellen wird als sogenanntes Pol-Nullstellen-Diagramm bezeichnet. Nullstellen werden dabei durch Kreise, Polstellen durch Kreuze gekennzeichnet. Nachfolgend ist ein solches Diagramm für \(k=5\) Polstellen und \(m=5\) Nullstellen dargestellt.

polnullstellendiagramm
\(\text{Re}\{s\}=\sigma\)
\(j\text{Im}\{s\}=j\omega\)
\(s_{0,2}=s_{0,3}\)
\(s_{0,1}\)
\(s_{\infty,1}\)
\(s^{\ast}_{\infty,3}=s_{\infty,2}\)
\(s^{\ast}_{\infty,5}=s_{\infty,4}\)
\(s^{\ast}_{\infty,2}=s_{\infty,3}\)
\(s^{\ast}_{\infty,4}=s_{\infty,5}\)
\(s_{0,4}=s^{\ast}_{0,5}\)
\(-\)
\(s_{0,5}=s^{\ast}_{0,4}\)
\(-\)

Gegeben sei folgende Übertragungsfunktion:

\begin{equation*} H(s) \,\,=\,\, 3\,\frac{(s-2)\,(s - 1+j)\,(s + 1-j)}{(s+3)\,(s+2-2j)\,(s+2+2j)}. \end{equation*}

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Das Pol-Nullstellen-Diagramm ist in der folgenden Graphik abgebildet:

polnullstellendiagramm_bsp_03

Das System ist stabil, da alle Polstellen in der linken, offenen Halbebene liegen. Das Diagramm gehört zu einem komplexen System, da sich die komplexen Pol- und Nullstellen nicht wegkürzen.

Mit dem Pol-Nullstellen-Diagramm ist auch eine graphische Deutung der Übertragungsfunktion möglich. Dazu wird zunächst folgende Umformung vorgenommen.

\begin{equation*} \begin{aligned} H(s) &=\,\, \alpha_m\,\frac{\prod\limits_{\nu=1}^{m} (s-s_{0,\nu})}{\prod\limits_{\mu=1}^{k} (s-s_{\infty,\mu})} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufteilen in Betrag und Phase ...}}}\\[1mm] &=\,\, \underbrace{\alpha_m\,\frac{\prod\limits_{\nu=1}^{m} |s-s_{0,\nu}|}{\prod\limits_{\mu=1}^{k} |s-s_{\infty,\mu}|}}_{=\,|H(s)|}\, \underbrace{e^{j\left[\sum\limits_{\nu=1}^{m} \arg\{s-s_{0,\nu}\} - \sum\limits_{\mu=1}^{k} \arg\{s-s_{\infty,\mu}\}\right]}}_{e^{j\!\arg[H(s)]}}. \end{aligned} \end{equation*}

Im Folgenden werden nun die einzelnen Beiträge untersucht – angefangen mit einer einzelnen Nullstelle. Der Beitrag einer einzelnen Nullstelle \((s-s_0\) lautet

Beides kann unmittelbar aus dem Pol-Nullstellen-Diagramm abgelesen werden. Von besonderem Interesse sind dabei die Punkte \(s=j\omega\). Diese ergeben den Frequenzgang des Systems.

nullstelle_01
\(\text{Re}\{s\}=\sigma\)
\(j\text{Im}\{s\}=j\omega\)
\(s\)
\(\text{arg}\{s-s_0\}\)
\(s_0\)
\(|s-s_0|\)
\(s-s_0\)

Der Beitrag einer einzelnen Nullstelle (\(s-s_0\)) zum Frequenzgang ohne Beachtung der Beeinflussung durch andere Null- oder Polstellen lautet demnach:

Betrag:

\begin{equation*} \begin{aligned} |j\omega -s_0| &=\,\, |j\omega - \sigma_0 - j\omega_0| \\[1mm] &=\,\, \sqrt{\sigma_0^2 + (\omega-\omega_0)^2} \\[1mm] &=\,\, \rightarrow \, |\omega-\omega_0|\,\,\,\text{für}\,\,|\omega-\omega_0| \gg |\sigma_0|. \end{aligned} \end{equation*}

Winkel:

\begin{equation*} \begin{aligned} \arg\{j\omega-s_0\} &=\,\, \text{arctan} \left\{ \frac{\omega-\omega_0}{-\sigma_0} \right\} \\[1mm] &\doteq\,\, -b_0(\omega). \end{aligned} \end{equation*}

nullstelle_02
\(\text{Re}\{s\}=\sigma\)
\(j\text{Im}\{s\}=j\omega\)
\(j\omega\)
\(j\omega_0\)
\(s_0\)
\(\text{arg}\{j\omega-s_0\}\)
\(|j\omega-s_0|\)
\(j\omega-s_0\)

Nun zeigen wir den anschaulichen Verlauf zunächst für \(\sigma_0 \le 0\):

\(\omega \gg \omega_0 :\)

\begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{\omega\rightarrow \infty}|j\omega -s_0| &\longrightarrow\,\, \infty, \\[1mm] \lim_{\omega\rightarrow \infty}\arg\{j\omega -s_0\} &\longrightarrow\,\, \frac{\pi}{2}. \end{aligned} \end{equation*}

\(\omega = \omega_0 :\)

\begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{\omega\rightarrow \omega_0}|j\omega -s_0| &=\,\, |\sigma_0|, \text{(Minimum)} \\[1mm] \lim_{\omega\rightarrow \omega_0}\arg\{j\omega -s_0\} &=\,\, 0. \end{aligned} \end{equation*}

\(\omega \ll \omega_0 :\)

\begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{\omega\rightarrow -\infty}|j\omega -s_0| &\longrightarrow\,\, \infty, \\[1mm] \lim_{\omega\rightarrow -\infty}\arg\{j\omega -s_0\} &\longrightarrow\,\, -\frac{\pi}{2}. \end{aligned} \end{equation*}

nullstelle_03
\(j\omega \gg j\omega_0\)
\(j\omega=j\omega_0\)
\(j\omega \ll j\omega_0\)
\(s_0\)

Die Winkel lassen sich hierbei direkt aus dem Diagramm ablesen! Die Verläufe des Betrags und der Phase für verschiedene \(\sigma_0 \le 0\) sind in folgender Graphik abgebildet:

betrag_winkel_nullstelle_01
\(|j\omega-s_0|\)
\(\omega-\omega_0\)
\(\omega-\omega_0\)
\(\text{arg}\{j\omega-s_0\}\)


Zu erkennen ist ein "Phasensprung" um \(\pi\) bei \(\sigma_0 = 0\). Nun wird der anschauliche Verlauf für \(\sigma_0 > 0\) gezeigt:

\(\omega \gg \omega_0 :\)

\begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{\omega\rightarrow \infty}|j\omega -s_0| &\longrightarrow\,\, \infty, \\[1mm] \lim_{\omega\rightarrow \infty}\arg\{j\omega -s_0\} &\longrightarrow\,\, \frac{\pi}{2}. \end{aligned} \end{equation*}

\(\omega = \omega_0 :\)

\begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{\omega\rightarrow \omega_0}|j\omega -s_0| &=\,\, |\sigma_0|, \text{(Minimum)} \\[1mm] \lim_{\omega\rightarrow \omega_0}\arg\{j\omega -s_0\} &=\,\, \pm\, \pi. \end{aligned} \end{equation*}

\(\omega \ll \omega_0 :\)

\begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{\omega\rightarrow -\infty}|j\omega -s_0| &\longrightarrow\,\, \infty, \\[1mm] \lim_{\omega\rightarrow -\infty}\arg\{j\omega -s_0\} &\longrightarrow\,\, -\frac{\pi}{2}. \end{aligned} \end{equation*}

nullstelle_04
\(j\omega \gg j\omega_0\)
\(j\omega=j\omega_0\)
\(j\omega \ll j\omega_0\)
\(s_0\)

Der Betrag ändert sich nicht im Vergleich zu \(\sigma_0 \le 0\)! Zudem lassen sich die Winkel hierbei wieder unmittelbar aus dem Diagramm ablesen! Die Verläufe des Betrags und der Phase für verschiedene \(\sigma_0 > 0\) sind in folgender Graphik abgebildet:

betrag_winkel_nullstelle_02
\(|j\omega-s_0|\)
\(\omega-\omega_0\)
\(\omega-\omega_0\)
\(\text{arg}\{j\omega-s_0\}\)


Analog zu den Nullstellen betrachten wir nun den Beitrag einer einzelnen Polstelle \(1/(s-s_{\infty})\) zum Frequenzgang. Hier muss aufgrund der Stabilität \(\sigma_{\infty} < 0\) gelten.

Betrag:

\begin{equation*} \begin{aligned} \left|\frac{1}{j\omega -s_{\infty}}\right| &=\,\, \frac{1}{|j\omega - \sigma_{\infty} - j\omega_{\infty}|} \,\,=\,\, \frac{1}{\sqrt{\sigma_{\infty}^2 + (\omega-\omega_{\infty})^2}} \\[1mm] &\rightarrow \, \frac{1}{|\omega-\omega_{\infty}|}\,\,\text{für}\,\,|\omega-\omega_{\infty}| \gg |\sigma_{\infty}|. \end{aligned} \end{equation*}

Winkel:

\begin{equation*} \begin{aligned} \arg\{j\omega-s_{\infty}\} &=\,\, -\textrm{arctan} \left\{ \frac{\omega-\omega_{\infty}}{-\sigma_{\infty}} \right\} \\[1mm] &\doteq\,\, - b_{\infty}(\omega). \end{aligned} \end{equation*}

Die Phasenverläufe sind dabei sehr ähnlich (Unterschiede lediglich im Vorzeichen) zu den Phasenverläufen bei Nullstellen. Die Betragsverläufe stellen die Kehrwerte der Verläufe der Nullstellenverläufe dar. Der Verlauf des Einflusses von Polstellen ist für verschiedene \(\sigma_{\infty} < 0\) in folgender Abbildung dargestellt.

betrag_winkel_polstelle_01
\(|\frac{1}{j\omega-s_{\infty}}|\)
\(\omega-\omega_0\)
\(\omega-\omega_0\)
\(\text{arg}\{j\omega-s_{\infty}\}\)


Der Gesamtverlauf des Frequenzgangs ergibt sich aus dem Produkt der einzelnen Beträge bzw. der Summe der einzelnen Winkel. Hierbei ergeben sich Verschiebungen der einzelnen Minima bzw. Maxima (durch benachbarte Pol- bzw. Nullstellen).

Beobachtungen

Auf einem Weg durch die s-Ebene (insbesondere auf der \(j\omega)-Achse) wird der Betragsfrequenzgang "groß" nahe bei Polen und "klein" in der Nähe von Nullstellen (und unendlich groß in Polen und Null in Nullstellen). Zudem finden in der Nähe der Pole und Nullstellen starke Phasendrehungen statt. Der detaillierte Verlauf ist oft wenig aussagekräftig.

Beispiel

Gegeben sei folgende Übertragungsfunktion

\begin{equation*} H(s) = \frac{\big(s-(-8)\big)\,\big(s-(4+4j)\big)\, \big(s-(4-4j)\big)}{\big(s-(-1)\big)\,\big(s-(-3+3j)\big)\,\big(s-(-3-3j)\big)}. \end{equation*}

Im Folgenden sind das Höhenliniendiagramm und eine 3D-Darstellung des logarithmierten Betrags abgebildet.

bsp_polnull_01
Polstellen
Nullstellen
\(\xrightarrow{\hspace{40pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{70pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{100pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{55pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{75pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{125pt}}\)


Zu der Übertragungsfunktion

\begin{equation*} H(s) = \frac{\big(s-(\frac{1}{2}+2j)\big)\,\big(s-(\frac{1}{2}-2j)\big)} {\big(s-(-\frac{1}{2})\big)\,\big(s-(-1+5j)\big)\,\big(s-(-1-5j)\big)}. \end{equation*}

gehören das folgende Höhenliniendiagramm, die 3D-Darstellung des logarithmierten Betrags und der logarithmierte Betragsfrequenzgang.

bsp_polnull_02
Polstellen
Nullstellen
\(\xrightarrow{\hspace{20pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{35pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{50pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{25pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{43pt}}\)
\(-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\)
\(-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\)
\(s=j\omega\)
\(s=j\omega\)

Andere Darstellungsformen

Neben den zuvor genannten Darstellungsformen werden hier drei weitere graphische Darstellungsformen vorgestellt.

Die erste Darstellungsform ist das Bode-Diagramm. Hierbei wird (oft in vereinfachter Weise) die Phase \(\arg\{H(j\omega)\} \) und die logarithmische Dämpfung \(a(\omega)\,=\,-20\,\log_{10}|H(j\omega)| \) über einer logarithmischen Frequenzskala dargestellt.

bodediagramm
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\text{arg}\{H(j\omega)\}\)
\(a(\omega)\,=\,-20\,\text{log}_{10}|H(j\omega)|\)
\(\text{dB}\)
\(-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\! -\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\! -\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\)
\(-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!- \!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!- \!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\)


Die zweite Darstellungsform ist die Ortskurve. Diese bezeichnet die Darstellung der komplexen Funktion \(H(j\omega)\) in Abhängigkeit der reellen Größe \(\omega\).

Die dritte Darstellungsform ist die Gruppenlaufzeit, also die Darstellung von \(\tau_{g}(\omega) = -d \,\arg\{H(j\omega)\} / d\omega \). Aber hierbei ist zu erwähnen, dass dieses im Allgemeinen nicht als frequenzselektive Verzögerung anzusehen ist.

Übertragungsfunktion von diskreten Systemen

Für diskrete Systeme können entsprechende Überlegungen wie für kontinuierliche Systeme angestellt werden. Es gilt dabei:

Betrachten wir nun auch hier eine einzelne Nullstelle. Es gilt für den Betrag (im Hinblick auf eine Frequenzgangbestimmung):

\begin{equation*} \begin{aligned} &\scriptsize{\color{grey}{\text{Aufspalten in Real- und Imaginärteil ...}}}\\[1mm] \Big|e^{j\Omega} - z_0\Big| &=\,\, \Big| \cos(\Omega) + j\sin(\Omega) - \rho_0\,\cos(\Omega_0) - j\,\rho_0\,\sin(\Omega_0) \Big| \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Betrag auflösen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sqrt{\big(\cos(\Omega) -\rho_0\,\cos(\omega_0)\big)^2+\big( \sin(\Omega)-\rho_0\,\sin(\Omega_0)\big)^2}\\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Terme neu zusammenfassen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sqrt{\underbrace{\cos^2(\Omega) + \sin^2(\Omega)}_{=\,1\,\,\forall\,\Omega} + \underbrace{\rho_0^2\,\cos^2(\Omega_0) + \rho_0^2\,\sin^2(\Omega_0)}_{=\,\rho_0^2\,\,\forall\,\Omega_0} -2\rho_0\underbrace{\big[\cos(\Omega)\,\cos(\Omega_0)+ \sin(\Omega)\,\sin(\Omega_0)\big]}_{=\,\cos(\Omega-\Omega_0)}} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Trigonometrische Vereinfachungen einsetzen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \sqrt{1+\rho_0^2 - 2\,\rho_0\,\cos(\Omega-\Omega_0)}. \end{aligned} \end{equation*}

Dieser Term ist periodisch mit \(2\pi\) aufgrund des Cosinus-Terms. Für \(\Omega=\Omega_0\) gilt dann

\begin{equation*} \Big|e^{j\Omega} - z_0\Big| \,\,=\,\, \sqrt{1+\rho_0^2 - 2\,\rho_0\,\cos(0)} \,\,=\,\,1-\rho_0. \end{equation*}

Für den Winkel ergibt sich (wieder im Hinblick auf eine Frequenzgangbestimmung):

\begin{equation*} \arg\big\{e^{j\Omega} - z_0\big\} \,\,=\,\, \textrm{arctan}\left( \frac{\sin(\Omega) - \rho_0\,\sin(\Omega_0)}{\cos(\Omega) - \rho_0\,\sin(\Omega_0)}\right). \end{equation*}

Dabei gilt, dass die Phase \(2\pi\)-periodisch (wegen der sin- bzw. cos-Terme) ist. Zudem gilt für den Winkel bei \(\Omega=\Omega_0\) (d.h. "in der Nähe" der Nullstelle auf dem Weg entlang des Einheitskreises):

\begin{equation*} \begin{aligned} \arg\big\{e^{j\Omega} - z_0\big\}\Big|_{\Omega=\Omega_0} &=\,\, \text{arctan}\left( \frac{\sin(\Omega_0)-\rho_0\,\sin(\Omega_0)}{\cos(\Omega_0)-\rho_0\,\sin(\Omega_0)}\right)\\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Gleiche Terme ausklammern und kürzen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \text{arctan}\left( \frac{\sin(\Omega_0)\,(1 - \rho_0)}{\cos(\Omega_0) (1 - \rho_0)}\right) \,\,=\,\, \text{arctan}\left( \frac{\sin(\Omega_0)}{\cos(\Omega_0)}\right) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition des tan() einsetzen und \(f^{-1}(f(x))=x\) einsetzen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \text{arctan}\left( \tan(\Omega_0)\right) \,\,=\,\, \Omega_0 \end{aligned} \end{equation*}

Hier zeigt sich der Unterschied zu den kontinuierlichen Überlegungen. Der Beitrag einer Polstelle auf den Betrag und die Phase des Frequenzgangs eines diskreten Systems kann auf ähnliche Weise wie der Beitrag von Nullstellen bestimmt werden. Es ergibt sich dabei, dass der Betragsverlauf von Polstellen der Kehrwert des Betragsverlaufes von Nullstellen ist.

\begin{equation*} \left|\frac{1}{e^{j\Omega} - z_{\infty}}\right| \,\,=\,\, \frac{1}{\sqrt{1+\rho_{\infty}^2 - 2\,\rho_{\infty}\,\cos(\Omega-\Omega_{\infty})}}. \end{equation*}

Zudem entspricht der Phasenverlauf von Polstellen dem Phasenverlauf von Nullstellen, aber mit umgekehrten Vorzeichen:

\begin{equation*} \arg\left\{\frac{1}{e^{j\Omega} - z_{\infty}}\right\} \,\,=\,\, -\text{arctan}\left( \frac{\sin(\Omega) - \rho_{\infty}\,\sin(\Omega_{\infty})}{\cos(\Omega) - \rho_{\infty}\,\sin(\Omega_{\infty})}\right). \end{equation*}

Analyse von diskreten Systemen

Ein Beispielverlauf des Betragsfrequenzgangs, des Phasenverlaufs und der Gruppenlaufzeit für eine einzelne Nullstelle bei \(\Omega_0=0\) mit variablem Betrag \(\rho_0\), d.h für die Übertragungsfunktion

\begin{equation*} H(z) \,\,=\,\, \frac{z-\rho_0}{z}. \end{equation*}

ist in folgender Abbildung dargestellt:

nullstelle_z_bereich_01
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\text{arg}\{H(e^{j\Omega})\}\)
\(-d \, \text{arg}\{H(e^{j\Omega})\}/d\Omega\)
\(20\,\text{log}_{10}|H(e^{j\Omega})|\)
\(|H(e^{j\Omega})|\)
\(\text{dB}\)


Ein Beispielverlauf des Betragsfrequenzgangs, des Phasenverlaufs und der Gruppenlaufzeit für eine einzelne Polstelle bei \(\Omega_{\infty}=0\) mit variablem Betrag \(\rho_{\infty}\), d.h für die Übertragungsfunktion

\begin{equation*} H(z) \,\,=\,\, \frac{1}{z-\rho_{\infty}}. \end{equation*}

ist in folgender Abbildung dargestellt:

polstelle_z_bereich_01
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\text{arg}\{H(e^{j\Omega})\}\)
\(-d \, \text{arg}\{H(e^{j\Omega})\}/d\Omega\)
\(20\,\text{log}_{10}|H(e^{j\Omega})|\)
\(|H(e^{j\Omega})|\)
\(\text{dB}\)


Sonderfälle: Spiegelbildliche Nullstellenpaare

Null- bzw. Linearphasenanteile

Sollten einige Null- bzw. Polstellen eine besondere Betrags- und Phasenbeziehung zueinander aufweisen, so kann dies zu besonderen Systemen führen. Wir betrachten zunächst spiegelbildliche Nullstellenpaare. Für kontinuierliche Systeme gilt dabei:

\begin{equation*}s_{0,2} = -s_{0,1}^* \end{equation*}

nullstellenpaar_kont
\(\text{Im}\{s\}\)
\(\text{Re}\{s\}\)
\(\varphi\)
\(s_{0,1}\)
\(s_{0,2}=-s^{\ast}_{0,1}\)
\(\pi-\varphi\)

Für die Beträge (jene, die für die Frequenzgangüberlegungen wichtig sind) gilt dabei folgendes:

\begin{equation*} |j\omega - s_{0,1}| = |j\omega - s_{0,2}|\,\,\,\forall\,\omega. \end{equation*}

Interessanter ist hierbei allerdings die Phasenbetrachtung. Dabei ergibt sich

\begin{equation*} \begin{aligned} &\text{arg}\{j\omega-s_{0,1}\} = \pi - \text{arg}\{j\omega-s_{0,2}\} \\[1mm] \Longrightarrow &\text{arg}\{j\omega-s_{0,1}\} + \text{arg}\{j\omega-s_{0,2}\} = \pi \,\,\,\forall\,\omega. \end{aligned} \end{equation*}

Also eine konstante Phase! Zusammengefasst kann man also sagen, dass solche Nullstellenpaare für kontinuierliche Systeme keinen Beitrag zur Phase liefern (eine sogenannte "Null-Phasen-Konfiguration"). Entsprechende Überlegungen gelten natürlich auch für entsprechende Polstellenpaare. Diese sind aber aus Stabilitätsgründen nicht zulässig! Da Nullstellen für stabile kontinuierliche Systeme allein nicht vorkommen, folgt daraus, dass es keine kontinuierlichen Nullphasensysteme gibt!

Betrachten wir nun im Hinblick auf die spiegelbildlichen Nullstellenpaare diskrete Systeme. Es gilt hierbei:

\begin{equation*} z_{0,2} = \frac{1}{z_{0,1}^*} \end{equation*}

nullstellenpaar_disk
\(\text{Re}\{z\}\)
\(\Omega_0\)
\(-\!\!-\)
\(z_{0,2} = \frac{1}{z_{0,1}^*} = \frac{1}{\rho_0}\,e^{j\Omega_0} \)
\(\text{Im}\{z\}\)
\(z_{0,1} = \rho_0\,e^{j\Omega_0} \)
\(-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\)

Für die Beträge (jene, die für die Frequenzgangüberlegungen wichtig sind) gilt dabei folgendes:

\begin{equation*} |e^{j\Omega} - z_{0,1}| = \rho_0\,|e^{j\Omega} - z_{0,2}|\,\,\,\forall\,\Omega. \end{equation*}

Interessanter ist hierbei allerdings die Phasenbetrachtung. Dabei ergibt sich

\begin{equation*} \begin{aligned} &\text{arg}\Big\{ [e^{j\Omega}-\rho_0\,e^{j\Omega_0}]\,[e^{j\Omega}-\frac{1}{\rho_0}\,e^{j\Omega_0}] \Big\}\\[1mm] =&\text{arg}\Big\{ e^{j2\Omega}+e^{j2\Omega_0}-(\rho_0+\frac{1}{\rho_0})\,e^{j(\Omega+\Omega_0)} \Big\} \\[1mm] =&\text{arg}\Big\{ e^{j(\Omega+\Omega_0)}\,\big[ e^{j(\Omega-\Omega_0)}+ e^{-j(\Omega-\Omega_0)} - (\rho_0+\frac{1}{\rho_0})\big] \Big\}\\[1mm] =&\text{arg}\Big\{ e^{j(\Omega+\Omega_0)}\,\underbrace{\big[ 2\cos(\Omega-\Omega_0) - (\rho_0+\frac{1}{\rho_0})\big]}_{\text{reell}} \Big\}\\[1mm] =&\text{arg}\Big\{ e^{j(\Omega+\Omega_0)}\Big\} \\[1mm] =& \Omega+\Omega_0 \end{aligned} \end{equation*}

Also eine Phase, die linear in Bezug auf die Kreisfrequenz ist (affin)! Zusammengefasst kann man also sagen, dass solche Nullstellenpaare für diskrete Systeme einen linearen Beitrag zur Phase liefern (eine sogenannte "Linear-Phasen-Konfiguration"). Entsprechende Überlegungen gelten natürlich auch hier für entsprechende Polstellenpaare. Diese sind aber aus Stabilitätsgründen auch im Diskreten nicht zulässig! Da Nullstellen für stabile kontinuierliche Systeme allein nicht vorkommen, folgt daraus, dass es diskrete linearphasige Systeme gibt, wenn man auf geeignete Weise Polstellen ergänzt!

Sonderfälle: Spiegelbildliche Pol-Nullstellen-Paare

Allpassanteile

Nachdem zuvor gleichartige Pol- bzw. Nullstellenpaare betrachtet wurden, sollen nun spiegelbildliche Pol-Nullstellen-Paare betrachtet werden. Hierbei gilt für kontinuierliche Systeme:

\begin{equation*} s_{0} = -s_{\infty}^* \end{equation*}

polnullstellenpaar_kont
\(\text{Im}\{s\}\)
\(\text{Re}\{s\}\)
\(s_{\infty}\)
\(\varphi_{\infty}\)
\(s_0 = -s^*_{\infty}\)
\(\varphi_0 = \pi - \varphi_{\infty}\)

Es gibt eine eindeutige Zuordnung von Pol- und Nullstelle, da die Polstelle aufgrund von Stabilitätsforderungen auf der linken s-Ebene liegen muss! Für die Beträge (jene, die für die Frequenzgangüberlegungen wichtig sind) gilt dabei

\begin{equation*} \frac{|j\omega - s_{0}|}{|j\omega - s_{\infty}|} = 1 \,\,\,\forall\,\omega. \end{equation*}

Betrachten wir nun diskrete Systeme in Hinblick auf spiegelbildliche Pol-Nullstellen-Paare, gilt

\begin{equation*} z_{0} = \frac{1}{z_{\infty}^*} \end{equation*}

polnullstellenpaar_disk
\(\text{Re}\{z\}\)
\(\text{Im}\{z\}\)
\(z_0 = \rho_0 e^{j\Omega_0} = \frac{1}{z^*_{\infty}} = \frac{1}{\rho_{\infty}} e^{j\Omega_{\infty}}\)
\(z_{\infty} = \rho_{\infty} e^{j\Omega_{\infty}} = \frac{1}{\rho_0}e^{j\Omega_0}\)
\(-\!\!-\)
\(-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\)
\(\Omega_0 = \Omega_{\infty}\)

Auch hier gibt es eine eindeutige Zuordnung von Pol- und Nullstelle, da die Polstelle aufgrund von Stabilitätsforderungen im Einheitskreis (z-Ebene) liegen muss! Für die Beträge (jene, die für die Frequenzgangüberlegungen wichtig sind) gilt dabei

\begin{equation*} \frac{|e^{j\Omega} - z_{0}|}{|e^{j\Omega} - z_{\infty}|} = \rho_0\,\,\,\forall\,\Omega. \end{equation*}

Sowohl für kontinuierliche als auch diskrete Systeme ist die Phasenbetrachtung weniger interessant. Aus der Betragsüberlegung folgt aber, dass Systeme mit spiegelbildlichen Pol-Nullstellen-Paaren einen allgemeinen Phasenbeitrag und keinen Beitrag zum Betragsverlauf (außer einem konstanten Faktor) liefern. Systeme, die nur Pol-Nullstellen-Paare in dieser Konfiguration enthalten, besitzen demnach einen konstanten Betragsfrequenzgang. Sie reproduzieren alle Frequenzanteile mit unveränderten Amplituden (die einzelnen Null- bzw. Polstellenbeträge können durch einen Korrekturfaktor kompensiert werden) und heißen deshalb Allpass-Systeme. Abschließend sei angemerkt, dass Systeme, die zum Teil solche Konfigurationen aufweisen, sogenannte Allpass-Anteile besitzen. Durch das Hinzufügen von Allpass-Anteilen ändert sich der Phasenverlauf, nicht aber der Betragsfrequenzgang. Dies wird z.B. verwendet, um den Gruppenlaufzeitverlauf von Systemen näherungsweise konstant zu bekommen, d.h. einen näherungsweise linearen Phasenverlauf zu erzeugen. Es lässt sich schließen, dass Alpass-Systeme/-Anteile offenbar stabil realisierbar sind.

Minimal-, maximal- und gemischtphasige Systeme

Minimalphasige Systeme

Kontinuierliche Systeme ohne Allpassanteile besitzen Nullstellen, die alle in der "linken" s-Ebene, d.h.

\begin{equation*} \text{Re}\big\{ s_{0,\mu}\big\} \le 0\,\,\,\forall\,\mu, \end{equation*}

liegen. Diskrete Systeme ohne Allpassanteile besitzen Nullstellen, die im Einheitskreis, d.h.

\begin{equation*} \big| z_{0,\mu}\big| \le 1\,\,\,\forall\,\mu, \end{equation*}

liegen. Solche Systeme nennt man minimalphasig.

minimalphasig
\(\text{Im}\{s\}\)
\(\text{Re}\{s\}\)
\(\text{Im}\{z\}\)
\(\text{Re}\{z\}\)
\(1\)

Maximalphasige Systeme

Kontinuierliche Systeme, deren Nullstellen alle in der "rechten" s-Ebene, d.h.

\begin{equation*} \text{Re}\big\{ s_{0,\mu}\big\} > 0\,\,\,\forall\,\mu, \end{equation*}

liegen und diskrete Systeme, deren Nullstellen außerhalb des Einheitskreises, d.h.

\begin{equation*} \big| z_{0,\mu}\big| > 1\,\,\,\forall\,\mu, \end{equation*}

liegen, heißen maximalphasig.

maximalphasig
\(\text{Im}\{s\}\)
\(\text{Re}\{s\}\)
\(\text{Im}\{z\}\)
\(\text{Re}\{z\}\)
\(1\)

Gemischtphasige Systeme

Kontinuierliche Systeme mit Nullstellen sowohl in der linken als auch in der rechten s-Halbebene heißen gemischtphasig. Jedes gemischtphasige System kann zerlegt werden in einem minimalphasigen Anteil und einen Allpass-Anteil. in der folgenden Abbildung ist ein Beispiel für die Zerlegung eines Systems mit der Übertragsungsfunktion \(H(s)\) dargestellt.

zerlegung_kont
\(\text{Im}\{s\}\)
\(\text{Re}\{s\}\)
\(\text{Im}\{s\}\)
\(\text{Re}\{s\}\)
\(\text{Re}\{s\}\)
\(\text{Im}\{s\}\)
\(H(s)\)
\(=\)
\(H_{\text{minphas}}(s)\)
\(H_{\text{allpass}}(s)\)
\(.\)



Alle Pole der Übertragungsfunktion \(H(s)\) sind aus Stabilitätsgründen in der linken Halbebene, die Nullstellen sind sowohl in der linken als auch in der rechten Halbebene. Die Übertragungsfunktion wird nun in \(H_{\text{minphas}}(s)\) und \(H_{\text{allpass}}(s)\) zerlegt. Für \(H_{\text{minphas}}(s)\) gilt, dass die Pole von \(H(s)\) bleiben, ebenso wie alle Nullstellen der linken Halbebene. Die Nullstellen der rechten Halbebene werden jedoch an der imaginären Achse gespiegelt. Für \(H_{\text{allpass}}(s)\) folgt daraus, dass die zusätzlichen Nullstellen durch Polstellen kompensiert und die bisher noch fehlenden Nullstellen von \(H(s)\) ergänzt werden. Die zusätzlichen Pole in \(H_{\text{allpass}}(s)\) und die zusätzlichen Nullstellen in \(H_{\text{minphas}}(s)\) kürzen sich bei der Multiplikation/ Kaskadierung. Für den Betragsfrequenzgang ergibt sich:

\begin{equation*} \big|H(j\omega)\big| \,=\, \big|H_{\text{minphas}}(j\omega)\big|\, \underbrace{\big|H_{\text{allpass}}(j\omega)\big|}_{=\,1\,\forall \omega} \,=\,\big|H_{\text{minphas}} (j\omega)\big|. \end{equation*}

Hier sei erähnt, dass man zu jedem gemischtphasigen System ein minimalphasiges System mit identischem Betragsfrequenzgang finden kann. Man kann jedes System in seinem Phasenfrequenzgang verändern, ohne den Betragsfrequenzgang zu beeinflussen, indem man die Allpassanteile ergänzt.

Analoge Überlegungen gelten auch für diskrete Systeme. Diese heßen gemischtphasig, wenn die Nullstellen sowohl innerhalb als auch außerhalb des Einheitskreises in der z-Ebene liegen. Da auch diese Systeme in einem minimalphasigen und einen Allpass-Anteil zerlegt werden können, sind diese für das folgende diskrete System zu bestimmen!

zerlegung_kont
\(H(z)\)
\(H_{\text{minphas}}(z)\)
\(H_{\text{allpass}}(z)\)


Reine Allpasssysteme

Reine Allpasssysteme haben wegen ihrer symmetrischen Pol-Nullstellen-Abhängigkeiten auch Symmetrien in ihrer Darstellung als gebrochen-rationale Übertragungsfunktionen. Insbesondere gilt für reelle Allpasssysteme, dass es zu jedem komplexen Pol-Nullstellenpaar auch ein entsprechendes konjugiert komplexes Pol-Nullstellenpaar geben muss. Das heißt, reelle, kontinuierliche Allpasssysteme bestehen aus folgenden Grundelementen:

\begin{equation*} \begin{aligned} H_{\text{ap,}1}(s) &=\,\, K_1\,\frac{s-\sigma_0}{s+\sigma_0}, \\[1mm] H_{\text{ap,}2}(s) &=\,\, K_2\,\frac{(s-s_0)\,(s-s_0^*)}{(s+s_0^*)\,(s+s_0)}. \end{aligned} \end{equation*}

Durch diese besondere Form der Basisallpässe können reelle, reine Allpassfilter in folgende Form gebracht werden (\(N(s)\) ist dabei ein entsprechendes Polynom in \(s\)).

\begin{equation*} H_{\text{ap,reell}}(s) \,\,=\,\, K\,\frac{N(-s)}{N(s)}.\end{equation*}

Analog dazu bestehen reelle, diskrete Allpasssysteme aus folgenden Grundelementen:

\begin{equation*} \begin{aligned} H_{\text{ap,}1}(z) &=\,\, K_1\,\frac{z-\rho_0}{z+\frac{1}{\rho_0}}, \\[1mm] H_{\text{ap,}2}(z) &=\,\, K_2\,\frac{(z-z_0)\,(z-z_0^*)}{(z+\frac{1}{z_0^*})\,(z+\frac{1}{z_0)}}. \end{aligned} \end{equation*}

Durch diese besondere Form der Basisallpässe können auch hier reelle, reine Allpassfilter in folgende Form gebracht werden (\(N(z)\) ist dabei ein entsprechendes Polynom in \(z\)).

\begin{equation*} H_{\text{ap,reell}}(z) \,\,=\,\, K\,\frac{N\big(\frac{1}{z}\big)}{N(z)}.\end{equation*}

Frequenzselektive Filter

Allgemeines

Frequenzselektive Filter lassen nicht alle Frequenzkomponenten mit unveränderten Amplituden-Reaktionen zum Ausgang gelangen. Sie betonen bestimmte Anteile und schwächen andere ab oder unterdrücken bestimmte Anteile vollständig.

Ideale und reale frequenzselektive Filter

Die bekanntesten Filtertypen dürften Tiefpass-, Hochpass-, Bandpass- und Bandsperrfilter sein. Sie versuchen bestimmte Frequenzen bzw. Frequenzbereiche "durchzulassen" und andere Frequenzen bzw. Frequenzbereiche zu "sperren". In folgender Abbildung sind reelle, ideale, kontinuierliche Filter dargestellt.

idealefilter_kont
\(|H(j\omega)|\)
Tiefpass
\(\omega\)
\(0\)
\(1\)
\(|H(j\omega)|\)
Bandpass
\(\omega\)
\(0\)
\(1\)
\(|H(j\omega)|\)
\(\omega\)
\(1\)
\(0\)
Hochpass
Bandsperre
\(\omega\)
\(|H(j\omega)|\)
\(1\)
\(0\)

Die folgende Graphik zeigt nun reelle, ideale, diskrete Filter.

idealefilter_disk
\(|H(e^{j\Omega})|\)
\(|H(e^{j\Omega})|\)
\(|H(e^{j\Omega})|\)
\(|H(e^{j\Omega})|\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(\Omega\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(\pi\)
\(\pi\)
\(\pi\)
\(\pi\)
\(2\pi\)
\(2\pi\)
\(2\pi\)
\(2\pi\)
Tiefpass
Hochpass
Bandsperre
Bandpass

In der folgenden Graphik ist ein Beispiel für ein zeitdiskretes Tiefpassfilter mit Polen und Nullstellen abgebildet.

filter_fir_minphase_01

Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für ein phasenminimales zeitdiskretes Tiefpassfilter.

filter_fir_minphase_02

Anschließend zeigt folgende Graphik ein Beispiel für ein linearphasiges Tiefpassfilter.

filter_fir_minphase_03

Einschwingvorgänge

Begriffserklärung

Unter dem Begriff des Einschwingens eines Systems versteht man die Systemreaktion auf eine plötzliche, einmalige Änderung der Anregung. Dies kann z.B. die Reaktion auf ...

Unter bestimmten Annahmen über das System bzw. das Anregungssignal kann das Einschwingverhalten bereits mit den bisher bekannten Methoden beschrieben werden.

Bestimmung des Einschwingverhaltens

Nimmt man an, dass die Übertragungsfunktion des Systems gebrochen-rational ist, so konnten wir bereits dessen Impulsantwort bestimmen. Es gilt für kontinuierliche Systeme

\begin{equation*} h_0(t) \,\,=\,\, B_0\,\delta_{0}(t) + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} B_{\mu,\kappa} \, e^{s_{\infty,\mu}t}\,\delta_{-\kappa}(t) \end{equation*}

Durch Integration

\begin{equation*} h_{-1}(t) \,\,=\,\, \int\limits_{\tau =-\infty}^{t} h_0(\tau)\,d\tau \end{equation*}

kann hieraus die Sprungantwort bestimmt werden, d.h. es ergibt sich:

\begin{equation*} \begin{aligned} h_{-1}(t) &=\,\, B_0\,\delta_{-1}(t) + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} B_{\mu,\kappa}\!\!\! \int\limits_{\tau=-\infty}^{t}\!\!\! e^{s_{\infty,\mu}\tau} \,\delta_{-\kappa}(\tau)\,d\tau \\[1mm] &=\,\, B_0\,\delta_{-1}(t) + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} B_{\mu,\kappa} \!\! \int\limits_{\tau=0}^{t}\!\! e^{s_{\infty,\mu}\tau} \,\delta_{-\kappa}(\tau)\,d\tau. \end{aligned} \end{equation*}

Will man vermeiden, das Integral, das sich aufgrund der Berechnung der Sprungantwort aus der Impulsantwort ergab, explizit zu bestimmen, so kann auch eine entsprechende Rechnung im Laplace-Bereich erfolgen. Die Faltung mit einem Sprung entspricht der Multiplikation mit

\begin{equation*} H_{-1}(s) \,\,=\,\, H(s)\,\frac{1}{s} \end{equation*}

Dabei entspricht \(H(s)\) der transformierten Impulsantwort und \(\frac{1}{s}\) der transformierten Sprungfunktion. Das Ergebnis bleibt dabei gebrochen-rational, so dass man hierauf wiederum eine Partialbruchzerlegung anwenden kann und direkt die Sprungantwort ablesen kann. Ist das Einschwingverhalten für geschaltete Exponentielle, für geschaltete modulierte Rampen oder ähnliche Signale von Interesse, so kann einfach in der vorigen Überlegung die Transformierte des Sprungs durch eine entsprechende Transformierte ersetzt werden:

\begin{equation*} \frac{1}{s}\,\,\Longrightarrow\,\,\frac{1}{s-s_{\infty}}, \,\frac{1}{(s-s_{\infty})^2},\, ... \,. \end{equation*}

Man erhält damit wieder eine gebrochen-rationale Spektraldarstellung, die mit den bekannten Methoden in den Zeitbereich transformiert werden kann.

Analoge Überlegungen können für diskrete Systeme angestellt werden. Aus der Impulsantwort diskreter Systeme

\begin{equation*} h_0(n) \,\,=\,\, B_0\,\gamma_{0}(n) + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0} \sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} B_{\mu} \,z_{\infty,\mu}^{n-\kappa+1}\,\left(\!\!\begin{array}{c}n\\ \kappa-1 \end{array}\!\!\right) \,\gamma_{-1}(n-\kappa+1) \end{equation*}

ergibt sich durch Summation die Sprungantwort:

\begin{equation*} h_{-1}(n) \,\,=\,\, \sum\limits_{i =-\infty}^{n} h_0(i). \end{equation*}

Für den oben dargestellten Fall von gebrochen-rationalen Übertragsungsfunktionen ergibt sich somit:

\begin{equation*} \begin{aligned} h_{-1}(n) &=\,\, B_0\,\gamma_{-1}(n) + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} B_{\mu} \sum\limits_{i=-\infty}^{n}\,z_{\infty,\mu}^{i-\kappa+1}\,\left(\!\!\begin{array}{c}i\\ \kappa-1 \end{array}\!\!\right)\,\gamma_{-1}(i-\kappa+1) \\[1mm] &=\,\, B_0\,\gamma_{-1}(n) + \sum\limits_{\mu=1}^{k_0}\sum\limits_{\kappa=1}^{k_{\mu}} B_{\mu} \sum\limits_{i=\kappa-1}^{n}\,z_{\infty,\mu}^{i-\kappa+1}\,\left(\!\!\begin{array}{c}i\\ \kappa-1 \end{array}\!\!\right). \end{aligned} \end{equation*}

Will man auch hier vermeiden, die Summe, die sich aufgrund der Berechnung der Sprungantwort aus der Impulsantwort ergab, explizit zu bestimmen, so kann auch eine entsprechende Rechnung im z-Bereich erfolgen. Die Faltung mit einem Sprung entspricht der Multiplikation mit

\begin{equation*} H_{-1}(z) \,\,=\,\, H(z)\,\frac{z}{z-1} \end{equation*}

Dabei entspricht \(H(z)\) der transformierten Impulsantwort und \(\frac{z}{z-1}\) der transformierten Sprungfolge. Das Ergebnis bleibt dabei gebrochen-rational, so dass man hierauf wiederum eine Partialbruchzerlegung anwenden kann und direkt die Sprungantwort ablesen kann. Bei Interesse des Einschwingverhaltens für geschaltete Exponentielle, für geschaltete modulierte Rampen oder ähnliche Signale, so kann erneut in der vorigen Überlegung die Transformierte des Sprungs durch eine entsprechende Transformierte ersetzt werden:

\begin{equation*} \frac{z}{z-1}\,\,\Longrightarrow\,\,\frac{z}{z-z_{\infty}}, \,\frac{z z_{\infty}}{(z-z_{\infty})^2},\, ... \,. \end{equation*}

Man erhält damit wieder eine gebrochen-rationale Spektraldarstellung, die mit den bekannten Methoden in den Zeitbereich transformiert werden kann.

Für kontinuierliche sowie diskrete Systeme gelten folgende Aussagen. Kann das Spektrum (bzw. die Übertragungsfunktion) des Anregungssignal des Systems ebenfalls als gebrochen-rationale Funktion dargestellt werden, so ergibt sich auch für das Ausgangssignal des Systems eine gebrochen-rationale Übertragungsfunktion. Zerlegt man diese mittels einer Partialbruchzerlegung, so entstehen Anteile, die entweder von Polen des Systems oder von Anregungssignal herrühren. Den erstgenannten Anteil nennt man des Einschwinganteil (System), der zweitgenannten Anteil wird Erregeranteil (Anregungssignal) genannt.

Einschwingverhalten idealer Filter

Gemäß der bisherigen Beschreibung werden ideale Filter durch ihren Frequenzgang beschrieben. Aus diesem Grund findet für die Bestimmung des Zeitverhaltens auch die Fourier-Transformation (anstelle der Laplace- bzw. z-Transformation) Anwendung. Für ein ideales Tiefpassfilter gilt beispielsweise im Kontinuierlichen

\begin{equation*} H(j\omega) \,\,=\,\,\big|H(j\omega) \big| \,\,=\,\, \begin{cases} 1,& |\omega| \le \omega_{\text{g}}, \\[1mm] 0,& \text{sonst.} \end{cases}
\end{equation*}

idealertp_kont
\(H(j\omega)\)
\(1\)
\(\omega_{\text{g}}\)
\(-\omega_{\text{g}}\)
\(\omega\)
\(0\)

Für ideale Tiefpassfilter kann die Impulsantwort durch Anwendung der inversen Fourier-Transformation bestimmt werden:

\begin{equation*} h_0(t) \,\,=\,\,\mathcal{F}^{-1}\Big\{ H(j\omega) \Big\} \,\,= \,\,\frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty} H(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega. \end{equation*}

Wie lautet die Impulsantwort des idealen Tiefpassfilters?

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Die Impulsantwort des idealen Tiefpassfilters lautet:

\begin{equation*} \begin{aligned} H(j\omega) &=\,\, \mathcal{F}^{-1}\Big\{ H(j\omega) \Big\} \\[1mm] &=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty} H(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Definition des Frequenzganges einsetzen ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{1}{2\pi}\int\limits_{\omega=-\omega_g}^{\omega_g} 1\,e^{j\omega t}\,d\omega \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Lösen des Integrals ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{1}{2\pi}\Big[\frac{1}{jt} e^{j\omega t} \Big]_{\omega = -\omega_g}^{\omega_g} \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Vereinfachen zur Sinus-Funktion ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{1}{\pi t} \,\text{sin}(\omega_g t) \\[1mm] &\scriptsize{\color{grey}{\text{Vereinfachen zur Si-Funktion ...}}}\\[1mm] &=\,\, \frac{\omega_g}{\pi} \,\text{si}(\omega_g t). \end{aligned} \end{equation*}

Der Stelle \(t=0\) muss hierbei besondere Beachtung geschenkt werden. Zum einen könnte man die Regel von l'Hôpital anwenden, zum anderen gilt aber auch

\begin{equation*} \begin{aligned} h_0(t=0) &=\,\, \frac{1}{2\pi} \underbrace{\int\limits_{\omega=-\infty}^{\infty} H(j\omega)\,d\omega}_{\text{Fläche unter}\,H(j\omega)} \\[1mm] &=\,\, \frac{1}{2\pi} \,2\omega_{\text{g}}\,\,=\,\, \frac{\omega_{\text{g}}}{\pi}. \end{aligned} \end{equation*}

Analysiert man \(h_0(t)\) weiter, so stellt man fest, dass es äquidistante Nullstellen wegen des Sinus-Terms im Zähler der Impulsantwort gibt. Die erste Nullstelle entsteht bei \(\omega_{\text{g}}t_0 = \pi \), d.h. der Abstand der Nullstellen beträgt:

\begin{equation*} t_0\,=\,\frac{\pi}{\omega_{\text{g}}}. \end{equation*}

In der folgenden Skizze ist die Impulsantwort abgebildet:

impulsantwort_idtp
\(\xrightarrow{\hspace{260pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{145pt}}\)
\(\frac{\omega_g}{\pi}\)
\(h_{-1}(t)\)
\(t\)
\(0\)
\(t_0\)
\(2t_0\)
\(-t_0\)
\(-2t_0\)



Es wird deutlich, dass das System nicht kausal ist. Die Sprungantwort \(h_{-1}(t)\) ergibt sich durch Integration der Impulsantwort \(h_0(t)\):

sprungantwort_idtp
\(\xrightarrow{\hspace{260pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{145pt}}\)
\(1\)
\(h_{-1}(t)\)
\(t\)
\(0\)
\(t_0\)
\(2t_0\)
\(-t_0\)
\(-2t_0\)


Analog zu den Überlegungen im Kontinuierlichen gilt im Diskreten für ein ideales Tiefpassfilter:

\begin{equation*} H(e^{j\Omega}) \,\,=\,\,\big|H(e^{j\Omega}) \big| \,\,=\,\, \begin{cases} 1,& |\Omega| \le \Omega_{\text{g}}, \\[1mm] 0,& \text{sonst.} \end{cases} \end{equation*}

idealertp_disk
\(H(e^{j\Omega})\)
\(1\)
\(\Omega\)
\(0\)
\(\pi\)
\(-\pi\)
\(\Omega_{\text{g}}\)
\(-\Omega_{\text{g}}\)

Die Impulsantwort des Tiefpassfilters lautet:

\begin{equation*} h_0(n) \,\,=\,\, \frac{\Omega_{\text{g}}}{\pi}\, \frac{\sin(\Omega_{\text{g}}n)}{\Omega_{\text{g}}n}. \end{equation*}

Der Stelle \(n=0\) muss hierbei besondere Beachtung geschenkt werden. Zum einen könnte man die Regel von l'Hôpital anwenden, zum anderen gilt aber auch

\begin{equation*} h_0(n=0) \,\,=\,\, \frac{\Omega_{\text{g}}}{\pi} \end{equation*}

Die Sprungantwort \(h_{-1}(n)\) ergibt sich durch Summation der Impulsantwort \(h_0(n)\).

Rechenaufgaben

Kontinuierliches LTI-System mit zufälligen Pol- und Nullstellen

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Beschreibung

Diese Aufgabe dient dazu, den Umgang mit kontinuierlichen Übertragungsfunktionen zu festigen.

Zunächst kann einer von drei Schwierigkeitsgraden ausgewählt werden. Im Schwierigkeitsgrad "leicht" wird ein System ersten oder zweiten Grades mit rein reellen Pol- und Nullstellen erstellt. Im Schwierigkeitsgrad "mittel" wird ein System ersten oder zweiten Grades mit (wenn möglich) konjugiert-komplexen Pol- und Nullstellen-Paaren erstellt. Im Schwierigkeitsgrad "schwer" wird ein System ersten, zweiten oder dritten Grades mit (wenn möglich) konjugiert-komplexen Pol- und Nullstellen-Paaren erstellt.

Mit dem Button "Neues LTI-System" kann eine Übertragungsfunktion mit zufälligen Pol- und Nullstellen erzeugt werden.

Die berechneten Pol- und Nullstellen können in die entsprechenden Eingabefelder eingetragen werden. s0,i sind die Eingabefelder für Nullstellen. s∞,i sind die Eingabefelder für Polstellen. Hierbei sind nur so viele Eingabefelder aktiviert, wie für das jeweilige System notwendig sind. Mit dem Button "Ergebnisse prüfen" links der Eingabefelder werden die Eingaben überprüft. Richtige Eingaben werden grün gefärbt und falsche rot. Zudem wird ein Text angezeigt, welche Eingabe richtig oder falsch ist.

Außerdem werden einige Systemeigenschaften abgefragt. Mit dem Button "Ergebnisse prüfen" links der Eingabefelder werden die Eingaben überprüft.

Die eingegebenen Pol- und Nullstellen werden nach Betätigung des Buttons "Ergebnisse prüfen" im Pol-Nullstellen-Diagramm eingetragen. Außerdem kann das Diagramm auch ohne Prüfung der Eingaben direkt über den Button "Diagramm aktualisieren" aktualisiert werden.

Schwierigkeitsgrad: leicht | normal | schwer
Kontinuierliches LTI-System
Nullstellen Polstellen

s0,1 = + j

s0,2 = + j

s0,3 = + j

s∞,1 = + j

s∞,2 = + j

s∞,3 = + j

Systemeigenschaften
  • BIBO-stabil
  • kausal
  • durchgriffsfrei
  • minimalphasig
Pol-Nullstellen-Diagramm

Diskretes LTI-System mit zufälligen Pol- und Nullstellen

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Beschreibung

Diese Aufgabe dient dazu, den Umgang mit diskreten Übertragungsfunktionen zu festigen.

Zunächst kann einer von drei Schwierigkeitsgraden ausgewählt werden. Im Schwierigkeitsgrad "leicht" wird ein System ersten oder zweiten Grades mit rein reellen Pol- und Nullstellen erstellt. Im Schwierigkeitsgrad "mittel" wird ein System ersten oder zweiten Grades mit (wenn möglich) konjugiert-komplexen Pol- und Nullstellen-Paaren erstellt. Im Schwierigkeitsgrad "schwer" wird ein System ersten, zweiten oder dritten Grades mit (wenn möglich) konjugiert-komplexen Pol- und Nullstellen-Paaren erstellt.

Mit dem Button "Neues LTI-System" kann eine Übertragungsfunktion mit zufälligen Pol- und Nullstellen erzeugt werden.

Die berechneten Pol- und Nullstellen können in die entsprechenden Eingabefelder eingetragen werden. s0,i sind die Eingabefelder für Nullstellen. s∞,i sind die Eingabefelder für Polstellen. Hierbei sind nur so viele Eingabefelder aktiviert, wie für das jeweilige System notwendig sind. Mit dem Button "Ergebnisse prüfen" links der Eingabefelder werden die Eingaben überprüft. Richtige Eingaben werden grün gefärbt und falsche rot. Zudem wird ein Text angezeigt, welche Eingabe richtig oder falsch ist.

Außerdem werden einige Systemeigenschaften abgefragt. Mit dem Button "Ergebnisse prüfen" links der Eingabefelder werden die Eingaben überprüft.

Die eingegebenen Pol- und Nullstellen werden nach Betätigung des Buttons "Ergebnisse prüfen" im Pol-Nullstellen-Diagramm eingetragen. Außerdem kann das Diagramm auch ohne Prüfung der Eingaben direkt über den Button "Diagramm aktualisieren" aktualisiert werden.

Schwierigkeitsgrad: leicht | normal | schwer
Diskretes LTI-System
Nullstellen Polstellen

z0,1 = + j

z0,2 = + j

z0,3 = + j

z∞,1 = + j

z∞,2 = + j

z∞,3 = + j

Systemeigenschaften
  • BIBO-stabil
  • kausal
  • durchgriffsfrei
  • minimalphasig
Pol-Nullstellen-Diagramm