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Signale and Systeme – Einleitung

Inhalt

Einführung und Begriffserklärung
Modellierung und Abstraktion
Signale
Definition
Anmerkungen
Klassifikation von Signalen
Ein-und mehrdimensionale Signale
Signalvektoren
Deterministische und stochastische Signale
Periodische und aperiodische Signale
Leistung und Energie
Verständnisfragen
Systeme
Allgemeine Systembeschreibung
Ein- und mehrdimensionale Systeme
Deterministische und stochastische Systeme
Passivität, Ruhezustand und Verlustlosigkeit
Dynamische und gedätnislose Systeme
Kausale und nichtkausale Systeme
Lineare und nichtlineare Systeme
Verschiebungsinvariante und verschiebungsvariante Systeme
Stabilität
Verständnisfragen

Einführung und Begriffserklärung

Modellierung und Abstraktion

Wir werden uns hier mit der Reduktion eines tatsächlichen Systems bzw. von realen Teilsysteme auf Systemmodelle beschäftigen, welche die Realität

mathematisch beschreiben. Unter einem realen System bzw. Teilsystem kann dabei

verstanden werden.

Das Ziel der Systemtheorie ist die Abstraktion von realen Anwendungen, insbesondere der zugehörigen Systemkomponenten. Dazu werden Werkzeuge bereitgestellt, um eine möglichst allgemeingültige Behandlung/Beschreibung von Teilsystemen und deren Zusammenwirken zu ermöglichen. Eine "allgemeine" (einfache) Theorie gilt meist nur bei einer Einschränkung der Systemklassen ( z.B. auf lineare, zeitinvariante Systeme)!

Die Signaltheorie behandelt die Abstraktion von Signalen in realen Anwendungen. Es werden normierte Signale betrachtet. Hier werden Werkzeuge zur möglichst allgemeingültigen Behandlung weitgehend beliebiger Signale durch Rückführung auf „Basissignale“ bereitgestellt.

Signale

Defintion

Definition des Begriffs "Signal":
Signale sind informationstragende, weitgehend beliebige Verläufe von (abhängigen) Größen über (unabhängigen) Variablen.
Beispiele:
\( u(t) \) : Spannung über der (kontinuierlichen) Zeit \( t \),
\( d(n) \) : Börsenindex über der (diskreten) Wochennummer \( n \),
\( i(x,y) \) : Helligkeit eines Bildes über den (kontinuierlichen oder diskreten) Raumkoordinaten \( x \) und \( y \),
\( p(x,y,z,t) \) : Schalldruck an den (kontinuierlichen) Raumkoordinaten \( x \), \( y \) und \( z \) über der (kontinuierlichen) Zeit \( t \).

Anmerkungen

Oftmals werden normierte Größen und Variablen, wie z.B.

\( u(t) \,\,=\,\, \displaystyle{\frac{\textrm{Spannung zum Zeitpunkt}\,t\,\textrm{Sekunden}}{1\,\textrm{Volt}}} \)

verwendet. Dies ist zumeist hilfreich, aber nicht unbedingt notwendig. Wir werden hier zumeist normierte Signale verwenden.

Klassifikation von Signalen

Kontinuierliche und diskrete Signale:

Definition von kontinuierlichen Signalen:
Für kontinuierliche Signale \(v(t)\) gilt: \( t\,\in\,\mathcal{R} \). Dabei ist im Allgemeinen \( v(t)\,\in\,\mathcal{C}\).
Definition von diskreten Signalen:
Für diskreke Signale \(v(n)\) gilt \( n\,\in\,\mathcal{Z} \). Dabei ist ebenfalls im Allgemeinen \( v(t)\,\in\,\mathcal{C}\). Man kann sie auch als eine (nummerierte) Zahlen-Folge ohne Zwischenwerte ansehen.

Diskrete Signale können (müssen aber nicht) durch (im Allgemeinen: äquidistante) Abstastung von kontinuierlichen Signalen entstanden sein. Zusammengenommen mit einer Diskretisierung der Amplitudenwerte nennt man das Analog-Digital-Wandlung:

Ein normiertes, kontinuielriches Signal

\begin{equation} \frac{v_{kon}(t)}{V_0} \end{equation}

wird mit der Abtastfrequenz

\begin{equation} f_s \,\,=\,\, \frac{1}{T_s} \end{equation}

zu den Zeitpunkten

\begin{equation} t_n \,\,=\,\, n T_s \end{equation}

äquidistant abgetastet. Es resultiert das folgende diskrete Signal

\begin{equation} v(n) \,\,=\,\, \frac{v_{kon}(nT_s)}{V_0} \,n\,\in\,\mathcal{Z}.\end{equation}

Eine genauere Beschreibung des Abtast-Vorgangs und seiner Auswirkungen gibt es in dieser Vorlesung gegen Ende des Semesters (Abschnitt Modulation).

Ein- und mehrdimensionale Signale

Unter dem Begriff der Dimension (des Signalarguments) verstehen wir hier die Anzahl der unabhängigen Variablen (im Argument) des Signals.

Beispiele:
\( u(t) \) : Spannung, eindimensionales Signal,
\( i(x,y) \) : Bildhelligkeit, zweidimensionales Signal,
\( p(x,y,z,t) \) : Schalldruck, vierdimensionales Signal.

In der Vorlesung beschränken wir uns hauptsächlich auf eindimesionale Signale. Erweiterungen gibt es dann in vertiefenden Vorlesungen.

Signalvektoren

Unter einem vektoriellen Signal oder einem Signalvektor versteht man eine kompakte Schreibweise für mehrere, zusammen zu behandelnde Signale:

\begin{equation} \boldsymbol{v}(...) = \begin{bmatrix} v_0(...)\\ v_1(...)\\ \vdots\\ v_{L-1}(...) \end{bmatrix} \,\,=\,\, \begin{bmatrix} v_0(...),\, v_1(...),\, \dotsc,\, v_{L-1}(...) \end{bmatrix} ^T \end{equation}

Beispiele:
\( \boldsymbol{u}(t) \,\,=\,\, \begin{bmatrix} u_0(t),\, u_1(t), \, \dotsc,\, u_{L-1}(t) \end{bmatrix} ^T \) : alle Spannungen in einer Schaltung.
\( \boldsymbol{v}(x,y,z,t) \,\,=\,\, \begin{bmatrix} v_x(x,y,z,t),\, v_y(x,y,z,t), \, v_z(x,y,z,t) \end{bmatrix} ^T \) : Schallschnelle.

In dieser Vorlesung werden wir Vektoren durch fetten Schriftsatz kennzeichnen. Neben dieser Schreibweise wird von anderen Autoren auch ein Unterstreichen oder ein Vektorsymbol über dem Signal verwendet.

Deterministische und stochastische Signale

Deterministische Signale

Definition von deterministischen Signalen:
Es besteht ein funktionaler bzw. „handhabbarer“ Zusammenhang zwischen den Signalargumenten \(t\) bzw. \(n\) und den Signalen \(v(t)\) bzw. \(v(n)\), d.h. \(v(t)\) bzw. \(v(n)\) sind determiniert.
Beispiele:
Exponentialfunktion: \( x(n) \,\,=\,\, B\,e^{j\Omega_0n} \),
Sinus: \( y(t)\,\, \,\,=\,\, A\, \sin(\omega_0 t + \Phi) \).

In folgenden ist die Exponentialfunktion \( x(n) \) zum Einen graphisch und zum Anderen in Form von Videos dargestellt. In den Videos ist die Funktion für verschiedene \( \Omega_0\) und mit \(B = 1\) zu sehen:

HarmExp
\( Im\{x(n)\} \)
\( Re\{x(n)\} \)
\( x(0) = B \)
\( x(1) \)
\( x(2) \)
\( x(3) \)
\( x(4) \)
\( x(5) \)
\( \Omega_0 \)
\( \Omega_0 \,\,=\,\, 90°\)
\( \Omega_0 \,\,=\,\, 80°\)

Es ist zu erkennen, dass der Zeiger im zweiten Video zwei Umrundungen durchführen muss, bis er wieder am Ausgangspunkt angelangt. Bei Video 1 reicht eine Umrundung aus.

Auf diese Funktion - die harmonische Exponentielle - wird im Kapitel "Signale - Elementarsignale" später noch näher eingegangen.

Stochastische Signale

Definition von stochastischen Signalen:
Es besteht ein zufälliger bzw. „nicht handhabbarer“ Zusammenhang zwischen den Signalargumenten \(t\) bzw. \(n\) und den Signalen \(v(t)\) bzw. \(v(n)\), d.h. \(v(t)\) bzw. \(v(n)\) sind stochastisch.
Beispiele:
Verstärker-Rauschen,
Sprachsignale.

In dieser Vorlesung werden wir uns zunächst auf deterministische Signale beschränken. Stochastische Signale werden (z.B.) in der Vorlesung „Signale und Systeme - Teil 2“ behandelt.

Periodische und aperiodische Signale

Definition des Begriffs "Periodizität":
Unter dem Betriff Periodizität versteht man eine Signalwiederholung in festem Abstand, d.h. für kontinuierliche, periodische Signale gilt
\begin{equation} v(t+\lambda T) \,\,=\,\, v(t), \,\,\,\, \textrm{mit}\, T\, \in{\mathbb{R}} \end{equation}
bzw. für periodische, diskrete Signale gilt
\begin{equation} v(n+\lambda K) \,\,=\,\, v(n), \,\,\,\, \textrm{mit}\, K\, \in{\mathbb{N}}. \end{equation}

Als „Prototyp“ eines periodischen Signals wird oftmals das (Co-) Sinus-Signal verwendet:

\begin{equation} u(t) \,\,=\,\, \hat{u}\, \cos(\omega_0 t + \Phi), \end{equation}

mit

\begin{equation*} T \,\,=\,\, \frac{2 \pi}{\omega_0} \end{equation*}

für kontinuierliche Signale bzw.

\begin{equation} u(n) \,\,=\,\, \hat{u} \, \cos(\Omega_0 n + \Phi),, \end{equation}

mit

\begin{equation*} K \,\,=\,\, \frac{2 \pi}{\Omega_0} \in{\mathbb{N}} \end{equation*}

für diskrete Signale. Das diskrete Sinussignal ist nicht notwendigerweise periodisch (\(\Omega_0\) muss dafür so gewählt werden, dass \(K\) rational wird)!

Anmerkungen

In der Praxis sind die meisten Signale nicht vollständig periodisch (im Sinne der mathematischen Definition), dennoch existieren eine ganze Menge Signale die zumindest näherungsweise periodisch sind.

Als ein Beispiel für natürlich vorkommende, näherungsweise periodische Signale sei der menschliche Herzschlag angeführt. Das unten folgende Video zeigt exemplarisch drei typische EKG-Ableitungen (EKG = Elektrokardiogramm) in ihrem Zeitverlauf, sowie als 3D-Darstellung.

Leistung und Energie

Physikalische/elektrische Leistung und Energie:

Die physikalische/elektrische Leistung \(p\) und die Energie \(w\) lassen sich mit folgenden Gleichungen bestimmen:

Resistor
\( R \)
\( i(t) \)
\( u(t) \)

\begin{equation} p(t) \,\,=\,\, u(t)\, i(t) \,\,=\,\, \frac{u^2(t)}{R} \,\,=\,\, i^2(t)\, R \end{equation}

\begin{equation} w(t) \,\,=\,\, \int \limits_{\tau \,\, =\,\, -\infty}^{t} p(\tau)\, d\tau\end{equation}

Verallgemeinerung bzw. Abstraktion für normierte Größen \(v(\dots)\in{\mathbb{C}}\):

Verallgemeinert gelten für die entsprechenden normierten Größen die nachstehenden Formeln. Im Falle von Leistungen gilt im Kontinuierlichen

\begin{equation*}p_v(t) \,\,=\,\, |v(t)|^2 \end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*}p_v(n) \,\,=\,\, |v(n)|^2. \end{equation*}

Betrachtet man Energien, so sind diese kontinuierlich mit

\begin{equation*}w_v(t) \,\,=\,\, \int \limits_{\tau \,\,=\,\, -\infty}^{t}|v(\tau)|^2 \, d\tau\end{equation*}

und diskret mit

\begin{equation*}w_v(n) \,\,=\,\, \sum \limits_{\kappa \,\,=\,\, -\infty}^{n} |v(\kappa)|^2\end{equation*}

zu beschreiben.

Gesamtenergie:

Die Gesamtenergie eines Signals ist wie folgt definiert:

Definition der Gesamtenergie von Signalen:
Kontinuierlich: \begin{equation}w_v(\infty) \,\,=\,\, \int \limits_{\tau \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} |v(\tau)|^2 \, d\tau, \end{equation}
Diskret: \begin{equation}w_v(\infty) \,\,=\,\, \sum \limits_{\kappa \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} |v(\kappa)|^2. \end{equation}

Signale, für die dieser Grenzwert existiert (und endlich ist), d.h. \( 0 \le w_v(\infty) < \infty \) nennt man in der Literatur Energiesignale. Die Summation in der Berechnung bei diskreten Signalen ist nicht als Näherung zu sehen! Solche Summen werden uns im Folgenden oft begegnen.

"Nicht-Energie"-Signale:

Wenn der Grenzwert \(w_v(\infty) \) nicht existiert, dann kann mit einer anderen Größe etwas über die „mittlere Wirkung“ eines Signals ausgesagt werden.

Mittlere Leistung:

Definition der mittleren Leistung:
Signale für welche der kontinuierliche Grenzwert \begin{equation*}\overline{p_v} \,\, = \,\, \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left \lbrack \frac{1}{2T} \, \int \limits_{\tau \,\,=\,\, -T}^{T} |v(\tau)|^2 \, d\tau \right \rbrack \end{equation*} oder der diskrete Grenzwert \begin{equation*}\overline{p_v} \,\, = \,\,\lim\limits_{K \rightarrow \infty} \left \lbrack \frac{1}{2K+1} \, \sum \limits_{\kappa \,\,=\,\, -K}^{K}|v(\kappa)|^2 \right \rbrack \end{equation*} existiert, heißen in der Literatur Leistungssignale.

Daraus ergibt sich für periodische Signale ( \( \overline{p_v} \) gibt die Energie pro Periode an) im Kontinuierlichen

\begin{equation*}\overline{p_v}\,\, = \,\, \frac{1}{T} \, \int \limits_{\tau \,\,=\,\, t_0}^{t_0+T}|v(\tau)|^2 \, d\tau \end{equation*}

und im Diskreten

\begin{equation*}\overline{p_v} \,\,=\,\, \frac{1}{K} \, \sum \limits_{\kappa \,\,=\,\, -k_0}^{k_0+K-1} |v(\kappa)|^2. \end{equation*}

Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Nennen Sie mindestens zwei Beispiele für (nahezu) periodische Signale und für vektorielle, mehridmensionale Signale (die auch praktisch vorkommen).

Periodische Signale sind beispielsweise der Herzschlag sowie Spannungen und Ströme in der Wechselstromtechnik.
Vektorielle, mehrdimensionale Signale sind zum Beispiel die Bildhelligkeit und der Schalldruck.

Nennen Sie Beispiele für periodisch und für nicht-periodisch abgetastete Signale! Wie würden Sie die „Abtastung“ mit eigenen Worten beschreiben?

Audiosignale, die auf einer Audio-CD gespeichert werden, werden mit einer Abtastfrequenz von 44.1 kHz periodisch abgetastet.
Nicht-periodische Abtastung findet bespielspielsweise bei der Send-on-Delta-Abtastung statt. Hier sollen nicht alle Abtastwerte gesendet werden, sondern nur die, die einen ausreichenden Unterschied zum zuvor gesendeten Signal aufweisen.
Als Abtastung bezeichnet man allgemein das Aufnehmen von Messwerten zu bestimmten, meist periodischen Zeitpunkten.

Warum sollte man Signale (und im folgenden auch Systeme) in „Klassen“ (periodisch, mit endlicher Energie, mittelwertfrei, etc.) einteilen?

Man sollte Signale und Systeme in "Klassen" aufteilen, da so Promblemlösungen effizienter zu ermitteln sind. Für manche "Klassen" reduzieren und vereinfachen sich beispielsweise einige Darstellungsformen und Rechenoperationen.

Systeme

Allgemeine Systembeschreibung

Definition eines Systems:
Systeme werden durch Eingangs- bzw. Anregungssignale \( \boldsymbol{v}(...) \) "angeregt" und reagieren mit internen Signalen \(\boldsymbol{x}(...)\), sowie mit Ausgangssignalen \(\boldsymbol{y}(...)\).

Sie können mit unterschiedlichen Darstellungsformen beschrieben werden. Darauf wird in diesem Kapitel näher eingegangen.

Beschreibung durch den Systemoperator

Definition des Systemoperators:
Allgemein lässt sich ein System durch den Systemoperator \(S\{...\}\) beschreiben. Es folgt die Eingangs-Ausgangs-Beschreibung des Systems \begin{equation} \boldsymbol{y}(...) \,\,=\,\,S\big\{ \boldsymbol{v}(...) \big\} .\label{eq_5} \end{equation}

Beispiele mit skalaren bzw. vektoriellen Ein- bzw. Ausgängen:

InputOutputRelation
\( S_0\{...\} \)
\( S_1\{...\} \)
\( S_2\{...\} \)
\( S_3\{...\} \)
\( v(...) \)
\( v(...) \)
\( \boldsymbol{v}(...) \)
\( \boldsymbol{v}(...) \)
\( v(...) \)
\( v(...) \)
\( \boldsymbol{v}(...) \)
\( \boldsymbol{v}(...) \)

Beschreibung mit Zuständen

Bei dieser Systembeschreibung wird ein System mit den „wesentlichen“ erfassten, inneren Signalen (zumeist Signale, die den Inhalt der [Energie-] Speicher im System kennzeichnen) dargestellt. Diese Signale werden

\begin{equation} \textbf{Zustandsvariablen}\,\,\, x_i(...),\,i \in \{0,\,1,\,...,\,N-1\} \end{equation}

genannt und sind üblicherweise im

\begin{equation} \textbf{Zustandsvektor}\,\,\, \boldsymbol{x}(...) \,\,=\,\, \big[x_0(...),\,x_1(...),\,...,\,x_{N-1}(...)\big]^T\end{equation}

zusammengefasst.

Allgemeine Zustandsbeschreibung

Bei der allgemeinen Zustandsbeschreibung sind die Zustandsgleichungen und Ausgangssignale wichtig. Sie sind jeweils Funktionen des "Ist"-Zustands und der Anregungssignale.

Definition der allgemeinen Zustandsbeschreibung:
Im Kontinuierlichen werden Zustandsgleichungen mit \begin{equation}\boldsymbol{\dot x}(t) \,\,=\,\, f\big( \boldsymbol{x}(t), \, \boldsymbol{v}(t) \big)\end{equation} und Ausgangsgleichnungen mit \begin{equation}\boldsymbol{y}(t) \,\,=\,\, g \big( \boldsymbol{x}(t),\,\boldsymbol{v}(t) \big)\end{equation} beschrieben. Es handelt sich hierbei um ein Differentialgleichungssystem.
Im Diskreten ist im Vergleich zum Kontinuierlichen von einem Differenzengleichungssystem die Rede. Dabei werden die Zustandsgleichungen mit \begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{x}(n+1)- \boldsymbol{x}(n) \,\, &= \,\, \tilde f\big( \boldsymbol{x}(n),\,\boldsymbol{v}(n) \big)\\ \boldsymbol{x}(n+1) \,\, &= \,\, f\big( \boldsymbol{x}(n),\, \boldsymbol{v}(n) \big) \end{aligned} \end{equation} und Ausgangsgleichnungen mit \begin{equation}\boldsymbol{y}(n) \,\,=\,\, g \big( \boldsymbol{x}(n), \, \boldsymbol{v}(n) \big) \end{equation} dargestellt.
Beispiele für Zustandsvariablen:
In elektrischen Schaltungen stehen Kapazitäten C (elektrische Felder) und Induktivitäten L (magnetische Felder) im direkten Zusammenhang mit den Systemzuständen. \begin{equation*} w_{\tiny C}(t)\,\,\sim\,\,C\,u_{\tiny C}^2(t) \end{equation*} \begin{equation*} w_{\tiny L}(t)\,\,\sim\,\,L\,i_{\tiny L}^2(t) \end{equation*} Die Zustandsvariablen sind hier die Spannung an der Kapazität und der Strom in der Induktivität.

Bei mechanischen Systemen sind Federspannung, Fallhöhe und Bewegungsgeschwindigkeit einer Masse Beispiele für Zustandsvariablen.

Die Inhalte der Datenspeicher sind Zufallsvariablen bei diskreten Sytsemen.

In dieser Vorlesung werden wir uns zunächst auf Eingangs-Ausgangs- Beschreibungen beschränken. Zustandsdarstellungen werden (z.B.) in der Vorlesung „Signale und Systeme – Teil 2“ behandelt.

Kontinuierliche und diskrete Systeme

Klassifizierung

Klassifizierung kontinuierlicher und diskreter Systembeschreibungen:
Man verwendet kontinuierliche Systembeschreibungen, wenn alle Eingangssignale, alle internen Signale und alle Ausgangssignale kontinuierlich sind.
Analog dazu gilt, dass diskrete Systembeschreibungen verwendet werden, wenn alle Eingangssignale, alle internen Signale und alle Ausgangssignale diskret sind.

Diskrete Systeme bzw. Operatoren berechnen Zahlenfolgen aus Zahlenfolgen, sind also als „Rechner“ zu sehen. „Digital“-Rechner sind zusätzlich durch realisierbare Zahlendarstellungen mit endlich vielen Stufen (Bits) gekennzeichnet. Auf diese (Zeit- und) Wertdiskretisierung wird in der Vorlesung „Signale und Systeme - Teil 2“ eingegangen.

Ein- und mehrdimensionale Systeme

Definition von ein- und mehrdimensionalen Systemen:
Eindimensionale Systeme verarbeiten nur eindimensionale Signale. Sobald mehrdimensionaleSignale involviert sind, nennt man auch die zugehörigen Systeme mehrdimensional.

Im Rahmen der Vorlesung "Signale und Systeme – Teil 1" beschränken wir uns auf eindimensionale Systeme.

Deterministische und stochastische Systeme

Definition deterministischer und stochastischer Systeme:
Wenn der Systemoperator \( S \{...\} \), d.h. die Struktur des Systems, und alle Systemparameter "festgelegt" sind, wird das System als deterministisch bezeichnet. Es reagiert auf determinierte Anregungen mit determinierten Ausgängen. Unter dem Begriff "festgelegt" ist hier nicht konstant zu verstehen – es muss lediglich der zeitliche Verlauf der Parameter bzw. der Systemstruktur bekannt sein.
Wenn in \( S \{...\} \) auch nur ein Detail stochastisch ist, dann wird das System als stochastisch bezeichnet.
Beispiele:
Wackelkontakt,
akustische Übertragungen (Kanäe),
Mobilfunkkanäle (und sogar deren Modelle).

In dieser Vorlesung (auch im Teil 2) werden wir uns auf deterministische Systeme beschränken

Passivität, Ruhezustand und Verlustlosigkeit

Passivität

Definition des Begriffs "Passivität":
Ein System wird dann als passiv bezeichnet, wenn es keine „inneren Quellen“ und keine Verstärkungsfunktionen besitzt. Es kann daher nie, d.h. zu keinem Zeitpunkt \(t\) bzw. \(n\), mehr Energie abgeben als bisher aufgenommen wurde.

Für ein System mit einem Eingang \(v(...)\) und einem Ausgang \(y(...)\) gilt im Kontinuierlichen

\begin{equation}w_y(t) \leq w_v(t), \,\, \forall\, t\end{equation}

und im Diskreten

\begin{equation}w_y(n) \leq w_v(n), \,\, \forall\, n.\end{equation}

Analog dazu gilt für Systeme mit \(L\) Eingängen

\begin{equation*} \boldsymbol{v}(...) \,\,=\,\, [v_0(...),\,v_1(...),\, ...,\,v_L(...)]^T \end{equation*}

und \(R\) Ausgängen

\begin{equation*} \boldsymbol{y}(...) \,\,=\,\, [y_0(...),\,y_1(...),\, ...,\,y_R(...)]^T \end{equation*}

folgender Zusammenhang:

\begin{equation} \sum \limits_{r=0}^{R-1} w_{y_r}(...) \leq \sum \limits_{l\,\,=\,\,0}^{L-1} w_{v_l}(...), \,\, \forall\, t,\, n . \end{equation}

Die Folge der Passivität ist, dass ein passives System im "Ruhezustand" verharrt:

Wenn im Kontinuierlichen

\begin{equation*} v(t) \,\,=\,\, 0, \,\, \forall\, t \leq t_0 \end{equation*}

gilt, dann folgt daraus auch

\begin{equation*} y(t) \,\,=\,\, 0, \,\, \forall\, t \leq t_0. \end{equation*}

Äquivalent dazu folgt, dass wenn im Diskreten

\begin{equation*} v(n) \,\,=\,\, 0, \,\, \forall\, n \leq n_0 \end{equation*}

gilt, dann muss auch

\begin{equation*} y(n) \,\,=\,\, 0, \,\, \forall\, n \leq n_0 \end{equation*}

erfüllt sein.

Verlustlosigkeit

Definition des Begriffs "Verlustlosigkeit":
Ein System wird als verlustlos bezeichnet, wenn alle aufgenommene Energie auch wieder (an den Systemausgängen) abgegeben wird: \begin{equation}\sum\limits_{r\,\,=\,\,0}^{R-1} w_{y_r}(\infty)\,\,= \,\,\sum\limits_{l\,\,=\,\,0}^{L-1} w_{v_l}(\infty).\end{equation}

Oftmals wird Verlustlosigkeit in Kombination mit Passivität betrachtet bzw. verwendet ("passive und verlustlose Systeme"). Gemeint ist dabei aber nicht ein System, in dem "verloren gegangene" Energie wieder durch innere Quellen (evtl. in anderer Form) ersetzt wird!

Anmerkung

Die Bedingungen \(w_y(t)\,\,\le\,\,w_v(t)\,\, \forall \, t, \) bzw. \( w_y(n)\,\,\le\,\,w_v(n)\,\, \forall \, n, \) gelten nicht erst für \( t\,\rightarrow\,\infty \) bzw. \( n\,\rightarrow\,\infty \), sonst wäre kurzzeitig ein Energiegewinn erzielbar. Die Verlustlosigkeitsbedingung verwendet dagegen bewusst \( t\,\rightarrow\,\infty \) bzw. \( n\,\rightarrow\,\infty \), da hier nur gefordert wird, dass am Ende alle Energie wieder abgegeben wird.

Dynamische und gedächtnislose Systeme

Dynamische Systeme

Definition von dynamischen Systemen:
Ein System wird als dynamisch bezeichnet, wenn die Ausgangssignale \(y_r(t_0)\) nicht nur von den Eingängen \(v_l(t_0)\) zu den Zeitpunkten \(t=t_0\), sondern auch von \(t\neq t_0\) abhängen. Analog dazu gilt für diskrete Systeme, wenn \(y_r(n_0)\) nicht nur von \(v_l(n=n_0)\), sondern auch von \(v_l(n\neq n_0)\) abhängt.

Daraus folgt, dass das System außer den "aktuellen" Eingangssignalen auch Signalwerte zu anderen Zeiten \(t\) bzw. \(n\) kennt. Das bedeutet, dass ein dynamisches System Speicher enthält, welche für \(t \leq t_0 \) bzw. \(n \leq n_0 \) Werte „links“ von \( t_0 \) bzw. \( n_0 \) aufnehmen (Zeitdeutung: Vergangenheit) und bzw. oder für \( t>t_0 \) bzw. \( n > n_0 \) Werte "rechts" von \( t_0 \) bzw. \( n_0 \) aufnehmen (Zeitdeutung: Zukunft).

Gedätnislose Systeme

Unabhängig vom Zeitbezug \( t \) bzw. \( n \) spricht man auch vom Gedächtnis des Systems. Nicht-dynamische Systeme heißen daher gedächtnislose Systeme.

Kausale und nichtkausale Systeme

Definition von kausalen Systemen:
Ein System wird als kausal bezeichnet, wenn im Kontinuierlichen \(\boldsymbol{b}(t_0)\) nur von \(v(t \leq t_0)\) oder im Diskreten \(\boldsymbol{b}(n_0)\) nur von \(v(n \leq n_0)\) abhängt. Das System ist also nur von Werten "links" von \(t_0\) bzw. \(n_0\), d.h. von der Vergangenheit abhängig.

Ein System wird als nicht-kausal bezeichnet, wenn die eben genannte Definition nicht gilt.

Hängt ein System nur von den Werten "rechts" von \(t_0\) bzw. \(n_0\) ab, d.h. nur von der Zukunft, so wird es als anti-kausal bezeichnet.

Anmerkungen

Dynamische, kausale Systeme haben ein Gedächtnis im "äblichen" Sinn, d.h. sie greifen nur auf Informationen bzw. Signalabschnitte aus der Gegenwart und Vergangenheit zurück (nicht auf zukünftige Signale).

Passive Systeme sind aufgrund der Definition und der Folgebedingung auch kausal. Aber nicht jedes kausale System ist auch passiv!
Häufig findet man die Vorstellung, dass reale Systeme auch kausal sein müssen (erst die Anregung bzw. Ursache, dann die Reaktion bzw. Wirkung). Das stimmt im Generellen nur bedingt, d.h. bei einem sog. Echtzeitbezug. Wird dieser nicht mehr gefordert (z.B. rückwärts laufendes Tonband oder Bildfilterungen in positiver und negativer x- bzw. y-Richtung), so kommt Nichtkausalität auch in realen, technischen Systemen vor.

Gelegentlich werden auch Signale (nicht Systeme) als kausal bzw. nicht- oder anti-kausal bezeichnet. Eine bessere Bezeichnung hierfür, die wir auch in dieser und im Teil 2 dieser Vorlesung verwenden werden, sind rechtsseitige, linksseitige, bzw. zweiseitige Signale.

Lineare und nichtlineare Systeme

Definition von linearen Systemen:
Lineare Systeme sind definiert durch die Gültigkeit des Überlagerungssatzes: \begin{equation}S\left\{ \sum\limits_{l\,\,=\,\,-\infty}^{\infty} \alpha_l\,v_l(...)\right\} \,\,=\,\, \sum\limits_{l\,\,=\,\,-\infty}^{\infty} \alpha_l\,S\Big\{ v_l(...) \Big\}.\end{equation}

Folgende Graphik stellt eine Veranschaulichung für diskrete Systeme dar.

Superposition
\( S\{...\} \)
\( S\{...\} \)
\( S\{...\} \)
\( v_0(n) \)
\( v_1(n) \)
\( a_0 \)
\( a_1 \)
\( a_0 \)
\( a_1 \)
\( y_0(n) \,=\, S \big\{ v_0(n) \big\} \)
\( y_3(n) \,=\, \alpha_0 \, y_0(n) + \alpha_1 \, y_1(n) \)
\( \begin{aligned} y_4(n) &= S \big\{ \alpha_0\,v_0(n) + \alpha_1\,v_1(n) \big\} \\ &= y_3(n) \end{aligned} \)
...nur bei
Linearität
\( y_1(n) \,=\, S \big\{ v_1(n) \big\} \)

Anmerkungen

Für nichtlineare Systeme gilt der Überlagerungssatz nicht!

Nichtlinearität kann durchaus erwünscht sein (z.B. Gitarrenverstärker, Audioeffekte, usw.).

Lineare Systeme sind sehr wichtig, obwohl viele reale Systeme nichtlinear sind, weil es hierfür eine weitreichende allgemeine Theorie gibt und weil sich nichtlineare Systeme oft approximativ (Modellierung) linearisieren lassen (z.B. Transistor im „Arbeitspunkt“). Nichtlinearität führt unter Umständen zu gewissen Effekten. Dies sind aber Symptome der fehlenden Linearität – Ursache ist die Ungültigkeit des Überlagerungssatzes.

Verschiebungsinvariante und verschiebungsvariante Systeme

Definition des Begriffs "Verschiebungsinvarianz":
Ein System wird dann als verschiebungsinvariant bezeichnet, wenn es in der Reihenfolge der Anordnung mit einer Signalverschiebung vertauscht werden darf. Dies bedeutet:
Kontinuierlich: \begin{equation} S \big\{ \boldsymbol{v}(t-\tau) \big\} \,\,=\,\, \boldsymbol{y}(t-\tau),\end{equation}
Diskret: \begin{equation} S \big\{ \boldsymbol{v}(n-\kappa) \big\} \,\,=\,\, \boldsymbol{y}(n-\kappa).\end{equation}

Verschiebungsvariante Systeme erfüllen die o.g. Bedingungen nicht!

Folgende Graphik stellt eine Veranschaulichung für diskrete Systeme dar:

Timevariance
\( S\{...\} \)
\( S\{...\} \)
\( v(n) \)
\( \kappa \)
Verschiebung
\( \kappa \)
Verschiebung
\( y(n-\kappa) \)
\( S \big\{ v(n-\kappa) \big\} \)
\( =\,\, y(n-\kappa)\)
... nur bei Verschiebungs-
invarianz!

Anmerkungen

Bei Zeitbezug im Argument der Signale spricht man auch von Zeitvarianz bzw. Zeitinvarianz.

Reale Systeme sind häufig nicht (streng) verschiebungsinvariant / zeitinvariant (z.B. aufgrund von Alterung). Solche Systeme können aber näherungsweise als verschiebungsinvariant angesehen werden.

Für verschiebungsinvariante Systeme reicht die „allgemeine“ Systemtheorie weiter, insbesondere für lineare, verschiebungsinvariante Systeme. Diese werden im Englische linear time-invariant systems (LTI-Systeme) genannt.

Verschiebungsinvarianz ist unabhängig von Linearität. Daher wurden in der Beispielanordnung auf den Linearitätsfolien drei parallele Systeme gleichzeitig angeordnet.

Verschiebungsvarianz erzeugt u.U. ähnliche Effekte/Symptome wie Nichtlinearität. Sie kann sehr wohl auch erwünscht sein.

Stabilität

Definition des Begriffs "Stabilität":
Ein System, das auf beschränkte Eingangssignale mit beschränkten Ausgangssignalen reagiert, wird als stabil bezeichnet. Im Englischen wird dies als bounded input / bounded output bezeichnet. Hieraus resultiert der Begriff der BIBO-Stabilität.

Für Systeme mit einem Eingang und einem Ausgang bedeutet das, dass im Kontinuierlichen für

\begin{equation*}\big| v(t) \big| \le M_1 < \infty,\,\,\forall\,t \end{equation*}

Folgendes gelten muss:

\begin{equation*} \big| y(t) \big| \le M_2 < \infty,\,\,\forall\,t.\end{equation*}

Für

\begin{equation*}\big| v(n) \big| \le M_1 <\infty,\,\,\forall\,n\end{equation*}

muss analog dazu im Diskreten

\begin{equation*}\big| y(n) \big| \le M_2 < \infty,\,\,\forall\,n\end{equation*}

gelten.

Das Ganze lässt sich auch auf Systeme mit \(L \) Eingängen und \(R\) Ausgängen übertragen.
Für

\begin{equation*}\big| v_l(t) \big| \le M_1 <\infty,\,\,\forall\,t,l\end{equation*}

muss im Kontinuierlichen das Kriterium

\begin{equation*}\big| y_r(t) \big| \le M_2 < \infty,\,\,\forall\,t,r\end{equation*}

erfüllt sein.

Im Diskreten folgt daraus, dass für

\begin{equation*}\big| v_l(n) \big| \le M_1 <\infty,\,\,\forall\,n,l\end{equation*}

die Bedingung

\begin{equation*}\big| y_r(n) \big| \le M_2 < \infty,\,\,\forall\,n,r\end{equation*}

gelten muss.

Fragen

Fragen: Antworten:

Wie prüfen Sie, ob ein System linear ist? Was können Sie über die L inearität folgender Systeme aussagen: \(y(t) = a\,v(t)+b\,v(t-t_0)\) bzw. \(y(n) = a\,v(n-n_0)+b\)?

Lineare Systeme sind durch die Gültigkeit des Überlagerungssatzes definiert.
Demnach ist das erstes Systsem linear, das zweite aufgrund des vorhandenen Offsets \(b\) nicht.

Was können Sie über die Verschiebungsinvaranz der Systeme \(y(t) = a\,v(t-t_0)\) bzw. \(y(n) = a\,v^2(n)\) aussagen?

Beide Systeme sind verschiebungsinvariant, da es hier egal ist, ob zuerst eine zeitliche verschiebung des Einganssignals stattfindet und dann das System angewendet wird oder umgekehrt.

Welche (verschiedenen) Bedeutungen ordnen Sie dem Begriff Dynamik bzw. Systemdynamik zu? Welche wollen wir hier in der Vorlesung verwenden?

Ein dynamisches System, ist ein System, dessen Ausgangssignale zum aktuellen Zeitpunkt nicht nur von den aktuellen Eingangssignalen abhängen. Die Ausgangssignale dynamischer Systeme können von Eingangssignalen aus der Vergangenheit (gedätnisbehaftetes System) oder von Eingangssignalen aus der Zukunft abhängen. In der Vorlesung wollen wir gedätnisbehaftete Systeme verwenden.