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Signale and Systeme – Idealisierte Systeme

Inhalt

Idealisierte Systeme
Grundlagen und Hintergründe
Verzerrungsfreie Systeme
Systeme mit Dämpfungsverzerrungen
Phasenverzerrungen
Abschließende Verständnisfragen

Idealisierte Systeme

Grundlagen und Hintergründe

Bisherige Beschreibungen und neue Fragestellungen

Bisher wurde es sich mit der Beschreibung determinierter und stochastischer Signale befasst. Jeweils im Anschluss wurde dann die Systemreaktion auf Signale bzw. Zufallsprozesse behandelt. Die Systeme wurden dabei durch geeignete Systemeigenschaften beschrieben.

Nun werden folgende Fragen beantwortet:

Bei den Antworten auf die o.g. Fragen werden zunächst Einzeleffekte betrachtet. Danach folgt die Betrachtung der Abweichungen zu einem definierten "Idealverhalten" im Detail. Zunächst wird hier die Realisierbarkeit eines Systems noch nicht berücksichtigt.

Unter dem "Idealverhalten" eines Systems wird oft eine "verzerrungsfreie" Übertragung verstanden, d.h. die Übertragung eines Signals ohne (wesentliche) Veränderung.

Verzerrungsfreie Systeme

Definitionen

Unter einem verzerrungsfreien System wird oftmals ein System

SystemKont
\(v(t), v(n)\)
\( h_0(t),h_0(n)\,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\,H(jw),H(e^{j\Omega}) \)
\( y(t), y(n)\)

mit folgenden Eigenschaften verstanden: \begin{equation*} \begin{aligned} y(t) &= v(t), \\ y(n) &= v(n). \end{aligned} \end{equation*}

(falls keine Veränderung der Ausgangssignale \(y(t)\) bzw. \(y(n)\) erwünscht ist). Realistischer sind allerdings meist die Forderungen: \begin{equation*} \begin{aligned} y(t) &= A \, v(t-t_0), \\ y(n) &= A \, v(n-n_0). \end{aligned} \end{equation*}

d.h. man lässt zumindest eine Verzögerung \(t_0\) bzw. \(n_0\) zu. Für den Parameter \(A\) gilt \(A ∈ \mathbb{R}^+\) ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Entsprechend gilt \(t_0 ∈ \mathbb{R}\), \(n_0 ∈ \mathbb{Z}\) sowie \(t_0=const.\) und \(n_0=const.\).

Für die Impulsantworten ergibt sich dann \begin{equation*} \begin{aligned} h_0(t) &= A \, \delta_0(t-t_0), \\ h_0(n) &= A \, \gamma_0(n-n_0). \end{aligned} \end{equation*}

Daraus ergibt sich für die Sprungantworten: \begin{equation*} \begin{aligned} h_{\small\text{-1}}(t) &= A \, \delta_{\small\text{-1}}(t-t_0), \\ h_{\small\text{-1}}(n) &= A \, \gamma_{\small\text{-1}}(n-n_0). \end{aligned} \end{equation*}

Wählt man als Eingangssignale \(v(t)=e^{jwt}\) bzw. \(v(n)=e^{j{\Omega}n}\), so erhält man für die Ausgangssignale \begin{equation*} \begin{aligned} y(t) &= A\,e^{j\omega (t-t_0)}, \\ y(n) &= A\,e^{j\Omega (n-n_0)}. \end{aligned} \end{equation*}

Somit kann man für die Frequenzgänge direkt angeben: \begin{equation*} \begin{aligned} H(j\omega) &= A \, e^{-j\omega t_0}, \\ H(e^{j\Omega}) &= A \, e^{-j\Omega n_0}. \end{aligned} \end{equation*}

Betrachtet man die Frequenzgänge genauer, so ist erkennbar, dass diese einerseits einen konstanten Betrag, d.h. \begin{equation*} \begin{aligned} |H(j\omega)| &= A, ∀\omega, \\ |H(e^{j\Omega})| &= A, ∀ \Omega, \end{aligned} \end{equation*}

aufweisen. Andererseits weisen beide Frequenzgänge eine lineare Phase, d.h. \begin{equation*} \begin{aligned} arg\big\{H(jw)\big\} &= -{\omega}t_0,\\ arg\big\{H(e^{j\Omega})\big\} &=-{\Omega}n_0. \end{aligned} \end{equation*}

auf, d.h. die Phasen sind linear in \(w\) bzw. \(\Omega\). Diese idealen Übertragungssysteme werden daher als sog. linearphasige Allpässe bezeichnet. Entsprechende Überlegungen kann man auch für Übertragungsfunktionen anstellen. Hier gilt dann \begin{equation*} \begin{aligned} H(s) &= Ae^{-st_0},\\ H(z) &= Az^{-n_0}. \end{aligned} \end{equation*}

Diese idealen Übertragungssysteme entsprechen bis auf den konstanten Faktor A (d.h. einer Verstärkung oder Abschwächung) dem zuvor behandelten Verzögerungs- bzw. Verschiebeoperator!

Mögliche Abweichungen vom zuvor beschriebenen idealen Verhalten können gemäß der folgenden Möglichkeiten klassifiziert werden:

Die letztgenannten linearen Verzerrungen unterscheiden sich von nichtlinearen Verzerrungen. Diese entstehen z.B. bei Systemen, die durch \(y(n)=v(n)+v^2(n)+...\) beschrieben sind.

Systeme mit Dämpfungsverzerrungen

Ideale Bandbegrenzung

Im Folgenden nehmen wir an, dass ein linearer Phasenverlauf vorliegt, d.h. es gelte: \begin{equation*} \begin{aligned} H_{\small\text{TP,id}}(j\omega) &= \big|H_{\small\text{TP,id}}(j\omega)\big| \, e^{-j\omega t_0} \end{aligned} \end{equation*}

(zunächst werden alle Überlegungen für den kontinuierlichen Fall angestellt, im Anschluss werden diese Ergebnisse auf diskrete Systeme übertragen). Für den Betragsverlauf soll nun gelten: \begin{equation*} \begin{aligned} \big|H_{\small\text{TP,id}}(j\omega)\big| &= \left\{ \begin{array}{ll} A>0, & \textrm{für}\,\,|\omega| \le \omega_{\text{g}},\\ 0, & \textrm{sonst}. \end{array} \right. \end{aligned} \end{equation*}

SystemKont
\(A\)
\(|H_{\small\text{TP,id}}(j\omega)|\)
\(w\)
\(w_{\text{g}}\)
\(-w_{\text{g}}\)

Bei Anregung des Systems mit einem Impuls entsteht dann am Ausgang nicht wieder ein Impuls (dies wäre nur bei verzerrungsfreien Systemen der Fall), sondern die Impulsantwort dieses idealen Tiefpassfilters: \begin{equation*} \begin{aligned} h_{\small\text{0,TP,id}}(t) &= \mathcal{F}^{-1} \big\{ H_{\small\text{TP,id}}(j\omega)\big\} \,\,=\,\, A\,\frac{\omega_g}{\pi} \,\frac{\sin\big(\omega_{g} (t-t_0)\big)}{\omega_{g}(t-t_0)} \,\,=\,\, A\,\frac{\omega_g}{\pi}\,\textrm{si}\big( \omega_g (t-t_0)\big). \end{aligned} \end{equation*}

Die Herleitung ist in Kapitel 4 der "Signale und Systeme 1"-Vorlesung ersichtlich!

Je nach Tiefpassfrequenz \(w_g\) wird aus dem unendlichschmalen Impuls eine Impulsantwort endlicher Breite (beschrieben z.B. durch \(2t_1=2 \frac{\pi}{w_g}\)).

Durch Faltung mit der Impulsantwort wird entsprechend jedes Signal \(v(t)\) "verbreitert" bzw. "verschmiert".

SystemKont
\(A\frac{\omega_g}{\pi}\)
\(h_{0,\small\text{TP,id}}(t)\)
\(t\)
\(t_0 - t_1\)
\(t_0 + t_1\)
\(t_0\)
\(\xrightarrow{\hspace{315pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{140pt}}\)

Für \(\omega_g \,\rightarrow \, \infty \) strebt \(t_1 \,\rightarrow \, 0\) und \(A\frac{\omega_g}{\pi} \,\rightarrow \, \infty \). Damit strebt die Impulsantwort gegen die Dirac-Distribution \begin{equation*} \begin{aligned} h_{\small\text{0,TP,id}}(t) \,\,\longrightarrow\,\, A\,\delta_0(t-t_0), \end{aligned} \end{equation*}

d.h. das Tiefpassfilter wird zum verzerrungsfreien Allpassfilter (Verzögerungsglied).

Für den diskreten Fall ergibt sich ganz entsprechend für den Frequenzgang eines idealen, zeit-diskreten Tiefpassfilters \begin{equation*} \begin{aligned} H_{\small\text{TP,id}}(e^{j\Omega}) &= \big|H_{\small\text{TP,id}}(e^{j\Omega})\big| \, e^{-j\Omega n_0}, \end{aligned} \end{equation*}

mit dem Betragsfrequenzgang \begin{equation*} \begin{aligned} \big|H_{\small\text{TP,id}}(e^{j\Omega})\big| &= \left\{ \begin{array}{ll} A, & \textrm{für}\,\,|\Omega - \lambda 2\pi| \,\in\, [0,\,\Omega_g], \\ 0, & \textrm{sonst}. \end{array} \right. \end{aligned} \end{equation*}

Daraus ergibt sich durch Rücktransformation in den Zeitbereich: \begin{equation*} \begin{aligned} h_{\small\text{0,TP,id}}(n) &= A\,\frac{\Omega_g}{\pi} \,\frac{\sin\big(\Omega_g(n-n_0)\big)}{\Omega_g(n-n_0)}. \end{aligned} \end{equation*}

Setzt man \(\Omega={\omega}T_{\small\text{A}}\), so ergibt sich die diskrete Impulsantwort durch Abtastung der Impulsantwort des kontinuierlichen idealen Tiefpassfilters: \begin{equation*} \begin{aligned} h_{\small\text{0,TP,id}}(n) &= h_{\small\text{0,TP,id}}(t)\Big|_{t\,=\,nT_{\small\text{A}}}. \end{aligned} \end{equation*}

SystemKont
\(A\)
\(|H_{\small\text{TP,id}}(e^{j\Omega})|\)
\(\Omega\)
\(2\pi\)
\(\pi\)
\(\Omega_g\)
\(-2\pi\)
\(-\pi\)
\(-\Omega_g\)

Bei Anregung eines idealen Tiefpassfilters (zunächst mit einem kontinuierlichen System) mit einer Sprungfunktion wird aus dem "senkrechten" Anstieg bei \(t=0\) (vgl. das "Verzögern und Verschmieren" von vorher) eine "schräge Flanke" bei \(t=t_0\). Das "Vor-" und "Nachschwingen" zeigt sich auch hier. Für die Sprungantwort ergibt sich: \begin{equation*} \begin{aligned} h_{\small\text{-1,TP,id}}(t) &= \int\limits_{\tau = -\infty}^{t} h_{\small\text{0,TP,id}}(\tau)\,d\tau \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Einsetzen der Definition der Impulsantwort des idealen Tiefpassfilters ... }}} \\ &= \int\limits_{\tau = -\infty}^{t} A\,\frac{\omega_g}{\pi}\,\frac{\sin\big(\omega_g(\tau - t_0) \big)}{\omega_g(\tau - t_0)}\,d\tau \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Aufteilen des Integrals und "Erinnern" an die Fourier-Transformation für \(w=0\) ... }}} \\ &= \underbrace{\int\limits_{\tau = -\infty}^{t_0} h_{\small\text{0,TP,id}}(\tau)\,d\tau}_{=\,\frac{1}{2} H(j\omega\,=\,0)\,=\,\frac{A}{2}} \,\,+ \int\limits_{\tau = t_0}^{t} A\,\frac{\omega_g}{\pi}\, \frac{\sin\big(\omega_g(\tau - t_0)\big)}{\omega_g(\tau - t_0)}\,d\tau \end{aligned} \end{equation*}

Für eine weitere Vereinfachung kann noch auf die "tabellierte Integralsinusfunktion" \begin{equation*} \begin{aligned} \textrm{Si}(x) &= \int\limits_{t=0}^{x} \frac{\sin(t)}{t} \, dt \end{aligned} \end{equation*}

zurück gegriffen werden. Hier ergibt sich schließlich: \begin{equation*} \begin{aligned} h_{\small\text{-1,TP,id}}(t) &= A\,\Big[ \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\textrm{Si}\big(\omega_g(t-t_0) \big)\Big]. \end{aligned} \end{equation*}



SystemKont
\(A\)
\(h_{\small\text{-1,TP,id}}(t)\)
\(A/2\)
\(t_0\)
\(t_1\)
\(t\)
\(\xrightarrow{\hspace{250pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{130pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{20pt}}\)

Fazit: Auch der Sprung wird durch das ideale Tiefpassfilter "verschmiert".

Für diskrete ideale Bandbegrenzungsfilter gilt für die Sprungantwort \begin{equation*} \begin{aligned} h_{\small\text{-1,TP,id}}(n) &= \sum\limits_{\kappa = -\infty}^{n} h_{\small\text{0,TP,id}}(\kappa) \,\,=\,\, A\,\frac{\Omega_g}{\pi}\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{n} \frac{\sin\big(\Omega_g(\kappa-n_0)\big)}{\Omega_g(\kappa-n_0)} \,\,\approx\,\,h_{\small\text{-1,TP,id}}(t)\Big|_{t\,=\,nT_{\small\text{A}}}. \end{aligned} \end{equation*}

Hierbei ist \(h_{\text{_1,TP,id}}(n)\) dann nicht mehr eine abgetastete Version der kontinuierlichen Sprungantwort, da die Summe nur als Näherung einer Integration gesehen werden kann (daher auch das \(\approx\)-Zeichen in der o.g. Formel).

SystemKont
\(n_0\)
\(h_{\small\text{0,TP,id}}(n)\)
\(n\)
\(h_{\small\text{-1,TP,id}}(n)\)
\(no\)
\(n\)
\(\xrightarrow{\hspace{250pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{90pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{250pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{90pt}}\)

Für die Eigenschaften eines idealen Tiefpassfilters kann Folgendes festgehalten werden:

Aufgabe:



Aufgabe:
Gegeben sei ein ideales Tiefpassfilter mit dem Frequenzgang \begin{equation*} H_{\small\text{ TP,id}}(j\omega) = \left\{ \begin{array}{ll} A\,e^{-j\omega t_0}, \textrm{für}\,\,|\omega| \le \omega_g, \\ 0, \textrm{sonst}. \end{array} \right. \end{equation*} Dieses Filter werde mit weißem Rauschen angeregt. Die Autokorrelationsfunktion Anregungsrauschens sei \begin{equation*} s_{vv}(\tau) \,\,=\,\,S_0\,\delta_0(\tau). \end{equation*}
Geben Sie das Leistungsdichtespektrum des Eingangssignals an!
Antwort:

\begin{equation*} s_{vv}(\tau)=S_0\delta_0(\tau)\,\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \,\,S_{vv}(j\omega)=S_0 \,\,\,\,\,∀ \omega \end{equation*}

Bestimmen Sie die Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignals des idealen Tiefpassfilters! Spielt die Phase bzw. die Verzögerung des idealen Tiefpassfilters hier eine Rolle?
Antwort:

\begin{equation*}\begin{aligned} s_{yy}(\tau)&=\mathcal{F}^{-1}\Big\{S_{yy}(j\omega)\Big\}\\ &=\mathcal{F}^{-1}\Big\{S_0\,\Big|H_{\small\text{TP,id}}(jw)\Big|^2\Big\}\\ &=S_0\,A^2\,\frac{\omega_g}{\pi}\frac{sin(w_0\tau)}{w_g\tau}\\ &=S_0\,A\,h_0(\tau+t_0) \end{aligned}\end{equation*} Demnach spielt die Verzögerung eine Rolle!

Geben Sie die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Systemeingang und -ausgang an!
Antwort:

\begin{equation*}\begin{aligned} s_{vy}(\tau) &= s_{vv}(\tau)\,*\,h_{\small\text{TP,id}}(\tau)\\ &= S_0\delta_0(\tau)\,*\,A\frac{\omega_g}{\pi}\,\frac{sin(\omega_0\tau)}{\omega_g\tau}\\ &=S_0\,A\,\frac{\omega_g}{\pi}\,\frac{sin(\omega_g(\tau-t_0))}{\omega_g(\tau-t_0)}\\ &=S_0\,h_{\small\text{TP,id}}(\tau) \end{aligned}\end{equation*}


Bandbegrenzung mit linearem Betragsverlauf

Nun soll ein im Gegensatz zum idealen Tiefpassfilter leicht modifiziertes Filter mit folgendem Betragsfrequenzgang \begin{equation*} \begin{aligned} \big|H_{\small\text{TP}}(j\omega)\big| &= \left\{ \begin{array}{ll} A\,\big(1+\alpha\frac{|\omega|}{\omega_g}\big), & \textrm{für}\,\,|\omega| \le \omega_g, \\ 0, & \textrm{sonst}. \end{array} \right. \end{aligned} \end{equation*}

betrachtet werden. Auch hier wird wieder eine lineare Phase angenommen, so dass für den Gesamtfrequenzgang gilt: \begin{equation*} \begin{aligned} H_{\small\text{TP}}(j\omega) &=& \big|H_{\small\text{TP}}(j\omega)\big| \, e^{-j\omega t_0}. \end{aligned} \end{equation*}


SystemKont
\(\big|H_{\small\text{TP}}(j\omega)\big|\)
\(\alpha=1/2\)
\(\alpha=0\)
\(\alpha=-1/2\)
\(A\)
\(\omega\)
\(\omega_g\)
\(-\omega_g\)

Der Hintergrund der nun folgenden Betrachtungen soll ein besseres Verständnis für das Verhältnis der Eigenschaften "Bandbreite" und "Reaktions"- bzw. "Anstiegszeit" vermitteln.

Die Bestimmung der zugehörigen Impulsantwort \begin{equation*} \begin{aligned} h_{\small\text{0,TP}}(t) &= \mathcal{F}^{-1} \big\{ H_{\small\text{TP}}(j\omega)\big\} \end{aligned} \end{equation*} soll hier nur kurz skizziert werden. Man zerlegt dazu den Frequenzgang in eine Rechteck- und in eine Dreiecksfunktion (siehe Skizze).

SystemKont
\(\omega\)
\(\omega_g\)
\(-\omega_g\)
\(\omega\)
\(\omega_g\)
\(\omega\)
\(\omega_g\)
\(-\omega_g\)
\(\omega\)
\(\omega_g/2\)
\(\omega\)
\(-\omega_g/2\)
\(\omega_g/2\)


Für die Rechteckfunktion ist die zugehörige Impulsantwort vorgestellt worden. Die Dreiecksfunktion entsteht durch Faltung zweier Rechteckfunktionen halber Breite. Im Zeitbereich entspricht dies einer Multiplikation der einzelnen Impulsantworten.

Insgesamt ergibt sich damit für die kontinuierliche Impulsantwort: \begin{equation*} \begin{aligned} h_{\small\text{0,TP}}(t) &= (1+\alpha)\,\underbrace{A\,\frac{\omega_g}{\pi} \,\frac{\sin\big( \omega_g(t-t_0)\big)}{\omega_g(t-t_0)}}_{\textrm{Rechteckanteil}} - \alpha\,\underbrace {A\,\frac{\omega_g}{2\pi} \,\left[\frac{\sin\big(\frac{\omega_g}{2}(t-t_0)\big)}{\frac {\omega_g}{2}(t-t_0)}\right]^2}_{\textrm{Dreiecksanteil}}. \end{aligned} \end{equation*}

In ähnlicher Weise erhält man für den diskreten Fall \begin{equation*} \begin{aligned} h_{\small\text{0,TP}}(n) &= (1+\alpha)\,\underbrace{A\,\frac{\Omega_g}{\pi} \,\frac{\sin\big( \Omega_g(n-n_0)\big)}{\Omega_g(n-n_0)}}_{\textrm{Rechteckanteil}} - \alpha\,\underbrace{ A\,\frac{\Omega_g}{2\pi} \,\left[\frac{\sin\big(\frac{\Omega_g}{2}(n-n_0)\big)}{\frac {\Omega_g}{2}(n-n_0)}\right]^2}_{\textrm{Dreiecksanteil}}\\ &= h_{\small\text{0,TP}}(t)\Big|_{t\,=\,n T_{\small\text{A}}}. \end{aligned} \end{equation*}

d.h. es ergibt sich eine abgetastete Version der kontinuierlichen Impulsantwort. Der zugehörige Frequenzgang wurde dabei in analoger Weise wie das kontinuierliche Pendant angesetzt.

Durch Integration bzw. Summation (numerische Rechnung) können aus den Impulsantworten die zugehörigen Sprungantworten bestimmt werden:



SystemKont
\(t_0\)
\(h_{\small\text{-1,TP}}(t)\)
\(t\)
\(h_{\small\text{-1,TP}}(t)\)
\(t_0\)
\(t\)
\(\alpha=0.5\)
\(\alpha=-0.5\)
\(\xrightarrow{\hspace{250pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{100pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{250pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{100pt}}\)

Auch hier erkennt man wieder, dass eine Bandbegrenzung zu einer " Signal-Verbreiterung" bzw. zu einer zeitlichen "Verschmierung" führt (die ursprünglich unendlich steile Sprungfunktion besitzt am Systemausgang nur noch einen endlich steilen Anstieg.)

Die zeitliche "Verschmierung" kann man z.B. durch die "Breite" (Zeitdauer) des Anstiegs der Sprungantwort beschreiben. Diese Anstiegszeit kann wiederum durch den Abstand der Schnittpunkte der Tangente im "steilsten" Stück der Sprungantwort mit Geraden bei Null bzw. \(h_{-1}(\infty) \,=\,H(j\omega = 0)\) bestimmt werden.

SystemKont
\(A\)
\(h_{\small\text{-1,TP}}(t)\)
\(A\)
\(T\)
\(0\)
Punkt maximaler Steigung
\(--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\)
\(--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\)
\(--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\)
\(--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\)
\(--\!\!\!--\!\!\!--\)
\(\xrightarrow{\hspace{22pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{80pt}}\)
\(\xrightarrow{\hspace{15pt}}\)

Für die Steigung der Tangente gilt: \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{A}{T} &= \max_{t} \Big\{ \frac{d}{dt}\,h_{\small\text{-1}}(t) \Big\}\\ &= \max_{t} \big\{ h_0(t) \big\}\\ &= h_0(t_0). \end{aligned} \end{equation*}

Damit ergibt sich schließlich für die Anstiegszeit: \begin{equation*} \begin{aligned} T &= \frac{A}{h_{\small\text{0}}(t_0)}. \end{aligned} \end{equation*}

Im diskreten Fall ergibt sich analog: \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{A}{K} &= \max_{n} \big\{h_{\small\text{-1}}(n)-h_{\small\text{-1}}(n-1) \big\} \\ &= \max_{n} \big\{ h_0(n) \big\} \\ &= h_0(n_0). \end{aligned} \end{equation*}

Damit erhält man für die diskrete Anstiegszeit: \begin{equation*} \begin{aligned} K &= \frac{A}{h_0(n_0)}. \end{aligned} \end{equation*}

Wid ein Schritt zurück gegangen und das ideale Tiefpassfilter aus dem vorangegangenen Abschnitt betrachtet, so können zum einen eine "normierte" Bandbreite und zum anderen die Anstiegszeiten bestimmt werden:

Man kann hier erkennen, dass (zumindest für das ideale Tiefpassfilter) das Produkt aus Anstiegszeit und normierter Bandbreite konstant ist: \begin{equation*} \begin{aligned} T\,B_{\small\text{norm}} &= 1, \\ K\,B_{\small\text{norm}} &= 1. \end{aligned} \end{equation*}

Werden diese Überlegungen nun auch auf Tiefpassfilter mit linearem Betragsverlauf angewendet, so muss zunächst eine sog. "äquivalente Rechteckbandbreite" eingeführt werden. Diese äquivalenten Rechteckbandbreiten sind über die Flächeneinheit beider Filter definiert:

SystemKont
\(A\)
\(A(1+\alpha)\)
\(A\)
\(-\omega_g\)
\(\omega_g\)
\(-\omega_g'\)
\(\omega_g'\)
\(\omega\)
\(\omega\)

Es gilt hierbei für ...

Analog zum idealen Tiefpassfilter können nun Anstiegszeiten und normierte, äquivalente Rechteckbandbreiten für Tiefpassfilter mit linearem Betragsverlauf bestimmt werden.

Für das Produkt aus Anstiegszeit und äquivalenter, normierter Bandbreite gilt auch hier wieder: \begin{equation*} \begin{aligned} T\,B_{\small\text{norm}} &= 1, \\ K\,B_{\small\text{norm}} &= 1. \end{aligned} \end{equation*}

Anmerkungen zu den bisherigen Überlegungen:

Betragsschwankungen

Auch in den im Folgenden angestellten Überlegungen gehen wir von einem linearen Phasengang aus. Für einige Anwendungen (z.B. in der Hi-Fi-Technik) ist ein konstanter Betragsfrequenzgang erwünscht, real ist dies aber meist nicht erreichbar. Vielmehr sind kleinere Abweichungen oft zu beobachten. Wir wollen solche Abweichungen hier nun vereinfachend als Cosinus-förmige Schwankungen modellieren.

SystemKont
\(|H(jw)|\)
\(A(1+\alpha)\)
\(A(1-\alpha)\)
\(-\omega_0\)
\(\omega_0\)
\(\omega\)
\(|H(e^{j\Omega})|\)
\(\Omega\)
\(\Omega_0\)
\(-\Omega_0\)
\(2\pi\)
\(-2\pi\)

Solche Frequenzen können wie folgt beschrieben werden:

Um die zugehörigen Impulsantworten zu bestimmen, wird der lineare Phasenterm zunächst vernachlässigt, d.h. es wird für das kontinuierliche System folgende Rücktransformation bestimmt: \begin{equation*} \begin{aligned} \tilde h_0(t) &= A\,\mathcal{F}^{-1}\Big\{ 1+\alpha\,\cos\big( 2\pi\frac{\omega}{\omega_0}\big)\Big\} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... verwenden von \(cos(x) = 1/2(e^{jx}+e^{-jx})\)... }}} \\ &= A\,\mathcal{F}^{-1}\Big\{ 1+\frac{\alpha}{2}\,e^{j2\pi\frac{\omega}{\omega_0}}+\frac{\alpha}{2}\, e^{-j2\pi\frac{\omega}{\omega_0}}\Big\} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... Rü}\text{cktransformation von komplexen Schwingungstermen ... }}} \\ &= A\,\delta_0(t) + A\frac{\alpha}{2}\,\Big[\delta_0(t+\frac{2\pi}{\omega_0}) + \delta_0(t-\frac{2\pi} {\omega_0}) \Big]. \end{aligned} \end{equation*}

Wendet man nun noch den linearen Phasenterm an (entspricht einer Verschiebung im Zeitbereich), so erhält man für die Impulsantwort: \begin{equation*} \begin{aligned} h_0(t) &= A\,\delta_0(t-t_0) + A\frac{\alpha}{2}\,\Big[\delta_0(t-t_0+\frac{2\pi}{\omega_0}) + \delta_0(t-t_0-\frac{2\pi}{\omega_0}) \Big]. \end{aligned} \end{equation*}

Auf nahezu die gleiche Weise erhält man die Impulsantwort für diskrete Systeme: \begin{equation*} \begin{aligned} h_0(n) &= A\,\gamma_0(n-n_0) + A\frac{\alpha}{2}\,\Big[\gamma_0(n-n_0+\frac{2\pi}{\Omega_0}) + \gamma_0(n-n_0-\frac{2\pi}{\Omega_0}) \Big]. \end{aligned} \end{equation*}

In beiden Fällen ergibt sich ein sog. Hauptimpuls bei \(t=t_0\) bzw. \(n=n_0\) und zwei "Neben-" bzw. "Echoimpulse" jeweils um \(2\pi/\omega_0\) bzw. \(2\pi/\Omega_0\) nach dem Hauptimpuls. Die Frequenz der Betragsfrequenzschwingung bestimmt dabei den Abstand der Nebenimpulse, die Größe der maximalen Betragsabweichung geht in die Höhe der Neben- bzw. Echoimpulse ein.


SystemKont
\(h_0(t)\)
\(A\frac{\alpha}{2}\)
\(A\frac{\alpha}{2}\)
\(A\)
\(t_0\)
\(t\)
\(t_0-\frac{2\pi}{\omega_0}\)
\(t_0+\frac{2\pi}{\omega_0}\)
\(h_0(n)\)
\(A\frac{\alpha}{2}\)
\(A\frac{\alpha}{2}\)
\(A\)
\(n\)
\(n_0\)
\(n_0-\frac{2\pi}{\Omega_0}\)
\(n_0+\frac{2\pi}{\Omega_0}\)

Die zugehörigen Sprungantworten ergeben sich durch Integration bzw. Summation der entsprechenden Impulsantworten. Für kontinuierliche Systeme ergibt sich: \begin{equation*} \begin{aligned} h_{-1}(t) &= A\,\delta_{-1}(t-t_0) + A\frac{\alpha}{2}\,\Big[\delta_{-1}(t-t_0+\frac{2\pi} {\omega_0}) + \delta_{-1}(t-t_0-\frac{2\pi}{\omega_0}) \Big]. \end{aligned} \end{equation*}

Entsprechend gilt für den zeitdiskreten Fall: \begin{equation*} \begin{aligned} h_{-1}(n) &= A\,\gamma_{-1}(n-n_0) + A\frac{\alpha}{2}\,\Big[\gamma_{-1}(n-n_0+\frac{2\pi} {\Omega_0}) + \gamma_{-1}(n-n_0-\frac{2\pi}{\Omega_0}) \Big]. \end{aligned} \end{equation*}

Skizze der Sprungantworten:


SystemKont
\(h_{\small\text{-1}}(t)\)
\(A(1+\frac{\alpha}{2})\)
\(A(1+\alpha)\)
\(A\frac{\alpha}{2}\)
\(t_0\)
\(t\)
\(t_0-\frac{2\pi}{\omega_0}\)
\(t_0+\frac{2\pi}{\omega_0}\)
\(h_{\small\text{-1}}(n)\)
\(A\frac{\alpha}{2}\)
\(A(1+\frac{\alpha}{2})\)
\(A(1+\alpha)\)
\(n\)
\(n_0\)
\(n_0-\frac{2\pi}{\Omega_0}\)
\(n_0+\frac{2\pi}{\Omega_0}\)

Abschließende Bemerkungen:

Allgemeine Betragsverzerrungen bei reellwertigen Systemen

Wird eine lineare Phase vorausgesetzt, so gilt für die Frequenzgänge \begin{equation*} \begin{aligned} H(j\omega) &= H_0(\omega)\,e^{-j\omega t_0}, \\ H(e^{j\Omega}) &= H_0(\Omega)\,e^{-j\Omega n_0}. \end{aligned} \end{equation*}

Wird nun zusätzlich gefordert, dass die zugehörigen Impulsantworten reellwertig sind \begin{equation*} \begin{aligned} h_0(t) &= \mathcal{F}^{-1}\big\{H(j\omega)\big\}\,\,\in\,\,\mathbb{R}, \\ h_0(n) &= \mathcal{F}^{-1}\big\{H(e^{j\Omega})\big\}\,\,\in\,\,\mathbb{R}, \end{aligned} \end{equation*}

so erfordert dies gemäß den Überlegungen aus dem ersten Teil der Vorlesung folgende Symmetrie im Frequenzbereich: \begin{equation*} \begin{aligned} H_0(\omega) &= H_0^*(-\omega) \,\,\in\,\,\mathbb{C}, \\ H_0(\Omega) &= H_0^*(-\Omega) \,\,\in\,\,\mathbb{C}. \end{aligned} \end{equation*}

Die linearen Phasenterme \(e^{-j{\omega}t_{\small\text{0}}}\) bzw. \(e^{-j{\omega}n_{\small\text{0}}}\) brauchen hier nicht berücksichtigt zu werden, da diese lediglich zu einer Verschiebung der Impulsantworten im Zeitbereich beitragen.

Der Phasenbeitrag der Terme \(H_0(\omega)\) bzw. \(H_0(\Omega)\) kann gemäß \begin{equation*} \begin{aligned} \textrm{arg} \big\{ H_0(\omega) \big\} &= \textrm{arctan}\Bigg(\frac{\textrm{Im}\big\{ H_0(\omega)\}}{\textrm{Re}\big\{H_0(\omega)\}}\Bigg),\\ \textrm{arg} \big\{ H_0(\Omega) \big\} &= \textrm{arctan}\Bigg(\frac{\textrm{Im}\big\{ H_0(\Omega)\}}{\textrm{Re}\big\{H_0(\Omega)\}}\Bigg), \end{aligned} \end{equation*} angegeben werden. Da die Gesamtphase aber linear verlaufen soll, dürfen \(\textrm{arg} \{ H_0(\omega)\}\) bzw. \(\textrm{arg}\{ H_0(\Omega)\}\) den Gesamtphasenverlauf nicht beeinflussn. Dies kann auf zwei Weisen geschehen:


SystemKont
\(\pi/2\)
\(0\)
\(-\pi/2\)
\(\text{Im}\{H_0\}/\text{Re}\{H_0\}\)
\(--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!- \!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\)
\(--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!- \!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\!\!\!--\)


Da zusätzlich noch die Symmetrie \begin{equation*} \begin{aligned} H_0(\omega) &= H_0^*(-\omega), \\ H_0(\Omega) &= H_0^*(-\Omega), \end{aligned} \end{equation*} gelten muss, folgt damit für die erste Lösung, d.h. \(\textrm{arg}\{ H_0( ... )\} = 0\), dass \begin{equation*} \begin{aligned} H_0( ... )\,\in\,\mathbb{R}, \,\,\textrm{gerade in}\,\omega,\,\Omega. \end{aligned} \end{equation*}

Damit gilt für die Rücktransformierte (siehe ersten Teil der Vorlesung) \begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{F}^{-1}\big\{H_0(\omega)\big\} &\in& \mathbb{R}, \,\,\textrm{gerade in}\,t,\\ \mathcal{F}^{-1}\big\{H_0(\Omega)\big\} &\in& \mathbb{R}, \,\,\textrm{gerade in}\,n. \end{aligned} \end{equation*}

Betrachtet man noch die zusätzliche Phasendrehung (Verschiebung im Zeitbereich), so erhät man \begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{F}^{-1}\big\{H_0(\omega)\,e^{-j\omega t_0}\big\} \,\,=\,\,h_0(t) &\in& \mathbb{R}, \,\,\textrm{gerade in}\,(t-t_0),\\ \mathcal{F}^{-1}\big\{H_0(\Omega)\,e^{-j\Omega n_0}\big\} \,\,=\,h_0(n) \!&\in& \mathbb{R}, \,\,\textrm{gerade in}\,(n-n_0). \end{aligned} \end{equation*}

Die Impulsantwort für die erste Lösung ist reell und gerade-symmetrisch zum Zeitpunkt \(t_0\) bzw. \(n_0\). Es gilt also: \begin{equation*}\boxed{ \begin{aligned} h_0(t_0-t') &=\, h_0(t_0+t'), \\ h_0(n_0-n') &=\, h_0(n_0+n'). \end{aligned}}\end{equation*}

Für die zweite Lösung gilt, dass \(H_0(...)\) rein imaginär und gerade in \(\omega\) bzw. \(\Omega\) ist. Hier gilt dann für die Rücktransformierten \begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{F}^{-1}\big\{H_0(\omega)\big\} &\in& \mathbb{R}, \,\,\textrm{ungerade in}\,t,\\ \mathcal{F}^{-1}\big\{H_0(\Omega)\big\} &\in& \mathbb{R}, \,\,\textrm{ungerade in}\,n. \end{aligned}\end{equation*}

Nach Anwendung der Phasendrehung (Verschiebung im Zeitbereich) und unter Betrachtung der einzelnen Symmetriepaarungen ergibt sich als zweite Lösung: \begin{equation*}\boxed{ \begin{aligned} h_0(t_0-t') &= \,-h_0(t_0+t'), \\ h_0(n_0-n') &= \,-h_0(n_0+n'). \end{aligned}}\end{equation*}

Für diskrete linear-phasige Filter gibt es vier Realisierungsmöglichkeiten:

SystemKont

Hilbert-Transformation

Als Hilbert-Transformation wird ein Sonderfall eines idealisierten, linearphasigen Systems mit besonderer Bedeutung bzw. Anwendung bezeichnet. Ein solches Filter besitzt folgenden Frequenzgang:



SystemKont
\(H_0(\omega)\)
\(j\)
\(-j\)
\(H_0(0)=0\)
\(\omega\)
\(H_0(\Omega)\)
\(-j\)
\(j\)
\(\pi\)
\(-\pi\)
\(H_0(e^{j\lambda\pi})=0\)
\(\Omega\)
\(\xleftarrow{\hspace{16pt}}\)
\(\xleftarrow{\hspace{55pt}}\)
\(\xleftarrow{\hspace{20pt}}\)

Für den Betragsfrequenzgang solcher Filter gilt:

Man kann erkennen, dass \(H(j\omega)\) bzw. \(H(e^{j\Omega})\) fast linearphasige Allpassfilter beschreiben. Aufgrund der Sprünge bei \(w=0\) bzw. \(\Omega=\lambda\pi\) sind diese Filter aber nicht verzerrungsfrei.

Insgesamt bewirken die Filter \(H(j\omega)\) bzw. \(H(e^{j\Omega})\) eine konstante Phasendrehung um \(\pm90°\) mit einem Phasensprung in \(\omega=0\) bzw. \(\Omega=\lambda\pi\) um \(180°\) (sowie eine lineare Phase, d.h. eine Verzögerung).

Durch Rücktransformation (diese ist nicht trivial) ergeben sich die kontinuierliche bzw. diskrete Impulsantwort:


SystemKont
\(h_0(t)\)
\(t\)
\(h_0(t_0)=0\)
\(h_0(n)\)
\(n_0\)
\(n\)
\(\xleftarrow{\hspace{20pt}}\)
\(\xleftarrow{\hspace{20pt}}\)

Die Bedeutung der Filter \(H(j\omega)\) bzw. \(H(e^{j\Omega})\) wird klarer, wenn man sie auf ein Signal \(v(t)\) bzw. \(v(n)\) anwendet.

Addiert man nun das verzögerte Originalsignal und den mit der imaginären Einheit multiplizierten Filterausgang (unter Vernachlässigung der Verzögerung), so ergibt sich das sog. analytische Signal

Für die Spektren dieser analytischen Signale ergibt sich schließlich:

Das analytische Signal besitzt ein einseitiges Spektrum! Dies ist in einigen Anwendungen sehr nützlich.

Das für die partielle spektrale Auslöschung notwendige Signal \(\tilde v(t+t_0) \) bzw. \(\tilde v(n+n_0)\) wird Hilbert-Transformierte \(\mathcal{H}\{v(t)\}\) bzw. \(\mathcal{H}\{v(n)\}\) genannt. Üblicherweise lässt man dazu die Verzögerung (d.h. den linearen Phasenterm) weg, d.h. wir setzen \(t_0=0\) bzw. \(n_0=0\). Es gilt für...

Dieser Zusammenhang kann auf einfache Weise umgekehrt werden. Es gilt: \begin{equation*}\begin{aligned} \mathcal{H}\Big\{\,\mathcal{H}\big\{v(t)\big\}\,\Big\}\Big|_{V(0) = 0} &= -v(t), \\ \mathcal{H}\Big\{\,\mathcal{H}\big\{v(n)\big\}\,\Big\}\Big|_{V(1) = 0} &= -v(n). \end{aligned}\end{equation*}

Zum Verstehen der Umkehrung der Hilbert-Transformation kann man z.B. den Zusammenhang zwischen dem Eingangssignalspektrum und dem Spektrum des Hilbert-transformierten Signals näher untersuchen. Es gilt hier für kontinuierliche Signale: \begin{equation*}\begin{aligned} \tilde V(j\omega) &= V(j\omega) \,\big( -j\,\textrm{sign}(\omega)\big) \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... beide Seiten vertauschen und durch die Klammer mit der sign-Funktion dividieren ... }}} \\ V(j\omega) &= \frac{\tilde V(j\omega)}{ -j\,\textrm{sign}(\omega)} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... den Zä}\text{hler mit 1 erweitern, um das "j" im Nenner kü}\text{rzen zu kö}\text{nnen... }}} \\ V(j\omega) &= \frac{\tilde V(j\omega)\,\overbrace{(-j)\,j}^{1}}{ -j\,\textrm{sign}(\omega)} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... kü}\text{rzen ... }}} \\ V(j\omega) &= j\,\frac{\tilde V(j\omega)}{\textrm{sign}(\omega)} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{... verwenden, dass eine Multiplikation mit der sign-Funktion gleich einer Division ist (mit Ausnahme an der Stelle 0) ... }}} \\ V(j\omega) &= \tilde V(j\omega)\big|_{V(0)=0}\,\big(j\,\textrm{sign}(\omega)\big). \end{aligned}\end{equation*}

Bis auf Vorzeichen und die Anforderung an das Signalspektrum bei der Frequenz 0, führt die Anwendung von zwei Hilbert-Transformaionen hintereinander somit wieder auf das gleiche Signal. Gleiches kann für diskrete Signale gezeigt werden.

Bemerkungen:


Als Anwendungsbeispiel für Hilbert-Transformationen in der Audiotechnik seien hier sog. public adress systems (Saalbeschallungsanlagen) aufgeführt.

SystemKont
\(\text{Verstärker}\)
\(\text{Lautsprecher}\)
\(\text{Sprechende}\)
\(\text{Person}\)
\(\text{Rückkopplungen}\)
\(\text{Mikrofon}\)

Hierbei wird das Signal einer sprechenden Person mittels eines Mikrofons aufgenommen und verstärkt über einen Lautsprecher wieder ausgegeben. Hierdurch wird zwar eine höhere Wiedergabelautstärke erzielt, allerdings koppelt das Lautsprechersignal auch wieder in das Mikrofon ein, so dass eine geschlossen elektro-aukustische Schleife entsteht.

Die Lautsprecher-Raum-Mikrofon-Übertragung bestimmt dabei wie hoch die Verstärkung maximal gewählt werden darf, bevor der Kreis zu schwingen beginnt.

Qualität der Bilder?
SystemKont

Gegenmaßnahmen bzw. Verbesserungen:

Durch die Entzerrung sind i.A. einige Dezibel mehr Verstärkung möglich, aber auch der Frequenzversatz hilft hier.

Zur Realisierung des Frequenzversatzes kann z.B.zunächst das analytische Signal bestimmt werden, dieses dann mit einer komplexen Exponentialschwingung moduliert werden (Frequenz ca. 3 bis 10 Hz) und anschließend wieder das "normale" (frequenzverschobene) Signal mittels erneuter Hilbert-Transformation bestimmt werden.

SystemKont
\(\text{Verstärker}\)
\(\text{Lautsprecher}\)
\(\text{Sprechende}\)
\(\text{Person}\)
\(\text{Rückkopplungen}\)
\(\text{Mikrofon}\)
Entzerrung
und
Frequenzversatz


SystemKont

Ergebnisse:

Je nach Raum können etwa 1 bis 6 dB Verstärkungsgewinn durch den Frequenzversatz erreicht werden.

Mit höheren Versatzfrequenzen könnte zwar noch mehr erreicht werden, hier würde man aber die Signalqualität merklich verschlechtern.

Phasenverzerrungen

Allpassfilter

Unter einem idealen verzerrungsfreien System wurde ein konstanter Betragsfrequenzgang und ein linearer Phasenverlauf verstanden. Im Anschluss wurde bei linearphasigen Systemen geblieben und es wurde aber ein nicht-konstanter Betragsfrequenzgang zugelassen. Nun wird dies umgekehrt, d.h. es werden nun Systeme mit einem konstanten Betragsfrequenzgang und einem nichtlinearen Phasenverlauf untersucht, d.h.

Solche nicht-linearphasigen Allpassfilter beeinflussen (nur) die Phasenbeziehungen, d.h. die zeitliche Zuordnung der Spektralkomponenten eines Eingangssignals.

Abschließende Verständnisfragen

Fragen: Antworten:

Welche Anwendungen können Sie sich vorstellen, für die ein ideales Tiefpassfilter im Rahmen einer "Ideal"-Spezifikation vorkommen könnte?

Ein Anwendungsbeispiel wäre die Übertragung unterschiedlicher Frequenzen auf einer Leitung. Ein weiteres Beispiel ist ein Lautsprecher sowohl mit verschiedenen Größen, als auch mehreren Frequenzen, bei denen die Laufzeiten übereinstimmen.

Was wird aus einem idealen Tiefpassfilter, wenn Sie die Grenzfrequenz gegen \(\infty\) (für kontinuierliche Filter) bzw. gegen \(\pi\) (für diskrete Filter) streben lassen?

Es ergibt sich ein Allpassfilter (linearphasig), der aber nicht verzerrungsfrei ist.

Für welche Anwendungen können linearphasige Filter notwendig sein?

Linearphasige Filter können für Lautsprecher notwendig sein, indem die Laufzeitverzögerungen zwischen diesen berechnet werden. Die Laufzeitverzögerungen sind über alle Frequenzen gleich.

Welche Probleme bestehen, wenn Sie eine Hilbert-Transformation "praktisch" durchführen wollen?

Der negative Bereich wird nicht ganz gedämpft.