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Signale and Systeme – Ergänzungen zu Spektraltransformationen

Inhalt

Ergänzungen zu Spektraltransformationen
Spektren kontinuierlicher und diskreter Signale bei Abtastung
Konvergenz und inverse Transformation

Ergänzungen zu Spektraltransformationen

Spektren kontinuierlicher und diskreter Signale bei Abtastung

Fourier-Transformation

Gegeben sei ein kontinuierliches Signal samt seines Spektrums \begin{equation*}\begin{aligned} v_0(t)\, \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\, V_0(j\omega). \end{aligned}\end{equation*}

Durch Multiplikation mit einem Impulskamm \(p(t)\) ergibt sich daraus das Signal: \begin{equation*}\begin{aligned} y_{\small{\text{p}}}(t) \,\,=\,\, v_0(t)\,p(t). \end{aligned}\end{equation*}

Wird nun die Definition des Impulskamms eingesetzt \begin{equation*}\begin{aligned} p(t) \,\,=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta_0(t-nT_{\text{A}}) \end{aligned}\end{equation*} (mit der Abtastfrequenz \(f_{\text{A}}=1/T_{\text{A}}\)) und wird die Ausblendeigenschaft des Dirac-Stoßes verwendet, so erhält man: \begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{p}}(t) \,\,=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}v_0(nT_{\text{A}})\,\delta_0(t-nT_{\text{A}}). \end{aligned}\end{equation*}

Nach Transformation in den Fourier-Bereich ergibt sich schließlich \begin{equation*}\boxed{\begin{aligned} \,\,\,y_{\text{p}}(t) \,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\, Y_{\text{p}}(j\omega) \,\,=\,\,\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty}V_0\Big(j\big(\omega-\mu\frac{2\pi} {T_{\text{A}}}\big)\Big). \end{aligned}}\end{equation*}

Dieses erste Ergebnis für die Berechnung des Spektrums sei hier noch einmal wiederholt: \begin{equation*}\begin{aligned} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}v_0(nT_{\text{A}})\delta_0(t-nT_{\text{A}})\,=\, y_{\text{p}}(t) \circ \!\! - \!\!\! - \!\!\bullet\, Y_{\text{p}}(j\omega)\,=\, \sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty}V_0\Big(j\big(w-\mu\frac{2\pi}{T_{\text{A}}}\big)\Big) \end{aligned}\end{equation*}

Die Abtastung entspricht also einer periodischen Wiederholung des Spektrums \(V_0(jw)\) mit der Periode \(w_{\text{p}}=2\pi/T_{\text{A}}=2{\pi}f_{\text{A}}\)!

Andererseits kann aber auch die Abkürzung \(v_0(nT_{\text{A}})=v(n)\) eingeführt werden \begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{{p}}}(t) \,\,=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}v(n)\,\delta_0(t-nT_{\text{A}}) \end{aligned}\end{equation*}

und bei der Spektralberechnung zunächst jede einzelne Dirac-Distribution transformiert werden \begin{equation*}\begin{aligned} \delta_0(t-nT_{\text{A}})\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,e^{-j\omega T_{\text{A}}n}. \end{aligned}\end{equation*}

Führt man nun noch die Abkürzung \(\Omega\,=\,{\omega}T_{\text{A}}\) ein, so ergibt sich für die Fourier-Transformation: \begin{equation*}\begin{aligned} Y_{\text{p}}(j\omega) \,\,=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}v(n)\,e^{-j\Omega n}. \end{aligned}\end{equation*}

Hierbei ist erkennbar, dass dies gerade die Fourier-Transformation für diskrete Signale und Systeme ist. Dadurch ist bekannt, dass das Ergebnis wiederum periodisch mit der Periode \(2\pi\) ist, d.h. es gilt: \begin{equation*}\begin{aligned} Y_{\text{p}}(j\omega) \,\,=\,\, \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}v(n)\,e^{-j\Omega n} \,\,= \,\,V(e^{j\Omega}) \,\,=\,\,V(e^{j(\Omega+\lambda\,2\pi)}). \end{aligned}\end{equation*}

Zusammengefasst gilt:

\(\Rightarrow\) Das mit \(w_{\text{p}}=2{\pi}f_{\text{A}}\) periodische Spektrum nach der Abtastung des Signals \(y_{\text{p}}(t)\) ist identisch mit dem Spektrum \(V(e^{j\Omega})\) der Folge \(v(n)\), wenn \(\Omega={\omega}T_{\text{A}}\) ist, d.h. die Periode \(\Omega_{\text{p}}=2\pi\) ist: \begin{equation*}\boxed{\begin{aligned} V(e^{j\Omega})\Big|_{\Omega = \omega T_{\text{A}}} \,\,=\,\,\sum\limits_{\mu=-\infty}^ {\infty}V_0\Big(j\big(\omega-\mu\frac{2\pi}{T_{\text{A}}}\big)\Big). \end{aligned}}\end{equation*}

Laplace- und z-Transformation

Eine völlig gleichartige Überlegung führt auf die Beziehung zwischen der Laplace- und der z-Transformation für abgetastete Signale. Es ergibt sich, wiederum unter Verwendung folgender Signaldefinitionen bzw. Abkürzungen \begin{equation*}\begin{aligned} y_{\text{p}}(t) &= v_0(t)\,p(t), \quad \textrm{mit}\quad p(t) \,\,=\,\, \sum\limits _{n=-\infty}^{\infty}\delta_0(t-nT_{\text{A}}), \\ V_0(s) &= \mathcal{L}\big\{ v_0(t) \big\}, \\ V(z) &= \mathcal{Z}\big\{ v(n) \big\}, \end{aligned}\end{equation*}

der Zusammenhang:

\(\Rightarrow\) Die Laplace-Transformierte des abgetasteten Signals \(y_{\text{p}}(t)\) ist identisch mit der z-Transformierten \(V(z)\) der Folge \(v(n)=v_0(nT_{\text{A}})\), wenn \(z=e^{sT_{\text{A}}}\) ist : \begin{equation*}\boxed{\begin{aligned} V(z)\Big|_{\displaystyle{z = e^{sT_{\text{A}}}}} \,\,=\,\,\sum\limits_{\mu=-\infty} ^{\infty} V_0\Big(s-\mu\frac{2\pi}{T_{\text{A}}}\Big). \end{aligned}}\end{equation*}

Fourier-Reihe und DFT

Ähnlich zu diesen Überlegungen kann auch ein Zusammenhang zwischen einer Fourier-Reihe eines kontinuierlichen periodischen Signals und der DFT der abgetasteten (diskreten) Signalform hergeleitet werden.

Hierzu wird von einem periodischen (oder endlich langen und dann periodisch fortgesetzten) Signal \(v_0(t)\quad\textrm{mit}\quad t\,\in\,[0,\,T]\) ausgegangen. Bestimmt man die Fourier-Reihe dieses Signals, so gilt \begin{equation*}\begin{aligned} v_0(t) \,\,=\,\,\sum\limits_{\mu=-\infty}^{\infty} c_{\mu} \, e^{j\mu\frac{2\pi}{T}t} \end{aligned}\end{equation*}

mit den Reihen-Koeffizienten: \begin{equation*}\begin{aligned} c_{\mu} \,\,=\,\,\frac{1}{T}\,\int\limits_{t\,=\,0}^{T} v_0(t)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\,dt. \end{aligned}\end{equation*}

Gesucht ist nun eine Möglichkeit, wie man aus dem Integral eine Summe bekommt. In dieser Summe sollten dann lediglich Abtastwerte des Signals vorkommen. Damit wäre dann eine numerische Möglichkeit geschaffen (anstelle einer analytischen), die Fourier-Koeffizienten anzunähern bzw. unter noch zu findenden Voraussetzungen exakt zu bestimmen.

Zunächst wird versucht, das Integral mit der sogenannten "Rechteckregel" anzunähern. \begin{equation*}\begin{aligned} c_{\mu} \!\!&=\!\! \frac{1}{T}\,\int\limits_{t\,=\,0}^{T} v_0(t)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\,dt \\ \!\!&\approx\!\! \frac{1}{T}\sum\limits_{n\,=\,0}^{M-1} v_0(t_n)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t_n}\,(t_{n+1}-t_n). \end{aligned}\end{equation*}



SystemKont
\(v_0(t)e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\)
\(v_0(t_n)e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t_n}(t_{n+1}-t_n)\)
\( \xleftarrow{\,\,} \)
\(t_0\)
\(0\)
\(t_1\)
\(1\)
\(2\)
\(t_2\)
\(t_n\)
\(t_{n+1}\)
\(n\)
\(n+1\)
\(t_M\)
\(t_{M-1}\)
\(M\)
\(M-1\)
\(t\)
\(n\)


Der besseren Übersicht halber wird das komplexe Signal \(v_0(t)\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\) lediglich reellwertig dargestellt!

Eine naheliegende Möglichkeit für die Parameter der Rechteckregel \begin{equation*}\begin{aligned} c_{\mu} \,\,=\,\, \frac{1}{T}\,\int\limits_{t\,=\,0}^{T} v_0(t)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t}\,dt \,\,\approx \,\, \frac{1}{T}\,\sum\limits_{n\,=\,0}^{M-1} v_0(t_n)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{T}t_n}\,(t_{n+1}-t_n) \end{aligned}\end{equation*} ist dabei: \begin{equation*}\begin{aligned} t_n &= n\,T_{\text{A}}, \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{...Ä}\text{quidistante Abtastzeitpunkte...}}} \\ t_{n+1} - t_n &= T_{\text{A}} \quad\forall \, n, \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{...Gleicher Stü}\text{tzstellenabstand...}}} \\ T &= M\,T_{\text{A}},\\ v_0(t_n) &= v_0(nT_{\text{A}}) \,\,=\,\,v(n). \end{aligned}\end{equation*}

Damit vereinfacht sich die o.g. Näherung zu \begin{equation*}\begin{aligned} c_{\mu} \,\,\approx\,\, \frac{1}{MT_{\text{A}}}\,\sum\limits_{n\,=\,0}^{M-1} v(n)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{MT_{\text{A}}}nT_{\text{A}}}\,T_{\text{A}} \,\,=\,\, \frac{1}{M}\,\sum\limits_{n\,=\,0}^{M-1} v(n)\, e^{-j\mu\frac{2\pi}{M}n}. \end{aligned}\end{equation*}

Wird dieses Ergebnis genauer betrachtet, so ist erkennbar, dass es sich hier - abgesehen von der Gewichtung mit \(1/M\) - um die Berechnung einer DFT handelt. Es gilt also: \begin{equation*}\boxed{\begin{aligned} \,\,\,\,c_{\mu} \,\,\approx\,\, \frac{1}{M}\,V_M(\mu) \,\,=\,\,\frac{1}{M}\,\textrm{DFT} \big\{v(n)\big\}\quad \textrm{mit}\,\,\mu\,\in\,\{0,\,1,\,...,\,M-1\}. \end{aligned}}\end{equation*}

Weiter stellen sich nun die Fragen:

Für die Beantwortung dieser Fragen wird versucht, zunächst einen Zusammenhang zwischen den Fourier-Reihen-Koeffizienten und den DFT-Werten zu finden. Hierzu wird mit der Definition der DFT gestartet: \begin{equation*}\begin{aligned} V_M(\mu) &= \sum\limits_{n=0}^{M-1}v_0(nT_{\text{A}})\,e^{-j\mu\frac{2\pi} {M T_{\text{A}}} n T_{\text{A}}} \nonumber \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{...Einsetzen der Fourier-Reihen-Darstellung des Signals \(v_0(t)\) an den Stü}\text{tzstellen \(nT_A\)...}}} \\ &= \sum\limits_{n=0}^{M-1} \,\left[ \sum\limits_{\nu=-\infty}^{\infty} c_{\nu}\, e^{j\nu\frac{2\pi}{M T_{\text{A}}} n T_{\text{A}}} \right]\,e^{-j\mu\frac{2\pi} {M T_{\text{A}}} n T_{\text{A}}}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{...Vertauschen der Summationsreihenfolge und Vereinfachen der Exponentialterme...}}} \\ &= \sum\limits_{\nu=-\infty}^{\infty} \,c_{\nu}\, \sum\limits_{n=0}^{M-1} \, e^{j\nu\frac{2\pi}{M} n}\,e^{-j\mu\frac{2\pi}{M} n}\\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{...Zusammenfassen der Exponentialterme...}}} \\ &= \sum\limits_{\nu=-\infty}^{\infty} \, c_{\nu}\, \sum\limits_{n=0}^{M-1} \, e^{j(\nu-\mu)\frac{2\pi}{M} n}. \end{aligned}\end{equation*}

Die endliche geometrische Reihe \begin{equation*}\begin{aligned} \sum\limits_{n=0}^{M-1} \, e^{j \kappa \frac{2\pi}{M} n} \end{aligned}\end{equation*} kann wie folgt umgeformt werden: \begin{equation*}\begin{aligned} \sum\limits_{n=0}^{M-1} \, e^{j \kappa \frac{2\pi}{M} n} \,\,=\,\, \left\{ \begin{array}{ll} M, & \textrm{falls}\,\,\kappa \,=\, \lambda M, \\ 0, & \textrm{sonst}, \end{array} \right. \,\,=\,\, M\,\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty} \gamma_0(\kappa - \lambda M). \end{aligned}\end{equation*}

Damit ergibt sich für den Zusammenhang zwischen DFT- und Fourier-Reihen-Koeffizienten: \begin{equation*}\begin{aligned} V_M(\mu) &= \sum\limits_{\nu=-\infty}^{\infty} \, c_{\nu}\, \sum\limits_{n=0}^{M-1} \, e^{j(\nu-\mu)\frac{2\pi}{M} n} \\ &\scriptsize{\color{grey}{\text{...Vereinfachen der endlichen, geometrischen Reihe...}}} \\ &= M\, \sum\limits_{\nu=-\infty}^{\infty} \, c_{\nu}\, \sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty} \gamma_0((\nu-\mu)+\lambda M) \\ &= M\, \sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty} \, c_{\mu+\lambda M} \,\,=\,\,V_M(\mu). \end{aligned}\end{equation*}

Um dieses Ergebnis besser interpretieren zu können, folgen einige Bemerkungen:

IDFT und inverse Fourier-Transformation:

Völlig entsprechende Überlegungen liefern den Zusammenhang zwischen der IDFT und der inversen Fourier-Transformation.

Gegeben sei: \begin{equation*}\begin{aligned} V(e^{j\Omega}),\,\Omega\,\in\,[0,\,2\pi]\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\, v(n)\,\,=\,\,\frac{1}{2\pi}\int\limits_{\Omega=0}^{2\pi}V(e^{j\Omega})\,e^{j\Omega n}\,d\Omega. \end{aligned}\end{equation*}

Eine numerische Integration auf der Basis der spektralen Stützstellen \(V(e^{j\frac{2\pi}{M}\mu})\,=\,V_{\text{M}}(\mu)\) liefert folgendes Ergebnis: \begin{equation*}\begin{aligned} v(n)\,\,\approx\,\,\frac{1}{M} \sum\limits_{\mu=0}^{M-1}V_M(\mu)\,e^{j\frac{2\pi \mu}{M} n}\,\,=\,\,\tilde v(n). \end{aligned}\end{equation*}

Die Analyse ergibt \begin{equation*}\begin{aligned} \tilde v(n)\,\,=\,\,\sum\limits_{\lambda=-\infty}^{\infty}v(n+\lambda M). \end{aligned}\end{equation*}

Dies nennt man den Überlagerungssatz der IDFT. Es gilt \(\tilde v(n) \,=\,v(n)\), wenn \(v(n)\) endlich lang mit \(n\,\in\,\{0,\,1,\,...,\,M-1\}\) ist!

Konvergenz und inverse Transformation

Konvergenzbedingungen

Zunächst werden noch einmal die Fourier-Transformationen (kontinuierlich und diskret) betrachtet. Hier existierte die Transformation, wenn \(|V(j\omega)|\) bzw. \(|V(e^{j\Omega})|\) "existierte". Dies bedeutete, dass der Spektralwert endlich sein musste, was erreicht wird, wenn der Betrag des Signals \(|v(t)|\) integrierbar bzw. \(|v(n)|\) summierbar ist. Dies war selbst bei einfachsten Signalen, z.B. der Sprungfunktion bzw. -folge oder dem Sinus, nicht erfüllt.

Überträgt man diese Überlegungen in den Laplace- bz. z-Bereich, so ergibt sich für die Spektralwerte im ...

Im Unterschied zur Fourier-Transformation können die Faktoren \(|e^{-st}|\) bzw. \(|z^{-n}|\) hier nicht mit \(|...|\,=\,1\)vereinfacht werden. Sie können nun vielmehr so gewählt werden, dass \(|V(j\omega)|\) bzw. \(|V(e^{j\Omega})|\) existiert. Allerdings sind immer noch Bedingungen an \(|v(t)|\) bzw. \(|v(n)|\) zu stellen, damit das gelingt. Dies ist Gegenstand der nächsten Schritte.

Für die Abschätzung des Integrals bzw. der Summe wird der Integrations- bzw. Summationsbereich in zwei Bereiche unterteilt. Zunächst wird die Existenz für positive Argumente untersucht:

\(|v(t)|\) bzw. \(|v(n)|\) lassen sich durch (ggf. wachsende!) Exponentielle majorisieren!

Mit dieser Majorisierung lässt sich die Größe der "rechten Hälfte" des Integrals bzw. der Summe wie folgt abschätzen:

Zusammengefasst kann gesagt werden, dass für eine Wahl von \(s\) bzw. \(z\) aus den Bereichen \(\sigma\,\,=\,\,\textrm{Re}\{s\}\,\,>\,\,c_1\) bzw. \(\rho\,\,=\,\,|z|\,\,>\,\,r_1\) die "rechten" Hälften der Integrale bzw. Summen konvergieren!

Analog zu den vorgestellten Ergebnissen können auch die "linken" Hälften des Integrals bzw. der Summe majorisieren. Es gilt im

\(|v(t)|\) bzw. \(|v(n)|\) lassen sich auch in diesem Bereich durch Exponentielle majorisieren!

Mit dieser Majorisierung lässt sich nun analog die Größe der "linken Hälfte" des Integrals bzw. der Summe wie folgt abschätzen:

Zusammengefasst kann gesagt werden, dass für eine Wahl von \(s\) bzw. \(z\) aus den Bereichen \(\sigma\,\,=\,\,\textrm{Re}\{z\}\,\,<\,\,c_2 \) bzw. \(\rho\,\,=\,\,|z|\,\,<\,\,r_2\) die "linken" Hälften der Integrale bzw. Summen konvergieren!

Für allgemeine, d.h. zwei-seitige, Signale \(v(t)\) bzw. \(v(n)\), muss Konvergenz auf beiden Seiten gewährleistet sein. Es müssen also jeweils beide zuvor hergeleiteten Bedingungen erfüllt sein. Daher gilt:

Bemerkungen:

Wiederholung des Residuen-Satzes

Der Residuensatz besagt, dass das Kurvenintegral längs einer geschlossenen Kurve lediglich vom Residuum in den Singularitäten im Innern der Kurve abhängt. Anstelle eines Kurvenintegrals müssen also nur die Risiduen berechnet werden, was in vielen Fällen einfacher ist. \begin{equation*}\begin{aligned} \frac{1}{2\pi j}\oint\limits_{G} f(z)\,dz \,\,=\,\,\sum\limits_G \,\textrm{Res}\big\{ f(z) \big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Für die Bestimmung der Residuen gilt dabei:

Bemerkung:
Man beachte, dass als Funktion \(f(z)\) nicht \(H(z)\) sondern \(H(z)z^{i-1}\) von Interesse ist.

Inverse z-Transformation

Für die Bestimmung der z-Rücktransformation können zwei Fälle unterschieden werden.

Für den (wichtigen) Fall von rationalen Transformationsergebnissen soll die Wegabhängigkeit des Integrals anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Es wird dazu von folgender Übertragungsfunktion ausgegangen:

\begin{equation*}\begin{aligned} H(z)\,\,=\,\,\frac{z}{z-z_1}+\frac{z}{z-z_2} \end{aligned}\end{equation*}

Aus früheren Vorlesungen ist bekannt, dass eine solche Übertragungsfunktion (unter bestimmten Randbedingungen) zu folgender Impulsantwort gehört: \(h_i\,=\,(z_1^i + z_2^i)\,\gamma_{-1}(i)\).

Dabei soll gelten: \begin{equation*}\begin{aligned} |z_1|\,<\,|z_2|. \end{aligned}\end{equation*}

Für die Bestimmung des Integrals \begin{equation*}\begin{aligned} h_i \,\,=\,\,\frac{1}{2\pi j}\oint H(z)\,z^{i-1}\,dz \end{aligned}\end{equation*} müssen nun für das oben genannte Beispiel alle Residuen der (vom Weg eingeschlossenen) Singularitäten von \begin{equation*}\begin{aligned} H(z)\,z^{i-1} \,\,=\,\,\left(\frac{z}{z-z_1}+\frac{z}{z-z_2}\right)\,z^{i-1}\,\,= \,\,\frac{z^i}{z-z_1}+\frac{z^i}{z-z_2} \end{aligned}\end{equation*} bestimmt werden.

Bei der Bestimmung der Residuen wird in drei Fälle unterschieden:

Zusammenfassung:

Inverse Laplace-Transformation

Analog zu den Überlegungen der inversen z-Transformation kann auch für die inverse Laplace-Transformation der Residuensatz verwendet werden. Doch zuvor erfolgt noch eine Überlegung zur Motivation der Berechnung der inversen Transformation.

Zunächst wird von einem Signal ausgegangen, dessen Laplace-Transformierte bekannt ist: \begin{equation*}\begin{aligned} h(t)\,\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\,H(s)\,\,=\,\,\int\limits_{t\,=\,-\infty} ^{\infty} h(t)\,e^{-(\sigma + j\omega)t}\,dt . \end{aligned}\end{equation*}

Werden nun die Impulsantwort \(h(t)\) und der Term \(e^{-{\sigma}t}\) als neues Signal bzw. Impulsantwort zusammen gefasst, so ergibt sich eine Fourier-Transformation: \begin{equation*}\begin{aligned} H(s)\,\,=\,\,\int\limits_{t\,=\,-\infty}^{\infty} \Big[ h(t)\,e^{-\sigma t} \Big]\, e^{-j\omega t}\,dt \,\,=\,\,\underbrace{\mathcal{F}\Big\{ h(t)\,e^{-\sigma t}\Big\}}_{H_1(j\omega)}. \end{aligned}\end{equation*}

Wird nun die Umkehrung der Fourier-Transformation angewendet, so erhält man: \begin{equation*}\begin{aligned} h(t)\,e^{-\sigma t} \,\,=\,\,\mathcal{F}^{-1}\Big\{ H_1(j\omega)\Big\}. \end{aligned}\end{equation*}

Umgeformt und als Grenzwertübergang geschrieben ergibt sich schließlich: \begin{equation*}\begin{aligned} h(t)\,\,=\,\,e^{\sigma t}\,\frac{1}{2\pi}\,\int\limits_{\omega\,=\,-\infty}^{\infty} H_1(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega \,\,=\,\,\lim_{R\,\rightarrow\,\infty} \left\{ \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\omega\,=\,-R}^{R} \underbrace{H_1(j\omega)}_{H(s)}\,\underbrace{e^{(\sigma + j\omega) t}}_{e^{st}}\,d\omega \right\}. \end{aligned}\end{equation*}

Durch die Substitutionen \(\sigma + j\omega \,=\,s \,\,\rightarrow \,\,d\omega \,=\,ds / j\) und \(\omega \,=\,\pm R \,\,\rightarrow\,\,s \,=\,\sigma \pm j R \) erschließt sich: \begin{equation*}\begin{aligned} h(t)\,\,=\,\,\frac{1}{2\pi j} \,\lim_{R\,\rightarrow\,\infty} \left\{\, \int\limits _{s\,=\,\sigma-jR}^{\sigma+jR} H(s)\,e^{st}\,ds \right\}. \end{aligned}\end{equation*}

Dieses Integral kann in vielen Fällen mit dem Residuensatz einfacher als auf die direkte Weise gelöst werden. Dazu ist in vielen Fällen ein zweistufiger Ansatz möglich, der im Folgenden skizziert wird.