Signale und Systeme - Zufallsprozesse und Systeme

1. Stochastische Signale und lineare Systeme

Aufgabenstellung

Ein Nutzsignal \(x(t) = a \cdot \cos(\omega_0 t)\) ist additiv durch mittelwertfreies weißes Rauschen \(z(t)\) mit der Varianz \(\sigma_z^2\) gestört, so dass nur das Signal

\( v(t)=x(t)+z(t)\)

gemessen werden kan. Dieses Signal \(v(t)\) soll mit einem System mit dem Frequenzgang

\(    H(j\omega)=\frac{1}{\alpha+j\omega} \qquad \textrm{mit }\alpha > 0\)

gefiltert werden, um so das Signal \(y(t)\) zu erhalten.

  1. Berechnen Sie den Erwartungswert des gefilterten Signals \(y(t)\).
  2. Geben Sie das Verhältnis von Nutz- zu Störleistung (SNR) am Filterausgang an.
  3. Für welche Wahl von \(\alpha\) wird das SNR maximal?

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 30 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

1. Zur Berechnung des Erwartungswertes können die folgenden Schritte hilfreich sein:

Für das Signal \(y(t)\) gilt

\(y(t) = v(t) \ast \mathcal{F}^{-1}\left\{H(j\omega\right\}\)

\(= x(t) \ast h(t) + z(t) \ast h(t)\)

\(= s(t) + n(t).\)

Dabei seien \(s(t)\) das Nutzsignal und \(n(t)\) das Störsignal oder Rauschsignal (\(n(t)\) von englisch noise). Werden beide

Signalanteile als unkorreliert angenommen, können die Erwartungswerte getrennt bestimmt werden:

\(\textrm{E}\left\{y(t)\right\} =  \textrm{E}\left\{s(t) + n(t)\right\} =  \textrm{E}\left\{s(t)\right\} + \textrm{E}\left\{n(t)\right\}.\)

Bestimmung von \(\textrm{E}\left\{n(t)\right\}\): Ausnutzen, dass \(z(t)\) mittelwertfrei ist.

Bestimmung von \(\textrm{E}\left\{s(t)\right\}\):

Wie reagiert das System \(H(j\omega)\) auf das Eingangssignal \(x(t)\)? Da \(x(t)\) monofrequent ist (Spektralanteile nur be der Frequenz \(\omega_0\)), ist eine Lösung ohne Berechnung von\(X(j\omega) = \mathcal{F}\left\{ x(t) \right\}\) oder \(h(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{ H(j\omega) \right\}\) möglich.Dazu muss \(H(j\omega)\) in Betrag und Phase aufgespalten werden.

\(\displaystyle \textrm{E}\left\{y(t)\right\} = \frac{a}{\sqrt{\alpha^2+\omega^2}} \cos\left(\omega_0t - \arctan\left(\frac{\omega_0}{\alpha}\right)\right)= \hat{s} \cos\left(\omega_0t - \varphi_s\right)\)

2. Das Verhältnis von Nutz- zu Störleistung (signal to noise ratio) ist folgendermaßen definiert:

\(SNR = \frac{\textrm{Leistung des Nutzsignals}}{\textrm{Leistung des Störsignals}} = \frac{P_s}{P_n}\)

Die Nutzsingalleistung kann durch Integration über eine beliebige Signalperiode \(T\) berechnet werden:
 \(P_s = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} s^2(t) \, dt\)
 Die Störsingalleistung ist gleich der Autokorrelationsfunktion an der Stelle \(\tau=0:\)
\(P_n = \left.s_{nn}(\tau)\right|_{\tau=0} = \left.\mathcal{F}^{-1}\left\{S_{nn}(j\omega)\right\}\right|_{\tau=0} .\)

Das benötigte Geräuschleistungsdichtespektrum ist bekannt, da es durch Filterung aus dem weißen Rauschsignal \(z(t)\) mit der Varianz \(\sigma_z^2\) generiert wird. Es gilt:
\( S_{nn}(j\omega) = \left| H(j\omega) \right|^2 \cdot S_{zz}(j\omega).\)
Bei der Berechnung der inversen Fourier-Transformation hilft das Integral
\(\int \frac{1}{a^2+x^2} \,dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right).\)

\(\displaystyle SNR = \frac{\alpha^2}{\sigma_z^2} \frac{\alpha}{\alpha^2 + \omega_0^2} \)

3. Der in (2.) berechnete Ausdruck für den SNR hängt von dem Filterparameter \(\alpha\) ab. Durch Ableiten diese Ausdrucks kann das Maximum gefunden werden.

\(\displaystyle \alpha = \omega_0\)

Zur Optimierung des SNR wäre ein Bandpassfilter mit Mittenfrequenz \(\omega_0\) noch besser geeignet, als das hier verwendete Tiefpassfilter.

2. Autokorrelation und lineare Systeme

Aufgabenstellung

Die Autokorrelierte \(s_{vv}(\kappa)\) einer Zufallsfolge \(v(n)\) sei für \(\kappa\ge 0\) durch

\(s_{vv}(\kappa)=\left(\frac{1}{2}\right)^\kappa,\ \kappa \ge 0 \)

gegeben.

  1. Geben Sie \(s_{vv}(\kappa)\) für \(\kappa\le 0\) an.
  2. Berechnen Sie den Mittelwert und die Varianz von \(v(n)\).
  3. Berechnen Sie die z-Transformierte \(S_{vv}(z)\) von \(s_{vv}(\kappa)\).
  4. Die \(v(n)\) werde auf ein System mit der Übertragungsfunktion \(H(z)=\frac{z+2}{z+\frac{1}{2}} \) gegeben. Geben Sie \(S_{yy}(z)\) und \(s_{yy}(\kappa)\) an.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 30 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: mittel

Lösung

1. In einer vorherigen Aufgabe wurde bereits gezeigt, dass für die Autokorrelationsfolge der Zusammenhang

\(s_{vv}(-\kappa) = s_{vv}^\ast(\kappa)\) gilt. Dies kann hier angewendet werden.

\(\displaystyle s_{vv} = \left( \frac{1}{2} \right)^{|\kappa|}\)

2. Die Autokorrlationsfolge kann über die Verbundwahrscheinlichkeitsdichte bestimmt werden:

\(s_{vv}(\kappa) = \textrm{E}\left\{ \underbrace{v(n)}_{v_1} \, \underbrace{v(n+\kappa)}_{v_2} \right\}\)

\(= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} v_1 v_2 f_{vv}(v_1,v_2,\kappa) \, dv_1 dv_2.   \)

                         
Unter der Annahme, dass die beiden Zufallsvariablen \(v_1 = v(n)\) und \(v_2 = v(n+\kappa)\) für \(\kappa\rightarrow\infty\) statistisch unabhängig  separierbar. Damit lassen sich die beiden Integrale getrennt berechnen und man erhält

\(\lim_{\kappa\rightarrow\infty}s_{vv}(\kappa) = m_v^2,\)

wovon nun nur noch der Grenzwert bestimmt werden muss.

Die Varianz wird über den Ansatz

\(\sigma_v^2 = \textrm{E}\left\{ \left( v-\textrm{E}\{v\} \right)^2 \right\}\)

berechnet.

\(\displaystyle S_{vv}(z) = \frac{3z}{(2-z)(2z-1)}\)

 Konvergenzbereich: \(\frac{1}{2}<|z|<2\)

3. Die Autokorrelationsfolge in die Definition der z-Transformation

\(S_{vv}(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} s_{vv}(\kappa) \, z^{-n} \)

einsetzen und die Summe in die beiden Summen \(\sum_{n=-\infty}^{0}\) und  \(\sum_{n=0}^{\infty}\) aufspalten. Diese so umformen, dass die geometrische Reihe angewendet werden kann. Wie lautet der Konvergenzbereich für die z-Transformierte \(S_{vv}(z)\)?

\(\displaystyle S_{yy}(z) = 4 \, S_{vv}(z) \; \circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet \; s_{yy}(\kappa)= 4 \, s_{vv}(\kappa)\)

4.  Für die z-Transformierte der Autokorrelationsfolge des Ausgangssignals des Filters

\(H(z)\) gilt \(S_{yy}(z) =  S_{vv}(z) \, H(z) \, H^\ast\left( \frac{1}{z^\ast}\right).\)

Das gegebene \(H(z)\) einsetzen und vereinfachen.

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