Signale und Systeme - Ideale Systeme

1. Idealisierte Systeme

Aufgabenstellung

Gegeben ist ein einseitiger idealer Bandpass mit der Mittenfrequenz \(\omega_m\), einer Bandbreite von\(2\Delta\omega\) und einer linearen Phase von \((-\omega t_0)\). 

  1. Wie lautet der Frequenzgang \(H^{(1)}(j\omega)\) dieses Bandpasses?
  2. Berechnen Sie die Impulsantwort \(h_0^{(1)}(t)\) dieses Bandpasses.
  3. Wie lautet der Frequenzgang \(H^{(2)}(j\omega)\) eines entsprechenden zweiseitigen Bandpasses?
  4. Berechnen Sie die Impulsantwort \(h_0^{(2)}(t)\) des zweiseitigen Bandpasses

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 30 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

1. Bei idealen Filtern wird angenommen, dass sie im Durchlassbereich den Betrag \(|H(j\omega)|=1\) und im Sperrbereich \(|H(j\omega)|=0\) haben. Die Phase ist in der Aufgabenstellung gegeben.

\(\displaystyle H^{(1)}(j\omega) = \begin{cases}
                                                1 \cdot e^{-j\omega t_0}, & \textrm{für } \omega_m-\Delta\omega < \omega <  \omega_m+\Delta\omega \\
                                                0,                        & \textrm{sonst}
                                            \end{cases}
                                          = r_{\Delta\omega}(\omega-\omega_m) \, e^{-j\omega t_0}\)

2. Die Impulsantwort ist als inverse Fourier-Transformation der Übertragungsfunktion definiert:

\( h_0(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{H(j\omega)\right\}.\)

Sie kann mit Hilfe der Korrespondenz für die Rechteckfunktion sowie Verschiebungs- und Modulationssatz bestimmt werden.

\(\displaystyle H^{(2)}(j\omega) = \left[ r_{\Delta\omega}(\omega+\omega_m) + r_{\Delta\omega}(\omega-\omega_m)\right] \, e^{-j\omega t_0}\)

3. Gleiche Vorgehensweise wie in (1.).

\(\displaystyle h_0^{(2)}(t) = \frac{\Delta\omega}{\pi} \, \textrm{si}\big( \Delta\omega(t-t_0) \big) \, 2\cos\big(\omega_m(t-t_0)\big)\)

4. Gleiche Vorgehensweise wie in (2.).

2. Idealisierte Systeme

Aufgabenstellung

Betrachtet wird ein linearphasiges System \(S^{(1)}\) mit einer kosinusförmigen Betragsschwankung: 

\(H^{(1)}(j\omega) = H_0 \left( 1+\alpha \cos(\omega\tau)\right) e^{-j\omega t_0}. \)

  1. Wie lautet die Impulsantwort des Systems \(S^{(1)}\) ?
  2. Das Ausgangssignal von \(S^{(1)}\) wird mit Hilfe eines idealen Tiefpassfilters \(S^{(2)}\) mit der Grenzfrequenz \(\omega_g\) bandbegrenzt. Geben sie die Impulsantwort der Kaskade aus \(S^{(1)}\) und \(S^{(2)}\) an.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 30 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

1. Den cos-Term vor der Rücktransformation mit Hilfe der Eulerschen Formel

\(\cos(\omega \tau) = \frac{1}{2}\left(e^{j\omega \tau} + e^{-j\omega \tau} \right)\)

durch zwei Exponentialfunktionen darstellen und die Klammer ausmultiplizieren. Danach kann die inverse Fouriertransformation einfach mit Hilfe des Verschiebungssatzes bestimmt werden.

\(\displaystyle h_0^{(1)}(t) = H_0 \left[\delta_0(t-t_0) + \frac{\alpha}{2} \, \delta_0(t-t_0+\tau) +
                                                  \frac{\alpha}{2} \, \delta_0(t-t_0-\tau)\right]\)


2. Für den Frequenzgang des idealen Tiefpassfilters gilt

\( H^{(2)}(j\omega) =  r_{\omega_g}(\omega) = \begin{cases}
                                                                                                         1, & |\omega|\leq \omega_g \\
                                                                                                         0, & \textrm{sonst.}
                                                           \end{cases} \)
 Die gesuchte Gesamtimpulsantwort für das kaskadierte System kann nun entweder im Frequenz- oder Zeitbereich berechnet werden

\( h_0(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{H^{(1)}(j\omega) \cdot H^{(2)}(j\omega)\right\} \)

\(= h_0^{(1)}(t) \ast  \mathcal{F}^{-1}\left\{H^{(2)}(j\omega)\right\}.\)

\(\displaystyle h_0(t) = \frac{H_0\,\omega_g}{\pi} \left[\textrm{si}(t-t_0) + \frac{\alpha}{2} \, \textrm{si}(t-t_0+\tau) +
                                                  \frac{\alpha}{2} \, \textrm{si}(t-t_0-\tau)\right]\)

3. Filterung und Autokorrelation

Aufgabenstellung

Diese Aufgabe wiederholt einige Grundbegriffe zur Autokorrelation und soll auf einen kleinen Versuch mit MATLAB vorbereiten.

Gegeben sei das Signal \(v(n)\) als weißes Rauschen mit Mittelwert \(m_{v}=0\). Dieses soll mit einem schmalbandigen Bandpassfilter \(H(z)\) gefiltert werden, um so das Ausgangssignal \(y(n)\) zu erhalten.

  1. Durch welche Differenzengleichung kann die Bandpassfilterung beschrieben werden? Geben Sie auch die Übertragungsfunktion \(H(z)\) in allgemeiner Form an.
  2. Wie ist die Autokorrelationsfolge \(s_{vv}(\kappa)\) für stationäre Signale definiert? Wie kann sie geschätzt werden, wenn für \(v(n)\) eine Messung vorliegt? Worin unterscheiden sich die Autokorrelation \(s_{vv}(\kappa)\) und die Autokovarianz \(\psi_{vv}(\kappa)\)?
  3. Skizzieren Sie \(s_{vv}(\kappa)\). Welche Unterschiede erwarten Sie für die Autokorrelationsfolge \(s_{yy}(\kappa)\) nach der Filterung?

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 30 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

1. Mit der Differenzengleichung

\(y(n) = \sum_{i=0}^{N-1}\,b_i v(n-i) - \sum_{i=1}^{M-1}\,a_i y(n-i)\)

kann bei ausreichenden Filterordnungen \(N\) und \(M\) ein beliebiges LTI-System beschrieben werden, wobei \(v(n)\) das Eingangs- und \(y(n)\) das Ausgangssignal des Systems ist. Je nach Wahl der Filterkoeffizienten \(a_i\) und \(b_i\) können verschiedene Filtertypen, wie z.B. Hochpass, Tiefpass oder Bandpass, realisiert werden. Diese Filterstruktur wird auch als \emph{infinite impulse response} (IIR) Filter bezeichnet, weil das Ausgangssignal wieder zurückgekoppelt wird und somit unendlich lange Impulsantworten realisiert werden können.

Für die Übertragungsfunktion gilt\(H(z) = \frac{\sum\limits_{i=0}^{N-1}b_i \, z^{-i}}{\sum\limits_{i=0}^{M-1}a_i \, z^{-i}},\)

wobei \(a_0=1\) ist.

Differenzengleichung: \(\displaystyle     y(n) = \sum_{i=0}^{N-1}\,b_i v(n-i) - \sum_{i=1}^{M-1}\,a_i y(n-i)\)

Übertragunsfunktion: \(\displaystyle H(z) = \frac{\sum\limits_{i=0}^{N-1}b_i \, z^{-i}}{\sum\limits_{i=0}^{M-1}a_i \, z^{-i}}\) mit \(a_0=1\)

2. Für stationäre Folgen ist die Autokorrelationsfolge durch

\(s_{vv}(\kappa) = \textrm{E}\left\{ v(n) v(n+\kappa)\right\}= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} v_1v_2 \, f_{vv}(v_1, v_2, \kappa) \, dv_1\, dv_2\)

definiert und kann aus beobachteten Daten durch

\(\hat{s}_{vv}(\kappa) = \; < v(n) v(n+\kappa) >  \;
                                         = \lim_{N\rightarrow\infty} \left\{\frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} v(n)v(n+\kappa) \right\}\)

geschätzt werden. Die Autokovarianz ist zusätzlich mittelwertbereinigt

\(\psi_{vv}(\kappa) = \textrm{E}\left\{ \big(v(n)-m_v\big) \big(v(n+\kappa)-m_v\big)\right\} \)

\(= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \big(v_1-m_v\big) \big(v_2-m_v\big) \, f_{vv}(v_1, v_2, \kappa) \, dv_1\, dv_2\)

\(= s_{vv}(\kappa) - m_v^2.\)

Um die Notation zu vereinfachen, wurden in den Integralen die Abkürzungen \(v(n)=v_1\) und \(v(n+\kappa)=v_2\) verwendet. Dabei ist anzumerken, dass die Verbundwahrscheinlichkeitsdichte \(f_{vv}(v_1, v_2, \kappa)\) nicht vom absoluten Zeitpunkt \(n\) abhängt, sondern nur von der Zeit \(\kappa\) zwischen den beiden Zufallsvariablen \(v_1\) und \(v_2\).

 Autokorrelationsfolge: \(\displaystyle s_{vv}(\kappa) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} v_1v_2 \,f_{vv}(v_1, v_2, \kappa) \, dv_1\, dv_2    \)

Schätzwert für die Autokorrelationsfolge: \(\displaystyle \hat{s}_{vv}(\kappa) =  \lim_{N\rightarrow\infty} \left\{\frac{1}{2N} \sum_{n=-N}^{N} v(n)v(n+\kappa) \right\}    \)

Autokovarianzfolge: \(\displaystyle \psi_{vv}(\kappa) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \big(v_1-m_v\big) \big(v_2-m_v\big) \, f_{vv}(v_1, v_2, \kappa)\, dv_1\, dv_2    \)

Dabei gilt \(v(n)=v_1\) und \(v(n+\kappa)=v_2\).

3. Da \(v(n)\) weißes Rauschen ist, gilt

\( s_{vv}(\kappa) = \sigma_s^2 \, \gamma_0(\kappa).\)

Durch die Filterung werden benachbarte Signalabtastwerte korreliert. Folglich wird auch die Autokorrelationsfolge "`verschmiert"', das heißt, sie wird nun für \(\kappa \neq 0\) von \(0\) verschiedene Funktionswerte aufweisen.

4. Hilbert-Transformation und ESB

Aufgabenstellung

In dieser Aufgabe werden zuerst Grundlagen zur Hilbert-Transformation wiederholt und anschließend eine Anwendungsmöglichkeit untersucht.

  1.  Wie ist die Hilbert-Transformation definiert? Geben Sie sowohl Frequenzgang als auch Impulsantwort an. Was ist unter dem analytischen Signal \(v_a(t)\) zu verstehen?
  2. Ist der Hilbert-Transformator kausal? Ist er bandbegrenzt?
  3. Geben Sie eine Realisierung der idealen    Einseitenbandmodulation mit Hilfe des Hilbert-Transformators als Blockschaltbild an.    Verwenden Sie dabei die Definition der Einseitenbandmodulation.
  4. Ist das resultierende System aus 3. kausal und bandbegrenzt? Wenn nicht,    modifizieren Sie das System so, dass es kausal und     bandbegrenzt wird.

Umfang und Schwierigkeitsgrad

  • Zeitlicher Umfang: ca. 30 Minuten
  • Schwierigkeitsgrad: leicht

Lösung

1. Der Frequenzgang des Hilbert-Transformators ist durch

\(H(j\omega) = H_0(j\omega) \, e^{-j\omega t_0}\)

\(= -j \, \textrm{sign}(\omega) \, e^{-j\omega t_0}\)

definiert. Oft wird dabei die Verzögerung \(t_0=0\) gesetzt, so dass

\(H(j\omega) = H_0(j\omega) = -j \, \textrm{sign}(\omega)\)

gilt. Teilt man den Frequenzgang in Betrag und Phase auf wird klar, warum der Hilbert-Transformator

manchmal auch als \(90^\circ\)-Phasendreher bezeichnet wird.

Für die Impulsantwort des Hilbert-Transformators mit \(t_0=0\) gilt

\( h_0(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{H_0(j\omega)\right\}
                      = \begin{cases}
                            \frac{1}{\pi t}, & t\neq 0\\
                                  0              , & t = 0.
                        \end{cases} \)

Die Filterung mit einem Hilbert-Transformator lässt sich also im Zeit- und Frequenzbereich folgendermaßen beschreiben:

\(\tilde{v}(t)       = v(t) \ast h_0(t) = \mathcal{H}\left\{v(t)\right\} \)

\(\circ \!\! - \!\!\! - \!\! \bullet\)

\(\tilde{V}(j\omega) = V(j\omega) \cdot H(j\omega)\)

\(= -V(j\omega) \cdot j \cdot \textrm{sign}(\omega)\)

\(=   \textrm{Im}\left\{ \textrm{sign}(\omega) V(j\omega) \right\} +
                                       j \textrm{Re}\left\{ - \textrm{sign}(\omega) V(j\omega) \right\} \)

\(= \textrm{Re}\left\{ \tilde{V}(j\omega) \right\} + j\textrm{Im}\left\{ \tilde{V}(j\omega) \right\}\)

Realteil und Imaginärteil des Spektrums werden also durch die Hilbert-Transformation "`ausgetauscht"', was  zur Bildung des \emph{analytischen} Signals

\(v_a(t) = v(t) + \mathcal{H}\left\{v(t)\right\} = v(t) + \tilde{v}(t) \)

ausgenutzt werden kann. Das Besondere daran ist, dass es ein einseitiges Spektrum

\( V_a(j\omega) = \begin{cases}
                                    2\,V(j\omega), & \omega > 0\\
                        V(j\omega),    & \omega = 0\\
                        0,             & \omega < 0
                                \end{cases}\)

besitzt. Man beachte in den obigen Betrachtungen außerdem die verwendete Notation mit \(\tilde{.}\) und \(\mathcal{H}\left\{.\right\}\) zur Beschreibung der Hilbert-Transformation.

Frequenzgang: \(\displaystyle H(j\omega) = H_0(j\omega) \, e^{-j\omega t_0}
                                                  = -j \, \textrm{sign}(\omega) \, e^{-j\omega t_0}\), oft mit \(t_0=0\(\)

Impulsantwort: \(\displaystyle h_0(t) = \begin{cases}
                                                                                              \frac{1}{\pi t}, & t\neq 0\\
                                                                                              0              , & t = 0
                                                 \end{cases}\)

2.  Der Hilbert-Transformator ist nicht kausal, da die Impulsantwort \(h_0(t)\neq0\) für \(t<0\).

Der Hilbert-Transformator ist auch nicht bandbegrenzt, da \(H(j\omega)\neq0\) für alle \(\omega\neq0\).

3. Die Einseitenbandmodulation kann auch realisiert werden, indem mit Hilfe eines Hilbert-Transformators ein rechtsseitiges und ein linksseitiges analytisches Signal gebildet und anschließend jeweils komplex moduliert wird. Die einzelnen Schritte sind in der folgenden Abbildung schematisch für das Spektrum eines rellen, bandbegrenzten Signals dargetellt.

Die nötigen Signalverarbeitungsschritte

\(y(t) = 2 v(t) \cos(\omega_0t) - 2 \tilde{v}(t) \sin(\omega_0t)\)

\(= 2 \big[ v(t) \cos(\omega_0t) - \mathcal{H}\left\{v(t)\right\} \sin(\omega_0t) \big]\)

sind im Blockschaltbild  dargestellt.

Eine ideal einseitenbandmoduliertes Signal \(y(t)\)  kann aus dem Eingangssignal \(v(t) \) mit Hilfe eines Hilbert-Transformators durch

\(y(t) = 2 v(t) \cos(\omega_0t) - 2 \tilde{v}(t) \sin(\omega_0t) \)

\(= 2 \big[ v(t) \cos(\omega_0t) - \mathcal{H}\left\{v(t)\right\} \sin(\omega_0t) \big]\)

erzeugt werden.

4. Das in (3.) hergeleitete System ist wegen des enhtaltenen Hilbert-Transformators weder kausal noch noch bandbegrenzt. Daher sind drei Modifikationen nötig:

[1.] Der Frequenzgang des Hilbert-Transformators kann einfach bandbegrenzt werden, indem man für alle Frequenzen \(\omega>\omega_g\) die Übertagungsfunktion \(H(j\omega)=0\) setzt und so die Übertragungsfunktion \(H_\textrm{BP}(j\omega)\) erhält, für deren Impulsantwort

\( h_\textrm{BP}(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{H_\textrm{BP}(j\omega)\right\} = \frac{1-\cos(\omega_g t)}{\pi t}\) gilt.

[2.] Die Impulsantwort \(h_\textrm{BP}(t)\) ist zeitlich nicht begrenzt. Dies kann durch Multiplikation mit einer Fensterfunktion \(w(t)\) erreicht werden, die außerhalb des Bereiches \(t\in[-t_0, \; t_0]\)\) den Funktionswert \(w(t)=0\) hat und für gewöhnlich zu diesen Rändern hin langsam abklingt. So erhält man die Impulsantwort  \(h_\textrm{BP,w}(t)\).

[3.] Um ein kausales System zu erhalten, muss die Impulsantwort aus Schritt 2 noch um die halbe Fensterlänge \(t_0\) verzögert werden:

\( h_\textrm{mod}(t) = h_\textrm{BP,w}(t-t_0).\)

Diese Impulsantwort \(h_\textrm{mod}(t)\) stellt also eine kausale und bandbegrenzte Approximation des Hilbert-Transformators dar.

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Recent Publications

J. Reermann, P. Durdaut, S. Salzer, T. Demming,A. Piorra, E. Quandt, N. Frey, M. Höft, and G. Schmidt: Evaluation of Magnetoelectric Sensor Systems for Cardiological Applications, Measurement (Elsevier), ISSN 0263-2241, https://doi.org/10.1016/j.measurement.2017.09.047, 2017

S. Graf, T. Herbig, M. Buck, G. Schmidt: Low-Complexity Pitch Estimation Based on Phase Differences Between Low-Resolution Spectra, Proc. Interspeech, pp. 2316 -2320, 2017

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