Signale und Systeme - Einleitung - Teil 2

 

Voriger Teil: Einleitung- Teil 1

Signale

Fangen wir zunächst mit einer Definition des Signalbegriffs an:

Definition des Begriffs "Signal":
Signale sind informationstragende, weitgehend beliebige Verläufe von (abhängigen) Größen über (unabhängigen) Variablen.

In der folgenden Tabelle sind einige Bespiele für ein- und mehrdimensionale Signale aufgeführt.

Beispiele:
\( u(t) \) : Spannung über der (kontinuierlichen) Zeit \( t \),
\( d(n) \) : Börsenindex über der (diskreten) Wochennummer \( n \),
\( i(x,y) \) : Helligkeit eines Bildes über den (kontinuierlichen oder diskreten) Raumkoordinaten \( x \) und \( y \),
\( p(x,y,z,t) \) : Schalldruck an den (kontinuierlichen) Raumkoordinaten \( x \), \( y \) und \( z \) über der (kontinuierlichen) Zeit \( t \).

Oftmals werden normierte Größen und Variablen, wie z.B.

\begin{equation} u(t) \,\,=\,\, \displaystyle{\frac{\textrm{Spannung zum Zeitpunkt}\,t\,\textrm{Sekunden}}{1\,\textrm{Volt}}} \nonumber \end{equation}

verwendet. Dies ist zumeist hilfreich, aber nicht unbedingt notwendig. Wir werden hier zumeist normierte Signale verwenden.

 

Klassifikation von Signalen

Wir werden im Folgenden einige Eigenschaften von Signalen zusammenstellen. Diese Eigenschaften sind für die auf diese Einleitungen folgenden Überlegungen immer wieder von Bedeutung.

 

  • Kontinuierliche und diskrete Signale

    Wir starten zunächst mit der Unterscheidung zwischen kontinuierlichen und diskreten Signalen. Die beiden folgenden Definitionen legen zunächst fest, was wir unter diesen beiden Signaltypen verstehen wollen.

    Definition von kontinuierlichen Signalen:
    Für kontinuierliche Signale \(v(t)\) gilt: \( t\,\in\,\mathcal{R} \). Dabei ist im Allgemeinen \( v(t)\,\in\,\mathcal{C}\).
    Definition von diskreten Signalen:
    Für diskreke Signale \(v(n)\) gilt \( n\,\in\,\mathcal{Z} \). Dabei ist ebenfalls im Allgemeinen \( v(t)\,\in\,\mathcal{C}\). Man kann sie auch als eine (nummerierte) Zahlen-Folge ohne Zwischenwerte ansehen.
    Anmerkung:
    Zu dieser Thematik ist folgende Übungsaufgabe geeignet:

    Diskrete Signale können (müssen aber nicht) durch (im Allgemeinen: äquidistante) Abstastung von kontinuierlichen Signalen entstanden sein. Zusammengenommen mit einer Diskretisierung der Amplitudenwerte nennt man das Analog-Digital-Wandlung: ein normiertes, kontinuielriches Signal

    \begin{equation} \frac{v_{kon}(t)}{V_0} \end{equation}

    wird mit der Abtastfrequenz

    \begin{equation} f_s \,\,=\,\, \frac{1}{T_s} \end{equation}

    zu den Zeitpunkten

    \begin{equation} t_n \,\,=\,\, n T_s \end{equation}

    äquidistant abgetastet. Es resultiert das folgende diskrete Signal

    \begin{equation} v(n) \,\,=\,\, \frac{v_{kon}(nT_s)}{V_0} \,n\,\in\,\mathcal{Z}.\end{equation}

    Eine genauere Beschreibung des Abtast-Vorgangs und seiner Auswirkungen gibt es in dieser Vorlesung gegen Ende des Semesters (Abschnitt Modulation).

     

  • Ein- und mehrdimensionale Signale

    Unter dem Begriff der Dimension (des Signalarguments) verstehen wir hier die Anzahl der unabhängigen Variablen (im Argument) des Signals.

    Beispiele:
    \( u(t) \) : Spannung, eindimensionales Signal,
    \( i(x,y) \) : Bildhelligkeit, zweidimensionales Signal,
    \( p(x,y,z,t) \) : Schalldruck, vierdimensionales Signal.

    In der Vorlesung beschränken wir uns hauptsächlich auf eindimesionale Signale. Erweiterungen gibt es dann in vertiefenden Vorlesungen.

     

  • Signalvektoren

    Unter einem vektoriellen Signal oder einem Signalvektor versteht man eine kompakte Schreibweise für mehrere, zusammen zu behandelnde Signale:

    \begin{equation} \boldsymbol{v}(...) = \begin{bmatrix} v_0(...)\\ v_1(...)\\ \vdots\\ v_{L-1}(...) \end{bmatrix} \,\,=\,\, \Big[ v_0(...),\, v_1(...),\, \dotsc,\, v_{L-1}(...) \Big] ^T \end{equation}

    Beispiele:
    \( \boldsymbol{u}(t) \,\,=\,\, \Big[ u_0(t),\, u_1(t), \, \dotsc,\, u_{L-1}(t) \Big] ^T \) : alle Spannungen in einer Schaltung.
    \( \boldsymbol{v}(x,y,z,t) \,\,=\,\, \Big[ v_x(x,y,z,t),\, v_y(x,y,z,t), \, v_z(x,y,z,t) \Big] ^T \) : Schallschnelle.

    In dieser Vorlesung werden wir Vektoren durch fetten Schriftsatz kennzeichnen. Neben dieser Schreibweise wird von anderen Autoren auch ein Unterstreichen oder ein Vektorsymbol über dem Signal verwendet.

     

  • Deterministische und stochastische Signale

    Wir werden zwischen deterministischen und stochastischen Signalen unterscheiden. Letztere werden auch Zufallsprozesse genannt. Obwohl wir uns mit diesen erst im nächsten Semester im Detail beschäftigen werden, so werden sie doch hier schon eingeführt und den Unterschied zu deterministischen Signalen aufzuzeigen.

     

    • Deterministische Signale

      Zunächst sei durch folgende Definition festgelegt, was wir unter deterministischen Signalen verstehen wollen.

      Definition von deterministischen Signalen:
      Es besteht ein funktionaler bzw. „handhabbarer“ Zusammenhang zwischen den Signalargumenten \(t\) bzw. \(n\) und den Signalen \(v(t)\) bzw. \(v(n)\), d.h. \(v(t)\) bzw. \(v(n)\) sind determiniert.

      Die folgenden Beipiele sollen dies noch einmal verdeutlichen.

      Beispiele:
      Exponentialfunktion: \( x(n) \,\,=\,\, B\,e^{j\Omega_0n} \),
      Sinus: \( y(t)\,\, \,\,=\,\, A\, \sin(\omega_0 t + \Phi) \).

      In folgenden ist die Exponentialfunktion \( x(n) \) zum einen graphisch und zum anderen in Form von Videos dargestellt. In den Videos ist die Funktion für verschiedene \( \Omega_0\) und mit \(B = 1\) zu sehen:

       
       
      \( \textrm{Im}\{x(n)\} \)
      \( \textrm{Re}\{x(n)\} \)
      \( x(0) = B \)
      \( x(1) \)
      \( x(2) \)
      \( x(3) \)
      \( x(4) \)
      \( x(5) \)
      \( \Omega_0 \)
      Fig. 1: Verlauf einer komplexen Exponentialfunktion. 
       
      \( \Omega_0 \,\,=\,\, 90°\)
       
      \( \Omega_0 \,\,=\,\, 80°\)
       
           

      Es ist zu erkennen, dass der Zeiger im zweiten Video zwei Umrundungen durchführen muss, bis er wieder am Ausgangspunkt angelangt. Bei Video 1 reicht eine Umrundung aus.

      Auf diese Funktion - die harmonische Exponentielle - wird im Kapitel "Signale - Elementarsignale" später noch näher eingegangen.

       

    • Stochastische Signale

      Analog zu deterministischen Signalen starten wir zunächst mit einer Definition für stochastische Signale.

      Definition von stochastischen Signalen:
      Es besteht ein zufälliger bzw. „nicht handhabbarer“ Zusammenhang zwischen den Signalargumenten \(t\) bzw. \(n\) und den Signalen \(v(t)\) bzw. \(v(n)\), d.h. \(v(t)\) bzw. \(v(n)\) sind stochastisch.

      Die beiden folgenden Bespielsignale zeigen Beispiele für stochastische Signale.

      Beispiele:
      Verstärker-Rauschen,
      Sprachsignale.

      In dieser Vorlesung werden wir uns zunächst auf deterministische Signale beschränken. Stochastische Signale werden (z.B.) in der Vorlesung „Signale und Systeme - Teil 2“ behandelt.

       

  • Periodische und aperiodische Signale

    Wie in den vorherigen Abschnitten starten wir zunächst mit einer Definition des Begriffs "periodisch".

    Definition des Begriffs "Periodizität":

    Unter dem Betriff Periodizität versteht man eine Signalwiederholung in festem Abstand, d.h. für kontinuierliche, periodische Signale gilt

    \begin{equation} v(t+\lambda T) \,\,=\,\, v(t), \,\,\,\, \textrm{mit}\, T\, \in{\mathbb{R}} \end{equation}

    bzw. für periodische, diskrete Signale gilt

    \begin{equation} v(n+\lambda K) \,\,=\,\, v(n), \,\,\,\, \textrm{mit}\, K\, \in{\mathbb{N}}. \end{equation}

    Anmerkung:
    Zu dieser Thematik sind die folgenden drei Übungsaufgaben geeignet:

    Als „Prototyp“ eines periodischen Signals wird oftmals das (Co-) Sinus-Signal verwendet:

    \begin{equation} u(t) \,\,=\,\, \hat{u}\, \cos(\omega_0 t + \Phi), \end{equation}

    mit

    \begin{equation*} T \,\,=\,\, \frac{2 \pi}{\omega_0} \end{equation*}

    für kontinuierliche Signale bzw.

    \begin{equation} u(n) \,\,=\,\, \hat{u} \, \cos(\Omega_0 n + \Phi),, \end{equation}

    mit

    \begin{equation*} K \,\,=\,\, \frac{2 \pi}{\Omega_0} \in{\mathbb{N}} \end{equation*}

    für diskrete Signale. Das diskrete Sinussignal ist nicht notwendigerweise periodisch (\(\Omega_0\) muss dafür so gewählt werden, dass \(K\) rational wird)!

    Anmerkungen:

    In der Praxis sind die meisten Signale nicht vollständig periodisch (im Sinne der mathematischen Definition), dennoch existieren eine ganze Menge Signale die zumindest näherungsweise periodisch sind.

    Als ein Beispiel für natürlich vorkommende, näherungsweise periodische Signale sei der menschliche Herzschlag angeführt. Das unten folgende Video zeigt exemplarisch drei typische EKG-Ableitungen (EKG = Elektrokardiogramm) in ihrem Zeitverlauf, sowie als 3D-Darstellung.

     

  • Leistung und Energie

     

    • Physikalische/elektrische Leistung und Energie:

      Die physikalische/elektrische Leistung \(p\) und die Energie \(w\) lassen sich mit folgenden Gleichungen bestimmen:

       
       
      \( R \)
      \( i(t) \)
      \( u(t) \)
      Fig. 2: Ersatzschaltbild eines Widerstands. 
       

      \begin{equation} p(t) \,\,=\,\, u(t)\, i(t) \,\,=\,\, \frac{u^2(t)}{R} \,\,=\,\, i^2(t)\, R \end{equation}

      \begin{equation} w(t) \,\,=\,\, \int \limits_{\tau \,\, =\,\, -\infty}^{t} p(\tau)\, d\tau\end{equation}

      Anmerkung:
      Zu dieser Thematik ist folgende Übungsaufgabe geeignet:
      Verallgemeinerung bzw. Abstraktion für normierte Größen \(v(\dots)\in{\mathbb{C}}\):

      Verallgemeinert gelten für die entsprechenden normierten Größen die nachstehenden Formeln. Im Falle von Leistungen gilt im Kontinuierlichen

      \begin{equation*}p_v(t) \,\,=\,\, |v(t)|^2 \end{equation*}

      und im Diskreten

      \begin{equation*}p_v(n) \,\,=\,\, |v(n)|^2. \end{equation*}

      Betrachtet man Energien, so sind diese kontinuierlich mit

      \begin{equation*}w_v(t) \,\,=\,\, \int \limits_{\tau \,\,=\,\, -\infty}^{t}|v(\tau)|^2 \, d\tau\end{equation*}

      und diskret mit

      \begin{equation*}w_v(n) \,\,=\,\, \sum \limits_{\kappa \,\,=\,\, -\infty}^{n} |v(\kappa)|^2\end{equation*}

      zu beschreiben.

       

    • Gesamtenergie:

      Die Gesamtenergie eines Signals ist wie folgt definiert:

      Definition der Gesamtenergie von Signalen:

      Kontinuierlich:

      \begin{equation}w_v(\infty) \,\,=\,\, \int \limits_{\tau \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} |v(\tau)|^2 \, d\tau, \end{equation}

      Diskret:

      \begin{equation}w_v(\infty) \,\,=\,\, \sum \limits_{\kappa \,\,=\,\, -\infty}^{\infty} |v(\kappa)|^2. \end{equation}

      Signale, für die dieser Grenzwert existiert (und endlich ist), d.h. \( 0 \le w_v(\infty) < \infty \) nennt man in der Literatur Energiesignale. Die Summation in der Berechnung bei diskreten Signalen ist nicht als Näherung zu sehen! Solche Summen werden uns im Folgenden oft begegnen.

       

    • "Nicht-Energie"-Signale:

      Wenn der Grenzwert \(w_v(\infty) \) nicht existiert, dann kann mit einer anderen Größe etwas über die „mittlere Wirkung“ eines Signals ausgesagt werden.

       

    • Mittlere Leistung:

      Definition der mittleren Leistung:
      Signale für welche der kontinuierliche Grenzwert \begin{equation*}\overline{p_v} \,\, = \,\, \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left \lbrack \frac{1}{2T} \, \int \limits_{\tau \,\,=\,\, -T}^{T} |v(\tau)|^2 \, d\tau \right \rbrack \end{equation*} oder der diskrete Grenzwert \begin{equation*}\overline{p_v} \,\, = \,\,\lim\limits_{K \rightarrow \infty} \left \lbrack \frac{1}{2K+1} \, \sum \limits_{\kappa \,\,=\,\, -K}^{K}|v(\kappa)|^2 \right \rbrack \end{equation*} existiert, heißen in der Literatur Leistungssignale.

      Daraus ergibt sich für periodische Signale ( \( \overline{p_v} \) gibt die Energie pro Periode an) im Kontinuierlichen

      \begin{equation*}\overline{p_v}\,\, = \,\, \frac{1}{T} \, \int \limits_{\tau \,\,=\,\, t_0}^{t_0+T}|v(\tau)|^2 \, d\tau \end{equation*}

      und im Diskreten

      \begin{equation*}\overline{p_v} \,\,=\,\, \frac{1}{K} \, \sum \limits_{\kappa \,\,=\,\, -k_0}^{k_0+K-1} |v(\kappa)|^2. \end{equation*}

       

Verständnisfragen

 

Nennen Sie mindestens zwei Beispiele für (nahezu) periodische Signale und für vektorielle, mehridmensionale Signale (die auch praktisch vorkommen).

Periodische Signale sind beispielsweise der Herzschlag sowie Spannungen und Ströme in der Wechselstromtechnik.

Vektorielle, mehrdimensionale Signale sind zum Beispiel die Bildhelligkeit und der Schalldruck.

Nennen Sie Beispiele für periodisch und für nicht-periodisch abgetastete Signale! Wie würden Sie die „Abtastung“ mit eigenen Worten beschreiben?

Audiosignale, die auf einer Audio-CD gespeichert werden, werden mit einer Abtastfrequenz von 44.1 kHz periodisch abgetastet.

Nicht-periodische Abtastung findet bespielspielsweise bei der Send-on-Delta-Abtastung statt. Hier sollen nicht alle Abtastwerte gesendet werden, sondern nur die, die einen ausreichenden Unterschied zum zuvor gesendeten Signal aufweisen.

Als Abtastung bezeichnet man allgemein das Aufnehmen von Messwerten zu bestimmten, meist periodischen Zeitpunkten.

Warum sollte man Signale (und im folgenden auch Systeme) in „Klassen“ (periodisch, mit endlicher Energie, mittelwertfrei, etc.) einteilen?

Man sollte Signale und Systeme in "Klassen" aufteilen, da so Promblemlösungen effizienter zu ermitteln sind. Für manche "Klassen" reduzieren und vereinfachen sich beispielsweise einige Darstellungsformen und Rechenoperationen.

 

Nächster Teil: Einleitung- Teil 3

Übersicht zur Einleitung

 

Weitere Kapitel

  • Signale
  • Fourier-Reihe und DFT
  • Fourier-Tranformation
  • Laplace und z-Tranformation
  • Lineare Systeme
  • Modulation
  • Zufallsprozesse und zugehörige Spektren
  • Zufallsprozesse und Systeme
  • Idealisierte Systeme
  • Zustandsraum
  • Ergänzungen

 

Folien zur Einleitung

Pdf-Datei

 

Übungen zur Einleitung

Hier finden Sie einige Übungsaufgaben.

Contact

Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt

E-Mail: gus@tf.uni-kiel.de

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Faculty of Engineering
Institute for Electrical Engineering and Information Engineering
Digital Signal Processing and System Theory

Kaiserstr. 2
24143 Kiel, Germany

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